Capitolo 7- Trasformata di Fourier discreta

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1 Apputi di oia di Sgali Capitolo 7- asfomata di Foui discta Itoduzio... Dfiizio... Fomula di atitasfomazio discta...3 Esmpio: spozial discto...4 Esmpio: impulso discto taslato...5 Esmpio...6 opità dlla DF...6 Egia...6 Simmtia hmitiaa...7 Modulo fas dlla DF...8 asfomata di Foui di u sgal (discto) al...8 Liaità... aslazio l tmpo... aslazio i fquza... opità di ivsio dll ass... Covoluzio l tmpo... Esmpio... Covoluzio i fquza... 4 Divazio i fquza... 4 Esmpio... 5 Applicazio al campioamto... 5 Esmpio... 7 Ossvazio... 8 Sgali discti piodici... 9 Itoduzio... 9 asfomata di Foui p sgali discti piodici (DF)... 9 Dfiizio... 9 Esmpio... 5 Esmpio... 6 opità... 7 Liaità... 8 aslazio l tmpo... 8 aslazio i fquza... 8 Covoluzio l tmpo... 9 Covoluzio i fquza... 9 otza... 9

2 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 IRODUZIOE Sappiamo ch i sgali si dividoo i du catgoi fodamtali: i sgali cotiui s(t) soo qulli dfiiti apputo co cotiuità l tmpo; i sgali discti s() soo ivc dfiiti solo i istati discti t multipli iti di ua quatità fissa. A poposito di sgali cotiui, abbiamo dfiito la tasfomata di Foui l modo sgut: ift S(f ) s( t) dt Abbiamo ach dtto ch o smp qusta tasfomata sist, ma ch, p smpio, sist smp p i sgali ad gia fiita. Iolt, abbiamo palato dl cosiddtto campioamto, ossia sostazialmt dlla possibilità di icostui u sgal tmpo-cotiuo s(t) a pati dai suoi campioi s(), cioè a pati dai valoi ch s(t) assum i pcisi istati di tmpo t. Evidtmt, l isim di campioi s() costituisc u sgal discto. opio i fuzio dl campioamto dlla impotaza ch p oi assumoo i sgali discti com s(), appa covit studia più a fodo l popità, patdo popio dalla itoduzio di ua opazio di tasfomazio di Foui aaloga a qulla dfiita p i sgali cotiui. DEFIIZIOE Sia dato duqu u gico sgal discto s(). Si dfiisc tasfomata di Foui p sgali discti (bvmt DF, ch sta p Disct im Foui asfom) la sgut fuzio: S(f ) s() f Si tatta vidtmt di ua fuzio cotiua lla vaiabil f si ota subito l aalogia co la tasfomata p sgali cotiui: al posto dll itgal qui abbiamo ua sommatoia al posto dl dt qui abbiamo u. La pima cosa da di su qusta uova tasfomata è ch o smp ssa sist, ossia o smp qulla sommatoia covg. uttavia, così com accad p i sgali cotiui, la covgza è assicuata lla ipotsi p cui il sgal s() è ad gia fiita, ossia ll ipotsi ch sia fiita o ulla la quatità E S s( ). il momto, quidi, i tutti i osti discosi suppomo di tatta solo sgali discti ad gia fiita. U alta ossvazio impotat iguada ua popità fodamtal dlla fuzio S(f): si vifica, ifatti, ch S(f) è ua fuzio (i f) piodica di piodo /.

3 asfomata di Foui discta Fomula di atitasfomazio discta Così com sist la fomula di tasfomazio scodo Foui, sist ach qulla di atitasfomazio, ossia la possibilità di icava s() cooscdo la sua tasfomata S(f). Vdiamo alloa com si icava qusta fomula. Cosidiamo la dfiizio appa data, ossia S(f ) s() f Moltiplichiamo ambo i mmbi p il tmi fm (co m gico umo ito): abbiamo S(f ) fm s() f fm Adsso itgiamo su u piodo: + / / S(f ) fm df + / / s() f fm df comodità poiamo F/: + F / F / S(f ) fm df + F / F / s() f fm df Coctiamoci solo sul scodo mmbo: possiamo itato scambia la sommatoia co l itgal, p cui + F / F / S(f ) fm df + F / F / s() f fm otado fuoi dall itgal i tmii ch o dipdoo da f, abbiamo df + F / F / S(f ) fm df s() + F / f (m) F / df Adsso isolviamo l itgal a scodo mmbo p m d gici: + F / f (m) F / df (m ) si (m ) (m ) F (m) ( (m ) ) Fsi( (m ) ) (m ) + F / F / (m ) (m ) [ ] df [ ] f f D F (m) (m ) (m ) (m) (m) [ ] + F / F / 3

4 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 Quado m, abbiamo com agomto dl So, u multiplo ito di, p cui qulla fazio six val. Vicvsa, quado m, i bas alla popità p cui lim, la fazio val F. x x Abbiamo duqu tovato ch oado alloa alla lazio F/ F f ( m) + df m altimti F/ + F / F / S(f ) fm df s() + F / f (m) F / df appa vidt ch l uico tmi, dlla sommatoia a scodo mmbo, ch isulta o ullo è qullo ch si otti p m, p cui si ha + F / F / S(f ) fm df s(m)f s(m) Abbiamo duqu cocluso ch la fomula di atitasfomazio di Foui p sgali discti è la sgut: + F/ f s( ) S(f ) df F/ Facciamo ach qui ota la pofoda aalogia co la fomula di atitasfomazio l caso cotiuo, ossia la fomula ft s( t) S(f ) df Esmpio: spozial discto Com pimo smpio di calcolo dlla tasfomata di Foui discta, cosidiamo il sgal spozial discto, ossia il sgal x( ) a u( ) dov icodiamo ch il sgal gadio discto è dfiito com u( ) > < Suppoiamo iolt ch a <. Calcoliamo la tasfomata di Foui di qusto sgal usado la dfiizio: abbiamo ch 4

5 asfomata di Foui discta f f X( f ) x( ) a u( ) a u( ) f Essdo il sgal u() ullo p <, possiamo stig l itvallo di sommatoia: ( ) X f a ( ) f a f Adsso, avdo supposto ch a <, qulla somma o è alto ch qulla dlla si gomtica, p cui possiamo coclud ch X(f ) a f ota X(f), potmmo p smpio pova a calcola quato val X( f ), fuzio ch pd il om di sptto di gia dl sgal x(): X(f ) a cos a f a ( cos( f) si( f) ) ( f) + asi( f) ( a cos( f) ) + ( asi( f) ) + a a cos( f) Esmpio: impulso discto taslato Il sgal impulso discto è dfiito com δ( ) altimti I modo aalogo, alloa, il sgal impulso discto taslato saà dfiito com s( ) δ( ) altimti Calcoliamo alloa la tasfomata di Foui di qust ultimo sgal: applicado la dfiizio, abbiamo ch S f s f ( ) ( ) δ( ) f I bas ad ua ota popità dlla fuzio impulso, il podotto di ua fuzio p u impulso, sia l caso cotiuo sia i qullo discto, è pai al podotto dlla fuzio stssa, calcolata l puto di applicazio dll impulso, p l impulso stsso: quidi, l uico tmi di qulla sommatoia ch isulta o ullo è qullo p, p cui abbiamo 5

6 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 S( f) δ( ) f f atualmt, s l impulso o è taslato, ossia, si ha ch la sua tasfomata è smplicmt pai ad. ossiamo duqu iassum qust cosidazioi lla scittua δ( ) δ( ) f Ach i qusto caso, il isultato ottuto è idtico al caso cotiuo, dov si ha ch δ( t) δ( t t ) ft Esmpio Cosidiamo il sgal discto s() appstato i figua: s() t Calcoliamo la tasfomata di Foui: i bas alla dfiizio, possiamo subito sciv ch f f S( f ) s( ) f opità dlla DF EERGIA Vdiamo adsso quali soo l picipali popità dlla tasfomata di Foui p sgali discti. E abbastaza ituitivo aspttasi di isultati assolutamt aaloghi a qulli tovati l caso cotiuo. Sia dato il gico sgal s() ad gia fiita: sappiamo ch qusta gia è data dalla fomula E S s( ). 6

7 asfomata di Foui discta Vdiamo alloa com è possibil spim E S i fuzio dlla tasfomata S(f) di s(). Itato, possiamo isciv E S l modo sgut: E S s( ) ( s( ) ) *. Adsso, al posto dlla s() alla qual va applicato l opato di complsso coiugato, sostituiamo l spssio di s() ch si otti i bas alla fomula di atitasfomazio di Foui: + F/ f E S s( ) S(f ) df. Data la liaità dll opato complsso coiugato, lo potiamo dto l itgal: F/ ( ) ( )) * f E s S(f df S. + F/ F/ A qusto puto scambiamo l itgal co la sommatoia: + F/ ( ) f E S s( ) S(f ) * df F/. S(f) o dipd dall idic dlla sommatoia, p cui lo possiamo pota fuoi: + F/ * f E S ( S(f )) s( ) df. F/ Il tmi ta patsi quad o è alto, p dfiizio, ch S(f), p cui possiamo coclud ch + F/ E S S(f ) df F/ Abbiamo cioè tovato ch l gia associata al sgal s() è la stssa ch è associata alla sua tasfomata di Foui. Qusto è lo stsso idtico isultato tovato a suo tmpo p i sgali cotiui. * SIMMERIA HERMIIAA Cosidiamo smp il gico s() ad gia fiita. La dfiizio di tasfomata di Foui dic ch S(f ) s( ) f 7

8 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 I bas all popità di umi complssi, sappiamo di pot sciv ch quidi possiamo isciv S(f) lla foma cosx six x [ ] ( f) [ ] ( f) S(f ) s() cos s()si R S(f ) Im S(f ) Qusta è ua appstazio altativa di S(f), ch c la foisc com somma di ua pat al di ua immagiaia. I paticola, ciò ch si ota i qusta fomula, data la paità dlla fuzio Coso la dispaità dlla fuzio So, è ch, quado s() è u sgal REALE, sussistoo l lazioi [ S(f ] [ S( f ] [ S(f ] [ S( f ] R ) R ) Im ) Im ) ch poi possoo ss sittizzat ll uica lazio ( ) S( f ) S(f ) * MODULO E FASE DELLA DF Smp ll ipotsi di s() al, si vifica ach ch il modulo di S(f) è ua fuzio pai i f, ossia ch S(f ) S( f ), ch la fas di S(f) è ua fuzio dispai i f, ossia S(f ) S( f ). Ach i qusto caso, si tatta dll stss popità tovat l caso cotiuo, ta p il fatto ch, i qul caso, o c a la limitazio di s() al. RASFORMAA DI FOURIER DI U SEGALE (DISCREO) REALE E iolt possibil tova ua spssio smplificata dlla tasfomata di Foui quado s() è u sgal al pai oppu quado è al dispai. Il puto di patza è la dfiizio di tasfomata, i foma tigoomtica, p il gico sgal s() ad gia fiita: [ S(f ] ( ) [ S(f ] ( ) S(f ) s( ) cos f s( ) si f R ) Im ) lla scoda sommatoia, p, il So si aulla, p cui possiamo sclud il valo : 8

9 asfomata di Foui discta ( ) ( ) S(f ) s( ) cos f s( ) si f lla pima sommatoia, ivc, p, il Coso val, p cui possiamo sciv ch ( ) ( ) S(f ) s( ) + s( ) cos f s( ) si f Adsso, scompoiamo l agomto dlla scoda sommatoia i du pzzi l modo sgut: [ ] ( ) ( ) ( ) S(f ) s( ) + s( ) cos f s( ) si f + s( ) si f Stssa cosa facciamo p la pima sommatoia: + [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] S(f ) s ( ) + s ( )cos f + s ( )cos f s ( ) si f + s ( ) si f + + Dato ch il Coso è pai mt il So è dispai, possiamo isciv S(f) lla foma [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] S(f ) s( ) + s( )cos f + s( )cos f s( ) si f s( ) si f + + s( ) + s( ) + s( ) cos f s( ) s( ) si f + + A qusto puto, facciamo l ipotsi ch s() sia u sgal al pai: qusto sigifica ch s()s(-), il ch implica ch la scoda sommatoia sia ulla ch si abbia ( ) S(f ) s( ) + s( )cos f s( ) al pai Avdo dtto ch s() è al, è vidt ch isulta ss al ach S(f). Vicvsa, s suppoiamo ch s() sia al dispai, il ch sigifica ch s()-s(-), ad aullasi è la pima sommatoia, p cui l spssio di S(f) divta ( ) S(f ) s( ) s( ) si f s() al dispai I qusto caso, al cotaio di pima, S(f) o è cssaiamt immagiaia: lo è solo s s(). 9

10 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 Acoa ua volta, facciamo ossva com di isultati aaloghi soo stati tovati p la tasfomata di Foui di u sgal s(t) cotiuo al: quado s(t) è pai, la sua tasfomata è mt, quado è dispai, la sua tasfomata è ( ) S(f ) s( t) cos ft dt ( ) S(f ) s( t) si ft dt LIEARIÀ Cosidiamo du sgali discti x() y(): suppoiamo ch siao tambi ad gia fiita, p cui sussistoo l ispttiv tasfomat di Foui, ch idichiamo co X(f) Y(f). Alloa, qusta popità dic ch la tasfomata di Foui dl sgal z( ) ax( ) + by( ) è smplicmt data da Z( f) ax( f) + by( f) Dimostiamo qusto isultato mdiat la smplic dfiizio: ax(f ) + by(f ) ( ax() + by() ) Z(f ) f f f z() a x() + b y() f RASLAZIOE EL EMO Cosidiamo il gico sgal s() discto ad gia fiita: sotto qusta ipotsi, sso ammtt ctamt tasfomata di Foui la idichiamo co S(f). Cosidiamo poi il uovo sgal z( ) s( ). Qusta popità dic ch la sua tasfomata di Foui è Z f S(f ( ) ) f RASLAZIOE I FREQUEZA Sia smp s() u gico sgal discto ad gia fiita co tasfomata di Foui S(f). Qusta popità affma ch la fuzio Z( f ) S(f f ) è la tasfomata di Foui dl sgal z s ( ) ( ) f

11 asfomata di Foui discta RORIEÀ DI IVERSIOE DELL ASSE Dati smp s() gico sgal discto ad gia fiita la sua tasfomata di Foui S(f), qusta popità affma ch la tasfomata dl sgal z( ) s( ), cioè di s() ibaltato isptto all ass dll odiat, è smplicmt Z( f ) S( f ) ossia S(f) ibaltata ach ssa isptto all ass dll odiat. I patica, quidi, ad u ibaltamto l domiio dl tmpo coispod u ibaltamto l domiio dlla fquza. COVOLUZIOE EL EMO Cosidiamo du sgali discti x() y(), tambi ad gia fiita quidi dotati dll ispttiv tasfomat di Foui X(f) Y(f). Alloa, qusta popità dic ch la tasfomata di Foui dl sgal z( ) x( ) * y( ) è smplicmt data da Z( f ) X( f ) Y( f ) Quidi, i modo dl tutto aalogo al caso cotiuo, ad ua covoluzio l domiio dl tmpo coispod u podotto l domiio dlla fquza. Esmpio Cosidiamo i sguti du sgali: x ( ) -,,+ altimti x ( ) -,,+ altimti Si tatta di du sgali vidtmt uguali, ch pstao solo 3 valoi o ulli. Vogliamo il podotto di covoluzio di qusti sgali, ossia il sgal x( ) x ( t) * x ( t) ott x() abbiamo du modi di pocd: il pimo è qullo di applica la dfiizio di podotto di covoluzio p sgali discti; il scodo è qullo di utilizza la tasfomata di Foui, i paticola, la popità di covoluzio l tmpo, i modo da lavoa l domiio dlla fquza p poi passa al domiio dl tmpo. Vdiamo tambi i mtodi, a pati dal pimo. La dfiizio di podotto di covoluzio ta du sgali discti è la sgut: x( ) x ( ) x ( )

12 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 Vdiamo cosa ci dà qusta fomula l osto caso: la pima cosidazio ch possiamo fa è ch gli uici valoi di p i quali abbiamo di valoi o ulli soo -,,+, i quato, p tutti gli alti valoi, x (). ossiamo pciò smplifica la fomula sciv ch x( ) x ( ) x ( + ) + x ( ) x ( ) + x ( + ) x ( ) utti t i valoi di x () ch qui compaioo valgoo, p cui possiamo acoa sciv x( ) x ( + ) + x ( ) + x ( ) A qusto puto, tutto dipd da qual valo pdiamo p : ifatti, gli uici valoi di x () o ulli soo qulli p -,,+. Si ota alloa ch x( ) x ( ) + x ( ) + x ( ) 3 x( + ) x ( + ) + x ( ) + x ( ) x( ) x ( ) + x ( ) + x ( ) x( + ) x ( + 3) + x ( + ) + x ( + ) x( ) x ( ) + x ( ) + x ( 3) x( + 3) x ( + 4) + x ( + 3) + x ( + ) x( 3) x ( ) + x ( 3) + x ( 4) x( ) < - > + Si ota, duqu, com sia piuttosto scomodo lavoa co la dfiizio, ossia l domiio dl tmpo. Vdiamo com cambiao l cos l domiio dlla fquza: itato, i bas alla popità di covoluzio l tmpo, la tasfomata di Foui dl sgal x() ch adiamo ccado è X( f ) X ( f ) X ( f ) Calcoliamoci alloa l tasfomat di du sgali di patza: la pima ossvazio ch possiamo fa è ch, ssdo uguali x () x (), saao uguali ach l ispttiv tasfomat, p cui ci basta calcola ua sola; i scodo luogo, è vidt ch tali sgali soo tambi ali pai, p cui possiamo usa la fomula Abbiamo pciò ch ( ) S(f ) s( ) + s( ) cos f + X( f) x ( ) + x ( )cos ( f) x( ) + x ( + )cos( + f) + ( ) ( ) x ( ) + x ( + )cos + f + cos + f Quidi ( ) ( ) X ( f) + cos + f X ( f) + cos + f

13 asfomata di Foui discta Il loo podotto è duqu ( ( )) 4 ( ) 4 ( ) X( f ) + cos f + cos f + cos + f Dovdo atitasfoma, è cosigliabil mtt X(f) i ua foma p oi più comoda: i pimo luogo, possiamo sfutta la fomula tigoomtica quidi cos α + cos( α) X( f ) cos f cos f cos f cos f ( 4 ) 4 ( ) ( 4 ) 4 ( ) Adsso, spimdo i du Cosi mdiat l fomul di Eulo, abbiamo ch X(f ) f + 4f 4f f f + + 4f f f osta comodità, poiamo, p cui l spssio coclusiva di X(f) divta X(f ) 3 + 4f + 4f + f + f A qusto puto dovmmo atitasfoma qusta spssio: tuttavia, aziché applica la fomula gal + F/ f x( ) X( f ) df F/ possiamo sgui ua stada più comoda. Ifatti, i bas alla dfiizio di tasfomata di Foui, dv ss Azi, avdo dtto ch, abbiamo X( f ) xs( ) f X( f ) x( ) f Sviluppiamo pazialmt qusta sommatoia: 4f f f f X( f ).. + x( ) + x( ) + x( ) + x( + ) 4 + x( + ) +... Cofotado qusta spssio co qulla ottuta pima, ossia X(f ) 3 + 4f + 4f + f + f 3

14 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 si dduc ch x() è il sgut: x( ) 3 x( + ) x( ) x( + ) x( ) x( ), ±, ± Ovviamt, qusto è lo stsso isultato ottuto pima lavoado l domiio dl tmpo. COVOLUZIOE I FREQUEZA Dati smp x() y() l ispttiv tasfomat di Foui X(f) Y(f), qusta popità dic ch la tasfomata dl sgal z( ) x( ) y( ) è smplicmt data da Z( f ) X( f ) * Y( f ) Quidi, acoa ua volta i modo dl tutto aalogo al caso cotiuo, ad ua covoluzio l domiio dlla fquza coispod u podotto l domiio dlla tmpo. DERIVAZIOE I FREQUEZA Cosidiamo il gico sgal s() discto ad gia fiita la sua tasfomata di Foui S(f). Cosidiamo poi il uovo sgal z( ) ( ) s( ). Qusta popità dic ch la sua tasfomata di Foui è ds(f ) Z( f ) df Dimostiamo qusto isultato applicado acoa ua volta la dfiizio: i pimo luogo, abbiamo ch Z f z f ( ) ( ) ( ) s( ) f Moltiplicado dividdo p - /, ottiamo f f Z( f ) ( ) s( ) ( ) s( ) f d f [ ( ) ] [ s( ) ] d df s df 4

15 asfomata di Foui discta Scambiado la divata co la sommatoia, abbiamo d f Z( f ) s( ) df ds(f df ) ESEMIO Suppoiamo di av a disposizio la sgut fuzio S(f): S(f) -F/ -f +f +F/ f Suppodo di sap ch qusto è lo sptto dl sgal discto s(), vogliamo l spssio di s(). Il poblma è di immdiata isoluzio, i quato è sufficit applica la fomula di atitasfomazio di Foui p i sgali discti: + F/ f f [ ] f f [ ] [ ] f f s S(f df df D df + f ( ) ) f F/ + f f si( f ) f sic( f ) + f f Quidi, il osto sgal s() è s( ) f sic( f ) Applicazio al campioamto Facciamo u apido ipilogo di coctti sul campioamto. Campioa u sgal tmpocotiuo s(t) sigifica dtmia i valoi s() ch il sgal i qustio assum i istati di tmpo t multipli di ua quatità fissa. L utilità dl campioamto sta lla possibilità, sotto oppotu ipotsi, di icostui co sattzza il sgal s(t) a pati dai suoi campioi s(). A livllo toico sotto l ipotsi ch la doo possibil, la icostuzio si ffttua l modo sgut: si cosida itato il cosiddtto sgal campioato, ossia s ( t) s( ) δ( t ) C 5

16 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 ch è vidtmt u sgal tmpo-cotiuo; s calcola quidi la tasfomata di Foui, ch isulta ss SC ( f ) S f Qusta tasfomata isulta composta da ua succssio di ifiit plich, a mo dl fatto /, dllo sptto S(f) dl sgal s(t). Alloa, si isola, da ssa, la compot simmtica isptto all ass dlla odiat, ossia f S ( f ) SC ( f ) ct f C dov f C / è la fquza di campioamto d è stata psa i qusto caso pai al doppio dlla bada dl sgal s(t) (ossia, l osto caso, f c f ). Ifi atitasfomado S (f), si otti il sgal s(t) icostuito scodo la fomula ( ) s ( t) s( ) sic f ( t ) E subito ovvio, quidi, ch, s soo oti i campioi s() dl sgal s(t), è possibil ffttua la icostuzio di qust ultimo smplicmt applicado l ultima fomula scitta. Vicvsa, quado abbiamo dll ifomazioi cica il osto sgal s(t), ma O abbiamo i suoi campioi, la icostuzio satta di s(t) è possibil solo a patto di coosc dll oppotu ifomazioi cica s(t). Quali possoo ss qust ifomazioi? Vogliamo mosta ch ua di qust ifomazioi può ss lo sptto dl sgal s(), ossia la tasfomata discta di Foui dl sgal costituito dai campioi di s(t). Cosidiamo pciò ua fuzio S C (f) il cui adamto i fuzio di f è lo stsso di qullo samiato ll ultimo scizio isolto: S(f) C -F/ -f +f +F/ f Du caattistich di S C (f) ch si otao subito soo l sguti: la pima è ch si tatta di uo sptto piodico di piodo pai ad F; la scoda è ch ciascua compot dllo sptto (cioè ciascua plica dllo sptto dl osto sgal s(t)) è a bada limitata ( pai a f ). 6

17 asfomata di Foui discta Qust du caattistich fao sì ch S C (f) possa ss itptato ( quidi utilizzato) com lo sptto dl sgal campioato dl osto s(t), ossia com lo sptto dl sgal s ( t) s( ) δ( t ) C p cui, isolado la plica ctal atitasfomadola, possiamo ott il sgal s(t). Quidi, ua possibil ifomazio ch ci cost di ffttua la icostuzio complta di s(t) è lo sptto dl suo sgal campioato. U alta possibilità potbb ss ivc qulla p cui S C (f), aziché ss lo sptto dl sgal campioato s C (t) (ch è u sgal cotiuo, p cui la tasfomata è fatta l caso cotiuo), è lo sptto dl sgal s(), ch costituisc ua ottima appossimazio di s C (t), i quato assum, p ciascu valo di, lo stsso valo ch ivi assum s C (t). Alloa, i qusto caso, possiamo psa di pocd l modo sgut: atitasfoma S(f), i modo discto, i modo da ott il sgal s(); icaviamo s(t) sostitudo t ll spssio s(). l osto caso, s S(f) ha l adamto pima disgato, abbiamo visto ch la sua atitasfomata discta è s( ) f sic( f ), p cui si dduc ch s() è l isim di campioi dl sgal s( t) f sic( f t) ESEMIO Sia dato il sgut sgal discto: A s( ),,..., L - altimti A L- Si tatta vidtmt di u sgal ad gia fiita, i quato si std p u itvallo limitato (da t a t(l-) ). ossiamo duqu calcolaci la sua tasfomata di Foui: applicado la dfiizio abbiamo itato ch f f S(f ) s( ) A A L L f La sommatoia a scodo mmbo si può icodu a qulla dlla si gomtica a patto di cosida ch qui abbiamo u umo fiito L di tmii, mt la si gomtica ha ifiiti tmii: possiamo alloa sciv ch fl S(f ) A A f f... fl f 7

18 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 ossiamo maipola algbicamt il umato al fi di icoduci alla fuzio So: f L + f L f L S f A A f L ( ) f f.. ( ) A f L si( fl). f Discoso aalogo possiamo fa p il domiato: + fl fl ( ) S(f ) ( )A L f f si( fl) f f... A L f si( fl) si( f) Ossvazio Il sgal s() cosidato i qusto scizio può ss visto com l isim di campioi dl sgut sgal: L t s( t) Act L A L- t Vdiamo quato val la tasfomata (cotiua) di qusto sgal: S(f ) A A f f s(t) (L ) A (L ) [ ] [ ] f f L f ft dt L f L A ft f L f A dt f A f L L f ft A ft [ ] dt [ ] D A f si f L f L f L L f L f ( f (L ) ) A(L ) sic( f (L ) ) Si può ossva com qusta tasfomata sia divsa, fodamtalmt p la macaza di u So, da qulla calcolata pima p il sgal s(). Qusto ci dic ch, al cotaio di quato visto ll applicazio pcdt, o possiamo icostui s(t) a pati da s() icavato p atitasfomazio discta. Qusto diva dal fatto p cui lo sptto di s(t), ossia la fuzio S(f) appa calcolata, o è a bada limitata, il ch, com sappiamo, impdisc di utilizza il campioamto ai fii dlla icostuzio (p i poblmi lgati all aliasig). 8

19 asfomata di Foui discta Sgali discti piodici IRODUZIOE I sgali ch abbiamo fio ad oa tattato soo qulli dtmiati cotiui (piodici a-piodici) qulli dtmiati discti (piodici a-piodici). a qusti, gli UICI ch oi possiamo tatta al calcolato soo qulli discti piodici: vogliamo alloa fa vd pché è possibil qusto com lo si fa. Itato, cosidiamo u gico sgal discto s(): di ch è piodico di piodo sigifica di ch sso soddisfa alla lazio s( ) s( + p ) dov, ovviamt, è ach sso u multiplo ito dlla quatità fissa. ossiamo pciò po piodo, i aalogia co i sgali piodici cotiui, possiamo ach po fquza F / / Vogliamo tova ua appstazio di s() quato più comoda possibil ai fii dlla tattazio mdiat calcolato. I paticola, aivmo a tova ua uova spssio dlla tasfomata di Foui discta, lativa apputo ai sgali discti piodici, la sfuttmo p icava da ssa ua uova più comoda spssio dl sgal s(). asfomata di Foui p sgali discti piodici (DF) DEFIIZIOE aiva all obbittivo ch ci siamo poposti, comiciamo a fa uso di coctti a oi oti cica i sgali piodici cotiui: i paticola, sappiamo ch ogi sgal cotiuo piodico s(t) può ss spsso mdiat il suo sviluppo i si di Foui scodo la fomula gal s( t) s ft I qusta fomula, f / (dov è apputo il piodo dl sgal), mt i cofficiti s, popio i cosguza dlla piodicità di s(t), si possoo valuta i vaio modo: u pimo modo è qullo di utilizza la dfiizio gal, ossia 9

20 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 s / / s(t) f t dt U alto modo cosist ivc llo sfutta i coctti lgati alla tasfomata di Foui p sgali cotiui: idicata co s (t) la stizio di s(t) al piodo idicata poi co S (f) la sua tasfomata, abbiamo ifatti dimostato ch val la lazio s S Usado qusta spssio, lo sviluppo i si di s(t) divta s(t) S ft qusta si può ach sciv lla foma s(t) F S ( F) A qusto puto, s cosidiamo l istat gico t, ottiamo ch il valo assuto da s(t) i qusto istat è s() F S ( F) f t f Iolt, avdo posto F, d ssdo f, è chiao ch f p cui s() FS ( F) odo alloa gicamt c FS ( F), possiamo affma ch il gico sgal discto piodico s() si può spim scodo la fomula s( ) c Oa, oi siamo patiti dicdo ch volvamo tova ua appstazio di s() utilizzabil al calcolato: è vidt ch qusto obbittivo o è stato acoa aggiuto, i quato al scodo mmbo di qusta lazio compa ua sommatoia di IFIII tmii. Qullo ch famo

21 asfomata di Foui discta adsso, alloa, a pati da qusta fomula, è icava ua spssio di s() com somma di u umo FIIO di tmii. Comiciamo a sviluppa qulla sommatoia, soffmadoci i paticola su tmii p positivo: 4 s( ) c + c + c + c c c + c c + + ( + ) ( + ) c + c c ( + ) ( + ) + 3 Cosa si ossva i qusto sviluppo? La pima cosa è ch m m Ifatti m cos( m) + si( m) Quidi, i tmii dllo sviluppo ch si ottgoo p valoi di multipli iti di soo tutti costituiti dal solo cofficit c K : 4 s( ) c + c + c + c c + Iolt si ossva ch Ifatti, si ha ch + c + c c + + ( + ) ( + ) + + c + c c ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Quidi possiamo ultiomt smplifica il osto sviluppo: 3

22 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 4 s( ) c + c + c + c c + + c + c c c + c c Si otao adsso dll itssati simmti llo sviluppo appa scitto: ifatti, sia p i tmii co positivo sia p qulli (o scitti) co gativo, si ota ch i tmii spoziali si iptoo piodicamt ogi tmii. ossiamo alloa accogli a fatto comu tutti i tmii ch cotgoo lo stsso fatto spozial: ( ) s( ) c + c + c + c (...) + c + c + c ( c3 c+ 3 c+ 3 ) ( c c c c...) Icluddo ach i tmii p positivi, possiamo sciv ch s( ) cm cm cm... cm ( ) m m m m Abbiamo duqu ottuto di pot spim s() com somma di u umo FIIO di tmii, ach s, i ciascuo di qusti tmii, compa u cofficit ch è pai alla somma di ifiiti alti tmii. Il gico di qusti tmii, i bas a quato appa icavato, è d co d c m m + I dfiitiva, quidi, s() è spimibil lla foma s( ) d Alloa, il osto obbittivo (cioè qullo di tatta s() mdiat u calcolato) saà aggiuto s iuscimo a tova ua spssio altativa di cofficiti d.

23 asfomata di Foui discta 3 Effttivamt, qusta appstazio sist: ifatti, patdo dalla spssio di s(), moltiplichiamo ambo i mmbi p il tmi co gico umo ito. Ottiamo d s() qusta si può sciv ach lla foma d s() Adsso sommiamo ambo i mmbi p ch va da ad -: d s() Al scodo mmbo possiamo scambia l du sommatoi pota poi fuoi d dalla sommatoia ita: così facdo, ottiamo d s() A qusto puto, cchiamo di vd quato val la sommatoia ita l scodo mmbo, ossia E vidt ch, s - è u multiplo di, i tmii spoziali valgoo tutti, p cui qulla sommatoia val : possiamo duqu sciv ch - m? altimti sta da vd ch cosa succd quado - o è multiplo di. Facciamo vd ch qulla sommatoia val i qul caso. Sfuttado la si gomtica l su popità, possiamo sciv ch ) (

24 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 Il umato è vidtmt ullo, i quato l spot è u multiplo ito dlla quatità. Il domiato, ivc, è ctamt o ullo: ifatti, l uica possibilità pché sia ullo è ch - sia u multiplo di qusto lo stiamo scluddo p ipotsi. Quidi, qulla fazio è ulla, ossia è ulla la sommatoia, quado - o è u multiplo di, ossia - m altimti La lazio gal i cui compaiva qusta sommatoia a s() d La vaiabilità dl tmi - dipd solo dall vaiabilità di, mt si itd fissato da oi. Oa, abbiamo tovato ch gli uici valoi di p cui la sommatoia ita è divsa da zo soo qulli tali ch il tmi - sia u multiplo ito di ; tuttavia, dato ch vaia ta d -, l uico multiplo di ch si isc ad ott co - è p -, ossia p. Quidi, possiamo sciv ch da cui quidi si icava ch s() d d s( ),,..., - Dato ch abbiamo ua sommatoia di u umo FIIO di tmii, abbiamo aggiuto il osto fatidico obbittivo: abbiamo cioè tovato ch, dato u gico sgal s() discto piodico, di piodo, sso è spimibil mdiat la fomula s( ) d dov i cofficiti soo d s( ),,..., - L du somm i qustio soo tamb implmtabili al calcolato. Si dfiisc alloa tasfomata di Foui p sgali discti piodici (abbviato D.F..) il sgal discto S(F) ch soddisfa all sguti lazioi: 4

25 asfomata di Foui discta s( ) F S( F) S( F) s( ),,..., -,,..., - Esmpio Suppoiamo ch il osto sgal discto piodico s() sia il sgut: s() Si tatta vidtmt di u sgal piodico di piodo 8: tato p visualizzalo mglio, la sua stizio al piodo è s R () Voldo tova ua appstazio aalitica, è la sgut: s( ) 3 m + m + m 6 + m 7 + m 3+ m 4 + m 5+ m La sua tasfomata di Foui, i bas alla dfiizio, è la sgut: 5

26 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 S 3 ( F) s( ) s( ),,...,7 Sviluppado la sommatoia, ottiamo 7 7 S 3 ( F) s( ) + s( ) + 4 s( ) s( 3) s( 7),,...,7 7 quidi, p ott l spssio complta di S(F), basta sostitui i valoi di s(). I modo dl tutto aalogo, s foss ota S(F) oi volssimo tova s(), ci bastbb applica la fomula di atitasfomazio, ossia 7 s F S F 3 ( ) 7 ( ),,...,7 atualmt, a vol ss pcisi, dobbiamo po u pdic R al sgal s() ch icaviamo da qust ultima fomula, i quato vgoo foiti solo i valoi lativi all itvallo [,7]. Esmpio Sia dato adsso il sgal s R (t) ch è la stizio all itvallo [,] dl sgal s() discto piodico: s R () La appstazio aalitica di qusto sgal è la sgut: - s ( R ) - < altimti 6

27 asfomata di Foui discta 7 Vogliamo la tasfomata di Foui di s(), ch è u sgal discto piodico di piodo. Applicado smplicmt la dfiizio, abbiamo ch /,,...,- s() s() s() S(F) Co ultioi maipolazioi algbich, è possibil tova ua ultio appstazio dlla fuzio S(F): ifatti, iaagiado il pimo mmbo applicado poi l fomul di Eulo al pimo mmbo, si ha ch,,...,- si () S(F) 3 Facdo adsso u discoso aalogo p il domiato, ottiamo S F) si si si si si ( ( ) ( ),,...,- 3 si Quidi, la tasfomata di Foui dl osto sgal s() è la sgut: S F) si si (,,...,- 3 RORIEÀ L popità di cui god la tasfomata di Foui p sgali discti piodici soo l stss dlla tasfomata di Foui p sgali discti gici, p cui lchiamo vlocmt l picipali. ima, pò, di passa i assga tali popità, ossviamo ua cosa impotat: quado abbiamo itodotto la tasfomata di Foui di u gico sgal discto s(), ossia la fuzio

28 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 S(f ) s() f abbiamo visto ch si tatta di ua fuzio cotiua (piodica) dlla vaiabil f abbiamo ach dtto ch ssa sist ctamt quado s() è u sgal ad gia fiita. Co la DF (tasfomata di Foui p sgali discti piodici) l cos cambiao, p du motivi fodamtali, olt, ovviamt, ch p il fatto ch ssa è lativa SOLO a sgali piodici: i pimo luogo, la DF è ua fuzio discta; i scodo luogo, è vidt ch i sgali piodici (siao ssi discti o cotiui) o soo cto di sgali ad gia fiita. Liaità Cosidiamo du sgali discti piodici x() y() idichiamo co X(F) Y(F) l ispttiv tasfomat. Alloa, qusta popità dic ch la tasfomata di Foui dl sgal z( ) ax( ) + by( ) è smplicmt data da Z( F) ax( F) + by( F) aslazio l tmpo Cosidiamo il gico sgal s() discto piodico la sua tasfomata di Foui S(F); cosidiamo iolt il uovo sgal z( ) s( ) Qusta popità dic ch la sua tasfomata di Foui è Z F S F f ( ) ( ) aslazio i fquza Sia smp s() u gico sgal discto piodico co tasfomata di Foui S(F). Qusta popità affma ch la fuzio è la tasfomata di Foui dl sgal Z( F) S( F F) z s ( ) ( ) 8

29 asfomata di Foui discta Covoluzio l tmpo Cosidiamo du sgali discti x() y(), tambi piodici siao X(F) Y(F) l ispttiv tasfomat. Alloa, qusta popità dic ch la tasfomata di Foui dl sgal z( ) x( ) * y( ) è smplicmt data da Z( F) X( F) Y( F) Covoluzio i fquza Dati smp x() y() l ispttiv tasfomat di Foui X(F) Y(F), qusta popità dic ch la tasfomata dl sgal z( ) x( ) y( ) è smplicmt data da Z( F) X( F) * Y( F) otza Sia smp s() u gico sgal discto piodico co tasfomata di Foui S(F). oi sappiamo ch la potza di u sgal discto piodico è dfiita dalla lazio X x( ) Vogliamo fa vd ch qusta è la stssa potza ch isulta associata alla tasfomata di s(), ossia vogliamo fa vd ch sussist la lazio F X( F) X dov icodiamo ch F/. La dimostazio è smplic: itato, applicado la dfiizio di potza, abbiamo ch X x( ) x( ) ( x( ) ) * Sostitudo alla x() sotto l opato di complsso coiugato, la sua spssio com atitasfomata di S(F), abbiamo X * * * F F x( ) F S( F) x( ) S( F) ( ) ( ) ( ) x ( S F ) 9

30 Apputi di oia di Sgali - Capitolo 7 Scambiado adsso l du sommatoi, ottgo X F F x ( S F ) ( S F ) * * ( ) ( ) ( ) x( ) F F ( S F ) * * ( ) x( ) ( S( F) ) S( F) F S( F) Auto: SADRO ERIZZELLI -mail: sady@iol.it sito psoal: succusal: 3