Figura 1. supporre inoltre che il disco sia soggetto ad una coppia frenante di tipo viscoso Γ

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1 DIMOSTRAZIONE DEL PERCHÉ AD UN UOVO CRUDO APPOGGIATO SU UN TAVOLO NON SI RIESCE AD IMPRIMERE UNA RAPIDA ROTA- ZIONE ASSIALE (COSA INVECE POSSIBILE PER UN UOVO SODO). Com è noo, s a un uovo soo appoggiao su un avolo vin imprssa una rapia roazion assial, l uovo manin al roazion pr un mpo abbasanza lungo. S invc la sssa prova vin faa con un uovo cruo allora la roazion subisc in un mpo molo brv un calo novol poco opo finisc. La iffrnza i comporamno nll u siuazioni ora consira ipn al fao ch quano l uovo è soo il suo inrno si può consirar solial al guscio pr cui l uovo è in sosanza un corpo solio, mnr quano l uovo è cruo il suo inrno è liquio quini è soggo al cosio sloshing. () Pr spigar il fnomno in sam snza ricorrr alla inamica i fluii, inifichiamo l uovo con il mollo mccanico mosrao nlla sgun Figura. Figura Il guscio è schmaizzao con un soil involucro llissoial, rigio omogno, la chiara il uorlo sono schmaizzai con un isco circolar psan, anch sso omogno, in grao i ruoar auonomamn all inrno ll involucro llissoial grazi a un asa rigia, i massa rascurabil, solial al isco passan pr il suo cnro (si suppon ch in un qualch moo l asa sia cosanmn a conao con la suprfici inrna ll involucro llissoial). Fra l srmià ll asa l involucro llissoial obbiamo supporr ch si manifsi una coppia i ipo viscoso Γ, non nulla s l involucro llissoial il isco hanno vlocià i roazion ivrsa. Dobbiamo supporr inolr ch il isco sia soggo a una coppia frnan i ipo viscoso Γ, ipnn alla sola vlocià i roazion l isco. La coppia Γ sinizza l inrazion viscosa fra il guscio la chiara, mnr la coppia Γ sinizza lo smorzamno l moo lla chiara a causa lla sua viscosià. Possiamo invc rascurar l azion ll ario i giro sull involucro llissoi. Infai, in gnral, l ffo ll ario i giro è rascurabil rispo all azion ll coppi Γ Γ la sua inrouzion complichrbb inuilmn la raazion mamaica in quano occorrrbb spzzar lo suio l problma in vari sai succssivi (com si v far, a smpio, quano si consira il moo i un puno marial vincolao a muovrsi su una suprfici scabra soo l azion i una forza i richiamo lasico). Smpr pr non complicar la raazion mamaica, possiamo assumr ch ) Ricoriamo ch si col rmin sloshing si inn il movimno ch si inuc in un fluio racchiuso in un connior a causa l moo l connior ssso. Tal movimno ha poi ovviamn anch un ffo sul moo l connior.

2 l involucro llissoial abbia simmria i roazion rascurar i moi i prcssion nuazion ll involucro llissoial l isco. Il nosro scopo infai è ar una spigazion l fnomno non suiar in aglio la roazion ll uovo. Così facno allora, l roazioni l sisma in sam avvngano cosanmn aorno a un ass prpnicolar al piano i appoggio, com mosrao in Figura il sisma ha u soli grai i librà, con novol smplificazion ll quazioni l moo. Sia m la massa ll involucro llissoial (coincin con la massa l guscio) m la massa l isco (coincin con la massa lla chiara l uorlo, quini maggior i qulla l guscio). Inichiamo quini, com mosrao in Figura, con ω la vlocià i roazion ll involucro llissoial con Ω la vlocià i roazion l isco. Sia infin J il momno inrzia ll involucro llissoial J il momno inrzia l isco aorno all ass i roazion consi - rao; chiaramn, J > J. Allora, l quazioni l moo l nosro sisma sono l sguni: J ω = Γ () () J Ω =Γ+Γ ov, pr quano prcnmn o, obbiamo assumr: Γ = ( ω Ω) (3) Γ = Ω (4) Nlla (3), con si è inicao il cofficin i accoppiamno viscoso fra involucro llissoial isco, mnr nlla (4) con si è inicao il cofficin i smorzamno viscoso lla roazion l isco. Chiaramn,, >. Avvalnosi ll (3) (4) l () () assumono la forma sgun: J ω = ( ω Ω) (5) J Ω = ( ω Ω ) Ω (6) All quazioni (5) (6), vono poi associarsi l conizioni iniziali: ω() = ω (7) Ω () = (8) Espliciano ω alla (6) si oin: J + ω = Ω + Ω (9)

3 quini anch: J + ω = Ω + Ω () Pr cui è possibil liminar ω nlla (5) onno un quazion iffrnzial linar l scono orin in Ω, ch ingraa in conformià a opporun conizioni iniziali, risolv in praica il problma in sam, in quano, noa la funzion Ω (), alla (9) si oin la funzion ω (). L quazion alla qual Ω v soisfar è la sgun: J J 4 Ω Ω Ω J + = J () JJ mnr l conizioni iniziali ch a ssa vono associarsi sono: Ω () = () Ω () = ω (3) J La () è la (7) mnr la (3) si oin alla (9) avvalnosi lla (7) lla (8). Com è noo, l ingral gnral lla quazion () è la funzion biparamrica: Ω (; c, c ) = c + c (4) ov c, c sono cosani arbirari mnr, sono l raici ll quazion algbrica: J + J 4 + J + J + = JJ (5) Impon no alla (4) l conizioni iniziali () (3) risula ch l cosani c, c bbono soisfar al sgun sisma algbrico linar: c c + = (6) c + c = ω (7) J pr cui, ossrvano ch l raici lla quazion (5) risulano: + + = + ± + J J ( J J) ( J J), J J J J (8) 3

4 possiamo conclur ch la funzion Ω () soluzion l problma iffrnzial (), (), (3) risula la sgun: Ω () = ω ( ) ( J J) ( J J) J J + + (9) E ncssario a quso puno suiar il sgno ll raici, in quano sso cararizza l proprià lla funzion Ω (). E facil vr ch comunqu siano i valori i si ha: ( J J) ( J J) J J + + > () Infai, il iscriminan ll quazion i scono grao in / ch si oin uguagliano a zro il primo mmbro lla () è: 6 J = () J pr cui, ssno pr finizion J, J >, si ha smpr < l quazion consiraa non amm raici rali. Il primo mmbro lla () è quini ffivamn smpr posiivo in quano lo è a smpio pr / =. In virù lla (), il nominaor lla (9) è quini smpr ral posiivo. I valori i, sono invc nrambi smpr rali ngaivi. Infai il rmin fra parnsi quar a scono mmbro lla (8) ha la forma sgun: a+ x± a + x bx () ov a b sono u cosani posiiv, ali ch a + x bx > pr ogni valor ral i x (ciò in virù lla ()). Esso prciò è smpr posiivo in quano: ( a+ b) x a + x bx = a + x + ax ax bx = ( a+ x) = ( a+ x) ( a+ b) x = ( a + x) < a+ x ( a+ x) (3) Possiamo quini conclur ch il moo l isco è smpr i ipo aprioico smorzao, inipnnmn ai valori i J, J,,, alrano lo è qullo ll involucro llissoial in virù lla (9). Non ci soffrmrmo olr su un analisi formal l moo l sisma mccanico consi - rao ci limiiamo solo a riporar qui i sguio, in Figura, l anamno ipico ll funzioni Ω () ω () ch scrivono il moo i roazion l isco ll involucro llissoial pr l conizioni iniziali a noi consira. 4

5 Figura Com si v, il mollo i uovo cruo a noi consirao m in vinza com la roazion lla chiara provochi un brusco rasfrimno i momno angolar al guscio alla chiara sssa ciò rn cono l prché con un uovo cruo si manifsi il fnomno l rapio smorzamno lla roazion. Si nga prsn infai ch il pso l guscio è novolmn infrior a qullo ll inrno ll uovo, com si porbb vrificar con un analisi lla funzion Ω (), più il rapporo J / J è gran, più il rasfrimno i momno angolar all involucro llissoial al isco è rapio rilvan (anch s poi, a parià i, il mpo i arrso è maggior). La sgun Figura 3, illusra quano ora o. Figura 3 Concluiamo la prsn noa consirano il caso i un uovo soo. In qusa siuazion, com si è già o, l uovo si può assimilar a un corpo rigio quini, con lo schma prcnmn a- oao (ov ora il isco si v assumr rigiamn connsso all involucro), la sua roazion può ssr scria pr mzzo l sgun problma iffrnzial l primo orin: ( J + J ) ω = h ( m+ m g ) g (4) 5

6 ω() = ω (5) ov a scono mmbro si è inrooo l ario i giro, cararizzao al cofficin imnsional h; nlla (4) g è l acclrazion i gravià. Si noi ch l inrouzion ll ario i giro è ora ssnzial pr giusificar lo smorzamno lla roazion pr il sisma in sam non cra problmi formali. Com si v, nl caso i un uovo soo lo smorzamno lla roazion assial risula linar non sponnzial com nl caso prcnmn consirao. Esso inolr è molo piccolo poiché al è i norma il valor i h (a mno i suprfici paricolarmn frnani com nl caso ll ovagli i spugna). La roazion i un uovo soo prosgu quini pr un mpo novol con uno smorzamno lno graual. M. G. Busao 6