SOLUZIONI IN SERIE DI POTENZE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI ~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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1 SOUZIONI IN SERIE DI POTENZE DI EQUAZIONI DIFFERENZIAI INEARI ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Dt u'equzioe differezile liere di ordie omogee i form ormle ', è oto he o esistoo proedimeti geerli per idividure soluzioi idipedeti he srebbero eessrie per srivere l'itegrle geerle iò può essere ftto solo i si prtiolri, d esempio se l'equzioe è oeffiieti ostti U proedimeto he volte osete di risolvere l'equzioe osiste el erre u soluzioe espress d u serie di poteze, overgete i u opportuo itervllo Come si vedrà egli esempi he seguoo, questo proedimeto risult oveiete d esempio qudo i oeffiieti dell soo poliomili, sebbee he i questo so i si poss trovre di frote otevoli diffioltà di lolo Comiimo d illustrre il proedimeto osservdo il seguete so prtiolre Si trtt turlmete di u semplie equzioe liere omogee, l ui soluzioe geerle si srive immeditmete ome e, dto he è u primitiv di Vedimo ome si ottiee lo stesso risultto i modo ltertivo Suppoimo di o sper risolvere l, e erhimoe u soluzioe sritt ome, dove l serie i questioe h u rggio di overgez ρ o ullo Poihé ell'itervllo di overgez J ρ, ρ è leito derivre ed itegrre termie termie, bbimo si riordi he l serie osì otteut h or rggio di overgez ρ Sostituedo tli serie ell'equzioe, si trov: Trsldo l'idie ell seod serie, l'equzioe divet, ioè [ ] Perhé quest equzioe si soddisftt, oorre he si, e ioltre he per ogi,, si, ioè Più i geerle, si potrebbe srivere u serie di poteze i ui il geerio termie è

2 formul è u relzioe di riorrez, ioè u regol he defiise u termie dell suessioe o u formul he otiee uo o più dei termii preedeti U simile relzioe, ote lue odizioi iizili il primo vlore o i primi vlori dell suessioe, osete di determire uo dopo l'ltro i termii dell suessioe i questioe, he se i geerle o i si può spettre di trovre u formul "hius" he oset di lolre il -esimo termie i modo "diretto", ioè sez dover lolre espliitmete tutti i termii preedeti Nel ostro so l suessioe { } si determi filmete, visto he isu è defiito ome u opportuo multiplo del termie he st due posti prim Applido l o,,, e si trov ; ;, e osì vi Poihé ei pssggi suessivi il termie trovto viee diviso per, poi per, e, deduimo he i geerle vle l formul! Ioltre, essedo, vedimo subito he tutti i termii,,, soo ulli I olusioe, posto, possimo esprimere l soluzioe ell form!!! Riorddo lo sviluppo i serie dell fuzioe espoezile, vedimo subito he l trovt o è ltro he e, ome i spettvmo Cosiderimo or u esempio i ui è impossibile esprimere i modo litio l soluzioe utilizzdo le "ordirie" fuzioi trsedeti elemetri Si debb risolvere l'equzioe, dett equzioe di Air Si trtt di u'equzioe liere omogee del seodo ordie, isu soluzioe dell qule è ovvimete defiit i tutto Per esprimere l'itegrle geerle, dovremmo idividure due soluzioi dell liermete idipedeti, diimo u e u, per poi srivere u u, o e ostti reli rbitrrie, m purtroppo i questo so o è possibile determire litimete tli soluzioi si s he u'equzioe liere di ordie oeffiieti qulsisi è esttmete risolubile solo i si prtiolri Proedimo llor ome ell'esempio preedete, poedo, dove suppoimo he l serie bbi rggio di overgez ρ > Abbimo già visto he derivdo l serie, si trov ; derivdo di uovo, si h ; I questo so è stto bbstz file dedurre l formul geerle per, m rigore le formule dedotte dll'lisi dei primi si drebbero dimostrte per iduzioe

3 sostituedo ell, otteimo, ioè, trsldo l'idie ell seod serie:, he si può he srivere [ ] Deduimo llor he deve essere, e ioltre per ogi I questo so isu termie dell suessioe { } si ottiee ome u opportuo multiplo del termie he si trov tre posti prim Otteimo llor filmete ;,,, ;,,,, e i questo modo bbimo otteuto tutti i oeffiieti dell serie Or vedimo he è possibile esprimere i modo più omptto i termii ed, rgiodo ome segue Osservimo he l frzioe si può srivere ome, per ui è! ; se ell frzioe desiderimo "ompletre" il deomitore llo sopo di otteere u fttorile, possimo srivere!, ed llo stesso modo si h!, e osì vi I modo simile, si h!,!,!, e Possimo llor srivere l'itegrle geerle dell'equzioe di Air ome segue:!!!!!!, dove bbimo sostituito ed rispettivmete o e Voledo, possimo seprre ell i termii oteeti d quelli oteeti, trovdo osì!!!!!!, il he mostr he l'itegrle geerle dell si può srivere ome ombizioe liere delle segueti fuzioi:

4 !!!! f ;!!!! g Osservimo he etrmbe le fuzioi sopr defiite ho domiio, ome er logio spettrsi Iftti, per quto rigurd l fuzioe f, il riterio del rpporto dà: ρ lim!! lim!! lim lim, ed i modo logo per l g si trov: ρ lim!! lim!! lim lim ********************************* Osservzioe Si possoo srivere diversmete i oeffiieti he ppioo elle defiizioi delle due fuzioi f e g, riorddo le proprietà dell fuzioe gmm Iftti si h ; Siome poi per l'espressioe vle, ed logmete si ridue d per, le fuzioi f e g si possoo he srivere! f ;

5 g! ********************************* U ltro iteresste esempio di equzioe risolubile i serie è l seguete '' αα, dove α è u prmetro rele Ess viee dett equzioe di egedre È possibile ridurre l form ormle d esempio ell'itervllo, dividedo tutto per : α α, osihé, se erhimo u soluzioe dell sritt ome, dobbimo spettri he l serie risultte bbi rggio di overgez o superiore d Essedo e, sostituimo tli espressioi ell o meglio ell, he è più file d trttre essedo i form iter ed otteimo l'equzioe α α, he si può trsformre ome segue: α α α α α α α α α α ; α α α α [ α α ] Affihé vlg l'idetità, deve essere αα, α α, e ioltre [ αα ] per ogi Abbimo llor: ; ;

6 α α α α ; ; e ioltre α α per Poihé isu termie è defiito ome u multiplo del termie he lo preede di due posti, è oveiete distiguere i due si pri e dispri Per pri si h suessivmete: α α α α α α α α α α α α α α! [ α α α ] [ α α α ]! [ α α ] [ α α ] Proseguedo o,,, è hiro he per gli idii pri d i poi si h! [ α α α ] [ α α α ]! Allo stesso modo, per ugule suessivmete,, e, si trov: α α α α α α α α α α α α α α! [ α α α ] [ α α α ],! [ ] [ ] [ α α ] [ α α ]! e i geerle [ α α α ] [ α α α ]! e formule osì trovte i osetoo di srivere espliitmete l'itegrle geerle dell ell'itervllo, Abbimo iftti, osiderdo i soli termii di grdo pri, l serie u e osiderdo i soli termii di grdo dispri: [ α α α ] [ α α α ]! [ α α α ] [ α α α ] u!,, per ui l'itegrle geerle si può srivere ome u u No è diffiile osservre he isu delle due serie e h rggio di overgez, e pertto l'itegrle geerle trovto è vlido i, Iftti, si h per l :

7 ρ lim lim ed logmete per l : ρ lim [ α α α ] [ α α α ]! [ α α α α ] [ α α α α ]! [ α α α ] [ α α α ] [ α α α α ] [ α α α α ] lim, α α [ α α α ] [ α α α ]! [ α α α α ] [ α α α ]! lim α α otiee solo termii di grdo pri, pertto è u fuzioe pri, ed logmete l dà u fuzioe dispri Ci possimo hiedere or se per prtiolri vlori positivi del prmetro α le serie e si riduo somme fiite Ad esempio, per quto rigurd l u, sritt ome ell, il modulo del oeffiiete di è α α α α α α, he è ullo per α! α α α α α α turle pri Ad esempio, per α è,!!,,,!! m è ullo, perhé il primo prodotto divet, e grzie ll formul α α tutti i oeffiieti suessivi soo ulli Duque i questo so l serie si ridue d u poliomio, preismete I modo logo, l serie divet u poliomio solo se α è u turle dispri e soluzioi poliomili he si ottegoo dll'equzioe sotto tli ipotesi soo oosiute ome poliomi di egedre Il proedimeto visto sopr si potrebbe geerlizzre, osiderdo oeffiieti o eessrimete poliomili Ad esempio, osiderimo el so l geeri equzioe del seodo ordie omogee i form ormle '' ' b, e suppoimo he le fuzioi e b sio litihe, ioè he isu delle due mmett uo sviluppo i serie di poteze vlido i u itervllo ρ, ρ I queste ipotesi, si può dimostrre he l'itegrle geerle dell è h'esso dto d u serie di poteze overgete ello stesso itervllo C'è però u grve diffioltà prti ell'pplizioe di questo proedimeto: iftti i geerle oorre spettrsi he isu oeffiiete dell serie d i poi si trovi trmite u

8 formul espliit he però otiee tutti i termii preedetemete lolti Periò, è possibile lolre uo dopo l'ltro u qulsisi umero di oeffiieti, m i geerle o si riese srivere u formul espliit he foris direttmete per u geerio I reltà, l diffioltà di srivere u formul hius per si preset he qudo l relzioe di riorrez otiee sempre lo stesso umero di termii Possimo rederi oto di quest diffioltà trmite u esempio ppretemete simile ll'equzioe di Air; si d esempio d risolvere l'equzioe '' Quest volt srivimo i modo u po' diverso l soluzioe ert, preismete poimo : bbimo llor! e!! ; sostituedo ell'equzioe, trovimo!!,!! ioè!, he si può he srivere ell form!! Abbimo llor, e ioltre per ogi! d i vti Or, pplido ripetutmete l formul di riorrez ppe trovt, possimo lolre i primi oeffiieti dell serie: ; ; ; ;, e osì vi Se d esempio bbimo le odizioi iizili e ' il he equivle segliere ed, trovimo, ed ioltre i oeffiieti,, vlgoo rispettivmete,,, e Quidi i primi termii dello sviluppo i serie dell soluzioe soo, e di oseguez si può pprossimre l o il poliomio P, he è il poliomio di Tlor del ordie dell Purtroppo però i questo so risult impossibile esprimere il geerio, ioè trovre u formul "hius" he oset di lolre sez dover oosere espliitmete tutti i termii preedeti METODI DI PERTURBAZIONE ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Il proedimeto visto sopr osete di esprimere l soluzioe di u'equzioe differezile i prtiolre liere ttrverso u serie di poteze: d iò si può rivre ei si più "fortuti" l'espressioe espliit dell soluzioe el seso he si oosoo tutti i oeffiieti dell serie, ltrimeti si trov lmeo u poliomio, he per "suffiietemete viio" dà u'pprossimzioe dell fuzioe

9 Vedimo qui or u diverso proedimeto, pplibile i lui si qudo uo o più oeffiieti di u'equzioe liere vegoo "vriti" i termii di u prmetro he si suppoe ssum vlori bbstz pioli È oto he l'equzioe '' ω è sempre risolubile litimete, e il suo itegrle geerle è osω se ω I prtiolre, per ω l'equzioe divet '', he h itegrle geerle os se Or, si osideri l'equzioe '', i ui il oeffiiete è stto "perturbto" o l'ggiut di u prmetro Per sempliità, ggiugimo delle odizioi iizili; d esempio, posto ed ', l'equzioe '' vrà l soluzioe os se ; per quto rigurd l'equzioe perturbt, è file srivere espliitmete l soluzioe: essedo l'itegrle geerle os se, poedo le stesse odizioi iizili si trov l soluzioe os se Or, provimo d ffrotre il problem prtedo d u diverso puto di vist Ivee di srivere l soluzioe ome serie di poteze di, srivimo, ioè ; i ltre prole, l esprime l soluzioe ome serie di poteze ell vribile, ovvimete o oeffiieti dipedeti d Derivdo l serie termie termie, trovimo e Per quto rigurd le odizioi iizili, u modo semplie di porre tli odizioi è il seguete: se srivimo ed, ed ioltre ed per ogi, l fuzioe defiit dll verifiherà le odizioi iizili dette prim, ioè ed ' Sostituedo llor l e le sue derivte ell'equzioe, si trov ioè, trsldo l'idie ell terz serie: ;,, Questi pssggi dovrebbero essere giustifiti i mier più rigoros Sppimo iftti he per le serie di poteze o vi è lu problem ell derivzioe termie termie l serie delle derivte dà l derivt dell serie ll'itero dell'itervllo di overgez; per u geeri serie di fuzioi, l derivzioe è leit e si ottiee ome somm l derivt dell serie dt se vle l'ipotesi di overgez uiforme dell serie delle derivte metre o è suffiiete l'ipotesi di overgez uiforme dell serie ssegt I ltertiv, si possoo he dre le odizioi iizili sulle i ltri modi; d esempio, si può porre h ed ', o l odizioe he l serie degli h bbi somm e he l serie dei bbi somm Più i geerle, si può porre h, ed ',, o loghe odizioi

10 he si può he srivere [ ] Affihé vlg quest idetità, oorre he si, ome detto prim o le odizioi ed, e ioltre he per ogi si o ed Duque isu si determi risolvedo u problem di Cuh liere omogeeo solo el so Ad esempio, essedo os se, l si trov risolvedo os se il problem di Cuh o omogeeo 'itegrle geerle dell'equzioe omogee è ovvimete os se ; periò si deve erre u soluzioe prtiolre del tipo A os B se Derivdo e sostituedo, si trov filmete os se, ed impoedo le odizioi iizili si ottiee ifie l fuzioe se os se se os Proededo llo stesso modo, l fuzioe se os è l soluzioe del problem di Cuh periò, os se Pur o essedo possibile dre u formul espliit per l geeri fuzioe, questo proedimeto osete di rivre u dopo l'ltr tli fuzioi, e quidi di srivere quti termii voglimo dell serie Or, se è u umero bbstz piolo, possimo supporre he d u erto i vti i termii dell divetio trsurbili, e quidi he l soluzioe dell si pprossimi bbstz bee he limitdosi pohi termii dell serie Ad esempio, utilizzdo le fuzioi,, ppe lolte, possimo srivere l ridott di ordie dell serie, he idiheremo o s : s os se se os os se os se Ovvimete quest fuzioe soddisf le odizioi iizili, m essedo stt otteut trodo l serie ess o è l soluzioe "estt" del problem di Cuh Per vlutre meglio l'errore, si potrebbe osiderre l differez tr l soluzioe estt e l s, m i tl modo si ottiee u fuzioe z s diffiile d trttre essezilmete per l'impossibilità di determire i modo estto gli zeri dell derivt Suppoimo però di lolre le derivte e sostituirle el primo membro dell'equzioe : se z fosse l soluzioe estt ovvimete si otterrebbe, periò questo lolo può dre u'ide dell disrepz tr z e l soluzioe estt Siome os se verifi il problem di Cuh o odizioi iizili e, è suffiiete osiderre l sol fuzioe

11 v se os Il lolo delle derivte dà: v se os ; v se os Sostituedo el primo membro dell, si trov: se os se os se os se os Come si è visto, i termii i di grdo iferiore si soo ellti, per ui è stto possibile rogliere u fttore ; questo è u esempio di iò he i reltà de i geerle: trodo l serie l termie di grdo N si h u fuzioe he per tede ll soluzioe o ordie di ifiitesimo N, e iò è vero per ogi del domiio Vedimo or l'pplizioe di questo metodo d u ltro so Si osideri l'equzioe '', or o le odizioi iizili ed ' Quest volt o è possibile srivere i modo estto l soluzioe dell'equzioe; trlsido l'evetule soluzioe i serie di poteze he sollev problemi simili quelli dell'ultimo esempio del prgrfo preedete, vedimo os suede poedo ome sopr Come el so preedete, poimo,, e per Effettudo l derivzioe due volte e sostituedo ell, trovimo: ;,, [ ]

12 Dev'essere llor, o ed, e ioltre he per ogi o ed Periò he i questo so è os se, metre l si trov risolvedo il problem di Cuh os se A prte l'ovvi soluzioe dell'equzioe omogee, i questo so oorre erre u soluzioe prtiolre dell'equzioe omplet del tipo A Bos C D se Svolgedo i soliti loli, si trov os se, e d quest, poste le odizioi iizili, si ottiee os se Allo stesso modo, l si trov risolvedo l'equzioe os se, sempre o odizioi iizili ulle Posto A B C Dos E F G H se, si trov l soluzioe prtiolre os se, e impoedo ell'itegrle geerle le odizioi iizili, si h ifie os se Proededo llo stesso modo, è possibile determire suessivmete le fuzioi,, e Vedimo he i questo so os si ottiee trodo l serie l termie i ; loldo espliitmete, si ottiee l fuzioe s os se Se lolimo le prime due derivte di quest fuzioe, e sostituimo ell'equzioe dt, trovimo s s os se, il he mostr he he i questo so si ottiee ome seodo membro dell'equzioe u fuzioe he rispetto d è u ifiitesimo di ordie per ogi fissto