PROPRIETA DI CORRELAZIONE

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1 PROPRIEA DI CORRELAZIONE Da un sgnal s() ral cmplss, si dfinisc nrgia al E dl sgnal la sgun grandzza ral (s sis): / / () / / E lim s() s () lim s() 0 L nrgia al ha significa fisic quand s() è ral: ssa, infai, cincid cn l nrgia al ffivamn dissipaa da un rsisr da Ω qualra ai sui capi sia applicaa la nsin s() [V] ppur qualra vnga aravrsa dalla crrn s() [A]. La () csiuisc dunqu un sprssin di nrgia dissipaa gnralizzaa, includnd il cas, nn fisic, di sgnal cmplss. Nauralmn E può risular infinia; s ciò nn si vrifica, s inlr risula E > 0, il sgnal s() vin usualmn sgnal ad nrgia finia (, sinicamn, sgnal di nrgia). E un smpi di sgnal ad nrgia finia l impuls ranglar uniari di Figura ; pr ss si ha infai E τ. s() -τ/ 0 τ/ Figura E inrssan ssrvar ch l nrgia dlla smma di du sgnali rgnali è pari alla smma dll lr nrgi. Ps infai s() s () + s () si ha: / / / [ ] / / / E lim s () + s () s () + s () lim s () + lim s () + lim R s () s () E + E / / Da un sgnal s() ral cmplss si dfinisc pnza al P dl sgnal la grandzza ral: / / () / / P lim s() s () lim s() 0 Il significa fisic di P è analg a qull già illusra pr E cn la ssiuzin dl rmin nrgia cl rmin pnza. S P risula fini maggir di zr, il sgnal si dic a pnza finia (, sinicamn, sgnal di pnza). Un sgnal di pnza ha smpr nrgia infinia, mnr nn smpr è vr il vicvrsa. D alr can un sgnal ad nrgia finia ha pnza nulla.

2 E un smpi di sgnal a pnza finia il sgnal csan (idal) di Figura ; pr ss si ha infai P. Nl cas di sgnali rali, è vidn ch la funzin ingranda nll () () si riduc a s (). Val inlr una prprià analga a qulla nunciaa in prcdnza pr l nrgia: la pnza dlla smma di du sgnali ra lr rgnali è pari alla smma dll pnz. Qusa prprià è ml impran nll applicazini. s() Figura 0 Un pariclar sgnal di pnza è il sgnal pridic. In qus cas, pnnd nlla () N, cn N inr prid dl sgnal, l sprssin dlla pnza frnisc: N/ / / N P lim s() lim s() s() N N N N N/ / / (3) avnd vviamn sfrua la prprià pr cui l ingral di un sgnal pridic (ma anch di una sua funzin) frnisc l sss risula pr qualunqu inrvall di snsin pari ad un prid. La (3) vrrà dunqu assuna nl sgui cm sprssin dlla pnza di un gnric sgnal pridic; ad smpi, pr s() A cs(ω ) si in P A /. Vrrà ra sabilia una impran rlazin ra l nrgia la pnza di un sgnal, spra dfini, la rasfrmaa di Furir dl sgnal i cfficini dll svilupp in sri di Furir (nl cas di sgnali pridici). al rlazin va s il nm di rma di Parsval. La prprià dlla cnvluzin in frqunza sabilisc ch, dai du sgnali s () s () d indica cn S (ω) S (ω) l lr rasfrma di Furir, risula: F [ s() s() ] S( ω)s( ω ) S( Ω)S( ω Ω)d π π Ω (4) Dunqu: ω i π s()s() S( Ω)S( ω Ω)dΩ (5) Pnnd ω 0 nlla prcdn quazin si in: s()s() S( Ω)S( Ω)d Ω (6) π

3 La (6) è vviamn di validià gnral; nndimn, pnnd s () s () s() quindi S (ω) S ( ω) S(ω), ssa si riduc a: s() S( ω) dω (7) π Nl cas di sgnal s() pridic si vrifica pi (la dimsrazin è mssa pr smplicià) ch risula + / / s() c k k (8) L (7) (8) frniscn l nuncia splici dl rma di Parsval. Ssiund ra la (7) nlla () è vidn ch si può scrivr: E S( ω) π dω (9) In virù dlla (9), l nrgia dl sgnal s() è nua, a mn dl far /(π), ingrand il mdul al quadra dlla rasfrmaa di Furir S(ω). Smbra dunqu lci aribuir a S(ω) il significa di dnsià spral di nrgia (, smplicmn, spr di nrgia) dl sgnal s(). Piché risula ω πf, l ingral in ω ch cmpar nlla (9) può ssr rasfrma in un ingral in f (frqunza). Inrducnd il cambiamn di variabil nnd cn ch la dipndnza da ω può smpr ssr visa cm dipndnza da f, si in E S(f) df (0) Qus ulima sprssin cnsn di inrprar (più chiaramn di quan cnsni dalla (9)) la dnsià spral di nrgia cm l nrgia pr unià di banda (sprssa in Hz) dl sgnal cnsidra. Passand ra ad analizzar la dfinizin di pnza (), si fissi pr un mmn l anzin sul sgnal rnca s () ch si in da s() cnsidrandn l vluzin sl nr l inrvall [ /, /], spliciamn: s() / s () 0 >/ () L nrgia di al sgnal sarà daa da + / E s() S ( ω) π dω () / avnd indica cn S (ω) la rasfrmaa di Furir di s (). Ssiund nlla () si ha allra: 3

4 E S( ω) P lim lim S ( ω) dω lim d π π ω (3) Nn fss alr pr assnanza cn la prcdn dfinizin di spr di nrgia (vdi sprssin (9)), è lci prr P p( ω) π dω (4) da cui, pr cnfrn cn la (3), si ricava p( ω ) lim S( ω) (5) p(ω) ha il significa di dnsià spral di pnza (, smplicmn, spr di pnza) dl sgnal s(). Analgamn alla (0), anch l spr di pnza può ssr vis cm una funzin di f anziché di ω, pr cui: P p(f ) df (6) Si sabilirann ra alcun imprani rlazini ra gli spri, di nrgia di pnza, appna inrdi la funzin di aucrrlazin di un sgnal s(). Nl cas di sgnali di nrgia, qus ulima è dfinia cm sgu: R ( τ) s s ()s( + τ) (7) E inrssan nar ch R s (0) E. Dal pun di visa cmpuazinal, l prazin è simil alla cnvluzin, ma nn si dv in qus cas prar alcuna invrsin dll ass mpral pr la funzin ch vin raslaa in τ. Nl cas di sgnal s() ral a simmria pari, pralr, R s (τ) cincid saamn cn la cnvluzin dl sgnal cn sé sss. Più in gnral, ma mannnd pr smplicià frmal l ipsi di sgnal ral, si può invc scrivr R s ( τ ) s() s( ) (8) v dna l prazin di cnvluzin. Applicand la prprià dlla cnvluzin pr la rasfrmaa di Furir, uniamn alla prprià di invrsin dll ass mpral, si vrifica immdiaamn ch [ R ( τ) ] s S( ω) F (9) Dunqu, la rasfrmaa di Furir dlla funzin di aucrrlazin cincid cn l spr di nrgia dl sgnal. 4

5 Pr sgnali di pnza la dfinizin di funzin di aucrrlazin dv ssr mdificaa cm sgu: + / R s ( τ) lim s ()s( + τ) (0) / In qus cas si na ch R s (0) P. Prcdnd cm spra si rva ch F [ ( τ) ] p( ω) R s () Nl cas di sgnal pridic (ch, cm, è un pariclar sgnal di pnza) si ha ch R s ( τ) + / / s ()s( + τ) + / ikω c k / k h c h ihω (+τ) () k h c k c h + / ihωτ ikω / ihω Ora, val la sgun prprià (di rgnalià): + / ikω / ihω 0 s k h s k h (3) Ssiund nlla prcdn si rva allra + / / ikω τ R s ( τ) s ()s( + τ) c k (4) k Qusa è dunqu l sprssin dlla funzin di aucrrlazin pr un sgnal pridic, cn prid pulsazin prpria ω π/. Applicand la rasfrmaa di Furir alla (4) si in π F [ R s ( τ) ] p( ω) c k δ( ω kω ) (5) k ssnd δ(ω) la funzin impuls mamaic. Ora, cmbinand l (3) (8), è n ch la pnza di un sgnal pridic val: ck k P (6) 5

6 , in ffi, ingrand la (5) dividnd pr π (in accrd cn la (4)) si riin la (6). Rsa dunqu cnfrma ch qusa sprssin frnisc la dnsià spral di pnza di un sgnal pridic. Alla srgua dll alr dscrizini pssibili nl dmini dlla frqunza, anch l spr di pnza dl sgnal pridic è a righ; risula ciè divrs da zr sl in crrispndnza di ω kω, cn k 0, ±, ±,.... E impran vidnziar ch la cnscnza dll spr di pnza frnisc infrmazini splici sulla banda ccupaa dal sgnal. Qus ulima ha infai, ipicamn, il significa di inrvall di frqunz ch cnin una daa prcnual (ad smpi il 90%) dlla pnza cmplssiva. Ad smpi, ipizzand ch l spr di pnza sia cncnra nll inrn dll rigin (sgnal in banda bas), è smpr pssibil rminar un valr k pr k al ch l righ sprali cn k k abbian cmplssivamn una pnza apprssimaivamn ugual al valr assgna. In qus cas si prà assumr pr la banda dl sgnal pridic (sprssa in rad/s) B k ω (banda unilara). Infin va ch i lgami ra funzini di crrlazin nl dmini dl mp spri di nrgia nl dmini dlla frqunza, qui rifrii al cas di sgnali singli, pssn ssr ssi all cppi di sgnali. Pr brvià, ci si limia qui a ricrdar ch a parir dalla dfinizin di funzin di crrlazin muua ra du sgnali s () s () (ch gnralizza la dfinizin di funzin di aucrrlazin) val a dir: R ( τ) s ( + τ)s () (7) si dimsra, cn prcdura analga a qulla dscria più spra, ch risula F [ R ( τ) ] S ( ω) S ( ω)s ( ) ω (8) dv S (ω) prnd il nm di spr di nrgia muua di sgnali s () s (). In rmini simili si può raginar pr l pnz muu. 6