APPUNTI DI MATEMATICA

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1 APPUNTI DI MATEMATICA Fuzioe dti li isiemi X e Y, si chim uzioe d X i Y u sottoisieme del prodotto crtesio XY tle che per oi X, esiste uo ed u solo elemeto Y tle che (,). Fuzioe relzioe che ssoci d oi elemeto del primo isieme, uo e u solo elemeto del secodo isieme. Domiio di u uzioe isieme su cui l uzioe è deiit (vlori che può ssumere ) Codomiio di u uzioe isieme dei vlori che l uzioe () può ssumere Fuzioe lebric uzioe otteut ttrverso operzioi lebriche (poliomi). Fuzioe trscedete uzioi espoezili, loritmiche e trioometriche. Fuzioe periodic uzioe i cui vlori si ripetoo dopo u certo itervllo di tempo chimto periodo. Fuzioe pri uzioe simmetric rispetto ll sse, cioè (-) (). Fuzioe dispri uzioe simmetric rispetto ll oriie, cioè (-) -(). Prodotto crtesio AB (si lee A crtesio B ) isieme delle possibili coppie otteute prededo il primo elemeto d A e il secodo elemeto d B. U uzioe si dice crescete se, presi due puti e tli che <, si h ( )<( ) U uzioe si dice decrescete se, presi due puti e tli che <, si h ( )>( ) Proprietà dei loritmi e uzioe loritmic ) lo b c lo b + lo c ) lo b/c lo b - lo c 3) lo b c c lo b lo c b 4) lo b lo c lo (se >) lo (se 0<<) lo lo > lo > (se >) oppure < (se 0<<) Il domiio delle uzioi loritmiche si clcol poedo l rometo miore di 0 e l bse miore di 0 e divers d. Il codomiio è tutto R. Fuzioe espoezile Il domiio dell uzioe e è tutto R metre, per quto riurd l uzioe, il domiio è >0. Il codomiio è sempre R 0 +, per etrmbe le uzioi. e Proprietà dei limiti ) Se esiste il limite lim () l per che tede c, è uico ) Se u uzioe mmette u limite ed esso è diverso d 0, llor l uzioe h lo stesso seo del limite (permez del seo) 3) Se ho tre uzioi tli che () () h() ed esistoo i limiti lim () l e lim h() l co che tede d u puto 0, llor esiste il lim () l, co che tede 0. Operzioi co i limiti RICORDARE L somm di due limiti è uule ll somm dei loro vlori: c/ 0 lim () l e lim () m lim[() + ()] l + m (o vle il vicevers) c/0 Il prodotto di due limiti è uule l prodotto dei loro vlori: /0 lim () l e lim () m lim[() ()] l m (o vle il vicevers) 0/ 0 Il quoziete di due limiti è uule l quoziete dei loro vlori: / idetermit lim () l e lim () m lim[() / ()] l / m (o vle il vicevers) 0/0 idetermit 0 idetermit Dvide Vlerii Pi di - idetermit

2 Limiti otevoli lim se 0 Nel cso si bbi il limite di u uzioe poliomile co, si rccolie l di rdo più lto. Nel cso si bbi il limite di u rdice si può rziolizzre per cercre di elimire le rdici. I lcui csi si può utilizzre il teorem di Ruii. Cotiuità di u uzioe i u puto Dt u uzioe () di domiio D, preso il puto 0 D, l uzioe è cotiu i 0 se: ) ( 0 ), cioè posso clcolre il vlore dell uzioe i 0 ) ed è iito il limite per che tede 0 dell (), cioè il limite è uule d u umero (l) 3) l ( 0 ) Queste codizioi si possoo rissumere i u: Se u uzioe è cotiu, si può clcolre il vlore di u suo limite semplicemete sostituedo ll dell uzioe il vlore del puto di ccumulzioe ( 0 ). U uzioe è cotiu i u itervllo [,b] qudo è cotiu i oi puto dell itervllo. Tipi di discotiuità Se u delle tre precedeti codizioi o è veriict, l uzioe preset u discotiuità i quel puto. Si distiuoo tre tipi di discotiuità: - Se il vlore del limite è iito m diverso secod che si cosideri i vlori destr o siistr del puto di ccumulzioe, l discotiuità viee dett di I specie - Se lmeo uo dei due vlori del limite (per 0 + e 0 - ) vle iiito o o esiste, si h u discotiuità di II specie. - Se il vlore del limite è diverso dl vlore dell uzioe el puto di ccumulzioe, l discotiuità è di III specie. Proprietà delle uzioi cotiue ) Teorem dell esistez deli zeri: se () è cotiu i [,b] e il seo di () è diverso dl seo di (b), llor c ],b[ tle che (c)0. ) Teorem di Weierstrss: se () è cotiu i [,b], llor esistoo u vlore miimo ( ) e u vlore mssimo ( ) tle che ( )<()<( ). 3) Teorem di Bolzo: se () è cotiu i [,b], llor ssume ell itervllo oi vlore compreso tr il miimo e il mssimo. Derivt di u uzioe i u puto limite iito, se esiste, del rpporto icremetle dell uzioe el puto. Preso u iiitesimo, è il rpporto tr l icremeto dell uzioe, cioè ( 0 + ) - ( 0 ), e. ( 0 ) lim () lim ( 0 + )-( 0 ) 0 0 U uzioe derivbile è sempre cotiu, m o vle il vicevers! L derivt è che il coeiciete olre dell tete ll curv. U uzioe è derivbile i u itervllo se esiste i oi puto dell itervllo il vlore dell derivt. Se () è derivbile i 0, llor Tete d u curv i u suo puto Per clcolre l equzioe dell tete d u curv i u suo puto P( p, p ), si determi il coeiciete olre m clcoldo l derivt prim dell curv e sostituedo l del puto ll derivt stess. L equzioe dell tete vrà equzioe - p m(- p ). Derivte odmetli c 0 lim -cos 0 0 lim -cos 0 lim () ( 0 ) 0 lim () ( 0 ) 0 lim (+) e Dvide Vlerii Pi di

3 Dvide Vlerii Pi 3 di cos si si cos e l lo lo l l e e t cos t + se cot cot + l rcsi rccos rct + cot rc + Proprietà delle derivte L derivt di u somm di due uzioi è uule ll somm delle siole derivte: + + L derivt di u dierez di due uzioi è uule ll dierez delle siole derivte: L derivt di u prodotto di due uzioi è uule ll derivt del primo ttore per il secodo più l derivt del secodo per il primo: + L derivt di u quoziete di due uzioi è uule ll derivt del umertore per il deomitore meo l derivt del deomitore per il umertore, tutto rtto il qudrto del deomitore: [ ] L derivt del reciproco di u uzioe è uule l rpporto tr l opposto dell derivt dell uzioe e il qudrto dell uzioe stess: [ ] L derivt di u costte per u uzioe è uule ll costte per l derivt dell uzioe: c c

4 Puto oloso puto di u uzioe i cui esistoo si l derivt destr si quell siistr, m soo diverse. - ( 0 ) + ( 0 ) Cuspide puto di u uzioe cotiu m o derivbile, i cui l derivt destr vle + e quell siistr vle -, o vicevers. Teorem di Rolle se u uzioe è cotiu ell itervllo [,b], derivbile ell itervllo ],b[ e se ()(b), llor esiste u puto c pprteete ll itervllo ],b[ tle che l derivt dell uzioe el puto c si uule 0. () cotiu i [,b] e derivbile i ],b[ e se ()(b) c ],b[ (c)0 Teorem di Lre se u uzioe è cotiu ell itervllo [,b] e derivbile ell itervllo ],b[, llor esiste lmeo u puto itero ll itervllo i cui l derivt prim è l dierez dei vlori dell uzioe eli estremi rtto l dierez deli estremi. () cotiu i [,b] e derivbile i ],b[ c ],b[ (c) Dimostrzioe: ()()+k, cotiu e derivbile i [,b] perchè somm di uzioi cotiue e derivbili. Ipotizzimo che ()(b), perciò si vrà ()+k(b)+kb. Ricvdo k, si vrà k (b)-() perciò l uzioe ()() + (b)-(). Dto che ()(b), vle il teorem di -b -b Rolle, per cui c ],b[ (c)0. Clcoldo l derivt, () ()+ (b)-() Poo or (c)0 per trovre il puto i cui l derivt si ull (Rolle). -b (c)+ (b)-() 0, ovvero (c) - (b)-() che, cmbido il seo l deomitore, divet -b -b (c) (b)-() C.V.D. b- Mssimo ssoluto di u uzioe puto 0 del domiio D di tle che ( 0 ) (), per oi pprteete l domiio. Miimo ssoluto di u uzioe puto 0 del domiio D di tle che ( 0 ) (), per oi pprteete l domiio. Mssimo reltivo di u uzioe puto 0 del domiio D di tle che ( 0 ) (), co pprteete d u itoro di 0. Miimo reltivo di u uzioe puto 0 del domiio D di tle che ( 0 ) (), co pprteete d u itoro di 0. Asitoto rett che si vvici ll uzioe sez mi toccrl, ovvero rett tete ll iiito dell uzioe. Esistoo tre tipi di sitoti: - sitoto verticle qudo l sitoto h equzioe k lim () k - sitoto orizzotle qudo l sitoto h equzioe k lim () k - sitoto obliquo qudo l sitoto h equzioe m+q lim () Se u uzioe è crescete, l derivt prim è positiv; vicevers, se l uzioe è decrescete, l derivt prim è etiv. Se l derivt prim è uule 0, il puto srà di mssimo o miimo. Dimostrzioe: se l uzioe è crescete, il rpporto icremetle srà miore di 0 e, perciò, che il limite del rpporto icremetle, cioè l derivt prim. Uule dimostrzioe se l uzioe è decrescete. Teorem de l Hopitl el clcolo di u limite, se si h u quoziete il cui umertore e deomitore coveroo tutti e due zero oppure iiito, si clcol il quoziete delle derivte del umertore e del deomitore. Se esiste il limite di questo uovo quoziete, llor esiste che il limite del quoziete oriile, e i due limiti soo uuli. Nei puti di mssimo e miimo, l tete ll uzioe el puto è prllel ll sse. Se il limite dell uzioe per che tede vle u umero iito N, l rett N è u sitoto orizzotle. Se il limite dell uzioe per che tede d u umero iito N vle iiito, l rett N è u sitoto verticle. Asitoti obliqui per trovre l equzioe deli evetuli sitoti obliqui (m+q): Dvide Vlerii Pi 4 di

5 ) si clcol il vlore del ) si distiuoo due csi: lim () m. se m è iito, m è il coeiciete olre dell sitoto obliquo (si pss l puto 3) b. se m è iiito, o esistoo sitoti obliqui (ci si erm) 3) si clcol il vlore del lim ()-m q 4) si distiuoo due csi:. se q è iito, l sitoto obliquo esiste ed h equzioe m + q b. se q è iiito, o esistoo sitoti obliqui Se il limite di u uzioe per che tede c vle 0, l uzioe è dett iiitesim; se, ivece, tle limite vle, l uzioe si dice iiit. Coroto di uzioi per corotre due uzioi (iiite o iiitesime), si il limite per c del loro rpporto. Se il vlore del limite: ) vle, llor l uzioe l umertore è di ordie superiore rispetto quell che st l deomitore; ) vle u umero iito diverso d 0, llor l uzioe l umertore è dello stesso ordie di quell che st l deomitore; 3) vle 0, llor l uzioe l umertore è di ordie ieriore rispetto quell che st l deomitore. U curv h l cocvità verso l lto qudo rime tutt l di sopr dell tete i quel puto. U curv h l cocvità verso il bsso qudo rime tutt l di sotto dell tete i quel puto. Flesso puto dell uzioe el qule cmbi l cocvità. Può essere tete orizzotle, obliquo o tete verticle, el cso i cui l tete el puto si u rett orizzotle, obliqu o verticle. Se l derivt secod è positiv, llor l uzioe h l cocvità verso l lto. Se l derivt secod è etiv, llor l uzioe h l cocvità verso il bsso. Qudo l derivt secod si ull, i quel puto si h u puto di lesso. Formul di Tlor permette di costruire u poliomio che pprossim l dmeto di u uzioe, tle che coicide co l uzioe i u dto puto e le sue derivte coicidoo co quelle dell uzioe. Dto u poliomio P() e u umero 0, è possibile idividure il poliomio secodo le poteze di (- 0 ). L ormul di Tlor è: P() P( 0 ) + P ( 0 ) (- 0 ) + P ( 0 ) (- 0 ) + P ( 0 ) (- 0 ) P () ( 0 ) (- 0 )! 3!! Chimimo resto (R) l dierez tr l uzioe e il poliomio che l pprossim. Il resto orisce u vlutzioe dell errore che si compie sostituedo il poliomio ll (). Nel cso di 0, l ormul di Tlor viee chimt ormul di Mc Luri. L ormul di Tlor cosete di clcolre i puti di mssimo o miimo reltivi di u uzioe. Dll ormul, il poliomio pprossimte l uzioe si può scrivere i questo modo: () ( 0 ) ( 0 )(- 0 )+ + P () ( 0 ) (- 0 )! Ipotizzdo ulle le prime - derivte, si rriv scrivere l equzioe seuete: () ( 0 ) P () ( 0 ) (- 0 ) trscurdo il resto R. Perciò, il seo dell espressioe ()-( 0 )! dipede dl seo di (- 0 ) e di ( 0 ), perciò: - se è pri (- 0 ) è sempre positivo, llor o se ( 0 )>0 ()-( 0 )>0 ()>( 0 ) 0 è u puto di miimo reltivo o se ( 0 )<0 ()-( 0 )<0 ()<( 0 ) 0 è u puto di mssimo reltivo (se ( 0 )0 e ( 0 )>0 miimo, oppure, se ( 0 )<0 mssimo) - se è dispri, si ho i seueti csi: (- 0 ) <0 (- 0 ) >0 Risultto ( 0 )>0 ()<( 0 ) ()>( 0 ) () è CRESCENTE ( 0 )<0 ()>( 0 ) ()<( 0 ) () è DECRESCENTE Se, i uo studio di uzioe, trovo u puto i cui l derivt prim si ull, posso determire l su tur (mssimo o miimo) clcoldo il vlore dell derivt secod i quel puto. Dvide Vlerii Pi 5 di

6 - Se ( 0 ) > 0, l cocvità è verso il bsso e si vrà u miimo - Se ( 0 ) < 0, l cocvità è verso l lto e si vrà u mssimo Dierezile prodotto dell derivt per l icremeto dell vribile idipedete: d (). L deiizioe di dierezile si ricv dll deiizioe di derivt. Il dierezile esprime l icremeto dell uzioe o sul rico, m sull rett tete. Dimostrzioe: lim ( 0 + )-( 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 + )-( 0 ) - ( 0 ) α( ) lim α( )0 0 ( 0 + )-( 0 ) ( 0 ) + α( ) trscurbile 0 0 () ( 0 ) ovvero il dierezile dell uzioe Se () d()d e d d()d () INTEGRALI Dt u uzioe cotiu e derivbile i u itervllo [,b], si suddivide l itervllo i itervlli iiitesimi, dti dll ormul h(b-)/. Dopodiché, si predoo i miimi di oi pezzettio e si trcci l rett prllel ll sse, i modo d costruire tti rettoli, l cui re vle h m i. L somm delle ree dei rettoli così costruiti (s ) pprossim per dietto l re dell prte di pio sottes ll uzioe. Se, ziché i miimi, si predessero i mssimi di oi pezzettio, l somm dei rettoli (S ) pprossimerebbe per eccesso l re dell prte di pio sottes ll uzioe. Dto che s e S soo clssi cotiue, tr di esse vi è u elemeto seprtore, chimto iterle. Iterle ideiito isieme delle iiite primitive dell uzioe che dieriscoo tr loro per il vlore di u costte c. Iterle deiito rppreset l re dell prte di pio compres tr l uzioe, l sse e li estremi e b. U iterle deiito si clcol trovdo l primitiv F() del corrispodete iterle ideiito e poi cedo l dierez tr F(b) e F() (dimostrto di seuito) Teorem dell medi b Se () è cotiu i [,b] e derivbile i ],b[, llor c ],b[ () d (b-) (c). Dimostrzioe: dto che oi miimo reltivo è compreso tr il miimo ssoluto e il mssimo ssoluto, si può scrivere che m h<m i h<m h e che m h<s < M h. Dto che h(b-)/, si può b scrivere (b-) m<s <(b-) M. Clcoldo i limiti per, divet (b-) m< () d<(b-) M. Siccome () è cotiu, ssumerà tutti i vlori compresi r il miimo e il mssimo, e quidi che b b b () d. Perciò, esisterò u c tle che (c) () d e cioè () d (b-) (c) C.V.D. b- b- Teorem di Torricelli Se () è cotiu ell itervllo [,b], llor l uzioe iterle F() (t) dt è u uzioe derivbile i [,b] e si h che F ()() per oi [,b]. Questo teorem è il teorem odmetle del clcolo iterle i quto permette di collere il clcolo dierezile quello iterle. Dimostrzioe: + + F () lim F(+ )-F() lim (t) dt - (t) dt lim (t) dt + (t) dt - (t) dt lim (t) dt + 0 dto che b-+ -, pplico il teorem dell medi (c) (t) dt lim (c) lim (c) qudo 0, c perché <c<+ lim (c) 0 () C.V.D. 0 c Dvide Vlerii Pi 6 di

7 Proprietà ormli b () d b () d () d 0 b c b () d () d + c () d co c ],b[ b Corollrio: (t) dt F(b) F() Dimostrzioe: b Poimo F() (t) dt e sostituimo prim l estremo b e poi. Viee che F(b) (t) dt e che F() (t) dt 0 dll secod proprietà ormle. Fcedo l dierez tr le due divet b b F(b) F() (t) dt (t) dt, ovvero F(b) F() (t) dt C.V.D. F() è u primitiv dell uzioe (). U uzioe, tuttvi, può vere iiite primitive, che dieriscoo tr loro per u costte. U iterle ideiito h, perciò, iiite soluzioi. Proprietà deli iterli k () d k () d () df()+c e () dg()+c [()±()] d F()±G()+c Clcolo delle ree I eerle, l re dell prte di pio sottes d u curv si clcol cedo l iterle deiito dell equzioe dell curv, clcolto eli estremi cosiderti. Tuttvi, secod che l curv sti sopr o sotto l sse, il seo dell iterle cmbi. Nel dettlio, si distiuoo i seueti csi: - ()>0 [,b] S b () d - ()<0 [,b] S b () d - ()>0 [,c[ e ()<0 ]c,b] S c () d b c () d Nel cso i cui l prte di pio di cui clcolre l re si compres tr due curve () e (), si può dimostrre che l ormul di clcolo dell re è sempre: S b [()-()] d posto che ()>(). Nel cso i cui uo dei due estremi o pprte l domiio (cioè l uzioe o si cotiu ell itervllo [,b]), si clcol il limite per che tede quell estremo dell iterle deiito i cui l estremo che l domiio (b) viee sostituito co b-ε. I questo cso, si prl di iterle eerlizzto. Se b D: b () d lim b-ε () d Se b± : () d lim b () d ε 0 Iterzioe di uzioi rzioli Si possoo distiuere vri csi, i più importti soo: - iterle del loritmo turle qudo si h u iterle del tipo k d (±b), l soluzioe è k l +b +c (ttezioe, il deomitore deve essere di primo rdo!) - iterle di u rzioe co deomitore di rdo d, l soluzioe si ottiee k _ (-) trsormdo l rzioe i potez co espoete etivo (-) e divet k (+) -+ +c -+ (Ricordimo che + /(+)) - iterle di u rct el cso i cui si bbi, l primitiv vle rct + c(otimo k _ + che, i questo cso, il deomitore è irriducibile) - iterle di u loritmo co rometo di rdo el cso si bbi il deomitore di rdo e il umertore di rdo - e el cso i cui il umertore si l derivt del deomitore, l primitiv risult essere il loritmo turle del deomitore; esempio: /( +5) l( +5) + c - iterle di u rzioe co deomitore irriducibile el cso si bbi il deomitore di rdo e il umertore di rdo -, si impost l equzioe A(derivt del deomitore) + B umertore, si risolve e si trovo i vlori A e B, dopodiché l rzioe si può b Dvide Vlerii Pi 7 di

8 scomporre; esempio: (3+)/( +5+7), si impost A(+5) + B 3+, si trov A/3 e B-7/3 e si risolve l iterle i cui, l posto di 3+, si vrà /3(3+)-7/3 - iterle co il deomitore ricoducibile ll rct el cso il deomitore si di secodo rdo irriducibile, lo si può trsormre ell orm + k (co che può essere che u espressioe) e risolverlo co il metodo dell rct (ricordrsi delle derivte delle uzioi composte!) - iterle co il deomitore riducibile el cso si bbi il deomitore riducibile trmite l ormul dell somm-prodotto (d es. -5+6), l iterle si risolve scompoedo il deomitore (i questo cso, i (-)(-3)) per poi impostre l equzioe A + B _ - -3 (-)(-3) A + B _ - (-) (-) procededo poi l clcolo del mcm e ll impostzioe del sistem per clcolre A e B (divet A(-3) + B(-), poi clcoli, poi si rccolie l e si poe il coeiciete dell uule 0 e il termie oto uule ). Nel cso i cui si bbi, l deomitore, due poliomi uuli, m di rdo diverso (es. - e (-) ), si deve impostre l equzioe ico, co u letter per oi deomitore diverso! - iterle co il deomitore riducibile usdo Ruii el cso i cui il deomitore si u poliomio che si ull per, si può scomporre il poliomio el prodotto di due poliomi trmite l reol di Ruii - iterle co umertore di rdo miore o uule del deomitore i questo cso, si può utilizzre l divisioe tr poliomi per otteere u poliomio quoziete Q() d iterre prte e u poliomio resto R(), che drà iterto ssieme l poliomio divisore D(); i prtic, l iterle oriile P() diveterà Q() + R()/D(). Iterzioe per sostituzioe per risolvere li iterli ttrverso questo metodo si sostituisce d u espressioe i u ltr espressioe i t e si trsorm il d i dt, moltiplicdo il tutto per l derivt dell uov espressioe. U volt trovte le soluzioi, si deve torre sostituire ll espressioe i t, quell i, per vere l isieme delle primitive che si cercv. Iterzioe per prti el cso si bbi u prodotto di due uzioi d iterre i cui u o è l derivt dell ltr, si può procedere ll iterzioe per prti, cosiderdo u come () e u come (). L ormul risolutiv è () () d () () - () () d. Nel cso i cui ci si blocchi el clcolo, provre riprtire cosiderdo come () l () e come () l ()! Dimostrzioe: D[() ()] () () + () () () () D[() ()] - () () () () D[() ()] - () () ricorddo che l iterle di u derivt è uule ll uzioe stess, si h () () () () - () () C.V.D. Volume dei solidi di rotzioe Nel cso i cui si cesse ruotre u re itoro ll sse (o ll sse ) e si volesse clcolre il volume del solido così otteuto, chimto pputo solido di rotzioe, bsterebbe clcolre l iterle deiito dell uzioe l qudrto e moltiplicre il risultto per pi-reco. I lettere, divet Vπ b () d Nel cso i cui l re tt ruotre si l prte di pio compres tr due curve, il volume del solido così otteuto srebbe Vπ b () d - π b () d co ()>(). Metodi umerici I metodi umerici veoo usti per trovre i risultti dove o si riuscirebbe rlo co il metodo clssico. Nel cso deli iterli, se l espressioe è troppo compless, si può ricorrere questi metodi per trovre il risultto. Esistoo diversi metodi umerici: - metodo dei rettoli el clcolo dell re, ziché predere mssimi e miimi dell uzioe, predo il rettolo di bse h e ltezz pri l vlore di siistr dell itervllo: i questo modo, l ormul divet b () h i co i che vri d 0 - (co umero Dvide Vlerii Pi 8 di

9 deli itervlli); i ltertiv, si può sceliere di predere come ltezz i vlori di destr dell itervllo: i questo cso, l ormul divet b () h i co i che vri d. - metodo dei trpezi (di Bézout) i questo metodo, si predoo i trpezi ormti dll bse, dll ltezz io l vlore siistro dell itervllo, dll ltezz io l vlore destro e dl semeto che uisce li estremi dell itervllo, per ormre tti trpezi; l ormul di risoluzioe divet b () h/ ( ). - metodo delle prbole (di Cvlieri-Simpso) i questo metodo, l itervllo [,b] deve essere diviso i u umero pri di itervllii; oi tre puti cosecutivi (estremi deli itervlli) si pssre u prbol e se e prede u pezzo; l ormul risolutiv divet b () h/3 [ 0 +4( )+( )+ ] Fuzioi i due vribili Soo uzioi che si rppreseto i u rico tre dimesioi e che dipedoo d due icoite. z (,) è u uzioe i due vribili! Per clcolre il domiio di u uzioe di due vribili, si procede el solito modo, mettedo sistem i domii delle vrie uzioi. Tuttvi, i questo cso, i domii o sro ormti d itervlli, m d uzioi (curve, rette, ). Il domiio srà ormto dlle prti di pio comui. Per quto riurd le derivte, elle uzioi di due vribili si prl di derivte przili. Questo perché, essedo i tre dimesioi, si vrà u pio tete ll curv, o più u curv. Per clcolre l derivt prim rispetto (che si idic co Z ) si cosider come vribile e come costte (perciò, l derivt di, d esempio, è ), metre per clcolre l derivt prim rispetto (Z ) si cosider come vribile e come costte. Ache le derivte successive sro przili, perciò si vrà Z, cioè l derivt rispetto dell derivt prim rispetto, Z, Z, Z. Per quto riurd le uzioi derivbili e che ho l derivt secod cotiu, Z e Z soo uuli! Ricordimo che le derivte secode ci do iormzioi sull cocvità dell curv. Per cercre i mssimi e i miimi dell uzioe, codizioe ecessri è che le due derivte prime przili sio uuli 0, m o suiciete perché potrebbe esserci u puto di lesso. L codizioe suiciete è che l hessio (H ) si miore di 0. Ioltre, se è miore di 0, si h u miimo, se, ivece, è miore di 0, si h u mssimo. Se l hessio è etivo, si h u puto di sell. Se H0, o si h essu iormzioe. Per clcolre il volume del solido costruito sul pio, lo si divide i tti prllelepipedi. Il volume del solido è uule ll iterle doppio dell uzioe i due vribili. V () d d Iterle doppio orisce l misur del volume del solido compreso tr l uzioe e il pio coteete il suo domiio Per risolvere u iterle doppio, si utilizzo le ormule dello sdoppimeto, che riporto il clcolo dell iterle doppio l clcolo di due iterli semplici. Le ormule di sdoppimeto vrio secod che il domiio D si ormle rispetto o rispetto. Domiio ormle rispetto delimitto dlle rette e b e dlle curve h() e () Domiio ormle rispetto delimitto dlle rette c e d e dlle curve r() e s() Co,b,c,d costti e (), h(), r(), s() uzioi cotiue. Formul di sdoppimeto co D ormle rispetto () d d b [ h() () () d] d Formul di sdoppimeto co D ormle rispetto () d d c d [ r() s() () d] d Nel cso di u domiio ormle si rispetto si rispetto, si può sceliere rbitrrimete qule ormul di sdoppimeto pplicre. Nel cso i cui, dopo lo sdoppimeto, li iterli ppio vribili seprte, cioè si possibile dividere l dll, si può portre uori dll iterle più itero l espressioe che cotiee solo l vribile per cui o sto derivdo. Perciò, se l uzioe è vribili seprte, divet: () d d h() d k() d Dvide Vlerii Pi 9 di

10 Clcolo deli zeri di u uzioe Può cpitre di dover risolvere u equzioe compost d uzioi di tur divers (d esempio, u uzioe trioometric e u poliomio, +se). I questo cso, si possoo usre dei metodi per pprossimre l dmeto dell uzioe e, i prticolre, per trovre li zeri dell uzioe. I ouo dei tre metodi, si deve sceliere u itervllo [,b] i cui si è sicuri che c è uo zero dell uzioe. Per ssicurrsi che l itervllo scelto si corretto, si deve veriicre che il seo di () si diverso dl seo di (b). I metodi d oi studiti soo tre: - metodo dicotomico: l prim pprossimzioe si clcol cedo l medi tr i due estremi (+b)/; per le pprossimzioi successive, si sostituisce ll estremo i cui il vlore dell uzioe i quel puto h lo stesso seo dell ( ), dopodiché si ripplic l ormul; - metodo delle corde: l prim pprossimzioe si clcol pplicdo l ormul lto; per quto riurd le pprossimzioi successive, si clcol ( ) e si sostituisce ll estremo i cui l uzioe clcolt i quel puto h lo stesso seo di ( ); (b) - b () (b) () - metodo delle teti: i questo metodo si deve determire l estremo d teere isso e quello d r vrire per restriere l itervllo; per rlo, si clcol il vlore dell uzioe e dell derivt secod i ouo dei due estremi; l estremo i cui l uzioe e l derivt secod ho lo stesso seo è quello d cui iizire cercre il vlore pprossimto; l ormul è l seuete. 0 ( ) Per quto riurd le pprossimzioi successive, si clcol l uzioe i 0 e, ( ) secod del seo, si sostituisce 0 l primo o l secodo estremo, per poi reiterre. Equzioi dierezili U equzioe del tipo: F(,,,,, () )0 ell qule iuro l vribile idipedete, l uzioe icoit ed lcue delle sue prime derivte viee chimt equzioe dierezile di ordie ( è l ordie più elevto dell derivt che compre ell equzioe). U equzioe dierezile può essere di diversi tipi (liere, vribili seprbili, ecc.), ouo co u metodo diverso di risoluzioe. Teorem di Cuch se l uzioe (,) e l su derivt przile soo cotiue ei puti iteri d u certo domiio D del pio e se P 0 ( 0 ; 0 ) è il puto itero D, llor l equzioe dierezile mmette u ed u sol soluzioe: φ() deiit i u certo itoro di 0, per l qule risulti φ() 0. I prtic, per il puto P 0 ( 0 ; 0 ) pss u ed u sol curv iterle. Nel cso di equzioi dierezili del secodo ordie, il puto P 0 srà deiito d tre puti P 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) e l uzioe (,, ) dovrà essere cotiu ssieme lle sue derivte przili prime e secode (, ). Le equzioi dierezili del primo ordie soo i orm ormle qudo si preseto ell scrittur (,). Possoo essere di due tipi: - vribili seprbili: i questo cso, l equzioe si preset ell orm h() (); per risolverl, si trsorm el rpporto d/d (per l deiizioe di derivt), dopodiché si isol l uzioe d u prte e l uzioe dll ltr, co i reltivi dierezili; o rest or che re l iterle d tutte e due le prti e divet: d/() h()d + c. - lieri: l equzioe è di primo rdo rispetto e rispetto e si preset ell orm +()(). L ormul per trovre l iterle eerle è e - ()d [ e ()d ()d+c]. Dimostrzioe: cosiderimo ()0, perciò +()0 che è vribili seprbili; d/d+()0 che, risolvedol, divet d/- ()d + c, ovvero l- ()d + lc (lcc ), quidi c e - ()d. Poimo or u v, di cui clcolimo l derivt u v+uv ; sostituimo quest ll prim equzioe, e si h u v+uv +() uv() che, rccoliedo, divet u v+u(v +()v)(); poimo l pretesi uule 0, e rime u v() che è vribili seprbili e divet u () /v() e - ()d, iie, clcolimo l iterle e divet u e ()d ()d+c. C.V.D. Le equzioi dierezili del secodo ordie soo i orm ormle qudo si preseto ell scrittur (,, ). Le equzioi d oi trttte soo di tipo liere e si suddividoo i: Dvide Vlerii Pi 0 di

11 - lieri omoeee coeicieti costti: si preseto ell orm +b +c0; l iterle eerle h orm c +c, dove e soo le soluzioi dell equzioe; per trovre e, si può dimostrre che esse soo che le soluzioi di u equzioe chimt equzioe crtteristic, che h l orm λ +bλ+c0. U volt risolt l equzioe crtteristic, si ho tre csi: o >0 soluzioi reli diverse α, β e α ; e β o 0 soluzioi reli coicideti α β e α ; e α o <0 soluzioi complesse coiute α±iβ e α seβ; e α cosβ - lieri o omoeee coeicieti costti: si preseto ell orm +b +c(); l orm dell iterle eerle è eerle eerle dell omoee ssocit+ prticolre; secod dell tipoloi di (), cmbi il metodo risolutivo: o () poliomio di rdo : per prim cos, clcolo le soluzioi dell equzioe omoee ssocit, che si ottiee poedo ()0. Dopodichè, imposto il clcolo per il poliomio ϕ(), che deve essere di rdo (o di rdo + se ell equzioe o compre l, m l ). Ad esempio, u poliomio di rdo vrà equzioe ϕ()+b! Dopodichè, si clcolo derivt prim e secod del poliomio e le si sostituiscoo lle, e dell uzioe oriile; poi si mette sistem uule l coeiciete corrispodete ell () e b uule l termie oto dell (). U volt ricvti e b, costruisco l iterle prticolre sostituedoli l poliomio ϕ() e lo sommo ll iterle eerle dell equzioe omoee ssocit, trovdo così l iterle eerle dell equzioe dierezile liere o omoee! o () espoezile: i questo cso, () è del tipo Ae α. U volt trovte le soluzioi dell equzioe crtteristic, si distiuoo tre csi: α o è soluzioe dell equzioe crtteristic ϕ()ke α α è u soluzioe dell equzioe crtteristic ϕ()ke α α è soluzioe doppi dell equzioe crtteristic ϕ()k e α Per determire k, si clcolo le prime due derivte di ϕ() e si sostituiscoo ll equzioe oriile, risolvedol e trovdo il vlore di k. o () trioometric: i questo cso, () è del tipo pseω+qcosω. U volt trovte le soluzioi dell equzioe crtteristic, si distiuoo due csi: iω o è soluzioe dell equzioe crtteristic ϕ()aseω+bcosω iω è soluzioe dell equzioe crtteristic ϕ()aseω+bcosω I seuito, si clcolo derivt prim e secod di ϕ(), si sostituiscoo ll equzioe oriile e si trovo A e B el solito modo (sistem). Iie, si scrive l iterle eerle dell equzioe dierezile ell orm c +c +ϕ(). Dvide Vlerii Pi di

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