Esercitazione 5 del corso di Statistica 2

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1 Esrcitazion 5 dl corso di Statistica 2 Prof. Domnico Vistocco Dott.ssa Paola Costantini 9 Maggio 2008 Esrcizio n Il diamtro in millimtri di bulloni prodotti da un azinda ha una distribuzion normal con mdia 2 scarto quadratico mdio 0,5. Si vuol calcolar ch il diamtro sia comprso tra,8 2, millimtri. Sia X la variabil casual ch dscriv il diamtro di bulloni: X N(2; 0,5 2 ) La probabilità ch X assuma valori nll intrvallo (,8; 2,) è data da:,8 Z 2,),8 2,0 2, 2,0 P Z 0,5 0,5 0,7486 ( 0,9082) 0,6568,33 z 0,67) φ (0,67) φ (,33) φ (0,67) [ φ (,33) ] Oppur φ ( 0,67) φ (0) + φ (,33) φ (0) (0,7486 0,5) + (0,9082 0,5) 0, ,4082 0, 6568 Oppur φ ( 0,67) + φ (,33) 0, ,9082 0, 6568 Esrcizio n 2 Il prcorso in km ch un utilitaria compi con un litro di carburant ha una distribuzion Normal con mdia 25 scarto quadratico mdio 3. Dtrminar la probabilità ch: a) prcorra più di 27 km; b) prcorra mno di 2 km; c) il prcorso sia comprso fra 2 27 km.

2 a) X 27) P Z 3 Z 0,67) φ (0,67) 0,7486 0, 254 b) X 2) 2 25 P Z 3 Z,33) φ (,33) 0,9082 0, 098 c) 2 X + 0, ) P 0, Z ,33 Z 0,67) φ (,33) + φ (0,67) 0,7486 Esrcizio n. 3 X N(0;4). Trovar il valor dlla x tal ch 0<X<x)0,45 µ0 x P0,45 P0,95 X < x) 0,95 Voglio trovar il valor di x tal ch fino ad sso ho cumulato il 95% dlla Probabilità. X µ x µ La nostra X N, ma non è standardizzata, cioè: P < 0, 95 σ σ P ( Z < z) 0,95 z,645 (,64 +,65) / 2 x µ x 0 S z,645,645 x 2 *,645 3, 29 σ 4

3 Esrcizio n. 4 X N(2;). Trovar il valor dlla x tal ch X<x)0,90 µ0 x P0,90 X < x) 0,90 Voglio trovar il valor di x tal ch fino ad sso ho cumulato il 90% dlla Probabilità. X µ x µ La nostra X N, ma non è standardizzata, cioè: P < 0, 90 σ σ P ( Z < z) 0,90 z,285 (,28 +,29) / 2 x µ x 2 S z,285,285 x 2 +,285 3, 285 σ Esrcizio n. 5 X N(0;). Trovar il valor dlla x tal ch -x<x<x)0, 5 Simmtrica risptto lo 0 -x 0 x P0,25 P0,25 La probabilità cumulata fino al valor x X < x) 0,75

4 Voglio trovar il valor di x tal ch fino ad sso ho cumulato il 75% dlla Probabilità. La nostra X N d è standardizzata, pr cui: P ( Z < z) 0,75 z 0,675 (0,67 + 0,68) / 2 z 0,675 0,75) è il 3 Quartil. Esrcizio n 6 Il tmpo impigato da un commsso di un ngozio pr assistr i clinti si distribuisc com una variabil casual sponnzial ngativa. In mdia il commsso impiga 0 minuti pr ogni clint. Si vuol calcolar la probabilità ch, pr assistr un clint, il commsso impighi un tmpo comprso tra 5 5 minuti. Il paramtro λ è dato dal rciproco dlla mdia: λ /0 X Exp(/0) La funzion di riparizion di una variabil casual sponnzial ngativa è data da: F( x) λ x P ( 5 x 5) F(5) F(5) 0,6065 0,223 0,3835 Esrcizio n 7 Un profssor incontra rgolarmnt gli studnti durant l orario di ricvimnto. Il tmpo trascorso con ciascuno studnt si distribuisc com una v.c. sponnzial ngativa con mdia 5 minuti. Dtrminar la probabilità ch: - uno studnt trascorra con il profssor mno di 20 minuti; - uno studnt trascorra con il profssor più di 5 minuti; - uno studnt trascorra con il profssor un tmpo comprso tra 0 5 minuti.

5 X Exp(λ) X Exp 5 a) 5 X 20) 0, b) X 5) 0,2834 0, ,67 c) 0 x 5) F(5) F(0) 0,57 0,3678 0, 439 Esrcizio n 8 Il numro di prlivi prsso uno sportllo bancario ha una distribuzion di Poisson. In mdia ogni ora vi sono 6 prlivi. - qual è la probabilità ch in 0 minuti non vi siano prlivi? - Qual è il tmpo mdio ch intrcorr tra un prlivo d il succssivo? Sia X t tλ ) la v.c. ch dscriv il numro di prlivi ch si vrificano in un intrvallo di lunghzza t, dov λ rapprsnta il numro mdio di prlivi in un intrvallo di lunghzza unitario. Il tmpo T, affinché si vrifichi un vnto, è maggior di t s in un intrvallo di lunghzza t non si vrifica alcun vnto. Di consgunza la probabilità dll vnto T>t è data da: T > t) X t 0) tλ ( tλ 0! ) 0 tλ Di consgunza il tmpo T affinché si vrifichi un prlivo ha una distribuzion sponnzial ngativa con paramtro λ. T Exp(λ ) t 0 λ /0 (avndo 6 prlivi all ora, in un minuto è com s avssimo /0 di prlivo). Quindi la probabilità ch in 0 minuti non vi siano prlivi è ugual a

6 X t 0) 0* tλ 0 0,3679 b) tmpo mdio tra un prlivo d il succssivo E[X] λ 0 0 minuti Esrcizio n 9 Il numro di incidnti automobilistici ch si vrificano su un raccordo xtraurbano ha una distribuzion di Poisson. Il numro mdio di incidnti al ms è,8. a) qual è la probabilità ch passino 2 msi prima ch si vrifichi un incidnt? b) Qual è il tmpo mdio ch intrcorr fra du incidnti? X tλ ); T Exp(λ ) 2*,8 a) - T > 2) 0, 0273 b) E[X] 0, 56 msi λ,8