ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA

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1 scizio 6 ( Atomo di Boh ) SRCIZI DI MCCANICA QUANTISTICA B.Buoaua : ISIS ALBRTINI NOLA (NA) & GSF-AIF - Lo sptto dll atomo di H mosta solo igh di lughzz d oda b dtmiat. Lo sptto di missio (o, quivaltmt, di assobimto) dll atomo di H è, ifatti, uo sptto di igh. P l atomo di H, ifatti (com è mostato dalla figua), l visibil vi soo solo 3 igh: ossa, blu, violtta. Tuttavia la si posgu ll UV (ultavioltto) vicio. Balm (885) Rydbg (890) avvao tovato ua fomula smplicissima p ipodu accuatamt la lughzza d oda dll H l visibil: co R H = cm - dtta costat di Rydbg. R 3, H I ai succssivi vo scopt alt si dll idogo: a) si di Lyma (906) ll UV: b) si di Pasch (908) ll IR: R, H R 4, H 3 Nils Boh fu il pimo ch iuscì ( 90) a fomula u modllo dll atomo di H adguato ch spigass l si dll igh di missio ( o assobimto). Il suo modllo è basto su 4 postulati: ) sistoo obit di quilibio stabil ( obit stazioai ) pcodo l quali l ltto o iadia oostat sia cotiuamt acclato. ) L lggi cui obbdisc l ltto, su ua qualsiasi obita stazioaia, soo qull dlla fisica classica iclusa l attazio coulombiaa. 3) possibil limitasi ad obit cicolai. Qull stazioai soo caattizzat da u momto agola ppdicola al piao (x,y) dll obita: L zˆ Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazio p l Isgamto dlla Fisica.

2 co h J s. 4) U ltto può salta spotaamt da u obita stazioa all alta di gia ifio. Quado ciò accad vi mssa adiazio di fquza: h ' v ' dov d soo l gi totali dll obit stazioai d. Mosta ch, utilizzado i pcdti 4 postulati, si otti: m Z 4 3 4c ' aggio dll'-sima obita stazioaia 4 m Z fquza agola sull'-sima obita stazioaia m Z gia total dll'-sima obita stazioaia m Z Fomula di Rydbg ' co Z caica positiva dl uclo ( p l idogo Z =); valo assoluto dlla caica dll ltto; m massa dll ltto. L fomul soo dat l sistma CGS Risoluzio La foza coulombiaa (attattiva) ch agisc sull ltto da pat dl uclo è data da: Z Z F U ˆ dov il vso è ditto dal uclo vso l ltto. ssa è ua foza ctal, p cui si cosva il momto agola dll ltto, compotado ch la sua obita sia piaa. util quidi usa l coodiat polai, p idividua la gica posizio dll ltto sull obita: P la vlocità si ha subito: cosˆ siˆ t x y ˆ v t cos si x si cos yˆ L gia citica T dll ltto è:

3 Ptato la lagagiaa L dll ltto è: T m v m Z L T U m Ua pogativa dll quazioi di Lagag è qulla di val i ogi sistma di coodiat. quidi ach l sistma dll coodiat polai: S l obit soo cicolai: d L L 0 Z dt m m 0 d L L 0 m cost ˆ at L p m z cos ta t dt 0 cos tat cos tat cos tat Z m m Z 3 La scoda uguagliaza o è alto ch la 3 A lgg di Kplo applicata al moto di u ltto itoo al uclo. Ciò è dovuto al fatto ch la foza coulombiaa, i qusto caso, è attattiva d è ua foza ctal com la foza di gavità. L ipotsi 3), ovvo la quatizzazio dl momto agola dll ltto, compota: m ptato la pcdt quazio qusta mss a sistma: foiscoo: m Z 3 m m Z m Z Ptato l modllo Boh l obit stazioai hao aggio popozioal a la vlocità agola ivsamt popozioal a 3. L obita stazioaia più vicia al uclo ha aggio: 3 m Z

4 Ptato il diamto dll atomo di H è = cm, i accodo co i isultati spimtali. L gia citica dll ltto sull obita stazioaia è: Z v T m m U dov U è l gia potzial lttica dll ltto sull obita stazioaia: U Z Ptato l gia total dll ltto sull obita stazioaia è: m Z 4 Z T U L gia aumta (pché divi mo gativa) all aumta di. Maggio è la distaza dal uclo più gad è l gia dll obita stazioaia. S 0. Il postulato 4) ammtt ch l ltto o mtt su u obita stazioaia, ma possa impovvisamt salta su u alta obita di gia mio mttdo la diffza di gia sotto foma di adiazio lttomagtica di fquza h mssa saà data da: quidi:. Ptato s cosidiamo obit co umi quatici d (co > ), la fquza 4 m Z ' ' 3 h 4 ' m Z 4 ' 3 c 4 c ' ' Qusta è la fomula di Rydbg,, isdo i dati umici dll costati fodamtali si tova ach la costat di Rydbg: Commti: R m Z c 4 cm. H a) Tutt l si dll H si possoo giustifica a pati dallo schma di livlli gtici dll atomo. b) Piccol diffz ta i valoi calcolati misuati di divao dal fatto ch la massa dl uclo o è ifiita l ltto uota attoo al cto di massa dl sistma. Tuttavia si può di ch l ltto uota attoo al uclo s si utilizza la massa idotta: mm m M uc uc 4

5 c) Il modllo Boh è uo stao miscuglio di fisica classica di ipotsi uov ch gao, p alti vsi, la validità di alcui cotuti dlla fisica classica. Il postulato è il postulato cosvato. Qulli ivoluzioai soo ), 3), 4). d) Ua vifica spimtal dll sistza di livlli gtici discti fu foita da Fack d Htz l 94, vifica ch dimostò la validità dll ipotsi di Boh. ) Misu spttoscopich stmamt pcis, /0 4, mostaoo ch qull ch smbavao igh uich, i altà ao compost da igh viciissim. P spigal, Sommfld l 96 ammis (com l caso di satlliti spaziali) obit llittich stazioai tutt co la stssa gia puché l llissi abbiao los stsso ass maggio. Bv Bibliogafia: F. Slli: Disps di ISTITUZIONI DI FISICA TORICA, Uivsità di Bai, Laua i Fisica, a.a. 00/00 5

6 scizio 7 ( Atomo di Boh ) SRCIZI DI MCCANICA QUANTISTICA B.Buoaua : ISIS ALBRTINI NOLA (NA) & GSF-AIF - Stima la vlocità dll ltto llo stato fodamtal ( = ) p l atomo di H; suppodo ch l obita sia cicola di aggio. Cofota, poi, la vlocità ottuta co la vlocità dlla luc l vuoto. Risoluzio Sappiamo (scizio 6) ch il aggio dll obita fodamtal è: m Z l Sistma Itazioal di misua, isdo i dati oti p l costati fodamtali h, m,, è dato da: m m Z co Z = 4 0 =, F. m -. La vlocità dll ltto ll obita fodamtal è data (smp l SI): v 4 Il valo dlla vlocità dlla luc è c = m/s, ptato il appoto è: m/s v c Quidi il fatto lativistico : v c Ptato v c lativistico può cosidasi cot.. Quidi è u fftto dl odi, ptato il modllo Boh o Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazio p l Isgamto dlla Fisica. 6

7 SRCIZI DI MCCANICA QUANTISTICA B.Buoaua : ISIS ALBRTINI NOLA (NA) & GSF-AIF scizio 8 ( Atomo di Boh ) Calcola l gia di lgam dll atomo di H la fquza ch u foto dv av p ioizza l atomo di H llo stato fodamtal (=). Risoluzio a) L gia di lgam è il lavoo ch bisoga compi p scompo u sistma fisico ll su pati costituti. I paticola è il lavoo ch occo compi ( cioè foi gia) p spaa l ltto dal poto (uclo). I patica l gia di lgam è, i valo assoluto, ugual all gia mccaica total dll ltto llo stato fodamtal (=), l campo coulombiao dl poto. L gia total llo stato fodamtal (scizio 6) spssa l S.I. è data da: co Z =; = ; v = J. m 4 (4 ) J 3.6v N sgu ch l gia di lgam è: B = + 3.6v. Qusto valo si accoda molto b co l gia ossvata spimtalmt. b) P il calcolo dlla fquza basta utilizza la lazio di isti p l gia di u foto = h d guagliala ad B, ottdo: 8 B.7 0 J h.05 0 J s fquza ch capita lla gio UV dllo sptto lttomagtico. 6 Hz 7

8 scizio 9 ( Atomo di Boh ) SRCIZI DI MCCANICA QUANTISTICA B.Buoaua : ISIS ALBRTINI NOLA (NA) & GSF-AIF a) U gas è composto da atomi di H, soo ossvat, l suo sptto di assobimto, l igh dlla si di Balm. Si stimi la tmpatua dl gas. b) L idogo odiaio, H, coti cica /000 di dutio, D, dtto ach idogo psat. Qusto è idogo il cui uclo coti u poto d u uto. Com la doppia massa ucla ifluza lo sptto atomico? Risoluzio a) P stima la tmpatua applichiamo distibuzio di Boltzma : kt B ( ) A () è il umo di paticll, costituti u sistma, ch all quilibio tmodiamico a tmpatua assoluta T, possid gia. A è ua costat moltiplicativa ch dipd dal umo total dll paticll ch costituiscoo il sistma; k B = J/ K costat di Boltzma. La distibuzio di Boltzma si applica solo a paticll ad ua tmpatua abbastaza lvata dsità sufficitmt bassa affiché gli fftti quatistici possao ss igoati. Com già dtto (scizio 6), p av l igh dlla si di Balm (i assobimto o i missio) bisoga ch ua pctual o tascuabil di atomi di H abbia l ltto sul livllo =. Ptato dtto ( ) il umo di atomi di H ch hao l ltto llo stato fodamtal ( = ): B ( ) A kt d ( ) il umo di atomi di H ch hao l ltto llo stato ccitato = : B ( ) A kt isulta il appoto: Ricodado ch : si otti: kt B ( ) kt B kt B m m 3.39V V;

9 5.80 K ( ) T Da qusto isultato si vd subito ch s vogliamo ( )/( ) = / = 0,368 dobbiamo av tmpatu T 0 5 K. L igh di Balm soo almt ossvat l gas H di alcu atmosf stllai. Ciò pmtt di stima la tmpatua supficial di qull stll. b) P il caso dl dutio, D, bisoga itodu la massa idotta: m m m p m m m p sostituila, ll quazioi dll scizio 6, al posto dlla massa dll ltto, cioè: ottdo: m Z Z 3 3 p cui la costat di Rydbg divi: 4 ; 4 Z 4 ' Z 3 c 4 c ' ' R H R m H Oa, l caso dl D: m m p.0007 m m m m m p m m 836 pché m p m 836 m. Ptato: p R R.0007R 09707cm H H H m quidi R D > R H l igh spttali dl dutio soo spostat vso lughzz d oda più cot di qull dll H. Bv Bibliogafia: - R. isbg- R. Rsick : Quatum Physics Joh Wily & Sos 974 9

10 SRCIZI DI MCCANICA QUANTISTICA scizio 0 ( Atomo di Boh ) B.Buoaua : ISIS ALBRTINI NOLA (NA) & GSF-AIF L lttomagtismo classico pdic ch ua caica lttica i otazio su di u obita cicola co fquza agola mtta adiazio lttomagtica dlla stssa fquza. Mosta ch la fquza dl foto msso da u ltto dll atomo di H, scodo il modllo Boh, ch salta da u livllo gtico + al livllo, è, p molto gad, appossimativamt ugual alla fquza dl moto cicola classico coispodt a qull gia. Risoluzio La fquza dl foto msso (scizio 5) è: cioè, sviluppado la patsi p molto gad: D alta pat la fquza agola dll ltto è: cioè: m Z h 4 ( ) 4, 3 m Z m Z 4 ( ) 4 4, m Z m Z 4 3 3, La coicidza co la fisica classica cosist ll idtità ( l limit di gadi ) dll igh mss da u oscillato caico amoico classico da u ga umo di atomi di H. Rsta la diffza comuqu, pché u atomo ch si disccita mtt u solo foto ( cotibuisc ad ua sola iga ), mt l oscillato mtt cotmpoaamt su tutt l igh, cioè poduc la fquza fodamtal l amoich supioi. Nl limit di gadi il modllo di Boh vi a coicid co la dscizio classica. U gato di od adio, p smpio, mtt od lttomagtich. avti la stssa fquza dl movimto piodico dgli lttoi ll ata, ma mtt ach smp u po di amoich supioi, pché è impossibil d pfttamt amoico il movimto dgli lttoi. Qusta coicidza è la foma più smplic più ota di coispodza fa toia quatistica fisica classica. Si dic ch il modllo di Boh soddisfa il picipio di coispodza. Bv Bibliogafia: F. Slli: Disps di ISTITUZIONI DI FISICA TORICA, Uivsità di Bai, Laua i Fisica, a.a. 00/00 0