Calcolo dei Logaritmi

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1 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Clcolo di Logritmi VrioVrcii@iwidit Lo scopo di qust pgi è qullo di dscrivr lcui mtodi pr il clcolo di ritmi I più itrssti, ll ppdic i fodo qust pgi, possoo trovr otii curiosità di vri tur Dfiiioi, stori, proprità Dfiiio Il clcolo di ritmi è, isim co qullo dll rdici, u oprio ivrs dll lvmto pot Si dfiisc ritmo di u umro rl positivo, i u s positiv divrs d, l spot cui isog lvr tl s pr ottr il umro dto Qusto umro sist smpr, d è uico I prtic co, dov si chim s dl ritmo U cos importt d putulir è ch o sistoo i ritmi di umri gtivi dl umro ro U piico di stori Già i u opr di Archimd l liro Arri è prst, i mrio, il coctto di ritmo Archimd si rs coto dll rlio sistt tr u progrssio gomtric, formt dll succssiv pot di u umro turl i rltivi spoti ch soo i progrssio ritmtic Ovvro i vlori cc soo i progrssio gomtric di rgio Qusti vlori soo quivlti cc i vlori dgli spoti cc soo i progrssio ritmtic di rgio Molti i dopo ltri mtmtici, tr cui Luc Pcioli, Nicols Chuqut Michl Stifl riprsro il mdsimo coctto, m fu solo gri Joost Burgi Joh Npir ch il coctto di ritmo si poté sviluppr ppio Loro ro l grd id di ifittir i trmii dll du progrssioi i modo ch, pr ogi umro ll progrssio gomtric, ci foss u umro ll corrispodt progrssio ritmtic Il primo mtmtico pulicr dll tll co clcolti i ritmi dov l s sclt r il umro fu Hr Briggs fu il mtmtico Lord Eulr d itrodurr i ritmi dov l s sclt r il umro irriol Ach ltri mtmtici, tr cui Edmud Gutr, studiroo l proprità suggriroo lcui utilii prtici Proprità fodmtli di ritmi L proprità fodmtli di ritmi soo quttro, vdimol i dttglio Il ritmo di, i u quluqu s, è Cioè il Qusto dipd dl ftto ch ro è l spot cui isog lvr u quluqu umro pr ottr, com risultto, Iftti, vl smpr l rlio Il ritmo di u umro ugul ll s è Cioè il Qusto dipd dl ftto ch è l spot cui isog lvr u quluqu umro pr ottr, com risultto, il mdsimo umro Iftti, vl smpr l rlio /9

2 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi S l s è mggior di il ritmo crsc l crscr dl umro Cioè s imo ch il s imo Visto l prim proprità fodmtl di ritmi possimo ch ddurr ch: Pr il è gtivo Pr il è ro Pr il è positivo S l s è mior di il ritmo dcrsc l crscr dl umro Cioè s imo ch il s imo Visto l prim proprità fodmtl di ritmi possimo ch ddurr ch: Pr il è positivo Pr il è ro Pr il è gtivo Tormi fodmtli di ritmi I tormi fodmtli di ritmi soo quttro, vdimoli i dttglio Il ritmo di u prodotto, risptto u s, è ugul ll somm di ritmi di sigoli fttori dl prodotto, ll mdsim s Cioè m m Dimostrio S idichimo co il m cioè m co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch m, i modo o, ch ch Allor m qust sprssio è quivlt ll sprssio m Pr l dfiiio di ritmo imo ch m Poiché m ch llor imo ch m m CVD Ossrvio Il ritmo di u prodotto di molti fttori, risptto u s, è ugul ll somm di ritmi di sigoli fttori dl prodotto, ll mdsim s Cioè m q m q Dimostrio L dimostrio è tlmt tto smplic ch, mio prr, o cssit di lcu commto m q m q m q m q CVD Il ritmo di u quoit, risptto u s, è ugul ll diffr tr il ritmo dl dividdo il ritmo dl divisor, ll mdsim s Cioè m m /9

3 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Dimostrio S idichimo co il m cioè m co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch m, i modo o, imo ch m m Allor qust sprssio è quivlt ll sprssio m Pr l dfiiio di ritmo imo ch m Poiché m ch llor imo ch m CVD Il ritmo di u umro lvto u crt pot, risptto u s, è ugul l prodotto dll spot pr il ritmo dl mdsimo umro, ll mdsim s Cioè m m Dimostrio S idichimo co il m cioè m imo, pr l stss dfiiio di ritmo m S trmi i trmii vgoo lvti ll pot sim ottimo m pr l stss dfiiio di ritmo imo ch il llor imo ch CVD m m m cioè m Poiché m Il ritmo di u rdic, risptto u s, è ugul l prodotto dll ivrso dll idic dll rdic pr il ritmo dl rdicdo, ll mdsim s Cioè m m Dimostrio Poiché m è quivlt ottimo ch CVD m m llor, m m utilido il torm prcdt m d cui ricvimo ch il m m Esprssioi clcolili ttrvrso l uso di ritmi Esistoo lcu sprssioi ch soo fcilmt clcolili gri i quttro tormi fodmtli ch imo pp ucito Possimo sprimr il ritmo di u sprssio moomi cioè ch coti solmt oprioi di moltiplicio, divisio, lvmto pot d strio di rdic com somm /o sottrio vtulmt moltiplicti o divisi pr di umri itri di ritmi di vri trmii prsti Esmpio c d = c d = c d /9

4 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Prciò, rissumdo, imo ch: c d = c d Ossrvio L pplicio dl ritmo, u sprssio moomi, trsform l vri oprioi l sgut modo A L moltiplicio si trsform i somm B L divisio si trsform i sottrio C L lvmto pot si trsform i moltiplicio D L strio di rdic si trsform i divisio Com possimo vdr l oprioi si smplifico otvolmt rddo smplici ch clcoli otvolmt complssi com imo visto ll smpio prcdt Ossrvio No sist ssu rlio i grdo di sprimr il ritmo di u sprssio poliomi cioè ch coti ch somm, /o sottrioi pr mo di ritmi di vri trmii Cioè o sist ssu rlio tr il c o il c i ritmi di trmii c Trsformio di u ritmo d u s u ltr s Poiché l s di ritmi può ssr sclt picr comuqu dv ssr smpr mggior di ro divrs d può ssr util sguir il cmimto di s Cioè s imo il ritmo di u umro i u crt s può ssr cssrio clcolr il ritmo, dl mdsimo umro, i u ltr s Il ritmo dl umro ll s è ugul l ritmo dl mdsimo umro ll s moltiplicto pr u costt Cioè K Dimostrio S idichimo co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch Clcoldo il ritmo i s di du trmii dll sprssio prcdt, ottimo ch il, pr il tro torm fodmtl di ritmi, possimo ricvr ch sgut sprssio Poiché l sprssio prcdt si trsform ll Il umro ch trsform il l o dipd d, m dipd solmt dl vlor dll si,, coivolt ll trsformio Or possimo dir ch, fisst l si di ritmi coivolti ll trsformio, il è u costt cioè K prciò or imo ch l sprssio prcdt si trsform ll CVD Ossrvio S ll sprssio K, vist i prcd, impostimo ottimo ch il poiché è ugul, com imo visto ll scod proprità fodmtl di ritmi, risult ch il /9

5 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi D ciò si ricv ch il dimostrdo ch il è l ivrso dl Qui potrt vdr u ltr dimostrio di qust importtissim proprità Dimostrio S idichimo co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch qust sprssio è quivlt ll sprssio Pr l dfiiio di ritmo imo ch Prciò, sostitudo l sprssio, ottimo ch il dimostrdo ch il è l ivrso dl CVD Ossrvio Dopo qullo ch imo dimostrto risult ovvio ch ch il Coritmo Si dfiisc coritmo di u umro, l opposto dl ritmo dl mdsimo umro Cioè il coritmo è il ritmo moltiplicto pr - Cioè co I gr si uso i coritmi pr vitr di sguir l sottrioi Esmpio S il, il suo coritmo srà ugul -,, cioè co, m D qullo ch imo pp dtto, è ovvio ch m m co Atiritmo Si chim tiritmo u dll du oprioi ivrs dl clcolo ritmico l ltr oprio ivrs si chim clcolo dll rdici Prciò, ll quio, imo il vlor dl ritmo dll s l tiritmo è qull oprio ch prmtt di trovr il vlor di Qust oprio si scriv ti ch, pr l dfiiio di ritmo, l possimo clcolr tdo coto ch Ossrvio Possimo clcolr u quluqu quio spoil co s s simo i grdo di clcolr u quluqu quio spoil co s Cioè Dimostrio /9

6 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi S idichimo co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch sostitudo l sprssio ottimo trmi i trmii ottimo CVD d lvdo, ll, Altr proprità di ritmi Qui potrt vdr ltr ciqu proprità di ritmi ch, i qulch cso, potrro ssr utili Il ritmo dll ivrso dll s è ugul - Cioè Dimostrio Poiché llor, pr l dfiiio di ritmo, imo ch il CVD Il ritmo co s ugul ll ivrso dl umro è ugul - Cioè Dimostrio Poiché llor, pr l dfiiio di ritmo, imo ch il CVD Il ritmo i s di è ugul ll opposto dl ritmo i s dll ivrso di oppur è ugul l coritmo i s dll ivrso di Cioè co Dimostrio L dimostrio è tlmt tto smplic ch, mio prr, o cssit di lcu commto co CVD Il ritmo i s di è ugul ll opposto dl ritmo i s di oppur è ugul l coritmo i s di Cioè co Dimostrio /9

7 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi S idichimo co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch Prciò ch quivl pr l dfiiio di ritmo imo ch, pr il tro torm fodmtl di ritmi, imo Poiché ottimo ch il CVD Il ritmo i s di è ugul l ritmo i s l ivrso di dll ivrso di Cioè Dimostrio S idichimo co il cioè llor imo, pr l dfiiio di ritmo, ch, prciò Qust sprssio quivl pr l dfiiio di ritmo imo ch, poiché ottimo l sprssio CVD Bsi di ritmi Ogi umro, s mggior di ro divrso d, può ssr utilito com s di ritmi Nll strgrd mggior di csi l si utilit soo ristrtt soltto du umri, il umro d il umro trscdt ch vl,9 Il umro si giustific d lcu proprità, ch sro illustrt succssivmt, dll smplicità di vri clcoli ch drivo Normlmt tli ritmi si dsigo co m, pr vitr possiili rrori o fritdimti, sro dsigti co Cioè sro smpr scritti co l s dl ritmo I ritmi i s si chimo ch ritmi di Briggs Qust tipoi di ritmi è utilit soprttutto pr l ffttuio di clcoli Il umro si giustific dll proprità mdsim di qusto strordirio umro trscdt ch, lmo i prt, potrt trovr ll ppdic Normlmt tli ritmi si dsigo co l m, pr vitr possiili rrori o fritdimti, sro dsigti co Cioè sro smpr scritti co l s dl ritmo I ritmi i s si chimo ch ritmi turli o ritmi di Npir Qust tipoi di ritmi è utilit soprttutto i lisi mtmtic Logritmi dcimli - ritmi di Briggs I ritmi i s o ritmi di Briggs ho, oltr ll proprità già vist pr i ritmi di u quluqu s, u uov smplic proprità ch giustific, d sol, il loro utilio Il ritmo dciml di u pot di è ugul ll spot mdsimo Cioè /9

8 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi L dimostrio è tlmt tto smplic ch soo crto o si cssri Torm Il ritmo i s di u umro riol positivo, ch o si u pot di d spot itro, è u umro irriol Dov: = umro riol positivo ch o si u pot di d spot itro = umro irriol Dimostrrmo qusto torm pr ssurdo Poiché u umro può ssr solmt riol o irriol vdi schm i ppdic, s riuscirmo dimostrr ch il umro o può ssr u umro riol dovrà ssr, oligtorimt, u umro irriol Dimostrio S è u umro riol llor S llor p dov p q soo umri itri positivi q p, pr l dfiiio di ritmo, imo ch q p q Smplificdo ottimo ch Qust ugugli può ssr vr, solo ll ipotsi ch si ugul u pot di Poiché imo ipotito ch foss u umro riol divrso d u pot di, qust ugugli o può ssr mi vr Qust cotrddiio sist prché imo ipotito ch il umro si u umro riol, prciò, pr limir qust cotrddiio, si dv ddurr ch il umro è u umro irriol CVD Fccimo u smplic smpio pr chirir il torm p p q S il s co p q umri itri positivi llor imo ch q qusto o è possiil Ovvro o è possiil ch q p, co Q umro itro, si ugul, co p P umro itro, poiché srà smpr u umro ch, com cifr dll uità ultim cifr vrà q il umro ro m o vrà mi, com cifr dll uità, il umro ro Qusto vl pr tutti gli ltri umri rioli divrsi d u pot di d spot itro Ossrvio Il torm prcdt o dv, prò, trrr i igo Il ritmo i s di u umro irriol può ch ssr u umro riol Esmpio Il ritmo dciml dl umro irriol, è ugul Qusto dipd dl ftto p q ch il umro irriol, è ugul ll Prciò imo:, /9

9 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Ossrvio Aimo pp dimostrto ch l strgrd mggior di ritmi dcimli di umri rioli soo umri irrioli Qusto comport ch i clcoli ffttuti, ttrvrso il loro uso, soo clcoli pprossimti il grdo di pprossimio dl risultto dipdrà dl umro di dcimli utiliti Nll uso prtico si us pprossimr i ritmi ll quit o sttim cifr dciml, difficilmt si supr l sttim cifr dciml Form mist Com imo visto ll Proprità fodmtli di ritmi, i ritmi dcimli di umri positivi mggiori di soo umri positivi d i ritmi dcimli di umri positivi miori di soo umri gtivi Vdimo lcui smpi Esmpi,,,,,,,,, Com è possiil vdr, dgli smpi proposti, s u umro vi moltiplicto o diviso pr il umro o pr u suo multiplo l prt dciml dl ritmo o cmi l prt itr dl ritmo si icrmt o dcrmt di u umro itro Qust proprità lscio l lttor l fcil dimostrio vl solo s il umro è mggior di rim mggior di oppur, s il umro è mior di rim mior di Pr fr i modo ch l proprità, pp ucit, rimg smpr vlid pr ogi umro positivo i ritmi dvoo ssr scritti i form mist Pr covio, ll form mist, l prt dciml dl ritmo è smpr positiv i qusto cso si chim mtiss Prciò i ritmi di scodi tr umri, proposti ll smpio prcdt, si trsformo i qulli succssivi,,,,,, Com si può ituir qudo i ritmi soo scritti i form mist l crttristic cioè l prt itr dl ritmo è gtiv tl umro è sovrscritto d u sgo mo Qusto sigific ch pr il,, il umro crttristic è gtivo il umro, mtiss è positivo Qust covio, di scrivr i ritmi dcimli gtivi i form mist, vv l su utilità qudo o sistvo l clcoltrici, pr sguir i clcoli di ritmi dgli tiritmi, si usvo l tvol ritmich Trsformio di ritmi dll form gtiv ll form mist Qudo il vlor dl ritmo dciml è gtivo, sigific ch tutto il umro è gtivo, cioè ch è gtiv si l prt itr, si l prt dciml S qusto umro sommimo sottrimo u uità, ovvimt il vlor complssivo o si modific Prciò s ll prt itr sottrimo u uità ll prt dciml sommimo u uità, il vlor dl ritmo o si ltr L prt itr r gtiv rimrrà gtiv l prt dciml, ch r gtiv, divtrà positiv I qusto cso l prt dciml prdrà il om di mtiss l prt itr prdrà il om di crttristic Fccimo tr smpi Esmpi,,,,,,,,,9,9 9/9

10 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,9,9,9,9 Trsformio di ritmi dll form mist ll form gtiv Qudo il vlor dl ritmo dciml è scritto i form mist sigific ch l prt itr crttristic è gtiv l prt dciml mtiss è positiv S svolgimo il clcolo ottimo immditmt il vlor dl ritmo i form gtiv Fccimo tr smpi Esmpi,,9,9,9,,,,,,9,9, Oprioi sui ritmi sprssi i form mist Nll prtic cpit spsso di dovr sguir dll oprioi sui ritmi, ll ipotsi ch sio positivi o gtivi, si procd com di cosuto Nll ipotsi ch i ritmi gtivi sio sprssi i form mist, ci soo dll smplici rgol ch prmttoo di sguir tli clcoli s ssr costrtti trsformrli i ritmi gtivi Vdimo qust smplici rgol Somm Pr sguir l somm di più ritmi, dov lcui di ssi soo sprssi i form mist, si sgu l somm di tutt l mtiss poi l vtul riporto ch è smpr positivo si ddiio ll somm lgric dll crttristich Cioè,,,, Sottrio Pr sguir l sottrio di du ritmi si sgu l sottrio dll mtiss l modo cosuto, s cssrio, si prd i prstito u uità ch srà positiv dll crttristic, poi si sgu l sottrio lgric dll crttristich ricorddoci ch vtulmt vvmo prso i prstito u uità ch or qull uità è, d cosidrrsi, gtiv Cioè,99,9, 9,99,9, 9 Prodotto Pr sguir il prodotto di u ritmo sprsso i form mist pr u umro turl itro positivo si moltiplic l mtiss pr il umro turl poi si somm lgricmt l vtul riporto ch è smpr positivo l prodotto dll crttristic pr il umro itro Cioè,, 9 Divisio Pr sguir l divisio di u ritmo sprsso i form mist pr u umro turl itro positivo si dv fr i modo ch l crttristic si divisiil pr il umro turl S lo è già si procd ormlmt; s o lo è si sommo, ll crttristic, tt uità gtiv qut srvoo prché l crttristic si divisiil pr il umro turl Poi si sommo, ll mtiss, l mdsim uità positiv ch vtulmt si soo sommt ll crttristic Dopo si sgu l divisio di tl umro com di cosuto Cioè,:,, :, /9

11 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Logritmi turli - ritmi i s - ritmi di Npir I ritmi i s o ritmi turli o ch ritmi di Npir soo tto importti prché tl umro possid dll strordiri proprità ioltr moltissimi fomi soo lgti qusto umro I più curiosi, i ppdic, potro trovr lcu dll su iusli proprità Pr i ritmi turli o è di ssu utilità prtic itrodurr l form mist, com imo visto pr i ritmi dcimli Lscio l lttor l giustificio di qust ffrmio Trsformio di ritmi turli i corrispodti ritmi dcimli vicvrs U tl trsformio può ssr molto util poiché i ritmi turli i ritmi dcimli soo molto utiliti può ssr cssrio sguir qust trsformio Aimo visto i Trsformio di u ritmo d u s u ltr s ch pr sguir qust trsformio è cssrio moltiplicr/dividr pr u costt ch tl costt dipd solmt dll si di ritmi coivolti ll trsformio I vlori dll du costti di trsformio soo:,9,9 Aimo ch dimostrto ch il Grlmt si us rvir co M il prciò imo ch M,9 Vdimo or l formul pr sguir l rltiv trsformioi M M Esmpio Ammttimo di spr ch il, 99 Allor il M,9,99, 9 Esmpio Ammttimo di spr ch il,, Allor il, 9 M,9 Mtodi o liti Nll prossim pgi o lirò l possiilità di sguir il clcolo di ritmi, ttrvrso il Rgolo Clcoltor, l Tvol Aritmtico-ritmich i tsti dll clcoltric l ch lo sguoo i modo utomtico /9

12 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Mtodi di clcolo dll tiritmo Prim di illustrr i mtodi di clcolo dl ritmo illustrrò i mtodi di clcolo dll tiritmo poiché qust tipoi di clcolo mi è cssri, l prossimo cpitolo, pr illustrr u mtodo di clcolo dl ritmo I qusto cpitolo illustrrò du mtodi pr sguir qust tipoi di clcolo, ltri du mtodi li potrt trovr ll ppdic i prgrfi Mtodo dll tgti itrio di Nwto Fuioi iprolich Esistoo ch ltri mtodi ch, prò, o illustrrò Qust oprio si scriv ti ch, pr l dfiiio di ritmo, è quivlt Com si può vdr il clcolo dll tiritmo è, i rltà, u clcolo spoil U cos importt d vidir è ch vl smpr l sgut sprssio Voglio ricordr ch il clcolo spoil è u clcolo pprossimto, prciò l cso di u lggr diffr tr il vlor vro il vlor clcolto, qusto dipdrà dll pprossimioi ffttut i vri pssggi Mtodo ch driv dll stss dfiiio di tiritmo Qui illustrrò u mtodo ovvio, ch s o molto fficit, pr sguir il clcolo dll tiritmo, qusto mtodo cosist ll utilir il clcolo dll rdici Fccimo lcui smpi pr chirir il mtodo Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti,,,, ti,,, I qusto smpio il clcolo dll tiritmo si riduc ll ffttuio di lcu moltiplicioi l clcolo di u rdic qudrt Qust oprioi soo sguiili, s grossi prolmi, ch utilido soltto l quttro oprioi fodmtli Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 9, 99,, ti,,99 9,99 I qusto smpio il clcolo dll tiritmo si riduc ll ffttuio di lcu moltiplicioi l clcolo di u rdic dcim Qust ultim oprio icomici ssr piuttosto lorios s si utilio soltto l quttro oprioi fodmtli Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9,,,, ti,,,9,9 99,9 /9

13 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi I qusto smpio il clcolo dll tiritmo icomici ssr vrmt complsso pr l rl difficoltà, dovut ll loriosità l clcolr l vri rdici,, s si utilio soltto l quttro oprioi fodmtli Commto sul mtodo Com è fcil vdr, d qusti pochi smpi, qusto mtodo è utiliil prticmt solo i pochi limitti csi, visto l rl complssità ll ffttuio di lcu tipoi di oprioi Mtodo grl pr il clcolo dll tiritmo Trlscido l tori, ch lmo i prt potrt trovr i ppdic, vdimo or il mtodo grl pr sguir il clcolo dll tiritmo Qusto mtodo prvd l utilio dll formul, impostdo, dllo sviluppo i sri di Tlor dll fuio f Lo sviluppo i sri di Tlor dll fuio f è:!!!!!!! Noostt ch lo sviluppo i sri covrg pr ogi vlor di, è ovvio ch più il vlor ssoluto di srà piccolo mo trmii sro cssri pr rrivr u dtrmit prcisio dll fuio f Pr qusto motivo soo stti lorti lcui mtodi pr limitr il i modo d ridurr il umro di trmii d clcolr ottdo, ugulmt, u uo pprossimio dll fuio f Nl prossimo smpio vdrmo com utilir lo sviluppo i sri di Tlor pr clcolr l tiritmo, poi illustrrò tr mtodi pr ridurr il i modo d smplificr il rltivo clcolo Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti,, Ovvro:,,, ti, Or mmttimo di spr ch il, 9 vdrmo l prossimo cpitolo com sguir qust tipoi di clcoli i modo smplic d fficc Prciò il prcdt clcolo si trsform i:,,,,,9,9 ti, A u occhio isprto qusto clcolo potrà smrr più complsso di qullo di prt, m s timo prst ch è smpr possiil sguir il clcolo dll fuio f i modo smplic vloc, srà fcil ituir il motivo dll trsformio pp sguit,9 Esgudo il clcolo di ottimo:,9,9,9,9,9,9!!!! 9,9,9,9,9,9!!! 9!!,9,9,9,,9,,,,9,9,, /9

14 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,9 Il primo trmi o cosidrto è,! 99 Dopo tutti qusti pssggi il clcolo fil divi:,,9 ti,,, Commto All umtr dl vlor dll spot srà cssrio, pr vr u uo risultto, umtr il umro di trmii dllo sviluppo i sri di Tlor d sommr, i modo ch il primo trmi, o cosidrto, si vrmt trscuril Ottimiio dl clcolo spoil Dopo vr visto com sguir il clcolo dll fuio spoil, utilido lo sviluppo i sri di Tlor, vdimo or tr smplici mtodi pr ridurr il i modo d smplificr vlocir il rltivo clcolo spoil Ovvimt it vitrà di utilir i vri mtodi cotmpormt Primo mtodo di ottimiio Pr possimo sprr l prt itr di d qull dciml,9,9,9 Ovvro,9 ivc di clcolr podo, 9 strà clcolr,9 podo, 9 I ppdic è possiil vdr il clcolo ch port l risultto di, Fccimo tr smpi pr chirir il mtodo Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti,, Ovvro:,,, ti, Or mmttimo di spr ch il, 9 Prciò il prcdt clcolo si trsform i:,,,,,9,9 ti,,9 Esgudo il clcolo di ottimo:,9,9,9,9,9!!!,9,9,9,,,,9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo tutti qusti pssggi il clcolo fil divi:,,9 ti,,, Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 9, 99 Ammttimo, com imo ftto prim, di spr ch il, 9 Ovvro:,9 /9

15 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi ti,,,,9,,9,9 Esgudo il clcolo di ottimo:,9,9,9,9,9,9!!!!,9,9!!,9,9,9,,9,,,,,9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo tutti qusti pssggi il clcolo fil divi:,,9,9 ti,, 9,999 Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9 Ammttimo, com imo ftto prim, di spr ch il, Ovvro:,,,,9 ti,,9 Esguir or il clcolo di,9,9,9,9,9,9!!!! 9,9,9,9,9!!! 9!,9,9,,,,,,,,,,9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo qusto clcolo itrmdio ottimo:,,9 ti,, 99,9,9 Commto Com è possiil vdr, dgli smpi proposti, co qusto mtodo di ottimiio si riduc otvolmt il umro di trmii dllo sviluppo i sri di Tlor d clcolr All umtr dll spot di, ovvimt, i trmii dllo sviluppo i sri tdoo uovmt crscr Scodo mtodo di ottimiio Pr, possimo sguir qust quivl ' Ovvro,9,9 ivc di clcolr,9,9 podo, 9 Oppur, 9,9,9 strà clcolr podo, 9,9 podo, 9 ivc di clcolr strà clcolr,9,9 podo /9

16 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9 Ammttimo di spr ch il, Ovvro:,,,,9 ti,, Esguir or il clcolo di,,,,,,!!!!,!,,,,,9,,,9, 9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo qusto clcolo itrmdio ottimo:,, ti,,9 99,9, Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9, Ammttimo di spr ch il Ovvro:,,,, ti,, Esguimo or il clcolo di,,,,,,!!!!,!,,,,,9,,,9,, 9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo qusto clcolo itrmdio ottimo:,, ti, 99,99,,9 Commto Com è possiil vdr, immgir, i risultti dgli ultimi tr smpi si quivlgoo i trmii clcolti dllo sviluppo i sri si soo ultriormt ridotti risptto l mtodo prcdt /9

17 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Tro mtodo di ottimiio Possimo sguir ch u ltr fodmtl quivl cioè Qust trsformio è smpr vr, m h u su ic s è u umro itro,9,9,9,9 Ovvro ivc di clcolr podo, 9 strà clcolr podo, 9 poi lvr l qudrto il risultto ottuto Oppur,9 ivc di clcolr podo, 9 strà clcolr lvr ll sttim pot il risultto ottuto,9,, podo, Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9, Ammttimo di spr ch il Ovvro:,, ti,,,9,9 Esguimo or il clcolo di,9,9,9,9,9,9!!!!,9,9,,9,9,,99,9 9 Il primo trmi o cosidrto è,9! Dopo qusto clcolo itrmdio ottimo:,,9 ti,,99 99,9 Esmpio Ammttimo di volr clcolr l tiritmo i s di, ch quivl ti,, Prmtto immditmt ch ti, 99, 9, Ammttimo di spr ch il Ovvro:,, ti,,,, Esguimo or il clcolo di,,,,,!!!,,,9,,,999, 9 Il primo trmi o cosidrto è,! Dopo qusto clcolo itrmdio ottimo:,, ti,,999 99,9 poi Commto Com è possiil vdr, di du smpi proposti, s si riduc ccssivmt il vlor dll spot, si riducoo i trmii d clcolr, m si può prdr ll prcisio dl risultto /9

18 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Mtodi di clcolo dl ritmo I qusto cpitolo illustrrò lcui smplici mtodi pr il clcolo dl ritmo Vdrmo ch qusto clcolo è u poco più complsso dl clcolo dll tiritmo o clcolo spoil visto l cpitolo prcdt U ltro mtodo lo potrt trovr i ppdic l prgrfo Clcolo di ritmi ttrvrso u quio di grdo N Esist u mtodo pr clcolr i ritmi dov è cssrio cooscr, prvtivmt, il vlor dll s d sistoo ch ltri mtodi, dov o è cssrio cooscr, prvtivmt, il suo vlor I ppdic potrt trovr il clcolo dl vlor dl umro trscdt Voglio ricordr ch ch il clcolo ritmico è, spsso voltiri, u clcolo pprossimto l cso di u lggr diffr, tr il vlor vro qullo clcolto, qusto dipdrà dll pprossimioi ffttut i vri pssggi ltrimti, l cso di diffr sostili, giustifichrò i motivi Mtodo ch driv dll stss dfiiio Qui illustrrò u mtodo grl ch driv dll stss dfiiio di ritmo, m prim di fr dgli smpi umrici dimo dimostrrlo Ovvimt imo ch: p p p Il vlor di può ssr scritto ch com p dov p, p, p, p, rpprsto di umri turli comprsi tr 9 Pr l dfiiio di ritmo vl l sprssio, sostitudo, il vlor p p p p p p p p ottimo l sprssio qust quivl p p p p ll sprssio Or clcolimo il ritmo di ll s, pprossimto ll prim cifr itr Qusto p vlor è p Esguimo il clcolo di poi dividimo trmi i trmii, dll sprssio p prcdt, pr il vlor di p p p Or imo s lvimo ll dcim pot, trmi i trmii p p p p dll ugugli prcdt, ottimo d sgudo i clcoli p p p p imo ch dov rpprst l sprssio p p p L sprssio p è dl tutto simil ll sprssio vist prcdtmt Prciò srà sufficit ritrr il clcolo pp visto pr ottr tutt l cifr dcimli ch voglimo Fccimo immditmt du smpi pr mglio chirir qusto strordirio mtodo Esmpio Clcolimo il p p p p Il p p p p p dov p /9

19 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Clcolo dl vlor di p Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl è ro Cioè imo stilito ch p è ugul ro Clcolo dl vlor di p Clcolimo l prim cifr dl ritmo di Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl, è ro Cioè imo stilito ch p è ugul ro Clcolo dl vlor di p, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,,99 Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl,99 è ro Cioè imo stilito ch p è ugul ro Clcolo dl vlor di p,99 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,99 999,9 Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl 999,9 è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p 999,9 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di 9, Poiché il 9 il possimo ddurr ch l prim cifr dl 999, è 9 Cioè imo stilito ch p è ugul 9 Clcolo dl vlor di p 9/9

20 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi 999 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di 9, Poiché il 9 il possimo ddurr ch l prim cifr dl 99, è 9 Cioè imo stilito ch p è ugul 9 Clcolo dl vlor di p 9 99 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di 9,9 9 9 Poiché il 9 il possimo ddurr ch l prim cifr dl 9, è 9 Cioè imo stilito ch p 9 è ugul 9 Clcolo dl vlor di p 9 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,9 9,99 9 Poiché il il possimo ddurr ch l prim cifr dl 9,99 è Cioè imo stilito ch p è ugul Ecc p p p p p Poiché p, llor,999 Prciò il,999 Ossrvioi Aimo pp visto com sguir il clcolo dl, i modo dl tutto quivlt, possimo clcolr il vlor dl ritmo di quluqu umro rl Ovvimt possimo clcolr il ritmo di u umro composto sommdo i ritmi di umri ch lo compogoo, piuttosto ch clcolr il ritmo i modo dirtto Esguir il clcolo dl ritmo dciml, co qusto mtodo, è molto smplic prché è molto smplic sguir il clcolo di p pr umro itro d è molto smplic sguir l divisio co l dovut prcisio Vdimo or lcui vlori di ritmi ch possimo ottr, d qullo pp clcolto, utilido i quttro tormi fodmtli,999,999,999,99 Ecc Esmpio Clcolimo il Pr clcolr i ritmi turli è prim cssrio cooscr l pot itr dl umro /9

21 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,, 9,, 9,,9 9, 9, 9 9,9, Il p p p p p dov p Clcolo dl vlor di p Poiché il 9, il 9,9 possimo ddurr ch l prim cifr dl è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,,9 Poiché il,9 il 9, possimo ddurr ch l prim cifr dl,9 è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p,9 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,,9 Poiché il il, possimo ddurr ch l prim cifr dl, 9 è Cioè imo stilito ch p è ugul ro Clcolo dl vlor di p,9 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,9, Poiché il 9, il 9,9 possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il, il,9 possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,9, Poiché Visto ch il 9,9 il,9 9 possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p /9

22 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il, il,9 possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il,9 il, possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Clcolo dl vlor di p 9, Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,9,9 Poiché il,9 il, possimo ddurr ch l prim cifr dl,9 è Cioè imo stilito ch p 9 è ugul Clcolo dl vlor di p,9 Clcolimo l prim cifr dl ritmo di,, Poiché il, il,9 possimo ddurr ch l prim cifr dl, è Cioè imo stilito ch p è ugul Ecc p p p p p Poiché p, llor, Prciò il, Ossrvioi Aimo pp visto com sguir il clcolo dl, i modo dl tutto quivlt, possimo clcolr il vlor dl ritmo di quluqu umro rl Ovvimt possimo clcolr il ritmo di u umro composto sommdo i ritmi di umri ch lo compogoo, piuttosto ch clcolr il ritmo i modo dirtto Comuqu, sguir il clcolo di ritmi turli co qusto mtodo o è molto smplic diffr di ritmi dcimli, prché o è molto smplic sguir il clcolo di pr umro itro o è molto smplic sguir l divisio co l dovut prcisio Mtodo dll umto fiito - Torm di Tlor Trlscido l tori ch, lmo i prt, potrt trovr i ppdic, vdimo com si possiil utilir il torm di Tlor pr sguir il clcolo di ritmi turli i s, di umri rli Gri l torm di Tlor illustrrò divrsi mtodi pr sguir il clcolo dl ritmo turl illustrdo i prgi i diftti /9

23 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Pr ottr gli quivlti ritmi dcimli si dv usr l rlio vist prcdtmt cioè M Primo mtodo Il mtodo più ovvio è qullo di utilir lo sviluppo i sri dll fuio ch è: 9 9 Ovvimt il vlor di dv vrificr l sgut disugugli l motivioi l potrt trovr i ppdic Ossrvdo il suo itrvllo di utilio, possimo ddurr ch l prcdt formul o è utiliil pr clcolr i ritmi di umri mggiori di Qusto, prò, o sigific ch qust formul si iutil i, vdrmo i prossimi mtodi com utilirl l mglio pr ottr u mtodo molto fficc Or fccimo immditmt lcui smpi pr rdr chiro il suo utilio Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =,, co,,, Esgudo i rltivi clcoli ottimo:,,,,,,,,, I u cofroto è sigifictivo l rror ssoluto Vc Vv, m cor più sigifictivo è l rror Vc Vv rltivo dov co Vc dsigo il vlor clcolto co Vv dsigo il vlor vro Vv Vc Vv Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vv I qusto smpio imo cosidrto vl Vc Vv Vv,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, = -, -,,, il primo trmi o,, co, Nll ipotsi ch il vlor di si gtivo, lo sviluppo dll prcdt sri divi: Co qusto sviluppo isog cosidrr il vlor di positivo, cioè,,, Esgudo i rltivi clcoli ottimo: /9

24 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,,,,,,,,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,9, I qusto smpio imo Vv -, o cosidrto vl,9 -, il primo trmi Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 co Aggiugdo lcui trmii d sgudo i rltivi clcoli ottimo: 9, 9 9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 il primo trmi o cosidrto vl, I qusto smpio l rror è cor piuttosto grd oostt si si cosidrto trmii Pr rimdir qusto icovit possimo ggiugr ltri trmii l clcolo rddolo, prò, cor più complsso, oppur possimo utilir ltri mtodi più fficiti ch vdrmo tr poco Commto sul mtodo D qusti pochi smpi possimo ddurr ch più vlor ssoluto di è piccolo, prità di trmii cosidrti ll sri, più il vlor clcolto di si vvicirà l vlor vro Oppur ch è quivlt più è piccolo mo trmii dovro ssr clcolti pr ottr u vlor ccttil di Ossrvio Aimo pp visto ch: 9 D qust sprssio possimo, co strm fcilità, ricvr ch ltr du /9

25 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Ach qust du uov sprssioi soo molto smplici d ricordr m, com l sprssio d cui soo stt ddott, o soo dtt l clcolo prtico dl Scodo mtodo Com imo prcdtmt dimostrto il gri qust ugugli possimo clcolr, lmo toricmt, i ritmi di umri mggiori di Vdimo lcui smpi Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Pr clcolr il è sufficit clcolr il Prciò imo:, co, ovvro il,,,,,,,,,,, Esgudo i rltivi clcoli ottimo:,,,,,,,,,99 D cui si dduc ch:,,99 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,99 -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 cosidrto vl,, il primo trmi o Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Pr clcolr il è sufficit clcolr il Prciò imo:, co, ovvro il,,,,,,,,, Esgudo i rltivi clcoli ottimo:,, /9

26 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,,,9,9,,9,, D cui si dduc ch:,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 cosidrto vl,, il primo trmi o Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,99 Pr clcolr il è sufficit clcolr il Prciò imo:, co, ovvro il,,,,,,,,,,, Esgudo i rltivi clcoli ottimo:,,,,,,,9,999, D cui si dduc ch:,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -,99 I qusto smpio imo, Vv,99 cosidrto vl,, il primo trmi o Commto sul mtodo D qusti pochi smpi possimo ddurr ch co qusto mtodo è, lmo toricmt, fttiil sguir il clcolo di ritmi di umri mggiori di E fcilmt dimostril ch, utilido qusto mtodo, il vlor di ritmi di umri mggiori di soo smpr ifriori l vlor vro Rffrotdo il clcolo dl ffttuto co i du mtodi pp visti, possimo otr u dciso migliormto Noostt tutto qusto mtodo richid molti trmii pr ottr u risultto vrmt ccttil, poiché sistoo mtodi più fficiti, o è mi utilito Tro mtodo Pr ottr u uovo più fficit mtodo, risptto i prcdti mtodi, doimo riscrivr l du sri ch imo visto l Primo mtodo /9

27 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi S sottrimo ll prim sri, l scod sri ottimo: = Smplificdo imo: E fcil vdr ch pr imo pr ottimo ch Prciò, ch co qusto mtodo, è possiil clcolr, lmo toricmt, i ritmi turli pr umri mggiori di Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 co ,,,,,,,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv -,9 I qusto smpio imo,9, Vv,9 il primo trmi o cosidrto vl, Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Pr rdr mggiormt fruiil qusto mtodo covi impostr risptto Co smplici pssggi ricvimo ch Adimo or clcolr il vlor di spdo ch pr poi risolvrl /9

28 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Prciò fcdo l dovut sostituioi, ottimo ch 9 9 9,,,,,,,99,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,9 -,9 I qusto smpio imo,9 Vv,9 il primo trmi o cosidrto vl 9,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Adimo or clcolr il vlor di spdo ch Prciò imo fcdo l dovut sostituioi, ottimo ch 9 9 9,9,,9,99,,9,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,9 -,9 I qusto smpio imo 9, Vv,9 cosidrto vl, il primo trmi o Commto sul mtodo Co qusto mtodo il vlor clcolto srà smpr ifrior qullo vro, poiché tutti i trmii dllo sviluppo i sri soo positivi Almo i li di pricipio è possiil clcolr il ritmo turl di u quluqu umro rl, prché il vlor di srà smpr mior di idipdtmt dl vlor di Qusto mtodo h, prò, u grd diftto All umtr dl vlor di umt il vlor di ch srà, comuqu, smpr mior di, di cosgu, srà cssrio clcolr u umro mggior di trmii, dllo sviluppo i sri, prim di potr ottr u risultto ccttil Ni tr smpi prcdti è possiil vdr qusto fomo ch rd prticmt iutiliil qusto mtodo ch pr vlori di rltivmt piccoli Cioè pr il clcolo dl imo sguito l somm di trmii pr ottr u prcisio di, Pr il clcolo dl prcisio di,9 imo sguito l somm di trmii pr ottr u Pr il clcolo dl imo sguito l somm di trmii pr ottr u prcisio di 9, Pr rdr mggiormt pls qusto fomo dirò ch pr ottr, l clcolo dl, u vlor co u prcisio di sr stto cssrio clcolr circ trmii co trmii l rror è, ottdo, com risultto, pr il vlor, 9 /9

29 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi 9/9 Qurto mtodo Or vdrmo u uovo più fficit mtodo pr rdr prticmt utiliil il mtodo prcdtmt illustrto Qusto mtodo è il vro mtodo pr il clcolo di vlori di ritmi prmttdo u prcisio sufficit s ssr costrtti dovr clcolr ctii di trmii Qui riporto il otvol risultto ch imo visto l mtodo prcdt = 9 9 Or impostimo poi l risolvimo risptto Co smplici pssggi ricvimo ch Prciò imo ch: 9 9 Oppur, ch è ugul: 9 9 O, i modo cor più chiro: Qust formul è smpr vlid pr tutti i vlori positivi di di poiché pr qusti vlori, è smpr comprso tr il vlor di ro Qust formul è tto più comod, pr il clcolo di ritmi, quto più è piccol l frio o, ch è idtico, quto è più piccolo risptto Com è possiil vdr qust formul o prmtt il clcolo dl ritmo di u umro com ivc vvi co i prcdti mtodi, m prmtt di clcolr l icrmto, d sommr l ritmo di u umro coosciuto, pr ottr il ritmo dl uovo umro crcto Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Poiché voglimo clcolr il sigific ch Aimo dtto ch dv ssr il più piccolo possiil, pr qusto motivo, lo impostimo l vlor di Ovvimt or è possiil clcolr ch poi ch Prciò: 9 9 Poiché l prcdt formul si trsform i: 9 9 Qust formul è idtic ll formul ch imo visto l prcdt mtodo Ovvimt è cssrio sguir i vri clcoli i modo d miimir l rror poiché u piccol imprcisio, i qusto clcolo, si riprcuotr ivitilmt i clcoli di succssivi ritmi

30 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,,,,,,,, 9 D cui si ricv ch, 9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Poiché voglimo clcolr il sigific ch Aimo dtto ch dv ssr il più piccolo possiil, pr qusto motivo, lo impostimo l vlor di Ovvimt or è possiil clcolr ch poi ch Prciò: 9 9,,,,,,9,,9,,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,99 Poiché voglimo clcolr il sigific ch Aimo dtto ch dv ssr il più piccolo possiil, pr qusto motivo, lo impostimo l vlor di Ovvimt or è possiil clcolr ch poi ch Prciò: ,,, Poiché,9, 9 possimo ricvr ch:,9,,9,,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Poiché voglimo clcolr il sigific ch Aimo dtto ch dv ssr il più piccolo possiil, pr qusto motivo, lo impostimo l vlor di Ovvimt or è possiil clcolr ch poi ch Prciò:,9,,99 Poiché llor Gri gli smpi prcdti sppimo ch:,9,9 /9

31 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,9 Prciò, possimo clcolr ch il,9,9,9, 9 Or possimo ricvr ch:,9,99,9,9,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro 9 cioè il 9 Prmtto immditmt ch il 9 =,9 S llor 9 Co qusti dti possimo clcolr il vlor di Prciò: ,99, 9,9 Aimo visto, ll smpio prcdt, ch:,9 Or possimo ricvr ch: 9,9,9,9,9,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =, Pr clcolr il possimo impostr co clcolr il è molto smplic, com imo visto gli smpi prcdti Ovvimt it vit di sguir il clcolo i modo divrso cioè possimo, pr smpio, impostr, co sfruttdo il risultto dl visto prcdtmt Vdimo qusto scodo mtodo Impostdo, imo:,9,,9,,,9,99,9 Commto sul mtodo Voglio fr otr ch co qusto mtodo simo riusciti clcolr il co pochi clcoli, risptto qulli ch srro stti cssri co il mtodo prcdtmt illustrto Aimo visto, gri gli smpi proposti, ch pr clcolr i ritmi di umri piccoli è cssrio impostr m pr vlori crscti possimo impostr ch vlori mggiori ottdo comuqu, co pochi clcoli, u ottimo risultto /9

32 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Quito mtodo Adsso vdimo u ltro mtodo pr clcolr i ritmi di umri primi Dopo tutto qullo ch è stto dtto, dovr ssr fcil vdr ch: R S T Qust sprssioi o soo stt prs csulmt prché smplificdol si otti: R R S S T T R S T Or isog risolvr qusto sistm di tr quioi i tr icogit dov soo prsti i ritmi di primi tr umri primi No è difficil risolvr qusto sistm m è piuttosto tdioso prciò do immditmt l tr soluioi lscido l lttor voltroso il fcil compito di sguir l su vrific R S T R S T R S T Prciò dopo vr clcolto R S T, co molt prcisio, è fcil clcolr il, il Or o rim ch clcolr gli ltri umri primi Pr smpio pr clcolr il possimo fr così D cui si ricv: U 9 9 U, U Pr smpio pr clcolr il possimo fr così D cui si ricv: U U I modo o si possoo ricvr i ritmi di tutti gli ltri umri primi U U /9

33 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Mtodo dll tgti - itrio di Nwto Trlscido l tori ch, lmo i prt, potrt trovr i ppdic vdimo com si possiil utilir qusto mtodo pr ffttur il clcolo di ritmi turli i s, di umri rli Pr ottr gli quivlti ritmi dcimli si dv usr l rlio vist prcdtmt cioè M Qusto mtodo può ssr utilito smpr comuqu m, d il mglio di s, qudo il vlor iiil è st vicio l vlor dl ritmo dl umro crcto, ltrimti possoo ssr cssri molt itrioi pr rrivr d u vlor ccttil I gr, qusto mtodo, vi utilito pr ffir u vlor trovto utilido ltri mtodi E possiil dimostrr ch ritrdo qusto clcolo ci si vvici, smpr di più, l vlor dl ritmo dl umro crcto No doimo dimticr u proprità importt di qusto mtodo cioè ch qusto è u mtodo ch si utocorrgg Qusto sigific ch, l cso vg itrodotto u piccolo rror durt u fs dl clcolo, l itrioi succssiv fro ugulmt covrgr il risultto l vlor dl ritmo dl umro crcto Formul d utilir pr il clcolo di ritmi di umri Qust formul può ssr trsformt, co smplici pssggi, i: o ch i: Dov co: = vlor pprossimto di prt dll ostr fuio = vlor pprossimto, u poco miglior risptto, dll ostr fuio = vlor dl umro di cui crchimo il ritmo turl = s di ritmi turli,9 Ovvimt tutt tr l formul soo quivlti m, l cso si cssrio clcolr miglii s o ch milioi di cifr dcimli, l formul ch prmtt di ridurr l miimo il tmpo di scuio di vri clcoli è l No spighrò il motivo di qust ffrmio prché qusto rgomto sul d qusto scritto Fccimo immditmt lcui smpi i modo d chirir com si dv procdr pr utilir qusto mtodo Esmpio Clcolimo il ritmo i s dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,99 Il vlor dl è sicurmt comprso tr,, 9 utilirmo, com vlor iiil, il vlor di cioè Pr qusto smpio utiliro l formul,9, /9

34 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,,,,,,,9,,,9,9,99, 9,9,99,99,99, 99 Poiché i vlori di di coicidoo, qusto è il vlor crcto Com è possiil vdr co ciqu itrioi simo prvuti u vlor corrtto sio l dciml Esmpio Clcolimo il ritmo i s dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Il vlor dl è sicurmt comprso tr,, utilirmo, com vlor iiil, il vlor di cioè Pr qusto smpio utiliro l formul,,9,9,9,9,,,,,,,9,9,9,9,,9 Poiché i vlori di di prticmt coicidoo, qusto è il vlor crcto Com è possiil vdr co quttro itrioi simo prvuti u vlor corrtto sio l dciml Esmpio Clcolimo il ritmo i s dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =, Il vlor dl, è sicurmt comprso tr,, utilirmo, com vlor iiil, il vlor di cioè Pr qusto smpio utiliro l formul,,,,99,99,99,,99,,,,,,,,,99,,,,,,,99,,,,,,,9, Poiché i vlori di di prticmt coicidoo, qusto è il vlor crcto Com è possiil vdr co ciqu itrioi simo prvuti u vlor corrtto sio l dciml Commto sul mtodo Com è possiil vdr qusto mtodo è vrmt pott, prò h u diftto, poiché è cssrio sguir il clcolo spoil co molt prcisio Comuqu, com imo visto l cpitolo prcdt, il clcolo spoil o è u clcolo ccssivmt complsso /9

35 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Mtodi di clcolo di ritmi sui umri dcimli Pr utilir i ritmi i clcoli prtici è cssrio sprli clcolr ch sui umri dcimli o solo sui umri turli Ovvimt tutti i mtodi prcdtmt illustrti si possoo pplicr ch qust tipoi di clcolo Idipdtmt d qusto ftto soo stti lorti lcui mtodi spcifici pr sguir qust tipoi di clcolo Tutti qusti uovi mtodi soo utiliili idipdtmt dll s dl ritmo Vdimo or quttro mtodi spcifici pr qust tipoi di clcolo Mtodo ttrvrso i umri itri Qusto mtodo è il più ovvio cosist l rdr itro il umro dciml moltiplicdolo pr poi, di qusto uovo umro, è cssrio clcolr il ritmo, com ultimo pssggio, isog sottrrr, l ritmo clcolto prcdtmt, il ritmo di L stt dl risultto dipdrà, ovvimt, dll prcisio dl ritmo clcolto Fccimo du smpi Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =, Poiché, llor il,,,, Esmpio Clcolimo il ritmo dciml dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =,9 Poiché, llor il,,9, 9 Mtodo d itrpolio lir Pricipio di proporiolità Qusto mtodo r utilito qudo ro i uso l Tvol ritmich d r cssrio clcolr il ritmo di u umro dciml ch o r prst i ss Qusto mtodo prt d u ssuto ch l icrmto dl vlor dl ritmo è proporiol ll icrmto dl umro m qust ssuto è flso Il risultto ch si otti è u vlor smpr ifrior qullo vro, comuqu più il umro è grd più il risultto si vvicirà l vlor vro Fccimo tr smpi Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =, Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, 9 Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, 9 L formul d utilir è: A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo,,,,9,9,,9,9, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -, I qusto smpio imo,9 Vv, /9

36 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Esmpio Clcolimo il ritmo dciml dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il, =,9 Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, 9 Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, L formul d utilir è: A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo,,,,,9,,9,,99 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,99 -,9 I qusto smpio imo,9 Vv,9 Esmpio Clcolimo il ritmo dciml dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,, Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, Nll Tvol ritmich potvmo lggr ch il, 9 L formul d utilir è: A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo,,,,9,,,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -, I qusto smpio imo, Vv,, Commto sul mtodo Sicurmt vrt otto ch, i primi du smpi, il vlor ssoluto dll rror rltivo è idtico qust o è u coicid Lscio l lttor l fcil ricrc dll su giustificio Mtodo dll drivt Qusto mtodo d, com risultto, u vlor smpr mggior di qullo vro più il vlor dl umro è grd più il risultto si vvicirà l vlor vro Qusto è u mtodo molto utilito, visto l su strm smplicità Fccimo du smpi Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,, Sppimo ch il 9, L formul d utilir è: D A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo /9

37 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,, D,,,,9,9, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -, I qusto smpio imo, Vv, Esmpio Clcolimo il ritmo dciml dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,, Sppimo ch il, L formul d utilir è: D A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo M,, D,,,9,,,,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -, I qusto smpio imo, Vv, Ossrvio Voglio fr otr ch sist uo strtto lgm tr il Mtodo utilido l drivt il Mtodo dll umto fiito Torm di Tlor Riportimo or l sprssio di qusto scodo mtodo S ipotiimo ch il vlor di si trscuril risptto l vlor di possimo scrivr l sguti quivl pprossimt: Esgudo, ll sprssio prcdt, l sostituioi ottimo: Il risultto pp ottuto è proprio idtico l Mtodo utilido l drivt Ossrvio Voglio fr otr ch sist ch u lgm strttissimo tr il Mtodo utilido l drivt il Mtodo dll tgti - itrio di Nwto Riportimo or l sprssio di qusto scodo mtodo Com imo visto prcdtmt l formul d utilir è ch i qusto cotsto divi Co smplici pssggi ottimo: /9

38 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Il risultto pp ottuto è proprio idtico l Mtodo utilido l drivt Mtodo dll drivt l puto itrmdio Poiché il Mtodo dll drivt d, com risultto, u vlor smpr mggior di qullo vro possimo psr di migliorrlo dimiudo lggrmt il vlor dll drivt cioè ddol clcolr i u puto di vlor lggrmt mggior Qusto puto è il puto itrmdio tr co qust ipotsi ottimo l sgut sprssio: D D Il vlor clcolto, co qust sprssio, è smpr ifrior l vlor vro Fccimo du smpi Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,, Sppimo ch il 9, L formul d utilir è: D A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo,,,, D,,,9,9,, Com è possiil vdr il risultto ottuto è vrmt ottimo Esmpio Clcolimo il ritmo dciml dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,, Sppimo ch il, L formul d utilir è: D A qusto puto imo tutti gli lmti pr sguir il clcolo M,, D,,,,,9,,,,,, Com è possiil vdr il risultto ottuto è vrmt ottimo Ossrvio Voglio fr otr ch sist ch u lgm strttissimo tr il Mtodo dll drivt l puto itrmdio il Mtodo dll umto fiito Torm di Tlor Riportimo or l sprssio di qusto scodo mtodo S ipotiimo ch il vlor di llor imo ch: /9

39 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Esgudo, ll sprssio prcdt, l sostituioi ottimo: Il risultto pp ottuto è proprio idtico l Mtodo dll drivt l puto itrmdio Mtodo utilido gli itgrli I ppdic trovrt l dimostrio ch l drivt dll fuio ritmic, i s, è ugul ll ivrso dll vriil Cioè D prciò, gri ll fuio itgrl, è possiil clcolr il ritmo i s di Cioè vl l sgut sprssio d S impostimo ottimo ciò ch stvmo crcdo cioè d Prciò, pr clcolr, st spr clcolr d i modo dirtto Pr clcolr qusto itgrl, i modo dirtto, sistoo molti mtodi pprossimti qui illustrrò lcui Pr chirir i mtodi crdo si più smplic fr u smpio umrico poi pplicr lcui di qusti mtodi l ostro smpio umrico Esmpio Ammttimo di volr clcolr il ritmo i s di cioè il Prmtto immditmt ch il =,9 Aimo pp dtto ch: d Cioè, pr clcolr il modo dirtto, l itgrl d Vdimo or com si può sguir qusto clcolo st spr clcolr, i Fccimo u tll dividdo, l itrvllo tr il vlor di il vlor di, i prti uguli clcolimo l fuio i tutti i puti,,,, 9,,,,9,,,,,,,,,,,9,,, Riportimo i u grfico tutti i puti I sciss oriotl i vlori di i ordit vrticl i corrispodti vlori di, poi uimo tutti i puti ottuti co u li cotiu 9/9

40 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi L r putggit di rosso è proporiol i s ll scl utilit l vlor dl ritmo i s di Pr clcolr tl r i modo dirtto sistoo tr procdimti distiti cioè il Mtodo di itgrio grfico i Mtodi di itgrio umrici i Mtodi di itgrio mccici Vdimoli tutti tr Mtodo di itgrio grfico Almo i tori può ssr util cooscr il Mtodo di itgrio grfico Il mtodo cosist l ddurr, co l modlità ch tr poco illustrrò, l fuio itgrl cooscdo il grfico dll fuio d itgrr Vdimo or di illustrr qusto mtodo tdo prst ch il risultto ch possimo ottr è, ovvimt, pprossimto L prim cos è trccir il grfico dll fuio rltiv ll itrvllo ch si vuol clcolr Poi isog suddividr qusto itrvllo i u umro di prti uguli E d tr prst ch più il umro è grd, più prciso srà il risultto ch ottrmo m, primti, ch l complssità umtrà Nl ostro smpio suddividrò l itrvllo i ciqu prti uguli /9

41 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Possimo dir ch, pprossimtivmt, l figur putggit di rosso ch è u trpio pprossimto h u r ugul ll ordit dl puto mdio, moltiplicto pr l sciss,, corrispodt,, ch, pr il ostro smpio è ugul,,, Cioè, pr ssr chiri, co qusto mtodo sguimo qusto tipo di sostituio:, d f,,, d f,,,,, d f,,, d f,,,,,, d f,9,, Ovvimt qust ugugli soo pprossimt Riportimo, sul ostro grfico, tutt l ordit itrmdi di puti prsi i cosidrio,,,, Sull sciss, siistr dll origi dgli ssi, sgmo il puto P i modo ch l dist PO si ugul ll uità di misur dll sciss mdsim /9

42 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Riportimo sull ordit di origi l ordit di puti mdi Cioè riportimo sull ss dll l ordit di puti,,,,,,,, 9 ch soo rispttivmt,,,,,,,, 9 Dopo isog uir il puto ch riport l ordit mdi dl primo trpio ', l puto P Poi isog disgr u sgmto l primo trpio prlllo l sgmto P ', co iiio l puto di origi A qusto puto è sufficit riptr l procdur pr tutti gli ltri puti Cioè isog uir il puto ch riport l ordit mdi dl scodo trpio ', l puto P, poi isog disgr u sgmto l scodo trpio prlllo l sgmto P ', co iiio ll fi dl sgmto prcdt vdi figur Prosgudo i qusto modo ottimo il sgut grfico: /9

43 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Qust uov curv curv di color vrd rpprst, co u crt pprossimio, l fuio itgrl l curv di color vrd è l fuio ritmic Ovvimt ddo misurr l ordit di qust uov curv rifrit l puto, si otti il vlor dl ritmo i s di, cioè, Addo misurr l ordit l puto, si otti il, ddo misurr l ordit l puto, si otti il, I più curiosi trovro, i ppdic, l giustificio di qusto mtodo Mtodi di itgrioi umrici Ho scritto mtodi di itgrio umrici prché sistoo divrsi, tutti vrimt pprossimti, pr potr ffttur qusto clcolo Pr utilir qusti mtodi o srv ssu grfico m io, pr potr mglio chirir lcui mccismi, utilirò lcui Tutti qusti mtodi ho lcu prticolrità i comu E cssrio suddividr l itrvllo di itgrio i u umro cogruo di prti uguli l mio smpio l ho suddiviso i prti uguli visto ch ho clcolto l fuio f i 9 puti supplmtri Poi doimo clcolr l fuio i qusti uovi puti Ovvimt mggior è il umro d itrvlli uguli, co cui il sgmto vi suddiviso cioè quto più piccolo è l itrvllo, tto più stti sro i risultti dll formul ch drmo vdr Prciò pr cioè pr tutt l formul dro il mdsimo risultto ch srà ch il vlor stto dll itgrl dfiito ch stimo crcdo Qui illustrrò solmt tr mtodi cioè il Mtodo di rttgoli ch si suddivid i du mtodi distiti, il Mtodo di trpi il Mtodo dll prol Mtodo di Cvliri-Simpso Esistoo ch ltri mtodi di clcolo tr cui il Mtodo dll tgti, il Mtodo di Poclt, cc m sulo d qusto scritto Mtodo di rttgoli Dopo vr clcolto l fuio i tutti i puti, doimo sommr i vri rttgoli pr ottr il vlor pprossimto dll r putggit, ch quivl l vlor pprossimto dl ritmo turl di I rltà sr più corrtto dir Mtodi di rttgoli, poiché soo du i mtodi ch drmo vdr Co il primo mtodo drmo clcolr l itgrl pr diftto co il scodo mtodo drmo clcolr l itgrl pr ccsso Mtodo di rttgoli pr diftto Adimo vdr immditmt l formul d utilir d /9

44 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Qusto mtodo drà u vlor smpr mior risptto l vlor vro prché l fuio è u fuio dcrsct Nll ipotsi di utilir l prcdt sprssio su u fuio crsct il risultto srà mggior risptto l vlor vro Esmpio Prmtto immditmt ch il,9 d,,,,,,9,,,9,,9,,,,,,,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 Mtodo di rttgoli pr ccsso Adimo vdr immditmt l formul d utilir d Qusto mtodo drà u vlor smpr mggior risptto l vlor vro prché l fuio è u fuio dcrsct Nll ipotsi di utilir l prcdt sprssio su u fuio crsct il risultto srà mior risptto l vlor vro Esmpio Prmtto immditmt ch il =,9 /9

45 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi d,,,,,,, 9,,,9,,9,,,,,,, Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv, -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 Mtodo di trpi Sostitudo i rttgoli visti i du prcdti mtodi di trpi si otti u vlor dcismt miglior d Svolgdo i rltivi clcoli ottimo: d Risptto i mtodi visti prcdtmt qusto mtodo drà u vlor smpr mggior o smpr mior, risptto l vlor vro, i s ll cocvità dll fuio i sm Nll ipotsi di u fuio co cocvità vrso l lto il vlor clcolto srà smpr mggior risptto l vlor vro, vicvrs ll ipotsi di u fuio co cocvità vrso il sso Prciò, ll ipotsi di utilir qusto mtodo sull fuio, il vlor clcolto srà smpr mggior dl vlor vro Esmpio Prmtto immditmt ch il =,9 d,,,,,,,,9,,9,,,,,,, =,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,9 -,9 I qusto smpio imo 9, Vv,9 Ossrvio Si può ottr il mdsimo risultto ch sgudo l mdi ritmtic tr il Mtodo di rttgoli pr diftto il Mtodo di rttgoli pr ccsso,,,,9 Mtodo dll prol - Mtodo di Cvliri-Simpso Qusto mtodo cosist l sostituir ll fuio origiri cioè ll f u uov fuio ch si pprossimi cor mglio lmo i u piccolo itrvllo risptto u li rtt,,9, /9

46 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi com imo visto l mtodo prcdt L fuio ch si utili è l rco di prol di scodo grdo Crchimo di chirir qusto puto Nl mtodo prcdt imo sostituito ll fuio f, u spt cioè u sri di sgmti cosgutivi co qusto uovo mtodo sostituimo ll fuio f u sri di rchi di prol pssti pr tr puti Cioè il primo rco di prol pssrà pr i primi tr puti ; ; ; il scodo rco di prol pssrà pr il tro, il qurto il quito puto ; ; ; il tro rco di prol pssrà pr il quito, il ssto il sttimo puto ; ; ; cc Pr utilir qusto mtodo è cssrio suddividr l itrvllo i u umro pri di prti uguli Prciò possimo clcolr il vlor pprossimto dll itgl fcdo qust sostituio d I più curiosi trovro, i ppdic, l dimostrio di qust formul Esmpio Prmtto immditmt ch il =,9 d,,,,,,,,,,, 9,,,,,,9,9,,,,,,99,, 9,,9 Clcolo dl vlor ssoluto dll rror rltivo Vc Vv,9 -,9 I qusto smpio imo, Vv,9 Commto sul mtodo Qusto mtodo è, di gr lug, il più utilito ll prtic pr du uoi motivi Il primo motivo è l ottimo risultto cui si prvi il scodo motivo è l strm smplicità l suo utilio Mtodi di itgrioi mccici Sui Mtodi di itgrio mccici dirò soltto ch qudo l itrvllo di itgrio è molto grd i procdimti prcdti possoo risultr piuttosto loriosi, prciò soo stti mssi puto du diffrti pprcchi mccici chimti itgrfi plimtri Gli itgrfi soo dgli pprcchi mccici ch prmttoo di disgr dirttmt il grfico dll fuio itgrl qudo si stto disgto il grfico dll fuio d itgrr I plimtri soo dgli pprcchi mccici ch do dirttmt l r dll suprfici pi dlimitt d li Si sgu co u prticolr put il cotoro dll figur, prcdtmt disgt su u pio crtsio, poi, gri prticolri formul, si dduc co u crt pprossimio l r crct /9

47 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Appdic Clssificio di umri I umri si possoo clssificr com llo schm sgut Vdimo di spigr qusto rticolto, piuttosto complsso, schm Numro Il umro è u umro spcil ch f prt di umri turli Il umro è l lmto utro dll somm Numro Il umro è u ltro umro spcil ch f prt di umri turli Il umro è l lmto utro dll moltiplicio Numri Primi I umri primi soo i umri turli, mggiori di, ch soo divisiili solo pr s stssi pr Es ; ; ; ; ; ; ; 9; cc Tr i umri primi sist u solo umro pri ch è il umro, tutti gli ltri umri primi soo umri dispri Numri Composti I umri composti soo i umri turli ch o soo é primi, é mmo Es = ; = ; = ; 9 = ; = ; = ; = ; = ; cc Tutti i umri composti si possoo ottr moltiplicdo, tr loro, i umri primi Ovvimt i umri composti si possoo ch scomporr i umri primi scomposiio i fttori I umri composti possoo ssr si pri si dispri Numri Itri Positivi Nturli L isim di umri itri positivi o umri turli h qusto simolo N /9

48 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Soo l uio dl umro, dl umro, di umri primi di umri composti Es ; ; ; ; ; ; ; ;, 9,,, cc Qusto isim di umri si può ch suddivid i umri pri i umri dispri I umri pri soo i umri turli ch divisi pr do, com rsto, Es ; ; ; ; ; ; cc I umri dispri soo i umri turli ch divisi pr do, com rsto, Es ; ; ; ; 9; cc Numri Itri Ngtivi I umri itri gtivi soo tutti i umri itri positivi umri turli, divrsi d, prcduti dl sgo mo Prciò soo tutti umri miori di Es -; -; -; -; -; -; -; cc Numri Itri Rltivi L isim di umri itri o umri rltivi h qusto simolo Z Soo l uio di umri itri positivi di umri itri gtivi Es -; -; -; -; -; ; ; ; ; ; ; cc Numri Dcimli Fiiti I umri dcimli fiiti soo i umri ch ho u qutità fiit di cifr dcimli Possoo ssr si positivi si gtivi Es -,;,;,; cc Numri Dcimli Ifiiti Priodici I umri dcimli ifiiti o umri priodici soo i umri ch ho u qutità ifiit di cifr dcimli ch si riptoo priodicmt Possoo ssr si positivi si gtivi Es, = -, ;, =, ;, =, ;, =, ; cc Numri Friori I umri friori soo l uio di umri dcimli fiiti di umri dcimli ifiiti o umri priodici Es -,;,;, =, ; cc PS No isog cofodr i umri friori co l frioi I umri friori si suddividoo com d schm, l frioi si suddividoo i frioi propri frioi impropri ; l cui frioi impropri ho u sottoisim chimto frioi pprti Numri Rioli L isim di umri rioli h qusto simolo Q I umri rioli soo l uio di umri itri o umri rltivi di umri friori Soo tutti dll form co umri itri Z d Es -,; -; ; ;,; cc PS Tutti i umri rioli soo ch umri lgrici vdi oltr Numri Trscdti I umri dcimli ifiiti o priodici, ch o soo umri lgrici vdi oltr, si chimo umri trscdti Es s = -, ; =,9 ;, ;,9 ; cc PS Bisog fr suito u prcisio pr vitr fritdimti L fuioi trigoomtrich so, coso, cc di goli multipli itri di sssgsimli soo umri lgrici vdi oltr /9

49 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Numri Irrioli L isim di umri irrioli h qusto simolo J I umri irrioli soo l uio di umri trscdti di umri irrioli lgrici vdi oltr No soo dll form co umri Itri Z d Es, ;,9 ;,9 ; cc Numri Rli L isim di umri rli h qusto simolo R I umri rli soo l uio di umri rioli di umri irrioli Numri Immgiri I umri immgiri soo tutti i umri rli, divrsi d, moltiplicti pr l uità immgiri Dov Numri Complssi L isim di umri complssi h qusto simolo C I umri complssi soo u composiio tr i umri rli i umri immgiri Es ; ; ; cc PS Ovvimt s l prt rl è ugul imo u umro immgirio, s ivc è l prt immgiri d ssr ugul imo u umro rl Numri Algrici I umri lgrici soo tutti i umri ch soo soluio di u quio lgric cofficiti rioli Cioè soo soluioi di u quio dl tipo c dov i cofficiti,, c,, soo umri rioli Q Es ; ; ; ; -; ;, ;,; ; cc PS I umri lgrici possoo ssr umri rioli ; -;, ; cc, umri irrioli ; ; cc, umri complssi cofficiti lgrici I umri lgrici possidoo lcu prticolrità itrssti ; cc A Somm, sottrioi, moltiplicioi o divisioi co di umri lgrici do smpr, com risultto, di umri lgrici B L soluioi di u poliomio i cui cofficiti soo umri lgrici, soo umri lgrici C S soo umri lgrici co d,, co umro irriol, llor il umro è trscdt Cioè è u umro trscdt D qullo ch imo pp visto, risult l sgut succssio di iclusioi fr gli isimi umrici N Z Q R C d ioltr risult ch ch Q J R Il simolo sigific è cotuto i oppur è icluso i o ch è u sottoisim di Il simolo sigific uio 9/9

50 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Prdossi Qui vi frò vdr du dimostrioi rrt, co lo scopo di plsr l cssità di porr smpr l mssim ttio qudo si mipolo i ritmi Ovvimt prtirò d u ffrmio vr, ttrvrso u sri di pssggi corrtti mo uo, rrivrò u ffrmio plsmt fls Strà ll vostr rvur cpir i qul puto, dll dimostrio, c è l rror qul è qusto rror ch cr il prdosso Nll ultim pgi dll ppdic, trovrt l soluioi Prdosso Dimostrrmo ch L ffrmio sgut è vr Clcoldo il ritmo di trmi i trmii ottimo: Smplificdo ottimo: Dividdo trmi i trmii pr l sprssio imo: E poiché ottimo ch qust ffrmio è plsmt fls Dov è l rror ch h crto qusto prdosso? Prdosso Dimostrrmo ch L ffrmio sgut è vr Clcoldo il ritmo di trmi i trmii ottimo: Smplificdo ottimo: Prciò imo ch: Dividdo trmi i trmii pr imo: Pr l dfiiio di ritmo, imo: Ovvimt pr cui imo ottuto ch qust ffrmio è plsmt fls Dov è l rror ch h crto qusto prdosso? Formul ch rpprst il umro L più coosciut, m o l uic, formul ch rpprst il umro trscdt è sicurmt l sprssio lim Qust formul è smplic m o è dtt pr clcolr il rltivo vlor /9

51 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Il vlor dl umro è comprso tr i vlori di di Torm Pr il vlor dll fuio crsc d è comprso tr il vlor di di Qusto ftto è sufficit pr dimostrr ch l fuio lim è limitt il suo limit è coviolmt idicto co l lttr Cioè vl l sgut disugugli lim Poiché l dimostrio è piuttosto rticolt, dimostrrò qusto torm suddividdolo i tr prti distit Prt prim Dimostrimo ch l fuio Dimostrio Pr il vlor dll fuio CVD Prt scod h u limit ifrior è ugul qusto è il limit ifrior Dimostrimo ch l fuio, l crscr di, crsc Dimostrio Prim di tutto vdimo lo sviluppo ll pot -sim di u iomio Qusto sviluppo i sri si chim iomio di Nwto Esgudo l sostituioi ottimo:!!! Cioè:!! L prim cos d dir è ch qust somm è compost d trmii tutti positivi Prciò l crscr di il umro di trmii crsc crsc ch il vlor di tutti i trmii oltr i primi du I prtic qudo il umro pss d tutti i trmii, dl tro trmi comprso i poi, crscoo i vlor i più si v sommr, i prcdti trmii, u uovo trmi CVD Prt tr Dimostrimo ch l fuio, pr h u limit suprior Dimostrio Aimo pp visto ch:!! Aggiugdo ltri trmii ottimo: /9

52 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi!!!! Prciò: lim lim lim!! lim! lim! Cosidrdo ch: il lim il lim il lim il lim cc Or, sgudo tutt l smplificioi, ottimo l sgut ll, oltr ch fcil d ricordr, sprssio lim!!!!!!!! 9! Co qust formul è possiil clcolr il vlor di i modo smplic vloc com vdrmo tr poco Or sostituimo, ll prcdt sri, lcui domitori co umri più piccoli!!! Qust sostituio provoc u umto dl vlor di vri dddi!!! Prciò imo: lim!!!!! L sri pp ottut l possimo sprr i du prti, il primo trmi tutti gli ltri trmii Adimo or d lir tutti i trmii ch rimgoo dopo vr cctoto il primo trmi Qust sri è u progrssio gomtric dov tutti i trmii ho il mdsimo sgo +, l su rgio è q il primo trmi è L somm di vri trmii di u progrssio gomtric l possimo clcolr co l sgut q formul S dov co idico il umro di vri trmii dll mdsim q progrssio Or, sgudo l vri sostituioi, ottimo: /9

53 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi S S S S S Prciò, rissumdo, imo: lim!!!! Ovvro: lim CVD Clcolo dl vlor di pr ch td mo ifiito Pr l sprssio ll sprssio ll ipotsi ch? Qui dimostrrmo ch, ch i qusto cso, l sprssio td l umro trscdt Cioè lim td l umro trscdt, m ch succd Dimostrio S poimo llor risult ch d sgudo, ll sprssio prcdt, il cmio di vriil imo: lim lim lim lim Or, sgudo smplici pssggi, ottimo: lim lim lim lim[ CVD lim lim ] lim lim[ Rpprstio grfic dll fuio ] Prim di riportr l rpprstio grfic dll fuio isog studir l itrvllo di sist Poiché dv risultr ch è piuttosto smplic vdr ch sistoo soltto csi cioè: /9

54 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Pr l fuio è smpr mggior o ugul ro Pr l fuio è mggior o ugul ro pr Aimo pp dimostrto ch: A lim B lim E fcil vdr ch: C lim Adimo or clcolr il vlor dl lim Pr dtrmir qusto vlor simo oligti utilir i ritmi, prciò il limit prcdt si modific così lim lim lim ti ti lim ti lim Qui imo l form idtrmit l possimo risolvr gri ll Rgol D L Hospitl D ti lim ti lim ti lim D ti lim ti Rissumdo imo ch: D lim Rpprstio grfic dll fuio /9

55 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Clcolo di lcu fuioi prticolri Vdimo or com risolvr fuioi simili A lim lim lim lim lim Prciò imo ch il B lim lim Prciò imo ch il C lim lim lim Prciò imo ch il D lim lim Prciò imo ch il E lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim Prciò imo ch il lim ch potrmmo trovr lim lim lim lim lim lim /9

56 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi F lim lim Prciò imo ch il G lim lim Prciò imo ch il H lim lim lim Prciò imo ch il I lim lim lim Prciò imo ch il lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim Altr formul ch rpprsto il umro trscdt Or vdrmo lcu ltr formul ch rpprsto il umro trscdt U sprssio è l [,,,,,,,,,,,,,,,] Qust è u frio cotiu illimitt co sptti di rgolrità /9

57 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi U scod sprssio è l [,,,,,,] Qust è u frio cotiu illimitt grlit U tr sprssio è l scdt Qust è u frio cotiu illimitt Clcolo dl umro trscdt Pr qusto clcolo utilirmo l sprssio ch imo visto!!!!!! prcdtmt ch, gri d ss, prmtt di ffttur il clcolo i modo smplic vloc = =! =,! =,! =,! =,! =,9! =,9! =,! =, 9! =,! =,! L somm di primi dodici trmii è ugul, ottdo u vlor di ch è u ottim pprossimio, poiché il suo vlor vro è,9 Mtodi pr ricordrsi l cifr dl umro trscdt Esistoo molt frsi mmoich pr potr fcilmt ricordr lcu, dll ifiit cifr, dl umro trscdt I qust frsi ogi prol corrispod u cifr dl umro il umro dll lttr dll prol quivl l vlor dll cifr mdsim smpio Io =, ricordo = /9

58 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi, cc Qui riporto du di qust frsi co ss si possoo ricordr, molto gvolmt, l prim cifr dl umro trscdt ovvro,9 Io ricordo mdito l costt mdit l tiritr dt qul ripio Ai modsti o vitosi, i violti o timorosi, do ctdo gio ritmo, ritmo Normlmt o è cssrio ricordrsi così tt cifr dcimli, i qusto cso, possimo utilir u ltro mtodo Co qust ltro mtodo strà ricordrsi l prim du cifr, poi u umro com s foss u dt Co qusto mtodo si possoo ricordr l prim cifr dcimli, =, dl umro trscdt Proprità fodmtli dl umro Il umro trscdt h du proprità fodmtli Vdimol trm Drivt dll fuio ritmic L fuio ritmic è h Il suo rpporto icrmtl è ugul h Co smplici pssggi ottimo: h h h [ h ] [ ] [ ] [ ] h h h h h h S poimo d sguimo l sostituio ll sprssio prcdt ottimo: h Pr ottr l drivt dll fuio ritmic è cssrio fr tdr ro il vlor di h Ovvimt s h td ro il vlor di td ifiito Prciò imo: ' lim[ ] ' lim[ ] ' lim[ ] h ' [lim ] poiché lim imo ch ' Dopo tutti qusti pssggi imo ottuto ch: D Or, ll ipotsi ch l s di ritmi si il umro trscdt cioè, imo: D poiché L smplicità di qusto risultto giustific prché, i lisi, è opportuo dottr il umro trscdt com s di ritmi CVD Drivt dll fuio spoil Aimo pp visto, l puto prcdt, l import di utilir il umro trscdt com s di ritmi Qusto implic ch, ch pr il clcolo dll fuio spoil, impostdo com s il umro trscdt, si d ottr u otvol smplificio, /9

59 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi poiché l fuio spoil è l ivrso dll fuio ritmic Comuqu dimostrimo, ch i qusto cso, l su drivt ch è di fodmtl import L fuio spoil è Clcoldo il ritmo i s, di trmi i trmii, ottimo: Ch quivl : S clcolimo l drivt di trmi i trmii, ottimo: D ' D Ovvimt trm l drivt dvoo ssr uguli, prciò imo ch: ' Ovvro: ' Sostitudo il suo vlor imo ch: ' Com imo visto i Trsformio di u ritmo d u s u ltr s risult ch: Sostitudo qusto risultto ll sprssio prcdt ottimo: D Or, ll ipotsi ch l s dll fuio spoil si il umro trscdt cioè, imo: D Cioè l drivt di è l stss fuio CVD U piccolo m simptico prolm Tr qul è il umro più grd? S si sguoo i clcoli imo:,9,9 Esistoo divrsi mtodi pr dimostrr ch clcolo, d io illustrrò u mtodo grl è mggior di, s sguir ssu tipo di Dimostrio Ivc di sguir il cofroto tr fccimo u cofroto più grl Il cofroto ch vdrmo è: cofrotto co Clcoldo il ritmo i s di trmi i trmii, il cofroto divt: cofrotto co 9/9

60 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Smplificdo ottimo: cofrotto co Possimo smplificr cor ottdo: cofrotto co poiché il Com imo visto ll proprità fodmtli di ritmi s l s dl ritmo è mggior di llor il risultto crsc l crscr dl umro Poiché imo utilito, ll ostr trsformioi, il ritmo i s, ch è mggior di, possimo scrivr ch: S llor S S llor llor Voglio ricordr ch il o si può clcolr pr, poiché l fuio ritmo o sist pr i umri gtivi o uguli ro Pr stilir qul dll tr prcdti ipotsi corrispod l vro, è cssrio clcolr l drivt prim scod dll fuio f Fuio Drivt prim Drivt scod f f ' f '' Pr è smpr positivo llor ch è smpr positivo qusto sigific ch l fuio f rivolg vrso l lto l su cocvità Qusto sigific ch l fuio f h u miimo Clcolimo or qusto miimo impostdo ro l drivt prim f ' Risolvdo qusto smplic clcolo ottimo pr qusto vlor l fuio f vl ro Poiché il vlor più piccolo dll fuio f è ro pr il puto è ovvio ch pr dv risultr f ovvro D qusto risultto possimo ddurr, ddo ritroso, ch pr ogi Pr qusto motivo, poiché, srà CVD Alcu situioi dov è prst il umro trscdt Il umro trscdt lo possimo trovr i molt situioi fomi diffrti Poiché o è possiil, pr ovvi rgioi, mostrrli tutti io illustrrò lcui A Mtmtic Studio di u fuio prticolr Qul è il vlor di ch rd mssimo il vlor dll fuio Itto possimo vdr ch:? D qui possimo ddurr ch il vlor dll è mggior dl vlor dll dl vlor pr ssr prcisi il vlor dll ugul l vlor Prciò, i u itoro di, /9

61 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi imo sicurmt u mssimo rltivo Comuqu, pr rispodr ll ostr domd iiil, isog prim rispodr u ltr domd cioè: Qul è l drivt dll fuio? Esguimo qusto clcolo g f g f f g f f ' ' g' f g f ' ' g' f g f f g g f ' Prciò l drivt dll fuio f è l fuio ' f g' f g f Or imo tutti gli strumti pr rispodr ll ostr domd iiil L fuio può ssr scritt ch com utilido l formul di drivio pp vist, ottimo: ' ' ' ' Il vlor di miimi/mssimi rltivi si trovo impostdo ' cioè: Qust fuio è ugul ro qudo: Ch risolt d: Pr qusto vlor imo l uico miimo/mssimo rltivo Pioché imo già stilito ch i u itoro dl umro dv sist u mssimo rltivo possimo ddurr ch il vlor trovto dv ssr il mssimo rltivo Crchimo or il mssimo ssoluto I gr isogr clcolr l fuio ch i du strmi i qusto cso gli strmi soo cofrotr i tr vlori pr stilir il mssimo ssoluto, m l fuio ' si ull u sol volt, prciò il vlor dl mssimo rltivo è ch il vlor dl mssimo ssoluto D ciò si dduc ch l fuio h il mssimo ssoluto l puto Pr pur curiosità il vlor dl mssimo ssoluto è, Solo com cotroprov clcolimo l fuio ch i du strmi Clcolo dl vlor dll fuio pr lim lim lim ti ti Clcolo dl vlor dll fuio pr lim ti lim lim limti ti lim ti lim g ti ti lim lim Qui imo l form idtrmit l possimo risolvr gri ll Rgol D L Hospitl /9

62 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi D ti lim ti lim ti lim D ti Studio di u ltr fuio prticolr Provimo studir l fuio Clcolimo l drivt co l formul ch imo visto ll smpio prcdt ' ' Il vlor di miimi/mssimi rltivi si trovo impostdo ' cioè: Qust fuio è ugul ro qudo: Ch risolt d: Pr qusto vlor imo il miimo/mssimo rltivopoiché l drivt si ull u sol volt l puto qusto vlor dv ssr ch il puto di mssimo o di miimo ssoluto Cosidrdo ch l fuio, pr vlori crscti di, td crscr idfiitivmt, l puto dv ssr loclito il miimo rltivo qusto vlor è ch il miimo ssoluto Pr pur curiosità qusto vlor di miimo ssoluto è,9 Solo com cotroprov clcolimo l fuio ch i du strmi Clcolo dl vlor dll fuio pr lim lim ti ti lim ti lim ti lim Qui imo l form idtrmit l possimo risolvr gri ll Rgol D L Hospitl D ti lim ti lim ti lim D ti lim ti lim ti Clcolo dl vlor dll fuio pr lim B Tcoi Cpcità di u codstor cilidrico No è smplicissimo dimostrr ch l cpcità di u codstor cilidrico è ugul : /9

63 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi r l C r ri Dov idico co: C = cpcità dl codstor cilidrico = prmttività o costt dilttric rltiv r = prmttività o costt dilttric ssolut Qust costt vl,9 l = lugh dl codstor cilidrico r = rggio itro dl cilidro stro r i = rggio stro dl cilidro itro Qust formul trov pplicio i coduttori cossili, i cvi uipolri, gli isoltori pssti, cc Cpcità di du coduttori prllli filiformi di idtico dimtro Ach i qusto cso o è smplicissimo dimostrr ch l cpcità di u codstor formto d du coduttori prllli filiformi, di idtico dimtro, è ugul : r l C d r r Dov idico co: C = cpcità di du coduttori prllli filiformi di idtico dimtro = prmttività o costt dilttric rltiv r = prmttività o costt dilttric ssolut Qust costt vl,9 F/m l = lugh di coduttori filiformi r = rggio di coduttori filiformi d = dist tr i ctri di du coduttori filiformi S, com vvi grlmt, d r d molto mggior di r llor l prcdt formul può ssr smplifict ll sgut formul pprossimt: r l C d r Qust formul trovo pplicio ll li r coduttori udi Riscldmto rffrddmto di u mcchi L formul ch drmo vdr trovo l loro pplicio i tutt l mcchi ch, l loro fuiomto, gro clor trsformtori, motori lttrici, motori trmici, cc Ovvimt trm l formul soo vlid i limiti i cui si può ritr l mcchi u corpo omogo tmprtur uiform immrso i u mo omogo tmprtur uiform Qust ipotsi rdoo ltori i risultti ottuti ttrvrso l utilio di qust formul ch s soo molto utili com vlori orittivi Riscldmto di u mcchi Nl cso di u mcchi fuiot crico costt l su tmprtur vri i s ll sgut formul t p p T t r co r k S K Dov idico co: F/m /9

64 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi t = tmprtur l tmpo t = tmprtur mit r = sovrtmprtur rgim T = costt di tmpo trmic dll mcchi t = durt dl fuiomto dll mcchi p = pot trsformt i clor ll itro dll mcchi k = cofficit spcifico mdio di trsmissio dl clor pr coduio, pr covio pr irrggimto S = suprfici disprdt dll mcchi K k S = cofficit glol di trsmissio dl clor Rffrddmto di u mcchi I modo o l riscldmto, vvi il rffrddmto di u mcchi Ovvimt l mcchi si trovrà u tmprtur suprior ll tmprtur mit, u crto puto vi dislimtt, l su tmprtur vrirà i s ll sgut formul t T t s Dov idico co: = tmprtur dll mcchi l tmpo t t = tmprtur mit s = sovrtmprtur dll mcchi t = tmpo trscorso dll cssio dl fuiomto dll mcchi T = costt di tmpo trmic dll mcchi Ossrvio L costt di tmpo trmic dll mcchi è il rpporto tr l cpcità trmic clor spcifico moltiplicto l mss dll mcchi il cofficit glol di trsmissio dl clor Cric scric di u codstor lttrico Cric I modo o ll formul pr il riscldmto di u mcchi imo l formul di cric di u codstor lttrico, iiilmt scrico, ttrvrso u circuito vt u rsist lttric t RC Vt V Dov idico co: V t = tsio l tmpo t V = tsio di limtio t = durt dll cric R = rsist complssiv dl circuito lttrico C = cpcità complssiv dl circuito lttrico Scric I modo o ll formul pr il rffrddmto di u mcchi imo l formul di scric di u codstor, iiilmt crico, ttrvrso u circuito vt u rsist lttric t RC Vt V Dov idico co: V t = tsio l tmpo t V = tsio iiil dl codstor /9

65 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi t = durt dll scric R = rsist complssiv dl circuito lttrico C = cpcità complssiv dl circuito lttrico Ctri L ctri ordiri o ctri omog è u prticolr curv dscritt d u filo omogo flssiil istsiil sospso i du strmi soggtto soltto l proprio pso ch lo f flttr Tl curv è molto simil u prol di scodo grdo m, com dimostrò Hugs ch stilì ch l rltiv quio i coordit crtsi ortogoli, l ctri h u quio divrs U smpio cocrto di u ctri l possimo vdr i coduttori di tutt l li lttrich r, poiché possimo cosidrr il coduttor sufficitmt omogo, flssiil istdiil Noostt qullo ch ho pp dtto, ll mggior prt di csi si sguoo i clcoli ipotido ch l curv dscritt si u prol Vi ffttut tl ipotsi pr motivi di smplicità visto ch l diffr è, usulmt, vrmt trscuril Nl cso dll fui di u pot sospso, dov il pso dll fu è trscuril risptto l pso dll pvimtio d ss sorrtt, si può dimostrr ch l curv ch si vi crr è u prol Vdimo or l quio dll ctri k k k I lcui tsti si trov qust ltr formul quivlt: k cosh k Dov idico co: k = costt pproprit cosh = coso iprolico L costt k è dirttmt proporiol ll compot oriotl dll tsio dl filo d è ivrsmt proporiol ll dsità lir dl filo cioè il pso dl filo rifrito ll uità di lugh C Ecoomi Possimo ritrccir il umro trscdt ch i coomi più prcismt l clcolo dgli itrssi composti L itrss composto è qull itrss clcolto oltr ch sul cpitl, ch sugli itrssi già mturti ch prciò soo divtti, tutti gli fftti, prt itgrl dl cpitl M C p Dov idico co: M = mott C = cpitl iiil p = tsso d itrss sprsso i ctsimi = tmpo sprsso i i Torm Dimostrimo l formul vist i prcd Dimostrio All fi dl primo o il mott srà ugul ll somm dl cpitl iiil C dgli itrssi C p ch, gri l cpitl iiil, soo mturti Cioè: M C C p C p Ovvimt il mott dl primo o è ch il cpitl iiil dl scodo o /9

66 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi All fi dl scodo o il mott srà ugul ll somm dl cpitl iiil C p dgli itrssi C p p ch, gri l cpitl iiil, soo mturti Cioè: M C p C p p C p p C p Ovvimt il mott dl scodo o è ch il cpitl iiil dl tro o All fi dl tro o il mott srà ugul ll somm dl cpitl iiil C p dgli itrssi C p p ch, gri l cpitl iiil, soo mturti Cioè: M C E così di sguito pr tutti gli i futuri CVD p C p p C p p C p Vdimo or di cpir dov il umro si scod ll formul pp dimostrt Nll ipotsi ch gli itrssi sio sommti l cpitl u volt l o, imo: M C p Nll ipotsi ch gli itrssi sio sommti l cpitl ogi msi volt l o, imo: p M C Nll ipotsi ch gli itrssi sio sommti l cpitl ogi ms volt l o, imo: p M C Nll ipotsi ch gli itrssi sio sommti l cpitl i modo cotiuo, imo: p p p M lim C C lim C Si potr psr ch, co qust ultim ipotsi, il cpitl crsc i modo imprssiot risptto ll ltr ipotsi, m qust è solo u illusio Pr dimostrrlo fccimo u smpio Esmpio I qusto smpio clcolrò il mott i lcu situioi Idico co: C = cpitl iiil di uro p = itrss dl % uo o più corrttmt, uo = priodo di i M = mott o cpitl fil dopo i Clcolo dl mott ll ipotsi ch gli itrssi sio ttriuiti u volt ogi o M C p,, uro Clcolo dl mott ll ipotsi ch gli itrssi sio ttriuiti du volt ogi o p, M C,,9 uro Clcolo dl mott ll ipotsi ch gli itrssi sio ttriuiti volt ogi o p,, M C 9, uro Clcolo dl mott ll ipotsi ch gli itrssi sio ttriuiti i modo cotiuo p,, M C 9, uro Com si può vdr l diffr, tr l du ipotsi strm, è di solo, uro /9

67 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Mtodo dll tgti - itrio di Nwto Trlscido compltmt tutt l tori ch c è ditro, prché sul d qusto scritto, dimo dirttmt l formul dfiitiv, dov: f = fuio d clcolr ' f = drivt dll fuio d clcolr f = vlor dll fuio l puto f ' = vlor dll drivt, dll fuio, l puto = vlor pprossimto di prt dll ostr fuio = vlor pprossimto, u poco miglior risptto, dll ostr fuio f f ' Pr ssr chiri fccimo suito u smpio Esmpio f Voglimo trovr il vlor di ch soddisfi qust fuio L fuio, pr vl f L fuio, pr vl f D qusti du vlori pp clcolti si vd ch u dll soluioi, dll ostr quio, dv ssr comprs tr Utiliimo l formul pp scritt pr clcolr qusto vlor L drivt dll fuio è f ' Utiliimo, i qusto smpio, com primo vlor pprossimto dll ostr fuio L fuio è f sostitudo il vlor di imo f L drivt è f ' sostitudo il vlor di imo f ' f Siccom llor, f ' Prciò f, S ritrimo qust mtodo ottimo: f dov,, prciò f, f ' dov,, prciò f ', f, Siccom llor =, =, f ', Prciò il vlor di f è,9 S ritrimo qust fuio ottimo: f = dov =,, prciò f =,9 f ' = dov =,, prciò f ' =,9 f,9 Siccom llor =, =,9 f ',9 Prciò il vlor di f è, Com è possiil vdr co sol itrioi imo ottuto u uo pprossimio, visto ch l f, pr =,9, è molto vicio vl, /9

68 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi A qusto puto ci srà sicurmt qulcuo ch si domdrà Bllo, itrsst, m ch c tr co il clcolo di ritmi? L rispost è smplic, ch il clcolo di ritmi è sprssio di u fuio Clcolo dll fuio ritmic L fuio quivl ll fuio l soluio di qust scod fuio è soluio ch dll prim fuio Prciò imo ch f l su drivt è f ' f Poiché, sostitudo si otti f ' Alcui smpi l potrt trovr l cpitolo Clcolo dll fuio spoil L fuio quivl ll fuio l soluio di qust scod fuio è soluio ch dll prim fuio Prciò imo ch f l su drivt è f ' f Poiché, sostitudo si otti ch smplificdo si otti: f ' Vdimo or lcui smpi su com utilir qust formul Esmpio, Clcolimo l fuio spoil i s dl umro, cioè, Prmtto immditmt ch =,9, Il vlor di è sicurmt comprso tr,, utilirmo, com vlor iiil il vlor di,,,,,,,,,,9,9,9,,9,,,9,9,9,,9,,,,,,,999,,,,,,,,9,9,,9,,,,,9,9 Poiché il vlor di di soo uguli, qust ultimo è il vlor crcto Com è possiil vdr co stt itrioi simo prvuti u vlor corrtto sio l dciml Esmpio, Clcolimo l fuio spoil i s dl umro, cioè, Prmtto immditmt ch =,, Il vlor di è sicurmt comprso tr, utilirmo, com vlor iiil il vlor di /9

69 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,,,,,,,,,,9,9,,9,,,,,,,,,9,,,,,,,,,9,9,9,,9,,,,,,,,,, Poiché il vlor di di soo uguli, qusto è il vlor crcto Com è possiil vdr co stt itrioi simo prvuti u vlor corrtto sio l dciml Commto sul mtodo Com è possiil vdr, pr utilir qusto mtodo pr il clcolo spoil, è cssrio potr sguir il clcolo ritmico co molt prcisio, com imo visto l cpitolo, il clcolo ritmico è piuttosto complsso Pr qusto motivo il Mtodo dll tgti - itrio di Nwto si utili solmt pr clcolr i ritmi poiché il clcolo spoil è rltivmt molto più smplic Alcui sviluppi i sri di Tlor Lo sviluppo i sri di Tlor è d import fodmtl prché sostituisc, u fuio mggiil co difficoltà, co u poliomio ch è sicurmt più fcil d utilir Voglio sottolir, s dimostrrlo, ch o tutt l fuioi soo sviluppili i sri di Tlor Trlscido l dimostrio di qusto importt torm, prché sul d qusto scritto, vdimo immditmt il risultto fil il suo utilio prtico I II III f f f f f!!! Dimo or lcui smpi su com utilir qusto torm! IV f Esmpio Sviluppimo i sri di Tlor l fuio Clcolimo l drivt dll f f f I cioè f III IV f f cc Esgudo l dovut sostituioi imo ch:!!!!! Podo imo:!!!!! Esgudo tutt l smplificioi tdo coto ch ottimo:!!!!!!!!!! Ch pr si trsform ll fmos formul: f II 9/9

70 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi!!!!! Esmpio Sviluppimo i sri di Tlor l fuio Clcolimo l drivt dll f f f I cioè f III f cc f II Esgudo l dovut sostituioi imo ch:!!! Podo imo:!! Esgudo tutt l smplificioi ottimo:!!! Esmpio Sviluppimo i sri di Tlor l fuio cioè f Clcolimo l drivt dll f f f III f VI cc Esgudo l dovut sostituioi imo ch:!!! f I f II f IV f V! Podo imo:!!!!!!!!! Esgudo tutt l smplificioi tdo coto ch ottimo: Esmpio Sviluppimo i sri di Tlor l fuio s cioè f s /9

71 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Clcolimo l drivt dll f s f s f I cos f II s f III cos f IV s cc Esgudo l dovut sostituioi imo ch: s s cos s cos s!!!! Podo imo: s s cos s cos s!!!! Esgudo tutt l smplificioi tdo coto ch s cos ottimo: s!!! Ossrvio L drivt dll fuioi goiomtrich sopr riportt soo vlid solo l cso ch l golo si misurto i rditi Nll ipotsi ch l golo si misurto i grdi sssgsimli vo moltiplict pr l costt Qusto è il motivo pr cui è opportuo, pr vr l mssim smplicità i clcoli, misurr gli goli i rditi o i grdi sssgsimli Esmpio Sviluppimo i sri di Tlor l fuio Clcolimo l drivt dll f cos cos cioè f cos f cos f I s f II cos f III s f IV cos cc Esgudo l dovut sostituioi imo ch: cos cos s cos s cos!!!! Podo imo: cos cos s cos s cos!!!! Esgudo tutt l smplificioi tdo coto ch s cos ottimo: cos!!! Ossrvio L drivt dll fuioi goiomtrich sopr riportt soo vlid solo l cso ch l golo si misurto i rditi Nll ipotsi ch l golo si misurto i grdi sssgsimli vo moltiplict pr l costt Qusto è il motivo pr cui è opportuo, pr vr l mssim smplicità i clcoli, misurr gli goli i rditi o i grdi sssgsimli Esmpio Aimo pp visto lo sviluppo i sri di Tlor dll fuio f cos Or vdrmo lo sviluppo dll mdsim fuio cosidrdo di misurr l golo i grdi sssgsimli o i rditi /9

72 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Clcolimo l drivt dll f cos f cos f I s f II cos f III s f IV cos cc Prciò sgudo l dovut sostituioi, imo ch: cos cos s cos s!!! cos! Podo imo: cos cos s cos s!!! Esgudo tutt l smplificioi tdo coto ch s cos ottimo: cos!!! Ovvro: cos!!! Prcisimo suito ch è l costt ch trsform u golo misurto i grdi sssgsimli l mdsimo golo misurto i rditi Dl rffroto tr qusto sviluppo qullo dll smpio prcdt è fcil cpir prché si utilii misurr gli goli i rditi ivc ch i grdi sssgsimli Esmpio Qulcuo si srà domdto dl motivo pr cui si sgu lo sviluppo i sri dll fuio ivc dl più ovvio sviluppo i sri dll fuio Provimo sguir qusto sviluppo vdimo cos succd Clcolimo l drivt dll f f f I f II f III f IV f V f VI cc Com possimo vdr l drivt soo più smplici risptto qullo dll f Or sgudo l dovut sostituioi imo:!!!! Gurddo l formul pp scritt si cpisc fcilmt prché o possimo porr Provimo porr vdimo cos succd!!!! /9

73 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Smplificdo ottimo: S sguimo l sostituio ottimo: Qust sprssio è idtic, cosidrdo il cmio di vriil, llo sviluppo i sri visto prcdtmt, ovvimt, o potv ssr divrsmt Altri utilii dgli sviluppi i sri Vdimo or u prticolr utilio dllo sviluppo i sri Ovvimt lo sviluppo i sri di u crt fuio è quivlt ll fuio mdsim, pr cui sgudo dll oprioi oprioi ritmtich, itgrioi, drivioi, cc sui trmii dllo sviluppo è com s si sguissro, l idtich oprioi, sull fuioi di prt Vdimo or du smplici smpi prtici Esmpio Sppimo ch l drivt dll fuio è l fuio mdsim cioè l D Provimo trovr qusto risultto ttrvrso lo sviluppo i sri!!!!! Prciò: D D D D D D D D!!!!!!!!!!!!!!!!! D cui: D!!!! Esmpio Sppimo ch l drivt dll fuio s è l fuio cos cioè l Ds cos Provimo trovr qusto risultto ttrvrso lo sviluppo i sri s!!! Prciò: Ds D D D D D!!!!!!!!! Prciò: Ds!!! Spdo ch: cos!!! Risult ch: Ds cos /9

74 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Ossrvio Ovvimt qust o soo dll dimostrioi vlid visto ch, pr sguir gli sviluppi i sri, imo utilito i risultti ch qui imo riottuto Alcui commti sullo sviluppo i sri dll fuio ritmic Lo sviluppo i sri dll fuio f è, com imo visto: Aliimo il comportmto di qusto sviluppo i sri l vrir di Pr l simo trmi o è u ifiitsimo cioè il lim pr cui lo sviluppo i sri o è utiliil ioltr o sistoo i ritmi di umri gtivi Pr l simo trmi è u ifiitsimo cioè il lim m l somm di tutti i trmii ch soo tutti gtivi è ugul com dimostrrò tr poco Pr l simo trmi è u ifiitsimo l somm di tutti i trmii covrg l vlor dll fuio Pr l simo trmi è u ifiitsimo l somm di tutti i trmii ch soo pr mtà positivi, pr l ltr mtà, gtivi covrg l vlor dll fuio ovvro l vlor dl Pr l simo trmi o è u ifiitsimo prciò lo sviluppo i sri o è utiliil Dopo vr lito tutti ciqu i csi si dduc ch, pr potr utilir lo sviluppo i sri, il vlor di dv vrificr l sgut disugugli Vdrmo tr poco, co u smpio prtico, u cos itrsst L ipotsi ch l simo trmi si u ifiitsimo è u codiio cssri, m o sufficit, grtir l covrg di u quluqu sri Alcui commti sullo sviluppo i sri dll fuio spoil Lo sviluppo i sri dll fuio f è, com imo visto:!!!!!!! Aliimo il comportmto di qusto sviluppo i sri l vrir di Idipdtmt dl vlor di l simo trmi è u ifiitsimo cioè il! lim, lo sviluppo i sri è smpr utiliil l somm covrg smpr pr quluqu! vlor fiito di Sri Qui o trttrò qusto itrsst vsto rgomto prché sul d qusto scritto, qui frò vdr solmt lcu cos ch ritgo itrssti ttiti L prim cos d dir è ch c è complt quivl tr l oio di sri qull di succssio Dfiiio Si dic succssio di umri o smplicmt succssio, u isim di ifiiti umri, ch si dicoo trmii o lmti dll succsio, disposti i u ordi dtrmito d u lgg l qul /9

75 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi prmtt, prtir d uo di ssi, ch è il primo lmto, di dtrmir gli lmti succssivi Gli lmti di u succssio si possoo mttr i corrispod iuivoc co l isim N di umri turli, cioè costituiscoo u isim umril Esmpi di succssio,,,,,,,,,, Dfiiio Si dic sri ssocit ll succssio o smplicmt sri, l succssio dll somm prili, o smplicmt ridott, di u succssio S qust succssio mmtt limit fiito, si dic ch l sri covrg, s qust succssio mmtt limit o si dic ch l sri divrg o rispttivmt S qust succssio o mmtt limit si dic ch l sri è idtrmit Esmpi di succssio Possimo ch dir ch: A s l simo trmi o è u ifiitsimo l sri o covrg B s l simo trmi è u ifiitsimo l sri può covrgr o divrgr m qust è u codiio cssri m o sufficit pr l su covrg Esmpio I qusto smpio imo ch l simo trmi o è u ifiitsimo l sri divrg S Esmpio I qusto smpio imo ch l simo trmi o è u ifiitsimo l sri è idtrmit S Dopo vr visto du smpi dov l simo trmi o è u ifiitsimo vdimo, i qusto tro smpio, ch l simo trmi è u ifiitsimo l sri divrg Esmpio Cosidrimo il clssico smpio dll sri rmoic S Dimostrimo ch, oostt l simo trmi si u ifiitsimo, l sri divrg positivmt cioè td Dimostrio Or sostituimo d lcui trmii di umri lggrmt ifriori s riuscirmo dimostrr ch qust uov sri divrg positivmt ch l sri di prt divrgrà positivmt dimostrdo l ffrmio di prt Sostituimo il vlor di /9

76 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Sostituimo, i vlori di, Sostituimo Ecc i vlori di 9 Esgudo l sostituioi ottimo: S 9 Or rggruppdo i trmii idtici ottimo: S Esgudo l moltiplicioi ottimo: S Ovvro: S Poiché qust uov sri divrg positivmt cioè td ch l sri rmoic S dv divrgr positivmt 9 CVD Esistoo lcui mtodi pr crcr di stilir s u sri covrg o divrg, m qusto sul d qusto scritto Vlori pprossimti dll fuio ritmic tiritmic Pr vlori di molto piccoli risptto ll uità si ho qust quivl pprossimt: L giustificio di qust du formul è molto smplic l lscio l lttor Fuioi iprolich Vdimo or lcu oioi di s sull fuioi iprolich prché tutto il rsto sul d qusto scritto Aimo visto ch: 9!!!!!!!! 9! D cui ricvimo ch: 9!!!!!!!! 9! Prciò imo ch:!!!!!!!!!!!!!!!!! /9

77 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Qusto sviluppo i sri si chim coso iprolico Cioè: ch cosh!!! Il motivo pr cui qust fuio prd il om di coso è pr l grd somigli tr qusto sviluppo i sri lo sviluppo i sri dll fuio trigoomtric coso cos Vdrmo tr poco il motivo pr cui si dic iprolico!!! Utilido uovmt gli sviluppi i sri di di possimo clcolr ch:!!!!!!!!!!!!!!!!! Qusto sviluppo i sri si chim so iprolico sh sh!!! Il motivo pr cui qust fuio prd il om di so è pr l grd somigli tr qusto sviluppo i sri lo sviluppo i sri dll fuio trigoomtric so s Vdrmo tr poco il motivo pr cui si dic iprolico!!! Gri qusti sviluppi possimo ricvr ch: A cosh sh ch sh B cosh sh ch sh C cosh sh ch sh D qust ultim rlio possimo ddurr ch il coso iprolico cosh o ch il so iprolico sh o sh si possoo ssumr com coordit crtsi di u puto vriil sull iprol quiltr di quio, i modo o com il coso trigoomtrico cos il so trigoomtrico s si possoo ssumr com coordit crtsi di u puto vriil sull circofr di quio Qusto è il motivo pr cui qust fuioi si chimo fuioi iprolich L dimostrioi dll prcdti tr idtità l lscio l lttor voltroso visto l strm smplicità Ovvimt ch pr l fuioi iprolich, com pr l fuioi circolri, possimo ricvr dll formul di somm/sottrio, duplicio, isio, cc Esmpio sh sh cosh cosh sh cosh cos h cosh sh sh Lscio l lttor l smplic vrific di qust formul l ricrc dll ltr formul Vdimo or com potr utilir qust uov fuioi pr clcolr l fuio Dll tr idtità prcdti possimo ricvr: ch sh ch sh ch sh Prciò ottimo: sh sh i modo o possimo ricvr ch ch /9

78 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Aimo visto ch pr clcolr l fuio isog sguir l somm di lcui trmii 9!!!!!!!! 9! Oppur possimo clcolr il so o il coso iprolico, pr sguir qusto clcolo è cssrio clcolr mtà trmii, poi utilir l prim o l scod formul sopr riportt Esmpio,9 Clcolimo l fuio spoil i s dl umro,9 cioè,9 Prmtto immditmt ch, Com imo visto l cpitolo imo:,9,9,9,9,9!!!,9,9,9,,, Utilido l fuio so iprolico ottimo: sh,9,9! sh,9,,9,9 sh sh,9,9,9,9, Utilido l fuio coso iprolico ottimo: ch,9,9!! ch,9,,9,9 ch ch,9,9,9,99,9 L liv diffr è dovut ll pprossimio di rltivi clcoli Clcolo di ritmi ttrvrso u quio di grdo N Qui vdrmo u mtodo ch, lmo i li di pricipio, prmtt di clcolr il ritmo turl di u umro ttrvrso l risoluio di u quio di grdo N Vdimo immditmt com sguir qusto clcolo S il llor, pr l dfiiio di ritmo, sviluppdo i sri l sprssio ottimo: 9!!!!!!!! 9! 9 Prciò qust è u quio di grdo N!!!!!!!! 9! ll icogit ch risolt d il vlor dl Ovvimt s si prddo i cosidrio u umro mggior di trmii, ch l prcisio dl risultto srà mggior, m ltrttto mggior srà ch l su complssità d ch cosgutmt crscrà il umro dll soluioi dll quio S sguimo il trocmto l quito trmi, ottimo:!!!! Svolgdo i clcoli ottimo: /9

79 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Ovvro: Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro, cioè il, Prmtto immditmt ch il,,9 Pr qullo ch imo visto prcdtmt imo:, Ovvro: U volt risolt, ll icogit, ottimo qust quttro soluioi:,9,99,9,9,9,9 Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il,9 Pr qullo ch imo visto prcdtmt imo: Ovvro: U volt risolt, ll icogit, ottimo qust quttro soluioi:,99,9,,9,,9 Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro cioè il Prmtto immditmt ch il, 99 Pr qullo ch imo visto prcdtmt imo: Ovvro: 9 U volt risolt, ll icogit, ottimo qust quttro soluioi:,,,9,,9 9/9

80 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Esmpio Clcolimo il ritmo turl dl umro cioè Prmtto immditmt ch il, 99 Pr qullo ch imo visto prcdtmt imo: Ovvro: U volt risolt, ll icogit, ottimo qust quttro soluioi:,,99,9,9999,9,9999 Ossrvioi I tutti quttro gli smpi soltto l prim soluio è l soluio ll ostr domd Vdimo di giustificr qust ffrmio Ovvimt o possimo cosidrr soluioi ccttili l soluioi complss L soluio crct è qull il cui vlor ssoluto è mior prché mior è il vlor dl primo trmi o cosidrto, visto ch oi, ll! ostr smplificio, lo imo cosidrto ugul ro All umtr dl vlor dl umro l rror umt qusto dipd di pochi trmii prsi i cosidrio Mtodo ltrtivo pr sguir lo sviluppo i sri di lcu fuioi Vdimo or u mtodo, ltrtivo l prcdt, pr sguir lo sviluppo i sri di lcu fuioi prticolri Noostt ch qusto mtodo si pplicil soltto d lcu fuioi prticolri è, scodo il mio modsto prr, molto importt itrsst Sviluppo i sri dll fuio ritmic L fuio è f l su drivt è f I Cmido l vriil d pr vitr fritdimti imo ch: d Cioè: d Or sguimo l sgut divisio cc Prciò, prosgudo ll divisio, ottimo: D qust gugli ricvimo ch: /9

81 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi /9 d d Arrivti qusto puto st risolvr l ultimo itgrl d d d d d d Prciò lo sviluppo i sri dll fuio ritmo è: Sviluppo i sri dll fuio rcotgt Vdimo or lo sviluppo i sri dll fuio rctg Qust fuio h qusto sigificto è ugul ll golo l cui tgt è L fuio è f rctg l su drivt vl f I Il vlor dll drivt pp vist vl ll ipotsi ch l golo si misurto i rditi Cmido l vriil d pr vitr fritdimti ottimo ch: d rctg rctg rctg rctg Cioè: d rctg Or sguimo l sgut divisio cc Prciò, prosgudo ll divisio, ottimo: D qust gugli ricvimo ch: d d rctg Arrivti qusto puto st risolvr l ultimo itgrl 9 9 d d d d d d Prciò lo sviluppo i sri dll fuio rcotgt è: 9 rctg 9

82 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi /9 Clcolo dl umro trscdt Vdimo or com utilir gli sviluppi i sri pr clcolr il vlor dl umro trscdt Poiché: rcs D Utilido lo sviluppo i sri di Tlor dll fuio possimo scrivr ch:! 9!!! Qusto sviluppo i sri può ssr scritto ch i u ltro itrsst modo, vdimolo 9 S, llo sviluppo i sri prcdt, impostimo ottimo: 9 Visto ch ch: dt t rcs rcs rcs rcs rcst Ovvro: dt t rcs Utilido lo sviluppo i sri pp visto possimo scrivr: dt t t t t t 9 rcs 9 9 rcs 9 Dopo tutt qust ftic s impostimo ricvimo: 9 9 rcs Cioè: 9 9 Qust formul o è molto dtt prché covrg piuttosto ltmt M l prossim formul è dcismt miglior Impostdo ll formul prcdt ottimo: 9 rcs 9 Cioè: 9 9 Esguimo il clcolo di co qust sprssio =,

83 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi =, =, =, =, =,99 9 =, 9 =,,9,99 Com possimo vdr co soltto trmii imo ottuto u uo risultto visto ch il vlor vro è,9 Coosco u ltr sprssio, miglior di qust cioè ch covrg cor più vlocmt, pr clcolr il vlor di, m qust o è l sd dtt pr illustrrl poiché coivolg lcu oioi di trigoomtri Or voglio solo mostrr ltr tr sri fcili d ricordr m tutt idtt l clcolo prtico di Aimo visto ch: 9 rctg 9 Pr imo: 9 rctg 9 9 D qust fmos formul possimo ricvr l ltrttto fmos formul: 9 9 Dll formul pp vist possimo ricvr ch: U ltr ll formul, è l Formul di Wllis 9 9 Ach qust tr formul, pr rpprstr, è piuttosto fcil d ricordr /9

84 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Riflssioi grliioi dll fuio spoil A Sviluppo i sri dl umro Lo sviluppo i sri dl umro, com visto prcdtmt, è: 9!!!!!!!! 9! Commto L fuio f l vrir di l cmpo di umri rli d, com risultto, u umro rl i umri rli possoo ssr rpprstti su u rtt, di cosgu, possoo ssr orditi i ordi crsct o dcrsct Pr ch vri ll itrvllo di umri rli, vri ll itrvllo di umri rli positivi scluso il umro ro Rissumdo, pr chir, imo: Pr imo Pr imo " Pr imo B Sviluppo i sri dl umro Provimo or grlir il prcdt sviluppo i sri sostitudo il umro dov l spot è u umro immgirio è l uità immgiri è u umro rl 9!!!!!!!! 9! Esgudo i vri clcoli ottimo: 9!!!!!!!! 9! Ovvro: 9!!!!!!!! 9! Or, sprdo i trmii rli di trmii immgiri, ottimo: 9!!!!!!!! 9! Aimo visto prcdtmt cosidrdo il cmio di vriil d ch: 9 cos s!!!!!!!! 9! Prciò, icrdiilmt dl tutto isptttmt, qusi mgicmt, gli sviluppi i sri soo idtici qusto sigific ch possimo sguir u fodmtl sostituio cioè: cos s Commto L fuio f, l vrir di l cmpo di umri rli, produc, com risultto, u umro complsso ch è rpprstil sul pio Argd-Guss Su u coordit l sciss ss oriotl vi riportt l prt rl dl umro complsso su l ltr coordit, ortogol ll prcdt, l ordit ss vrticl vi riportt l prt immgiri dl umro complsso Al vrir dll vriil i puti dscrivoo u circofr di rggio uitrio ctro l ctro dll coordit pr cui l oprtor immgirio trsform il umro rl i u /9

85 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi golo misurto i rditi Ovvimt l fuio f cos s è u fuio circolr di priodo pr cui ch l fuio f srà priodic di priodo Ovvro: k co sprsso i rditi Bisog tr prst ch l ugugli cos s è soltto u ugugli forml pr qusto motivo posso scrivr ch: k co sprsso i grdi sssgsimli I trm l gugli k è ugul u umro itro C Sviluppo i sri dl umro Or vdimo cos succd llo sviluppo i sri dll fuio dov l spot è u umro complsso dov è l oprtor immgirio i umri, soo umri rli cos s Commto L fuio f dov l vrir di l cmpo di umri rli d, com risultto, u umro complsso rpprstil sul pio Argd-Guss Risptto l cso prcdt qui imo du vriili d tr prst Al vrir dll vriil vri il modulo dl vttor complsso l vrir dll vriil vri l omli dl vttor complsso Ach i qusto cso l oprtor immgirio trsform il umro rl i u golo ch i qusto cso l ugugli è soltto u gugli forml Ach i qusto cso imo ch l fuio f cos s dov è priodic di priodo o pr cui ch l f dv ssr priodic di priodo o Ach i qusto cso imo ch: k co sprsso i rditi Oppur ch : k co sprsso i grdi sssgsimli I trm l gugli k è ugul u umro itro Fccimo or lcui smpi pr mostrr l ormi potilità di qust rpprstio Esmpio Clcolimo l pot -sim dl vttor uitrio cos s Sppimo ch cos s Prciò: cos s cos s cos s cos s Esmpio Clcolimo l rdic -sim dl vttor uitrio cos s Gri ll idtità prcdt possimo scrivr ch: cos s cos s cos s cos s Tdo prst ch l fuioi trigoomtrich soo priodich di priodo possimo scrivr ch: o /9

86 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi k k cos k s k cos s co k,,,, Pr k ottimo dll soluioi ch soo idtich u dll soluioi già ottut Possimo ch scrivr: k k cos s cos s co k,,,, S poimo ottimo: k k cos s cos s co k,,,, Qust ultim formul è l fmos Formul di Moivrè Esmpio Clcolimo l drivt prim dll fuioi trigoomtrich Usimo l qugli D Dcos s f cos s cos s ch lg l fuio spoil qull circolri f Ovvro: D cos s cos s s Dcos s Dcos D s Dcos Ds cos Cofrotdo l prti rli l prti immgiri dll du ugugli ottimo: Dcos s Ds cos Esmpio Clcolimo l drivt scod dll fuioi trigoomtrich Ach i qusto smpio usimo l ugugli D' ' D''cos s f cos s cos s f Ovvro: D'' D D D D cos s cos s D' 'cos s D''cos D'' s D''cos D'' s cos s Cofrotdo l prti rli l prti immgiri dll du ugugli ottimo: D' 'cos cos D' 's s Esmpio Clcolimo l quivl dll fuioi trigoomtrich f cos f s Ach i qusto smpio usimo l ugugli cos s cos s Ovvro: cos s cos s cos s cos s /9

87 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Cofrotdo l prti rli l prti immgiri dll du ugugli ottimo: cos cos s s cos s Esmpio Clcolimo l quivl dll fuioi trigoomtrich f cos f s Ach i qusto smpio usimo l ugugli cos s cos s Ovvro: cos s cos cos cos cos s cos s cos s s s cos s s Cofrotdo l prti rli l prti immgiri dll du ugugli ottimo: cos cos cos s s cos s s Esmpio Clcolimo l quivl dll fuioi trigoomtrich f cos f s Ach i qusto smpio usimo l ugugli cos s cos s Ovvro: cos s cos cos s cos cos cos s cos s s cos s cos s s cos s s Cofrotdo l prti rli l prti immgiri dll du ugugli ottimo: cos cos s cos s s cos s cos - s Rpprstioi di umri complssi I umri complssi si possoo rpprstr ttrvrso vri tipoi di scrittur Rpp lgric Rpp trigoomtric Rpp spoil cos s L Rpprstio trigoomtric, vi chimt ch Rpprstio vttoril I prs di grd ltrt siusoidli tsioi lttrich, corrti lttrich, cmpi lttrici, cmpi mgtici, cc i tcici uso, oltr ll rpprstio lgric l rpprstio trigoomtric Ovvimt, pr smplicità, è ust u otio ridott ll ssil cioè Dov co si dsig, o il vlor mssimo, com ci si potr spttr, m il vlor fficc dll grd ltrt siusoidl d dscrivr co si dsig l omli cioè l golo di ritrdo/ticipo risptto u istt T sclto covitmt /9

88 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Il vlor fficc di u grd ltrt siusoidl è il vlor trmicmt quivlt ch vr l mdsim grd s foss costt risptto l tmpo Esmpio Qudo dicimo ch l tsio ltrt tr du fili lttrici è volt sigific ch qull tsio provochr, i u rsistor, il mdsimo riscldmto ch provochr, l mdsimo rsistor, u tsio cotiu di volt Sigific ch ch il vlor mssimo, dll tsio sistt tr du fili, è ugul l vlor fficc moltiplicto pr Cioè pr torr l ostro smpio umrico, s l tsio fficc è volt l tsio mssim è di circ volt Tutti qusti prolmi l loro soluioi sulo d qusto scritto, comuqu crdo si opportuo prcisr u puto ch ritgo importt L grd ltrt siusoidli vgoo rpprstt ttrvrso di vttori rotti, m o soo grd vttorili com l cclrio, l for, l vlocità, cc, m soo grd sclri com il volum, l mss, l tmprtur, l cric lttric, cc d è soltto il loro vlor ch vri, l tmpo, co lgg siusoidl L loro rpprstio, ttrvrso di vttori rotti, è solo u comodo rtificio pr sguito i vri clcoli co mggior smplicità Formul di Eulro Qui potrt vdr u ltro smplic mtodo pr sguir lcui clcoli trigoomtrici Aimo visto ch: cos s Sostitudo, ll prcdt fuio, co il vlor di ricvimo: cos s Poiché cos cos ch s s imo ch: cos s Or sppimo ch: cos s cos s Sommdo sottrdo qust du ultim sprssioi ottimo: cos s Qust du formul, domit Formul di Eulro, sprimoo il coso il so di u golo sprsso d u umro rl ttrvrso du spoili immgiri Sicurmt qulcuo si chidrà cos possoo srvir qust du formul poiché o è possiil ffttur clcoli umrici su spoili immgiri Doimo mmttr ch qusto è vro, m sguir u clcolo lttrl sull prt spoil immgiri quivl sguirlo sull prt rl trigoomtric visto ch soo, formlmt, idtich Fccimo or lcui smpi pr chirir qust isolito, m pott, mtodo pr trovr dll ugugli sull fuioi trigoomtrich Esmpio Clcolimo cos ch è ugul Poiché cos llor cos cos cos cos d cui, co smplici pssggi ottimo: cos /9

89 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi 9/9 cos cos cos cos cos cos cos cos cos Esmpio Clcolimo s ch è ugul s Poiché s llor s d cui, co smplici pssggi ottimo: s s s s s s cos s cos s cos s Esmpio Clcolimo cos s Tutti so ch cos s è ugul Or vdrmo qusto risultto sfruttdo i prcdti du risultti cos cos cos s cos s Esmpio Clcolimo il cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Esmpio Clcolimo il s s s s s s s s s s s s s

90 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi 9/9 Esmpio Clcolimo il s s s s s cos cos s cos cos s Esmpio Clcolimo il s cos D uo dgli smpi prcdti possimo vdr ch cos s cos s cos s cos s cos s s s cos Esmpio Clcolimo il s cos s cos s cos s cos s cos s cos s cos cos s cos cos s cos Idtità di Eulro Dopo tutti qusti smpi vdimo u idtità ch, soo covito, già coosct Prdimo l fuio f Il suo sviluppo è: s cos Or s impostimo golo pitto misurto i rditi ottimo: cos s

91 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi Ovvimt: cos s Sostitudo ll sprssio prcdt imo: O, cor mglio: Qull ch imo pp visto è l fmos Idtità di Eulro ch lg tr loro lcu tità mtmtich fodmtli Tli tità soo: L costt di Joh Npir L iità immgiri L costt PI GRECO L lmto utro dll moltiplicio L lmto utro dll somm Vdimo or l mdsim idtità sotto ltri sptti Prdimo l fuio f impostimo: k co k umro itro S sostituimo, ottimo: k cos s cos k s k Ricorddo ch: cos k s k Sostitudo imo: k k k Ovvro: Prdimo l fuio f impostimo: k co k umro itro S sostituimo, ottimo: k cos s cos k s k Ricordo ch: cos k s k Sostitudo imo: k k k Logritmi di umri complssi Aimo dimostrto ch cos s Prciò possimo scrivr rcos s dov imo posto r Nit vit di dfiir il ritmo turl cioè i s di u umro complsso similmt com è stto dfiito il ritmo turl di u umro turl cioè: Il ritmo turl di u umro complsso rcos s è l spot cui isog lvr il umro pr ottr il umro complsso dto Cioè: 9/9

92 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi [ rcos s ] Qust gugli è vr prché rcos s, m qust rgomto sul totlmt d qusto scritto Piccol riflssio sul Mtodo di itrpolio lir Nl clcolo di ritmi sui umri dcimli imo potuto vdr il Mtodo di itrpolio lir Pricipio di proporiolità ch sostituisc ll curv ritmic, psst pr i puti, u rtt ch ss psst pr i puti Il vlor stto è dto, ovvimt, dll sgut sprssio: Il vlor pprossimto, ch sostituisc qullo stto, è dto dll sgut sprssio: L diffr, tr il vlor stto qullo pprossimto, è: [ ] Or fccimoci du itrssti domd Domd Pr qul vlor di, comprso tr il vlor di ro il vlor di, tdo il vlor di costt, il vlor dll diffr è miimo? Rispost Il vlor dll diffr è miimo pr pr Lscio l lttor l fcili vrifich Domd Pr qul vlor di, comprso tr il vlor di ro il vlor di, tdo il vlor di costt, il vlor dll diffr è mssimo? Rispost L rispost più ovvi è, m qust rispost è rrt Vdimo di clcolr l rispost corrtt Ovvimt il puto dov l drivt, dl vlor dll diffr, vl ro è il vlor crcto Riporto l sprssio dll diffr [ ] L drivt dll sprssio prcdt è: ' [ ] ' Impostdo ro il vlor dll sprssio prcdt ottimo: Risolvdol risptto ottimo l sgut sprssio: Com è possiil vdr il vlor di vri l vrir dl vlor di Vdimo tr smpi:,9,99, 9/9

93 Vrcii Vrio - Clcolo di Logritmi,9,9,9,999,9,9 Giustificio dl mtodo di itgrio grfico Vdimo or di giustificr il mtodo di itgrio grfico ch imo visto prcdtmt Ovvimt i trigoli D ciò si dduc ch: Ossi: Poiché: POH H P ' O ' ' soo simili pr cui si può scrivr: PO : OH P' O' : O' H', PO O' H' P' O' OH PO O' H' h d f,,, h E poiché il sgmto PO è ugul ll uità possimo ddurr ch:, O ' H ' I modo dl tutto o possimo ricvr l giustificio dll costruio dgli ltri sgmti,, d Dimostrio dl Mtodo di Cvliri-Simpso Disgmo, su u pio crtsio, u prol putggimo l r itrsst dl clcolo Clcolo dll r putggit h h A B C d A B C 9/9