Facoltà di Ingegneria Corso di Problemi Strutturali dei Monumenti e dell edilizia Storica Esercizio svolto da Fabrizio Cortesini

Transcript

1 Faoltà d Inggnra orso d Problm Struttural d Monumnt dll dlza Stora Esrzo svolto da Fabrzo ortsn Ex. Aro alolo dl pù polo moltplator d ollasso d un aro soggtto a forz vrtal ostant d a forz orzzontal rsnt q λq Aro soggtto a forz vrtal ostant d a forz orzzontal rsnt

2 Lo sopo d qusto srzo è d alolar l moltplator d ollasso d un aro arato vrtalmnt dal solo pso propro p( x d orzzontalmnt da un aro rsnt par a λ p( x. Il alolo vn ffttuato attravrso l applazon dl torma nmato qund valutando l pù polo tra moltplator nmat. Il mansmo d ollasso prvd la formazon d quattro rnr arbtrar u orrspondono dagramm dgl spostamnt vrtal d orzzontal dsrtt n Fg.. Spostamnt vrtal d orzzontal dll aro nl mansmo d ollasso dll aro sotto forz orzzontal Fg. La rra d tal moltplator d ollasso può ssr svolta utlzzando l torma nmato dll anals lmt sondo sgunt pass a. s fssano l poszon dll quattro rnr, om ndato n Fg., n modo da ottnr un nmatsmo ammssbl d ollasso loal u ' ; b. s dtrmna l moltplator nmato λ ( u ' n modo da rspttar l qulbro dl nmatsmo;. s traa l polgono funolar rlatvo alla dstrbuzon d arh osì dtrmnat qund on l spnt afftt dal fattor λ ( u ' ; d. s ontrolla s l polgono funolar è ntramnt ontnuto all ntrno dlla struttura osttuta sa dall aro h dal pdrtto; s ò aad, l moltplator nmato λ ( u ' è anh statamnt ammssbl nll ambto d mansm d ollasso loal, n aso ontraro, s rtorna al passo a. modfando opportunamnt la poszon dll rnr.

3 Altrnatvamnt a tal mtodo è possbl rsolvr lo stsso problma onsdrando l fatto h l valor d λ dpnd dal mansmo nmato potzzato, qund, dalla poszon dll quattro rnr nll aro; possamo allora onsdrar λ om una funzon dl poszonamnto dll rnr stss. Ottnamo dunqu una funzon λ (,,,, pù n partolar λ( x, x,, x x s on l var asss ndhamo la olloazon dll rnr n un sstma d rfrmnto artsano xoy on orgn nl ntro dll aro. In rfrmnto a qusto sondo mtodo, l quattro varabl d u λ è funzon, s possono, graz ad alun rgolartà h è possbl assumr nl modo n u s svluppa l ollasso loal dll'aro, rondurr a du, n partolar s assumrà quanto sgu la rnra ad tra l'mposta d snstra la szon dstant all'nra 0.05L ; la rnra dsta dall'mposta d snstra d una quanttà varabl tra 0.L 0.4L ; l rnr dstano smpr 0.5L tra d loro; la rnra, a pror nognta, è smpr loalzzata n orrspondnza dll'mposta d dstra. on tal smplfazon s ottn h λ è funzon d sol du nognt, la poszon dlla rnra sull'ass x ( x la poszon dlla rnra ( x. A qusto punto pr l alolo dl pù polo moltplator nmato d ollasso bastrà mnmzzar la funzon λ ( x, x.. Gomtra dl Problma

4 . Dat dl Problma È assgnata la gomtra dl problma, n partolar l raggo ntrno r, l raggo strno r, la larghzza dll aro s d l pso spfo γ dl tufo, dfnamo noltr la lu L om la dstanza tra l mpost ntrn r = 8.70 m; r = 7.50 m; s = 4.00 m; γ = 600kg m tufo L=r. Rsoluzon dl Problma on l mtodo tratvo Ipots poszonamnto dll rnr om suggrs tal mtodo oorr potzzar la poszon sull ass x dll quattro rnr; sglamo dunqu quattro valor h tngano onto dll rgolartà sondo u s svluppa l ollasso loal dll'aro vst n prdnza. Dfnamo nnanztutto l urv d ntradosso y ( x d stradosso y ( x dll aro, ntrat nll orgn, om sgu y ( x = r x y ( x = r x Ipotzzamo sgunt valor pr l poszonamnto sull ass x dll quattro rnr x 6.84 m = y y( x os x = = r

5 = y y( x x.69 m = ( y y( x x x 0.5L x = r y y ( x os x = = r os x = = r = = 80 Ottnamo osì l oordnat dll quattro rnr h s formano nll aro gl angol h l ndvduano a partr dall mposta snstra dll aro = 4. = = = 80 alolo dl ntro assoluto Il sondo bloo nmato ruota ntorno al ntro d rotazon assoluto, tal punto s ottn dall ntrszon dll du rtt r d s; la prma è dfnta om la rtta passant pr punt, la sonda om la rtta passant pr punt ( x x ( y y ( x x r y = + y ( x x ( y y ( x x s y = + y alolo d barntr d bloh nmat Dtrmnamo l oordnat d barntr d bloh nmat non onsdrando l prmo orpo n quanto qusto rman frmo. Not gl angol n u s poszonano l rnr l oordnat

6 rsptto al sstma prso a rfrmnto, possamo alolar l proprtà gomtrh d bloh tramt l passaggo all oordnat polar, dfnamo qund A(, f, P(, f, x (, f y (, f S S l funzon dll ara, dl pso d momnt stat dl gnro bloo prso n sam A ( f f r (, (,, = r drd r r P = A s γ f f tufo f f (, = ( y( f S r sn drd y x f (, G f r Sx (, f = xg( f A(, f r S, = r os( drd r S, = A Sosttundo valor d f pr ogn bloo nmato ottnamo (, (, f y f G G G alolo dl moltplator nmato d ollasso Pr dtrmnar ora l moltplator λ possamo oprar n du mod A. Imponndo la ondzon d momnto nullo n punt orrspondnt all rnr,, ; B. Imponndo h l quazon d lavor omput dall forz strn agnt sa par a zro. Prodmnto A. Dfnamo ps d tr bloh nmat om P = P(, ; P = λp v o v

7 P = P(, ; P = λp v o v P = P(, ; P = λp 4v 4o 4v Momnto rsptto alla rnra R ( x x + R ( y y + M + M ( λ = 0, ( y x Pv_ I Po_ I on M = P ( x x Pv_ I v G M ( λ = P ( y y Po_ I o G Momnto rsptto alla rnra R ( x x + R ( y y + M + M ( λ = 0, ( y x Pv_ II Po_ II on M = P ( x x + P ( x x Pv_ II v G v G M ( λ = P ( y y P ( y y Po_ I o G o G Momnto rsptto alla rnra R ( x x R ( y y + M + M ( λ = 0, ( y x Pv _ III Po _ III on M = P ( x x + P ( x x + P ( x x Pv _ III v G v G 4v G4 M ( λ = P ( y y P ( y y P ( y y Po_ I o G o G 4o G4 S ottn osì l sgunt rsultato Rx Ry = 5649 kgf = kgf λ = 0.40