Seminario: Dinamica quantistica inerziale di una particella in una dimensione

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Orazio Toscano
5 anni fa
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1 Snaro: Dnaa quansa nrzal d una parlla n una dnson Foralso quanso Funzon d onda: pr d ' ' dnsà d probablà sulla oordnaa al po Â Valor d asa al po dll opraor : d A d A A ˆ ˆ * Saro quadrao do dlla proprà: ˆ ˆ : A A A A A

2 Opraor ono lnar: pˆ Opraor Halonano: n assnza d nrga ponzal: Hˆ pˆ Eq. d Shrodngr: Hˆ daa la funzon d onda nzal pr d drnar la funzon d onda a p sussv Auosa : Hˆ E Sa sazonar: p E dnsà d probablà ndpndn dal po

3 3 a Lnarà dll q. d Shrodngr: s sono soluzon dll Eq. d Shrodngr allora lo sono anh l loro obnazon lnar b b b a a ˆ ˆ ˆ ˆ H H b b a a b H b b a H a a Obvo: dsrzon orn dlla dnaa quansa h rov orrspondnza on la dsrzon lassa.

4 Dsrzon lassa dl oo nrzal H p p v d d dp V Eq. d Nwon: p osan d p

5 Sa sazonar quans Hˆ pˆ auosa = auofunzon dll opraor ono lnar Dao l nuro ral = nuro d onda: pˆ p p Auosao non noralzzabl!: pˆ Sao sazonaro: p Hˆ E E E E p Cararsh dllo sao sazonaro Valor ro p nlla sura dl ono lnar orrspondnza on l oo lasso a parà d ono lnar? 5

6 Dpndnza spazo-poral d po ondulaoro E p p Analoga on la radazon lroagna: h p Frqunza angolar: E Lunghzza d onda: E r E os r rlazon d D Brogl Qual rlazon ra l proflo ondulaoro d l oo lasso d una parlla punual? 3 Vloà d propagazon dll onda p v p E E Vloà d fas = v p Conflo on la dsrzon lassa: v p p 6

7 : funzon d onda non noralzzabl La dnsà d probablà non è dfna: possblà d ararzzar a lvllo probablso la poszon dlla parlla. Conluson: l arar ondulaoro dl sngolo sao sazonaro non onsn una orrspondnza on l oo nrzal lasso. La dsrzon sondo uno sao sazonaro non onsn una rapprsnazon orn dl ssa quanso n sa. Noa: ss non onfna possggono un onnuo d auosa: pararo ral d 7

8 pr j j j Paho d ond Co osrur una funzon d onda noralzzabl oè loalzzaa? lvao j j a p suffnza Puno d parnza: la obnazon lnar d sa sazonar on nur d onda dvrs è anora una soluzon dll quazon d Shrodngr. Paho d ond: obnazon lnar d sa sazonar j pso saso dllo sao sazonaro on nuro d onda j j j j ' j' : probablà h nlla sura dl ono lnar s onga l valor p j j j 8

9 Pr fssao : p : : fora gnralzzaa dl paho d ond d p onrbuo dllo sao sazonaro on nuro d onda d' ' : dnsà d probablà pr l valor ono lnar p Noa: la dnsà d probablà sul ono lnar è ndpndn dal po! dl è una soluzon dll q. d Shrodngr n quano obnazon lnar d sa sazonar 9

10 Inrzzo aao: rasforaa d Fourr ~ Dfnzon dlla rasforaa d Fourr f q d una funzon f z ~ f q : dz f z qz ~ z q sono varabl ral f z f q sono n gnral funzon a valor oplss S f z pr z : ~ f q è una funzon bn dfna s dosra h qz ~ f z dq f q an-rasforaa d Fourr Espo: la rasforaa d Fourr d una funzon gaussana è anora una funzon gaussana: z q f z ~ f q Ingral ul: dz az bz b a a Ra b oplsso Fn nrzzo aao

11 d d p p Probla: supposa daa o drnar? ~ : d d ~ ~ Conluson: qualsas funzon d onda può ssr sra o un paho d ond!

12 Paho d ond gaussano Sla parolar dlla funzon d onda nzal: da p Coè auosao on ono lnar onfnao pr zzo d una gassana nraa n d larghzza p

13 3 d ~ b a Calolo d onrbu dgl sa sazonar z z dz z : gaussana noralzzaa nraa n larghzza Dnsà d probablà nzal sull oordna è noralzzaa! Noa: la loalzzazon sondo una gaussana dll auosao on fssao ono drna una dsrbuzon su on dgl sa sazonar! p p

14 Dnsà d probablà dl nuro d onda dgl sa sazonar: d' ' Dsrbuzon gaussana sul nuro d onda nraa su larghzza Dsrbuzon sul ono ndpndn dal po da p p p p p

15 5 Funzon d onda ad un po gnro p d d z p z z z p z dz p b a p : E

16 Dnsà d probablà sulla oordnaa: p oè una dsrbuzon gaussana on l nro h s sposa sondo la vloà lassa p drnaa dal valor d asa dl ono p larghzza rsn nl po : L nrzza sulla oordnaa rs lnarn on l po!

17 La rlazon d Hsnbrg è vrfaa: p Conluson La rapprsnazon dlla funzon d onda o un paho d ond produ una rapprsnazon quano-ana orn dl oo nrzal d una parlla. S vn a sablr una orrspondnza on l oo lasso opabl on la rlazon d Hsnbrg. 3 Gl sa sazonar osusono un ul sruno foral pr la osruzon d pah d ond. La rapprsnazon sondo gl sa sazonar è rupraa o l pr lva nrzz sulla poszon rasurabl nrzz sul ono: 7

18 Dsrzon lassa: nrzz null sulla poszon sulla vloà v p v v p Nl l d parll arosoph la rlazon d ndrnazon d Hsnbrg dvn opabl on la dsrzon lassa. 8

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