Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus Uivesità degli Studi di Milo Lezioe Equzioi di Poisso e di Lplce Coodite cuviliee Soluzioi dell'equzioe di Lplce Metodo di sepzioe delle vibili Ao Accdemico 17/18

2 Equzioi di Poisso e di Lplce Abbimo espesso l legge di Guss i fom diffeezile Abbimo iolte visto che, dl mometo che il cmpo elettico è cosevtivo può essee espesso tmite u potezile Combido le due equzioi div E div E div gd E L'opetoe pede il ome di Lplcio L'equzioe divet Nello spzio vuoto, dove o esistoo ciche, l'equzioe divet Abbimo già detto che si ttt di u delle equzioi diffeezili più impotti dell fisic mtemtic ρ ε E gd ρ ε ρ ε E ρ ε Equzioe di Poisso Equzioe di Lplce Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 151

3 Equzioe di Lplce Le equzioi scitte soo geeli e o dipedoo dl sistem di coodite scelto I coodite ctesie ˆe ˆ ˆ + e + ez z + + z z + + z Le equzioi diveto + + z ρ + + z ε Come vedemo i seguito è idispesbile defiie le codizioi l cotoo U spetto delicto e spesso molto complicto Reso più semplice dll'utilizzo di oppotui sistemi di coodite L soluzioe di queste equzioi ichiede metodi mtemtici vzti No ffoteemo sistemticmete il poblem Esmieemo solmete lcui dei csi più semplici Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 15

4 Fuzioi moiche Pe tove u soluzioe dell'equzioe di Lplce è idispesbile defiie le codizioi l cotoo (Boud Coditios) Ad esempio, elle equzioi diffeezili odiie di secodo gdo pe vee u soluzioe uic e ecessio defiie due codizioi iizili Ad esempio, posizioe e velocità iizili pe detemie uivocmete l tiettoi di u pticell detemit dll secod legge di Newto d F ( t) + vt + F t dt m m Nel cso delle equzioi diffeezili lle deivte pzili l codizioe iizile ssume u fom più compless + + z Suppoedo che lo spzio di iteesse si delimitto d supefici, pe tove u soluzioe occoe defiie il vloe di sulle supefici stesse U delle supefici può essee ll'ifiito Le soluzioi dell'equzioe di Lplce pedoo il ome di fuzioi moiche Ne vedemo f beve u'impotte popietà Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 153

5 Fuzioi moiche I ptic i cmpi elettici si geeo utilizzdo elettodi metllici posti u defiito potezile Esempi di cmpi elettici GEM: Gs Electo Multiplie MWPC: Multiwie Popotiol Chmbe Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 154

6 Fuzioi moiche U impotte popietà delle fuzioi moiche Dt u fuzioe moic (,,z) e u sfe di supeficie A cett i,,z 1 ( z,, ) d (,, z) A A Il vloe medio di u fuzioe moic su u sfe biti è ugule l vloe dell fuzioe el ceto dell sfe Quest popietà sigific che che u fuzioe moic o può vee mssimi o miimi locli Suppoimo, pe ssudo, che bbi u miimo locle i Sigific che i tutti i puti di u itoo di deve essee () < ( ) Petto su tutti i puti sull supeficie di u sfe coteut ell'itoo vete ceto i sà ( ) > () Il vlo medio di ( ) sull supeficie dell sfe sà mggioe di () Icomptibile co l popietà eucit delle fuzioi moiche Ricodimo l popietà che i u cmpo elettosttico o ci possoo essee posizioi di equilibio stbile z (, z ), Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 155

7 Equzioe di Lplce Veimo l poblem delle codizioi l cotoo Ci soo due modi pe defiie le codizioi l cotoo pe l'equzioe di Lplce Codizioi di Diichelet Si fiss il vloe di su tutte le supefici (coduttoi) che delimito lo spzio di iteesse Se lo spzio o è chiuso si itoduce u supeficie ll'ifiito sull qule si fiss il vloe del potezile (di solito u vloe ullo) Codizioe di Neum Si defiisce il vloe dell deivt omle / su tutte le supefici (coduttoi) che delimito lo spzio di iteesse Specifice l deivt omle del potezile equivle defiie il cmpo elettico sul coduttoe I ultim lisi, l desità di cic sul coduttoe Aco u volt se lo spzio o è chiuso si itoduce u supeficie ll'ifiito sull qule l deivt omle h, di solito, vloe ullo Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 156

8 Equzioe di Lplce Teoem di uicità delle soluzioi U volt fisste le codizioi l cotoo l soluzioe dell'equzioe di Lplce che le soddisf è uic Cosideimo u egioe delimitt dll S 1 S supeficie "este" S e (evetulmete ll'ifiito) 1 e d u ceto umeo di coduttoi S e I potezili sulle supefici soo fissti dlle codizioi l cotoo Suppoimo che esisto due soluzioi Φ 1 e Φ dell'equzioe di Lplce che ssumoo le stesse codizioi l cotoo Φ 1 Ache l fuzioe Φ d Φ 1 Φ soddisf l'equzioe di Lplce L'opetoe lplcio è liee ( Φ Φ ) Φ d 1 Iolte sulle supefici S e S e Φ Φ Φ 1 ( S ) ( S ) ( S ) Φ Φ Φ d 1 S S3 3 M u fuzioe moic o può vee mssimi o miimi locli Petto cocludimo che Φ d che implic su volt che Φ 1 Φ L soluzioe è uic Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 157 S e

9 Schemo elettosttico Il teoem di uicità ci pemette di tove u'lt popietà dei coduttoi Il potezile ll'iteo di u coduttoe cvo sez ciche ll'iteo è costte; il cmpo elettico è ullo Abbimo iftti già ossevto che l supeficie di u coduttoe è u supeficie equipotezile Il poblem elettosttico ll'iteo dell cvità è petto (S) V costte sulle supefici Petto u possibile soluzioe è (,,z) V i tutto lo spzio dell cvità Iftti se (,,z) è costte : soddisf l'equzioe di Lplce Soddisf le codizioi l cotoo Il teoem di uicità mi ssicu che l soluzioe tovt è che l'uic Lo spzio iteo è schemto di cmpi elettosttici estei Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 158

10 Sistemi di coodite cuviliee Coodite ctesie (pe semplicità solo due dimesioi) Il vettoe posizioe è idividuto d due compoeti Le compoeti ctesie, Quli soo le compoeti di u vettoe pplicto v? Possimo tccie due fmiglie di cuve (liee) m Fissto fccimo vie i (, +) I fom pmetic l Alogmete fissimo e fccimo vie i (, +) Abbimo icopeto il pio co u giglito di "cuve" 1 Tovimo desso le "tgeti lle cuve" el puto di ppliczioe del vettoe (, l ) t l 1 l ˆe t 3 1 l 1 3 ˆe v Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 159

11 Sistemi di coodite cuviliee t I vettoi t e t soo che dei vesoi Come vedemo o è veo i geele Defiiscoo loclmete due ssi otogoli Ricvimo le coodite di v ispetto questi ssi Petto, i coodite ctesie v (, ) 1 l l v v Suppoimo che v si u cmpo vettoile costte No cmbi se ci spostimo i u lto puto Ad esempio el puto ( 3, ) v Ntulmete pe u vettoe costte vemo ˆe t m l l 1 (, ) 3 ˆe 3 v v v v v v v e loghe i v v Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 16

12 Sistemi di coodite cuviliee Cosideimo desso u sistem di coodite poli Le compoeti Ripetimo gli stessi giometi ctesie soo Il vettoe posizioe è idividuto d due compoeti cos Le compoeti poli, si Quli soo le compoeti di u vettoe v pplicto i (,)? Possimo tccie due fmiglie di cuve si Fissto fccimo vie i (, π) cos Alogmete fissimo l e fccimo vie i (, +) Ricopimo il pio co u giglito di cuve Tovimo desso le tgeti lle cuve t cos si cos si t cos l si l si cos e ˆ v e ˆ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 161

13 Sistemi di coodite cuviliee t Clcolimo i vesoi dividedo pe i moduli t 1 t ˆe cos si t cos si t t si cos t I vesoi defiiscoo loclmete due ssi otogoli Le poiezioi (locli) di v sui due ssi defiiscoo le compoeti del vettoe i coodite poli Le compoeti di v soo (v v ) ˆe v vsi v vcos t si cos Attezioe: il vettoe è sempe lo stesso (è u vettoe costte) Le sue compoeti cmbio i fuzioe dell'golo pole del puto di ppliczioe Le compoeti dipedoo dl puto di ppliczioe! Il cso delle coodite ctesie è molto pticole e ˆ v e ˆ Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 16

14 Sistemi di coodite cuviliee Sottolieimo le cosegueze del ftto che le compoeti del vettoe dipedoo dl puto di ppliczioe Cosideimo il vettoe costte i coodite ctesie v v (, ) 1 1 v ( ) v v, v v(, ) vˆe + vˆe Si h v v ˆe v ˆe ˆe ˆ + v + e + v Le compoeti soo costti v v v v ˆe ˆe ˆe iolte Nel cso del vettoe costte i coodite poli v, e vsi + e vcos v vsi v vcos Si h v v ˆe v ˆ ˆ v e e ˆ v + + e + ( ) ˆ ˆ v Dobbimo iolte clcole le deivte dei vesoi e ˆ v e ˆ ˆe v cos v v si Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 163

15 Sistemi di coodite cuviliee v v ˆe v ˆ ˆ v e e ˆ v + + e + Ricodimo i vesoi Abbimo ˆe si cos ˆe cos si si ˆe cos ˆe cos si e ˆ e ˆ v cos Sostituedo v vcos ˆe + vsi ˆe vsi ˆe + vcos ( ˆe ) L'lt deivt è più semplice peché o ci soo dipedeze d Cocludimo dicedo che i coodite poli l vizioe delle compoeti di u vettoe cotiee che le vizioi dovute l sistem di ifeimeto I u legge fisic le deivte devoo espimee vizioi legte feomei fisici o effetti geometici Pe questo le leggi fisiche si eucio utilizzdo i vettoi v v v si v Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 164

16 Sistemi di coodite cuviliee Geelizzimo quto fi qui detto u geeico sistem di coodite cuviliee Il pssggio d u sistem ctesio ( 1,, 3 ) d u sistem di coodite cuviliee (u 1,u,u 3 ) è defiito dlle leggi di tsfomzioe (,, ) f ( u, u, u ) f ( u, u, u ) f u u u Fcedo vie u teedo costti le lte due coodite u l e u m puto descive u gigli di ssi di coodite cuviliee Lo spostmeto ifiitesimo è Le te deivte soo i vettoi tgeti lle cuve degli ssi cooditi No soo ecessimete vettoi di om 1 Si defiiscoo i te vesoi 1 3 d du + du + du u u u u u ˆ 1 h u Se i te vesoi soo otogoli il sistem di coodite è otogole h u il 1 3 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 165

17 Sistemi di coodite cuviliee L'elemeto di lughezz divet Il qudto del modulo d Se il sistem di coodite cuviliee è otogole i vesoi soo otogoli Iolte, l'elemeto di volume è d h uˆ du + h uˆ du + h uˆ du 3 g du du ij, 1 ij i j uˆ uˆ δ d hdu + hdu + hdu i j ij g hh uˆ uˆ ij i j i j dv h h h du du du Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 166

18 Sistemi di coodite cuviliee Pe cocludee defiimo due dei più impotti sistemi di coodite cuviliee Coodite cilidiche (u 1, u, u 3 z) ρcos ρsi z 1 3 ˆe ρ cos si ˆe si cos ˆe z 1 h h h ρ h h z 3 z h 1 1 ρ Coodite sfeiche (u 1, u, u 3 ) sicos sisi cos 1 3 si cos ˆe si cos d dρ + d + dz cos cos ˆe si si h h 1 1 h h h h si 3 d d + d + si d si si ˆe si cos Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 167

19 Soluzioe di equzioi diffeezili Cosideimo u equzioe molto semplice e ot d f ( ) df ( ) f( ) co le codizioi iizili f ( ) f ( ) 1 d d L soluzioe quest equzioe si tov utilizzdo u seie ifiit f ( ) + 1 L deivt pim è f ( ) pe l codizioe iizile Clcolimo ifie l deivt secod d f ( ) 1 d Modifichimo l seie pe edee più esplicit l potez di f ( ) 1 pe l codizioe iizile f ( ) d f d ( )( 1) d f d ( )( 1) Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 168

20 Soluzioe di equzioi diffeezili f ( ) d f ( )( ) d Scivimo l'equzioe diffeezile utilizzdo le due seie d f ( ) f ( ) ( )( 1) d + Rccogliedo i coefficieti dell stess potez ( + )( + 1) + + ( )( ) ( )( 1) vle pe tutti gli idici pi ! f ( ) ! 5! ( 1) ( + ) + 1 1! ! Quest seie h u ome ( ) si( ) f Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 169

21 Soluzioe di equzioi diffeezili Ossevzioi Cooscimo l fuzioe si e le sue popietà dll tigoometi Si ttt di u fuzioe tscedete No è espimibile tmite u umeo fiito di fuzioi elemeti È defiit dll'equzioe diffeezile Le sue popietà possoo essee icvte idipedetemete dll tigoometi Co u itepetzioe sttt l soluzioe tovt può essee vist come Geelizzzioe dimesioe ifiit dello sviluppo di u vettoe ispetto i vettoi di u bse v 1u1 + u + f ( ) 1u1( ) + u ( ) + Le fuzioi f() soo i "vettoi" I moomi u () soo i vettoi dell "bse" Molto più che u semplice logi I moomi o ho pticoli popietà Si possoo use lte fuzioi come bse Ad esempio u () si isieme w () cos Coducoo ll seie di Fouie Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 17

22 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Veimo desso d uo dei metodi più impotti pe l soluzioe dell'equzioe di Lplce Pe semplifice l'esposizioe suppoimo che il potezile diped solo d due vibili Ad esempio due semipii metllici ifiiti posti potezile ullo U stisci metllic potezile V () Il potezile o dipede dll coodit z Le codizioi l cotoo soo L'equzioe di Lplce divet + Il metodo cosiste, izitutto, el cece soluzioi del tipo (, ) X( Y ) ( ) (,) (, ) (,) V ( ) ( ) lim, podotto di fuzioi di u sol vibile Si ttt di fuzioi poco geeli A pioi sembeebbe impobbile che posso isolvee il osto poblem Ricodimo tuttvi che l somm di tti h podotto l fuzioe si Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 171

23 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Sostituimo ell'equzioe di Lplce (, ) X( Y ) ( ) + dx dy + d ( ) X( ) Y d Dividimo pe (,) X()Y() Notimo che le deivte pzili soo divette deivte totli L'uic possibilità pe soddisfe l'equzioe è che i due temii sio costti idipedeti si d che d ( ) 1 dx X d ( ) d Y( ) ( ) 1 dx 1 dy X + d 1 dy C1 C C1 + C Y d Abbimo itodotto l costte pe futu coveiez dx + X( ) X( ) Ae 1 + Be 1 d dy Y( ) Y ( ) C 1si + D1cos d Solo fuzioe di Solo fuzioe di C C 1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 17

24 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Abbimo petto tovto u fmigli di soluzioi (l vie di ) (, ) ( A e + B e )( C si+ D cos) + 1, 1, 1, 1, Si veific immeditmete che è u soluzioe dell'equzioe di Lplce Ricodimo le codizioi l cotoo (,) L qut codizioe impoe che l costte A 1, si ull Il temie e divege pe (, ) Defiimo questo puto B 1, C 1, C e B 1, D 1, D (,) V ( ) (, ) e ( C si + D cos ) lim (, ) L pim codizioe l cotoo ichiede D (,) e ( C si D cos ) + De D L soluzioe si è idott ( ), Ce si L secod codizioe l cotoo poe u codizioe su π (, ) Ce si si π 1,, Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 173

25 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Abbimo petto tovto u fmigli ifiit di soluzioi che soddisfo te delle qutto codizioi l cotoo π, Ce si ( ) Cosideimo desso l tez codizioe l cotoo (l'ultim d soddisfe) (,) V ( ) Pe l soluzioe si iduce π (, ) C si Petto, meo che V () bbi esttmete quest fom, o bbimo co tovto l ost soluzioe Tuttvi, l'equzioe di Lplce è liee L somm di più soluzioi è co u soluzioe Si ttt di veifice se esiste u isieme di costti C tli che π C si V Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 174 ( ) C C

26 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie L'isieme di C esiste che se i geele l somm deve essee ifiit Si ttt dello sviluppo di V () i u seie di Fouie π V ( ) C si 1 Pe tove i coefficieti C si utilizz u semplice popietà delle fuzioi tigoometiche m π mπ si si d δ m m Petto si clcolo gli itegli mπ V ( ) si d 1 π mπ C si si d π mπ C si si d 1 C δm Cm 1 mπ Cm V ( ) si d Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 175

27 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Pe fiie specilizzimo V () u cso molto semplice ( ) V U Gli itegli possoo essee clcolti semplicemete U mπ Cm si d U ( 1 cosmπ ) mπ m pi Cm U m dispi mπ Il gfico most l somm dei pimi temii dell seie N π V ( ) C si 1 V U Si vede che l cescee di N l seie ppossim sempe più il potezile costte U ( ) N V 1, 5, 1, 3 ( ) U 1 Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 176

28 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie Petto l soluzioe l poblem è 4U 1, e si π + 1 ( ) L soluzioe sotto fom di seie ifiit potebbe lscie isoddisftto qulcuo Tuttvi si ttt di u fuzioe come tte lte U fuzioe tscedete Può essee mipolt Deivte, itegli. Ache le fuzioi tigoometiche soo seie ifiite Pe clcole il vloe pe vloi specifici di e occoe somme umeicmete l seie Ache pe le fuzioi tigoometiche Il cso vuole che quest seie bbi u somm π espimibile co fuzioi tscedeti U si (, ) ct π π sih Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 177

29 Sepzioe Vibili: Coodite Ctesie L figu most u gfico del potezile π U si, ct π π sih ( ) Pe fiie, si possoo clcole le compoeti del cmpo elettico E π si cosh U sih + π π si π E E z π π cos π si U sih sih + z π Elettomgetismo Pof. Fcesco Rgus 178