Distribuzione di probabilità di di Poisson
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- Livio Mattei
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1 Disribuzio di probabilià di di oisso Diizio i i La disribuzio di oisso dscriv procssi casuali rari co mdia diia. Si cosidri u vo casual ch si rip u cro umro di vol, o issao a priori, co ua rquza assolua mdia cosa i u dao irvallo di mpo o di spazio o alro. Il suo vriicarsi sia idipd dal vriicarsi o mo dll vo prcd, dll vo succssivo dall irvallo. Si crca la probabilià di ossrvar v vi i u cro irvallo di mpo, oo il umro mdio di vi ll irvallo. Dimosrrmo ch al probabilià è daa da: Mara Calvi 9 Lzio, pag.
2 Ricaviamo la disribuzio di probabilià di oisso Lo armo com i di ua disribuzio biomial. Cosidriamo l vo casual E ch si vriica i mdia vol i u dao irvallo. Suddividiamo l irvallo i u umro di soo-irvalli, co suicim i grad prché la rquza co cui si ossrva u vo pr soo-irvallo sia / <<. r grad la rquza d alla probabilià di rovar u vo pr soo-irvallo: p /. Abbiamo allora u vo ch si vriica i ciascu soo-irvallo co probabilià p cosa. I soo-irvalli la probabilià ch l vo si vriichi saam vol è daa da ua disribuzio biomial: B, p p p Calcoliamo il i di B pr, p, co p cosa. Mara Calvi 9 Lzio, pag.
3 Dvo calcolar: ] [ Suddividiamo i pzzi: ] [... Da cui: Mara Calvi 9 Lzio, pag. 3
4 roprià dlla disribuzio di oisso. ormalizzazio Essdo la sri spozial:. Valor mdio di Essdo la sri spozial: ' Mara Calvi 9 Lzio, pag. 4
5 3. Dviazio sadard disprsio aoro il valor mdio σ r dimosrarlo uilizziamo l uguagliaza: σ ' σ σ I u sprimo di coggi, la dviazio sadard è ugual alla radic quadraa dl umro mdio di coggi. Mara Calvi 9 Lzio, pag. 5
6 4. Alcu ossrvazioi - Val la ormula ricorsiva: -S è iro: cioè soo quiprobabili. S ù è < < - S < il valor più probabil è zro: -S > la disribuzio ha u massimo. A dirza dlla biomial i cui < la disribuzio di oisso o ha i suprior; a parià di valor mdio ha dviazio sadard maggior: σ p > p - p Mara Calvi 9 Lzio, pag. 6
7 5. r la disribuzio di oisso è b approssimaa da ua gaussiaa av ssso valor mdio sssa dviazio sadard: x σ x Rlazioi asioich ra l disribuzioi di probabilià: BiomialB,p p pcos oisso X p σ p-p p Gauss G X,σ x X σ Mara Calvi 9 Lzio, pag. 7
8 Disribuzioi di oisso Mara Calvi 9 Lzio, pag. 8
9 Esmpio: la disribuzio di probabilià di ossrvar,,,3, 4...al miuo, quado ci sia aspa ua mdia di.5 al miuo σ : o c è i suprior... Mara Calvi 9 Lzio, pag. 9
10 Dcadimi di lmi radioaivi U lmo radioaivo ha ua probabilià di dcadimo λ pr uià di mpo cosa, sua cararisica. La razio di ucloi ch dcadoo i u irvallo di mpo iiisimo d è proporzioal all irvallo mpo: d λ d S pr si hao ucloi, il loro umro al mpo si ricava da: d ' ' λ d ' l l / λ τ /λ è do via mdia: è il mpo dopo il qual il umro di ucloi si è ridoo di u aor : τ / τ τ / Il umro di ucloi ch dcadoo al mpo è dao da: dc λλ λ l approssimazio val pr mpi piccoli rispo la via mdia << τ /λ λ quado λ. λ λ Mara Calvi 9 Lzio, pag.
11 Allora: il umro mdio di dcadimi asi ll irvallo di mpo è: λ La probabilià ch i ua ossrvazio si misurio dcadimi è daa dalla disribuzio di oisso. Aivià di ua sorg: il umro di dcadimi pr uià di mpo: A l misuraa i Bqurl Bq Bq dcadimo al scodo. I ralà, quado si ua ua misura d smpio co u ubo Gigr i coggi dllo srumo soo dovui alla SOMMA di dcadimi dovui all lmo di irss sorg al odo ambial dcadimi di lmi prsi i muri, raggi cosmici cc.. rao pr ricavar ua sima dll aivià dlla sorg è cssario uar ua misura sparaa dl umro di coggi dovui al SOLO odo ambial, i assza di sorg sorarli: A s A o L icrzza sul valor di A s si ricava dalla propagazio dgli rrori: σ As σ o o A σ o o o o Mara Calvi 9 Lzio, pag.
Distribuzione di probabilità di di Poisson
Diizio Disribuzio di probabilià di di oisso La disribuzio di oisso dscriv procssi casuali rari co dia diia. Si cosidri u vo casual ch si rip u cro uro di vol, o issao a priori, co ua rquza assolua dia
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x ; sin x log 1 x ; 4 0 0,0.
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co : L sm d Co l o d Vl. Ism d Co: Cosdo [ ] sddvdo l sm l cossco C [ /] U [/ ] o d ovo l oo oo C [ /9] U [/9 /] U [/ 7/9] U [8/9 ] Io l ocdmo s h ch: C C C */ C 4*/9 C / L sm d Co: I o d Vl: C C chso
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+ J n. dp dx J n. pε qd p. J p. = J p/drift. + J p/diff. dn dx. nε + qd n. = J n/drift. + J n/diff. J J = 0 J = J p. diff. drift.
/drift /diff qµ ε d /drift /diff qµ ε d all quilibrio: ma / drift / drift / diff / diff 1 V > ε V bi V diff diff dcrsc dcrsc crsc crsc drift drift ivariata ivariata crsc crsc quidi è crsct co V, dirtta
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