Le grandezze vettoriali nella cinematica. del punto materiale

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1 26 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 01) L nozione di segmeno oieno 02) L nozione di veoe 03) Gndezze scli e gndezze veoili. 04) L somm di due o più veoi 05) L diffeenz di due veoi 06) Il podoo di un numeo ele pe un veoe 07) Il ppoo di due veoi plleli 08) L decomposizione di un veoe lungo due diezioni non oiene 09) Il Veoe posizione 10) Il veoe velocià 11) Il veoe ccelezione 12) Uleioi considezioni sui moi ccelei e idi. 13) Moo veicle dei gvi nel vuoo. 14) L misu degli ngoli in dini 15) Moi peiodici 16) Moo cicole unifome

2 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 27 L nozione di segmeno oieno Dll geomei euclide sppimo che il segmeno è l pe fini di e delimi d due puni dei esemi del segmeno. Definimo segmeno oieno un qulsisi segmeno sul qule è so fisso un veso posiivo. P Q nche pe il segmeno oieno possimo scegliee il veso posiivo in due mniee divese. Cosi il segmeno oieno PQ è quel segmeno che h come veso posiivo quello che v dl puno P ( deo semplicemene esemo ). pimo esemo o oigine ) l puno Q ( deo secondo esemo o Esso è indico col simbolo PQ o nche col simbolo PQ se convenimo di idenifice il suo veso posiivo con l odine secondo cui sono scii i suoi esemi. L ppesenzione gfic del segmeno oieno PQ si oiene segnndo con un fecci l esemo Q, del segmeno euclideo PQ. Ogni segmeno oieno PQ è ceizzo dll lunghezz l cui misu ( ispeo d un pefisso segmeno uniio u ) è de modulo ( del segmeno oieno ), dll diezione ( e PQ o un su qulsisi pllel ), dl veso che è quello scelo biimene in uno dei due modi possibili. L e che coniene il segmeno oieno PQ dicesi il sosegno del segmeno oieno. Il segmeno PQ h veso opposo l segmeno oieno QP, nzi i segmeni oieni PQ e QP si dicono opposi e si scive PQ = - QP I due segmeni oieni PQ ed RS hnno lo sesso veso ( vesi opposi ) qundo hnno l sess diezione ed ppengono ( non ppengono ) llo sesso semipino individuo sul pino euclideo π dll e PR. Due segmeni oieni PQ ed RS si dicono equipolleni e si scive PQ RS qundo hnno : 1) l sess lunghezz 2) l sess diezione 3) lo sesso veso R P segmeni oieni equipolleni S Q

3 28 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile P segmeni oieni equivesi Q segmeni oieni veni vesi opposi P Q R S S R π π Se P Q si h il segmeno oieno nullo il qule h lunghezz null e diezione e veso indeemini. Due o più segmeni oieni nulli si consideno equipolleni. Indicheemo con I { PQ} = indiffeenemene l insieme di ui i segmeni oieni dell e euclide, del pino euclideo π, dello spzio euclideo Ω. Un segmeno oieno PQ, qule ene dello spzio, è doo delle segueni 4 popieà elemeni : 1) diezione 2) veso 3) lunghezz 4) oigine o puno di ppliczione. Diezione è sinonimo fscio di ee pllele. L nozione di veoe Consideimo l insieme I di ui i segmeni oieni e si PQ uno di essi. Il segmeno oieno PQ o un qulsisi lo segmeno oieno d esso equipollene individu un nuovo ene memico deo veoe. Quindi veoe è l ene memico complemene individuo d un diezione, d un lunghezz e d un veso. Il veoe cosi definio può essee indico nco con PQ oppue, secondo le vedue di Hmilon-Gssmnn, con Q P ( si legge Q meno P ), cioè come diffeenz f due puni, oppue con un lee minuscol dell lfbeo lino sopssegn con un fecci (,b ). Quindi isul : PQ = Q P = P si dice oigine del veoe, Q esemo. Un veoe è nco ppeseno d un segmeno oieno il qule dà del veoe un ppesenzione gfic o un modello. Due segmeni oieni equipolleni ppesenno lo sesso veoe m dnno di esso due modelli divesi o due ppesenzioni gfiche divese.

4 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 29 Un qulsisi veoe è ceizzo : 1) d un diezione 2) d un veso 3) d un lunghezz l cui misu è de modulo che viene indico con uno dei segueni simboli :,, Q P, PQ, mod 4) dll oigine indeemin. Indichimo con J l insieme di ui i veoi ( dell e euclide, del pino euclideo, dello spzio euclideo ), cioè : J = PQ { } = Ogni veoe di modulo uniio si dice vesoe o veoe uniio Ogni vesoe definisce un diezione oien e viceves. Di solio, il vesoe viene indico con uno dei segueni simboli: i j k e u. Se P Q il veoe PQ si dice veoe nullo e viene indico col simbolo o. Esso h modulo nullo e veso e diezione indeemini. Due veoi e b si dicono uguli e si scive = b qundo hnno come modelli due segmeni oieni equipolleni ( cioè qundo ppesenno un sess clsse di segmeni oieni equipolleni, cioè qundo hnno l sess diezione, lo sesso veso, l sess lunghezz ). Due veoi e b non uguli si dicono divesi e si scive: b Pe i veoi non esise un elzione d odine pe cui non h senso ple di veoe mggioe o minoe di un lo veoe Si dice che due veoi sono plleli qundo si possono ppesene con segmeni oieni di un sess e o di ee pllele. Due veoi si dicono opposi se hnno l sess lunghezz, l sess diezione e vesi opposi. L opposo del veoe è indico col simbolo -. Te veoi si dicono complni se pe essi è possibile un ppesenzione con segmeni oieni di uno sesso pino. conclusione possimo die che gli elemeni ceisici di un veoe libeo = Q P sono : P 1) l oigine P e l esemo Q 2) l diezione cioè l e PQ ( de sosegno o e d zione del veoe libeo PQ ) o un su qulsisi e pllel. 3) il veso che v dll oigine P ll esemo Q 4) il modulo che è un numeo ele ssoluo che espime l misu del segmeno non oieno PQ ( segmeno euclideo ) ispeo d un pefiss unià di misu 5) l oigine P indeemin Q

5 30 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile Gndezze scli e gndezze veoili Tue le gndezze che sudimo in fisic sono di due ipi : gndezze scli e gndezze veoili. Definimo scle un gndezz complemene individu d un numeo ( posiivo o negivo ) che ne espime l misu ispeo d un'l gndezz dell sess specie scel come unià di misu ( scl ). Sono esempi di gndezze scli le empeue, le msse dei copi, l'e di un supeficie, il lvoo eseguio d un foz, ec... Definimo veoile un gndezz complemene individu d un numeo posiivo ( modulo ), d un diezione e d un veso. Il nome veoile ibuio d un geneic gndezz di queso secondo guppo scuisce dl fo che ciscun di esse può essee ppesen d un veoe. Sono gndezze veoili gli sposmeni, le velocià, le ccelezioni, le foze, l'inensià del cmpo eleico, l'induzione mgneic, ec... Somm di un puno e di un veoe Definimo somm del puno e del veoe v e l indichimo col simbolo + v il puno le che si : = v, cioè le due uguglinze [1] = + v e = v [2] espimono, come nell lgeb odini e con le sesse leggi pe i segni, un medesim elzione. Il veoe v pplico l puno lo spos nel puno. D ques cicosnz scuisce il nome di veoe ( dl lino vehee = P Fig. 3 Q spoe ). DDIZIONE VETTORILE Inoducimo l opezione di ddizione due o più veoi. Si possono pesene i segueni csi : Somm di veoi ppeseni d segmeni oieni due due consecuivi Supponimo di volee eseguie l somm s di due veoi e b qundo quesi sono ppeseni d due segmeni oieni consecuivi In queso cso possimo scivee s b O O O + o = O = + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( )

6 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 31 b O s = + b Il veoe s = O è deo somm ( o veoe isulne ) dei veoi e b, cioè l somm dei veoi e b ppeseni d segmeni oieni consecuivi è il veoe s che h come oigine l oigine del veoe e come esemo l esemo del veoe b. O s E s1 s3 e b s2 D d c C Consideimo desso n ( nel noso cso 5) veoi complni ppeseni d segmeni oieni due due consecuivi. L loo somm ( de veoe isulne ) è il veoe s cosi oenuo : s = + b + c + d + e = s 1 + c + d + e = s 2 + d + e = s 3 + e = E O Divesmene bbimo : s = ( 0 ) + ( ) + ( C ) + ( D C) + ( E D) = = ( E O) + ( ) + ( ) + ( C C) + ( D D) = E O L somm di più veoi complni ppeseni d segmeni oieni due due consecuivi è il veoe s ( deo veoe somm o veoe isulne ) che h come oigine l oigine del pimo veoe e come esemo l esemo dell ulimo veoe.

7 32 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile Somm di due veoi veni l sess oigine Sino e b due veoi ppeseni d due segmeni oieni veni l sess oigine O. L loo s = + b = O + O = = + C = C somm s è d d : ( ) ( ) ( ) ( ) C è l digonle ( vene un esemo coincidene con l oigine O dei due veoi ) del pllelogmm vene come li consecuivi i due veoi e b. Si espime ques cicosnz ffemndo che, in queso cso, i due veoi si sommno pplicndo l egol del pllelogmm. Il veoe s è deo nche veoe isulne. Somm di più veoi veni l sess oigine Infi : 1 O D 3 s C 2 E O b Si possono somme i veoi due due fino d oenee il veoe somm s, oppue d si cci il veoe equipollene d 1, d D il veoe equipollene d 3. E O = s è il veoe somm. s = + + = ( D O) + = E O Somm di due veoi libei complni non consecuivi Sino 1 ed 3 due veoi libei complni non veni l sess oigine. Pe clcole l loo somm s si sceglie un qulsisi puno O del pino individuo di veoi 1 ed 3. Si cosuiscono i veoi equipolleni O = 2 O = 1 s si oiene pplicndo l egol del pllelogmm s C O s C 2

8 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 33 Somm di più veoi libei non consecuivi Si definisce somm di n ( 5) veoi libei complni il veoe s così oenuo : Si sceglie in mnie bii il puno O ppenene l pino individuo dgli n veoi e si cosuiscono i segueni veoi due due consecuivi : O = 1, = 2, C = 3, D C = 4, E D = 5 s = = E O C 4 O s D 4 E 5 1 Somm di veoi plleli 1) Veoi equivesi 1 2 C Il veoe s h : s = + = C 1 2 1) l sess diezione di 1 ed 3 2) lo sesso veso di 1 ed 3 s C 3) come modulo l somm dei moduli dei veoi 1 ed 3

9 34 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 2) Veoi veni vesi opposi 1 2 C C s = + = 1 2 Il veoe s h : 1) l sess diezione di 1 ed 3 s 2) modulo ugule ll diffeenz il modulo mggioe ed il modulo minoe 3) veso del veoe che h modulo mggioe 3) Veoi opposi L somm di due veoi opposi ( veoi veni l sess diezione, lo sesso modulo e vesi opposi ) è il veoe nullo, cioè : = o L ' opposo del veoe si indic col simbolo. Sozione veoile Si chim diffeenz f due veoi e b, e si indic col simbolo b il veoe d che si oiene ddizionndo d l'opposo di b, cioè : d = + ( b) = b + d d è un veoe che h come oigine l'esemo di b e come esemo l'esemo di. d d = b = + ( b) = ( O) + ( D O) = C O = O N.. Se e b non hnno lo sesso puno di ppliczione llo d un geneico puno O del pino individuo di veoi e b si cosuiscono i veoi equipolleni ispeivmene d e b. Il poblem è icondoo quello pecedenemene o.

10 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 35 b d b O d b b D Podoo di un numeo ele pe un veoe Se k è un numeo ele qulsisi ed un veoe, si definisce podoo di k pe e si design col simbolo k il veoe p che h : 1) l sess diezione di 2) lo sesso veso di se k è posiivo e veso opposo d se k è negivo 3) come modulo il podoo del modulo di pe il vloe ssoluo di k, cioè : p = k p = k Rppoo di due veoi plleli di il numeo ele k ed il veoe, bbimo definio il veoe p = k. Viceves di i veoi plleli p ed possimo definie il numeo ele elivo k come ppoo dei veoi plleli p ed p, cioè : k =

11 36 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile Risul così giusific l seguene definizione : << Il ppoo di due veoi plleli p ed è il numeo ele elivo k vene come modulo il ppoo dei moduli di p ed e pe segno + o - second che p ed sino p equivesi oppue opposi >>. Possimo scivee : p = k k = L decomposizione di un veoe lungo due diezioni non oiene Sino un veoe libeo ppeseno, d esempio, dl segmeno oieno ed un qulsisi e complne con. Sino e ispeivmene le poiezioni oogonli di e sull e. Il veoe = dicesi il componene di secondo l e. C D è il componene del veoe libeo secondo l e non oien ' ' " " Noi sppimo che il vesoe di un e oien è il veoe e vene modulo uniio e diezione e veso di. Consideimo un e oien di vesoe e. L componene del veoe libeo, non oogonle d, secondo l e oien è il numeo ele elivo definio dl seguene ppoo : = e Peno il componene di un veoe libeo secondo l e non oien e l componene dello sesso veoe secondo l medesim e oien ( cioè di vesoe e ) sussise l elzione : = e

12 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 37 ϑ ' ' ' ' e Sino ed s due ee non oiene complni. Si O il loo puno d inesezione. Si un veoe non nullo del pino s, di ipo qulsivogli, cioè libeo o pplico in un puno o lungo l su e d zione. si un segmeno oieno ppesenivo del veoe. Di puni e ccimo le ee pllele d ed s. Oenimo i puni 1, 2, 1, 2 e l seguene elzione veoile : = = ( H ) + ( H) = ( 1 1) + ( 2 2 ) cioè : = + I veoi ed s si dicono i componeni del veoe secondo le due diezioni non oiene ed s. s s 2 2 s H s O 1 1

13 38 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile Sino e ngolo di due veoi complni b due qulsisi veoi libei del pino euclideo π. Pe un qulsisi puno O di π ccimo due segmeni oieni, O equipollene l segmeno oieno che ppesen il veoe, O equipollene l segmeno oieno che ppesen il veoe b. Risul : O =, O = b O b ϑ b L ngolo convesso O = ϑ così oenuo è l ngolo fomo di veoi e b e si indic con uno dei segueni simboli : ng(, b), b, ( b, )

14 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 39 Veoe posizione Dicesi veoe posizione ll'isne il veoe () che h come oigine un puno fisso O ( che poebbe essee l'oigine di un ifeimeno cesino ) e come esemo l posizione P () occup dl mobile ll'isne. Dicesi veoe sposmeno elivo ll'inevllo di empo Δ = 2 1 il veoe P ( 1) P () che h come oigine l posizione ( ) esemo l posizione P ( 1 ) occup dl mobile ll'isne 1. Risul : ( 1) P () = Δ = ( ) () P P occup dl mobile ll'isne e come 1 = 1 Velocià veoile medi ed isnne L posizione di un puno meile che pecoe l ieoi può essee individu o dll'sciss cuviline s o dl veoe posizione = () = P O. Il veoe posizione vi l vie del empo ; si dice che è funzione del empo e si scive : = () Qundo il puno mobile P () pss dll posizione P ( ) ll posizione P ( 1 ) si dice che subisce nel empo Δ = Δ = = lo sposmeno : ( ) () cioè Δ è il veoe sposmeno elivo ll ' inevllo di empo Δ = 2 1. Definimo velocià veoile medi del puno meile mobile eliv ll'inevllo di empo Δ = 2 il veoe v 1 m definio dll seguene elzione veoile : ( ) () v m = 1 Δ = 1 = Δ L gndezz v m 1 1 è un gndezz veoile peché oenu dl ppoo il veoe Δ e lo scle Δ. Ess è peno ceizz d un modulo, d un diezione e d un veso. L velocià veoile isnne è il veoe v () che h : 1) come oigine il puno P () 2) come diezione l e ngene ll ieoi nel puno P 3) come veso quello del moo che può nche non coincidee col veso fisso biimene

15 40 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile sull ieoi 4) come modulo il vloe ssoluo dell velocià scle isnne clcol ll'isne s() P() () v () Δ v m Δ s ( 1) s ( 1 ) P ( 1 ) O = ieoi desci dl puno mobile P () = posizione del mobile ll ' isne, P ( 1 ) = posizione del mobile ll'isne 1 ( 1 ) = veoe posizione ll' isne 1, () ( o ) = o = veoe posizione ll' isne inizile s () = sciss cuviline del mobile ll ' isne s ( 1 ) = sciss cuviline del mobile ll ' isne 1 = veoe posizione ll' isne Ossevzioni L velocià veoile v può vie peché cmbi l su diezione o peché cmbi il suo modulo o peché cmbino enmbi. ) Se il modulo del veoe v imne cosne mene vi l su diezione, llo il moo è cuvilineo unifome b) Se l diezione di v è cosne, llo il moo è eilineo

16 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 41 c) Se v si mniene cosne in modulo, diezione e veso llo il moo è eilineo unifome ccelezione veoile medi ed isnne Un puno meile in movimeno possiede ccelezione veoile qundo l su velocià veoile v mu in lmeno uno dei e elemeni che l ceizzno, cioè : in modulo, diezione, veso. Supponimo che ll'isne il puno meile occupi l posizione P ( ) ed bbi velocià veoile v () e che ll'isne 1 > si nell posizione P ( 1 ) con velocià veoile v ( ) Definimo ccelezione veoile medi del puno meile eliv ll'inevllo di empo Δ = 2 1 il veoe m definio dll seguene elzione veoile : Il veoe m ( ) v () v m = 1 1 = v1 1 v = Δ v Δ viene inodoo come pimo psso pe l definizione di ccelezione veoile isnne. Definimo ccelezione veoile isnne l'ccelezione veoile medi eliv d un inevllo di empo piccolissimo. Con pole divese possimo die che l ' ccelezione veoile isnne () In genele il veoe () 1. è l posizione limie del veoe m qundo 1. non isul né ngene né oogonle ll ieoi, pe cui è uile e conveniene decompolo lungo l ngene e l nomle n ll ieoi nel puno P (). Si oiene : = + Il componene di lungo l ngene τ pende il nome di ccelezione ngenzile ed indic l pidià dell vizione del modulo dell velocià veoile. Quindi deemin unicmene un vizione nel modulo dell velocià veoile. Il modulo di n coincide col vloe ssoluo dell'ccelezione scle isnne : Inole isul pllelo v, ispeo l qule può vee veso concode o discode.il componene n del veoe lungo l nomle n ll

17 42 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile ieoi pende il nome di ccelezione nomle o cenipe o dile ed indic l pidià di vizione dell diezione dell velocià veoile. Quindi n deemin unicmene un vizione nell diezione dell velocià veoile v (). Il veoe n è pependicole ll ieoi ed è dieo veso il ceno di cuvu dell ieoi sess. Si dimos che : v ρ n = 2 dove v è l velocià scle ll'isne, e ρ è il ggio di cuvu dell ieoi elivo l puno P ( ). Se l ieoi è un ciconfeenz di ggio bbimo : n = 2 v Ossevzioni L'ccelezione veoile () vi se mu lmeno uno dei e elemeni ( modulo, diezione, veso ) che l ceizzno. = o Δ v o = v ( 1 ) = v () v () Simo in pesenz del moo eilineo unifome. cosne in modulo, diezione e veso. Se n o llo l velocià veoile v () mu l su diezione. Queso vuole die che, isne pe isne, mu l ngene ll ieoi e queso è possibile solo se è un cuv. Quindi n o un moo cuvilineo Un ccelezione si dice ngenzile qundo l su diezione coincide con quell dell velocià veoile, cioè dello sposmeno, cioè con l diezione del moo, si dice nomle o dile o

18 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 43 cenipe qundo l su diezione è pependicole ll diezione dello sposmeno ossi ll diezione del moo, ossi ll ieoi, ossi ll velocià veoile. Pe diezione del moo ll'isne inendimo l e ngene ll ieoi nel puno P ( ). I vi ipi di moo possono essee clssifici in elzione i componeni e n. n ipo di moo 1 = 0 n = 0 eilineo unifome 2 = cos n = 0 eilineo unifomemene vio 3 f () = n = 0 eilineo vio 4 = 0 n = cos cicole unifome 5 = 0 f () n = cuvilineo unifome 6 = cos n 0 cuvilineo unifomemene vio 7 f () = n 0 cuvilineo vio = o il moo è eilineo, o il moo è cuvilineo n n Uleioi considezioni sui moi ccelei e sui moi idi D un puno di vis veoile possimo die che un moo è cceleo ( ido ) qundo i veoi e v fomno un ngolo cuo ( ouso ), cioè :, v = ϑ ngolo cuo moo cceleo, v = ϑ ngolo ouso moo deceleo Con pole divese possimo die che un moo è cceleo ( ido ) se i veoi e v sono equivesi ( hnno vesi opposi )

19 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 44 Cdu dei gvi nel vuoo L e impime d un copo libeo un ccelezione g de ccelezione di gvià. In possimià dell supeficie eese il modulo di g può ienesi cosne ( g = 9,8 m s 2 ) mene il veoe g è dieo sempe veso il ceno dell e. Un copo soggeo ll'zione dell e pende il nome di gve Consideimo il moo di un gve che, pendo dll quiee, cde libemene veso il ceno dell e. O P o x fig. (1) P x P* P P o O Fig.(2) x v g > > > x v o o o = = = v x = 0 * * x v x o o = = 0 0 i x x g g g g i v v v o g Se l ieoi è oien come nell fig. (1) vlgono le segueni elzioni scli : v = g x = 1 2 v = 2gx g 2

20 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 45 In queso cso isulno posiivi i vloi delle gndezze scli x, v, g. : Consideimo desso il moo di un gve lncio veso l'lo con un velocià inizile v o o. Se l ieoi è oien come nell figu (2) vlgono le segueni elzioni scli : Si oengono le segueni elzioni scli : v = v o + g x = v + 1 o g v = v o +2gx 2 x > 0, v > 0 g < 0, v o > 0 g = - 9,8 m 2 s Se invece supponimo che si : g = 9,8 m/s2 llo le pecedeni elzioni divenno : v = vo - g x = v - 1 o g v = vo -2gx 2 L misu degli ngoli in dini Un ngolo α = ob lo possimo considee sempe come ngolo l ceno di due ( o più ) ciconfeenze conceniche di ggi bii O ed O. Dei ed gli chi coispondeni, pe un noo eoem di geomei euclide, possimo scivee : R : = O: O ed nche : = = α O O cioè il ppoo l co ( individuo su un ciconfeenz qulsisi di ceno O ) ed il ispeivo ggio dipende esclusivmene dll ngolo e non dll ciconfeenz conside. Tle ppoo ( indico col simbolo α R ) si ssume come misu dell ngolo in dini. L ngolo ob individu su un ciconfeenz di ceno O e ggio un co MN di lunghezz. Il ppoo α R = [1], misu in dini dell ngolo ob, dicesi nche misu in dini dell co MN =. Se l co MN eifico è lungo quno il ggio dell ciconfeenz cui ppiene bbimo = e quindi : α R = = 1dine = 1 R cioè l co dine è quell co lungo quno

21 46 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile il ggio dell ciconfeenz che lo coniene. Di conseguenz l ngolo dine è quell ngolo che, poso col veice nel ceno di un qulsisi ciconfeenz, soende un co lungo quno il ggio. O α b L misu ( α R ) in dini di un ngolo o di un co è un numeo puo in quno ppoo di due gndezze ( lunghezze ) omogenee. L misu di un ngolo ( co ) in dini è de misu ciclomeic dell ngolo (co ). L misu ciclomeic di un co coincide con l misu ciclomeic del coispondene ngolo l ceno. Dll [1] icvimo : = α R [2] cioè moliplicndo il ggio pe l misu in dini dell co si oiene l lunghezz dell co sesso. Vedimo desso come si f psse dll misu di un ngolo in gdi quell in dini e viceves. O N α α R α α R M b L geomei euclide ci insegn che gli chi ( di ugule ggio ) sono diemene popozionli i ispeivi ngoli l ceno pe cui possimo scivee l seguene popozione : MN : = MON : O [3] : π = α : 180 α ( = π ) 180 M : = α R pe cui bbimo : α R : π = α :180 α R : π = α : 180 cioè : [4] α R = R α π 180 α α = 180 [5] π L misu in dini di un ngolo l cui misu in gdi è 1 l si oiene ponendo nell [4] 1 l π poso di α, cioè : 1 = = 0, 01745dini 180

22 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 47 l misu in gdi di un ngolo l cui misu in dini è 1 l si oiene ponendo nell [5] 1 R poso di α R, cioè : 1 R = 180 = , 806 π l Moi peiodici Un puno meile si muove di moo peiodico qundo, d ogni inevllo cosne di empo T, issume le medesime ceisiche cinemiche, cioè pss pe lo sesso puno con l sess velocià veoile e l sess ccelezione veoile. Il empo T è deo peiodo e ppesen il empo necessio peché il mobile pssi due vole di seguio pe uso sesso puno con le medesime ceisiche cinemiche. Nei moi peiodici h imponz un gndezz fisic de fequenz defini come il ppoo cone f il numeo n di eveni peiodici che si veificno nel empo ed il empo, cioè : n numeo di eveni peiodici che si veificno nel empo f = ν = = L fequenz di un moo peiodico è unii, cioè di un hez ( Hz ) se l'eveno peiodico si veific in un secondo. n = 1 = T 1 f = ν = f T = 1 ν T = 1 T << In ogni moo peiodico l fequenz è l'inveso del peiodo >> Nel moo cicole unifome l ' eveno peiodico consise nel descivee un ine ciconfeenz ; peno l fequenz di 1 Hz signific che il puno meile P descive un ine numeo di ciconfeenze descie nel empo ciconfeenz in un secondo. f = ν = ν = 25 Hz signific che il puno P pecoe in un secondo 25 vole l ciconfeenz Nel moo monico semplice l'eveno peiodico consise nel descivee un oscillzione comple ( o ciclo ) e quindi l fequenz di 1 Hz signific che il puno P descive un oscillzione comple in un secondo. Moo cicole unifome E' il moo di un puno che descive un ciconfeenz con ccelezione ngenzile null e quindi con velocià veoile v () vene modulo cosne e diezione vibile isne pe isne.

23 48 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile In un moo cicole unifome l velocià scle ( de nche velocià peifeic o velocià linee ) si mniene cosne. In un qulsisi moo cicole unifome sono vlide le segueni elzioni : 2 2π v 2 = 0, v = = 2π ν = ω, n = = ω T 2π, ω = = T 2πν Il moo cicole unifome è un moo peiodico in quno dopo T secondi ion in con l sess velocià veoile e con l sess ccelezione veoile che vev ll'isne inizile. Quindi : T = peiodo = empo impiego dl mobile pecoee un ine ciconfeenz = empo necessio peché si ipoducno le condizioni inizili ( sess posizione, sess velocià, sess ccelezione ) 1 f = ν = = fequenz = numeo di gii compiui dl mobile in un secondo T s 2π = T s = 2π e quindi : v = = = 2π ν = ω T Il veoe P O = OP = è deo ggio veoe ( o veoe posizione ). Esso nel empo descive l'ngolo ϑ. Definimo velocià ngole medi del puno P o del ggio veoe P O = OP = l gndezz fisic defini dl seguene ppoo : ω m = ϑ cioè l'ngolo ϑ descio dl ggio veoe () nel empo ifeio l empo sesso. Nel noso cso l velocià ngole è cosne e quindi coincide con quell medi, pe cui ϑ 2π possimo scivee : ω = = = 2 πν T in quno nel empo T il ggio veoe () descive l'ngolo 2π. 2π v = = 2π ν = ω T Poiché il modulo di v () è cosne, il puno P non possiede ccelezione ngenzile m v 2 solno ccelezione cenipe n il cui modulo vle : 2 n = =ω

24 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile 49 Moo cicole unifome : mene il puno meile P uo sull ciconfeenz di ceno O e ggio, il ggio veoe () uo ono l ceno O. Veoe ccelezione nel moo cicole unifome : il veoe ccelezione cenipe c isul in ogni puno pependicole l veoe velocià v (). Inole c isul ivolo sempe veso il ceno O dell ciconfeenz. Il modul di c è cosne. Moo cicole unifome velocià veoile ed ccelezione cenipe in divesi puni.

25 50 U.D. N 3 Le gndezze veoili nell cinemic del puno meile