L energia potenziale della forza elettrostatica

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1 L ngia ptnzial dlla fza lttstatica L ngia ptnzial dlla fza di Culmb Cnsidiam una caica di pva q ch si spsta dal punt inizial A al punt final B stt l azin dlla fza di Culmb F, scitata dalla sgnt q. Il lav L AB cmpiut da F k q q k q q è dat da LAB =. A B D altnd, p dfinizin di ngia ptnzial, L AB = U A U B ; quindi k q q k q q q q = UA UB. N sgu ch U = k + C. A B Il val dlla cstant abitaia C si fissa assgnand l z dll ngia ptnzial. La sclta più cnsuta è p pai a z l ngia ptnzial dlla caica di pva q, quand qusta si tva a distanza infinita dalla sgnt q. L ngia ptnzial dlla caica di pva q, psta a distanza dalla sgnt q, val alla: U = q q k L ngia ptnzial si annulla p Il sgn di U è psitiv s q q > 0 (fza pulsiva); è ngativ s q q < 0 (fza attattiva). A paità di q q, U è invsamnt ppzinal a. Attnzin a nn fa cnfusin cn l invsa ppzinalità a dlla fza di Culmb! Nl gafic in alt è iptat l andamnt dlla funzin U() p il cas q = q = 1µC. Nl gafic in bass è iptat il cas q = 1µC ; q = -1µC. La funzin U è stata calclata ni punti dll ass x, ni quali = x.

2 L atm di Bh Bh pps un mdll smiclassic p l atm di Idgn, dl qual ipndiam in fma smplificata alcun cnsidazini valid p l stat di minima ngia (stat fndamntal). L lttn ch bita nll atm di Idgn a distanza dal nucl ha ngia ptnzial U = k Pnnd U 19 = k = J, dv a = m a U a è il aggi di Bh, si tva =. Il gafic di U/U in U funzin di /a è mstat a fianc. L lttn si muv in una buca di ptnzial in gim di cnsvazin dll ngia mccanica. Cm si vd dal gafic, il livll di ngia mccanica è ttnut smmand l ngia cintica K (psitiva) all ngia ptnzial U (ngativa). P dtmina l ngia cintica 1 K = m v, cn m massa dll lttn, Bh iptizzò ch la taittia dll lttn nll stat fndamntal (ciè, l stat di ngia mccanica più bassa) fss una cicnfnza di aggi a. In qusta iptsi, la dinamica dll lttn è dscitta dalla II lgg di Nwtn F = m a ch, pittata in dizin cntipta, dà F = m a c. Sstitund l spssin dlla fza di Culmb dll acclazin cntipta, si tva v k = m, da cui m v = k, infin, l ngia cintica a a a L ngia mccanica dll stat fndamntal val alla: 1 m v = k. a E mc 19 = K + U = = ; Emc = 10 J = 13.6 V a a a L unità di misua V (lttnvlt) è usata p misua ngi su scala atmica: 1 V = J

3 Engia di lgam dll lttn nll atm di Idgn Il minim lav L ch dv ss cmpiut p sta un lttn da un atm si chiama ngia di lgam ( di inizzazin). La gin in cui l lttn può muvsi è dlimitata dalla cndizin ch l ngia cintica K sia psitiva; quindi dv ss: K = E mc U > 0 ; E mc > U Nl gafic, qusta cndizin è sddisfatta nlla gin pmssa macata in giall (in cui l lttn è cnfinat), mnt nn è sddisfatta nlla gin pibita macata in ss tattggiat (alla qual l lttn nn può accd). La minima ngia mccanica p cui la gin pmssa si stnda a tutt l spazi (lttn lib) è E B = 0. Il tma dll ngia mccanica, applicat al pcss di inizzazin dll stat A, si sciv alla: L = E B - E A = -E A P l lttn nll stat fndamntal dll atm di Idgn, L = 13.6 V. S il lav cmpiut sull lttn è min di 13.6 V, l lttn sta in un stat lgat; qust accad quand l lttn passa dall stat fndamntal a un stat ccitat (p smpi, L = 10. V nl passaggi dall stat 1s all stat p; p il significat di simbli 1s, p, si vda un manual di chimica lmnta). S il lav cmpiut sull lttn è maggi di 13.6 V, l ngia ccdnt si tasfma in ngia cintica dll lttn statt. S il lav cmpiut sull lttn è ugual a 13.6 V, l ngia cintica final è nulla. Il lav di stazin può ss cmpiut in vai mdi da una fza stna. P smpi, l atm ptbb ss utat da un lttn la fza stna sabb la fza di Culmb ta lttni; ppu, ptbb ss invstit da un ftn la fza stna sabb la fza lttmagntica. In qust ultim cas, L è pai all ngia hν dl ftn assbit il fnmn pnd il nm di ftmissin.

4 Il pincipi di svappsizin p l ngia ptnzial L ngia ptnzial U dlla caica di pva è la smma dll ngi ptnziali U 1, U dvut all singl sgnti: U = U + U Infatti, la caica di pva si muv stt l azin dlla fza ttal F ch, p il pincipi di svappsizin, è la smma dll fz F1, F... dvut all singl sgnti. Il lav di F è pai alla smma di lavi di F1, F... ; quindi, anch l ngia ptnzial di F saà pai alla smma dll ngi ptnziali di, F... F1 Engia ptnzial dll lttn in un slid Quand un lttn si tva in un slid, l ngia ptnzial U è la smma dll ngia ptnziali U 1, U dvut all caich lttich di tutti gli atmi dl cp. In patica, si svappngn tant buch di ptnzial pst a distanza gla (la distanza ta atmi, qui indicata cl simbl a) si ttin il pfil in figua. I minimi dll ngia ptnzial cispndn ai cnti dgli atmi. Sul bd, la funzin U si pta asintticamnt a z. S l lttn ha ngia mccanica pai a E 1 : si tva in un stat lib può allntanasi dal slid; E : è intapplat nl slid; E 3 : è intapplat in un atm dl slid nn può passa a un alt atm. La mccanica quantistica dimsta pò ch nn tutti i vali di ngia mccanica sn pmssi. P gli lttni cnfinati ni slidi, la scala dll ngi è suddivisa in intvalli di vali pmssi altnati a intvalli vitati. Gli intvalli pmssi sn dtti band, dnminat scnd l schma a fianc. Ciascuna banda può ss immaginata cm svappsizin di mltissimi livlli discti, mlt vicini in ngia. Cm si vd cnfntand i disgni, gli lttni di livlli pfndi sn intapplati ni singli atmi, mnt qulli appatnnti alla banda di valnza alla banda di cnduzin sn d lcalizzati in tutt il slid.

5 P cmpnd cm sian ccupati i vai livlli, dbbiam cnsida il pincipi di sclusin di Pauli: in ciascun stat pssn tvasi al più du lttni, cn spin ppsti. Immaginiam alla di cllca gli lttni nl slid un alla vlta. I pimi ccupann i livlli pfndi. Succssivamnt, vngn impiti i livlli dlla banda di valnza. S stan lttni da cllca, qusti ccupann la banda di cnduzin. Ngli islanti, la banda di valnza è cmpltamnt ccupata la banda di cnduzin è vuta. Ni mtalli, la banda di cnduzin è pazialmnt ccupata. P smpi, nl am gni atm cntibuisc cn 1 lttn in banda di cnduzin. La mccanica quantistica spiga anch pché cndutti islanti abbian divs ppità in lttstatica: gli lttni dlla banda di valnza nn si pssn spsta. Qualitativamnt, qust fftt è spigat anca dal pincipi di Pauli: p spsta un lttn, l si dv cllca in un alt stat lib; ma nn ci sn alti stati libi nlla banda di valnza! Inlt, è impssibil spsta l lttn nlla banda di cnduzin, pché svibb una fza mtic ch cmpia un lav mlt gand. Al cntai, siccm la banda di cnduzin è sl pazialmnt ccupata, è facil tva stati libi pché l lttn si spsti.