Appunti del Corso di. Costruzioni In Zona Sismica. Prof. Ing. Camillo Nuti. Università Degli Studi Roma Tre

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1 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Appun del Corso d Cosruzon In Zona Ssmca Prof. Ing. Camllo Nu Unversà Degl Sud Roma Tre

2 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 RISPOSTA DINAMICA DELLE STRUTTURE L Oscllaore semplce Soluzone dell equazone d equlbro Lo spero d rsposa Sper d rsposa d accelerogramm..... Sper d rsposa rcava a parre dalle caraersche d ssmcà regonale Sper d rsposa rsposa d norma Confrono ra sper normav ed alcune propose n leraura Teso della Ordnanza della Proezone Cvle 374 relavo alla defnzone della Azone Ssmca Oscllaore Semplce: Soluzone nel caso n cu l ermne noo è una forza cosnusodale 4.3. Valuazone del ransoro Oscllaore semplce: Rsposa al moo del erreno Oscllaore semplce: Valuazone della Rsposa n Forma Numerca Calcolo della rsposa dnamca al passo: Meodo d negrazone al passo dell equazone del moo Meod esplc: le dfferenze cenral Meod mplc: l meodo d Newmark Rfermen bblografc Oscllaore Semplce: Sma della rsposa massma non lneare Sruure a Pù Grad d Lberà: Coordnae Generalzzae EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE SOLUZIONE CON APPLICAZIONE AD UN TELAIO PIANO Sruure a Pù Grad d Lberà: Anals Modale CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL SISTEMA PROPRIETA' DI ORTONORMALITA' DEGLI AUTOVETTORI CALCOLO ITERATIVO DEI MODI E FREQUENZE PROPRIE CALCOLO DELLA RISPOSTA: METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE MODALE ESEMPIO: Calcolo della rsposa d un elao con lo spero d rsposa Crer d sovrapposzone modale con l uso dello spero d rsposa TELAIO SHEAR-TYPE PIANI ISOLATO ALLA BASE MATRICI DEL SISTEMA DI EQUAZIONI DEL MOTO CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL TELAIO CALCOLO DEGLI AUTOVALORI CALCOLO FATTORI DI PARTECIPAZIONE CALCOLO DELLA MASSE ECCITATE CALCOLO DELLA RISPOSTA SISMICA : Meodo dello Spero d Rsposa Le anals d spna Caraersche dell Oscllaore Equvalene ad una Sruura Valuazone della rsposa massma n sposameno dell oscllaore equvalene Crero d equvalenza ra sruura non lneare e sruura elaso vscosa.... 3

3 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 5 Rappresenazone degl accelerogramm n sere d fourer: lo spero d poenza Eserczo

4 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 RISPOSTA DINAMICA DELLE STRUTTURE. L Oscllaore semplcee Una sruura che la cu una massa può schemazzars come concenraaa n un puno è dea oscllaore semplce. Segue da ale schema che lo sao d deformazone sruurale è nooo quando è noo l mooo della massa, unca fone delle forze d nerza che agscono sulla sruura. Esemp d oscllaore semplce sono mosra n Fgura. Fgura esemp d sruure schemazzabl come un oscllaore semplce e schema sruurale Con rfermeno alla fgura s osserva che le masse del pone e del serbaoo sono essenzalmenee concenrae n sommà. Nel pone s osserva che le rav ampone dell mpalcao sono cascunaa appoggae da un lao su un carrello e dall alro su una cernera, perano l pone n senso longudnale può essere schemazzao con an oscllaor semplc (se s assume nullo l aro de carrell) cosu cascuno da una pla prva d massa (massaa rascurable) e dallaa massa n sommà, somma d quella della sampella e della rave ampone collegaa alla sampella con una cernera. 4

5 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Le due sruure ndcae n Fgura possono qund essere schemazzae come una massa sopporaa da sruure elasche d sosegno prve d massa. Nella fgura s è ndcao lo schema a porale con rave nfnamene rgda. La rgdezza alla raslazone orzzonale è K (K/ per cascun pedro). E possble scrvere l equazone d equlbro alla raslazone della massa. Dea : x ; x&;& x& lo sposameno relavo della massa rspeo alla base e le sue dervae prma e seconda rspeo al empo (velocà ed accelerazone relava) ed & y& la accelerazone della base rspeo ad un ssema fsso, coè l accelerazone del erreno, la forza d nerza F è daa dal prodoo della massa m per l accelerazone assolua & x + & y : F = m (& x + & y) La forza elasca d rchamo nella poszone d quee: x= vale Fe e = k x V è po una forza dsspava, d po qund non conservavo, che è comodo a fn degl svlupp per la soluzone elasca n forma chusa meere nella forma d dsspazone vscosa: F d = d x& Infne può agre sulla massa una generca forza F. Per l equlbro della massa s deve avere che ad ogn sane: F + Fd + Fe = F sosuendo s oene: m (& x + && y) + d x& + k x = F ( Nauralmene nella espressone () la accelerazone del erreno & y& e la sora della forza eserna F sono noe, olre ad essere noe m, k, d, caraersche meccanche della sruura, perano s può porare a secondo membro ermn no: m & x + d x& + k x = F m & y ( ermn m & x ; m & y hanno le dmenson d una forza ma non hanno sgnfcao fsco, la loro somma è la forza d nerza. Tuava è consueudne chamare l secondo forza d rascnameno della sruura. 5

6 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.. Soluzone dell equazone d equlbro Rsolvere l equazone dfferenzale ( vuol dre rovare la funzone x() che soddsfa l eguaglanza. La ( è una equazone dfferenzale a coeffcen cosan. La soluzone s rova come somma dell negrale generale, che è la soluzone dell equazone ( con ermne noo nullo, che rappresena l equazone d equlbro n assenza d moo del erreno e d forze eserne ed è dea equazone omogenea assocaa, l negrale parcolare che soddsfa l caso con l ermne noo assegnao, nel caso n quesone F m & y. S dvda la ( per la massa m, s oene l equazone: d k F && x + x& + x = && y m m m ( 3 s vede qund che le re grandezze m, d, k non nervengono nel l'equlbro n manera ndpendene ra loro, ma legae da un rapporo; s pone allora k m = ω ; d m = νω ν = d ωm ( 4 ν è deo rapporo d smorzameno, (essendo l rapporo ra l coeffcene d smorzameno d ed l prodoo ωm deo smorzameno crco) e vale per le sruure real ra lo.5 ed l 5%, ques ulmo valore essendo quello pco degl edfc. Come s vedrà nel seguo, una sruura avene uno smorzameno par al crco, e qund ν=, caso che non s verfca per alcuna sruura dell'ngegnera cvle, allonanaa dalla sua poszone d equlbro, v rorna asnocamene senza compere alcuna oscllazone.... SOLUZIONE PER IL CASO DI TERMINE NOTO UGUALE A ZERO (oscllazon lbere) & x + νω x& + ω x = ( 5 per ν = L'negrale generale, che rappresena la soluzone del problema, essendo l ermne noo nullo, è del po: x = Acos ω + Bsnω ( 6 6

7 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 n cu le cosan A e B devono essere deermnae ponendo le condzon a lm, n queso caso s ha per = x = x ; x& = x& (condzon nzal) : x = Acos( ω) + Bsn( ω) x = A x& x& = ωasn( ω) + ωbcos( ω); x& = ωb cos( ω) B = ω sosuendo valor rova nell'negrale generale s ha: x& x = x cosω + snω ω ( 7 L espressone della rsposa mosra che la sora degl sposamen d una sruura prva d smorzameno è perodca, essendo somma d due funzon perodche che assumono lo sesso valore dopo per valor dell argomeno ω che dfferscono d un mulplo d π. Perano ragonando n ermn d empo la rsposa assume gl sess valor quando: π m ω = π = = π = T ( 8 ω k Il valore T vene perano deo perodo propro della sruura, ed è una grandezza che dpende dalle caraersche meccanche della sessa. Esso è l empo che nercorre ra due oscllazon consecuve d massma ampezza d una sruura nelle sue oscllazon lbere. S no che esso aumena con la massa e dmnusce con la rgdezza. I valor del perodo delle sruure cvl varano n genere ra qualche decmo d secondo ed al pù qualche secondo. Ad esempo per gl edfc a elao vale la regola emprca: T=.N ove N è l numero de pan, col che s capsce che n Iala la gran pare degl edfc ha perod compres ra. e secondo (- pan). Vengono n genere dee rgde le sruure con perodo nferore a.-.3 second, mede ra.3 e.6-.7 second flessbl al d sopra d.8- secondo. I erremo n generale mpegnano parcolarmene gl edfc con perodo compreso ra. e.6-.8 second, coè propro l campo d perod propr dell edlza correne alana. Sono meno sensbl graacel, che hanno perod spesso superor a 3 second ed grand pon, s pens ad esempo che l Golden Gae Brdge d S Francsco ha l perodo propro n senso rasversale d 8. second ed n senso vercale d. second. 7

8 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Per <ν <l, (le sruure real hanno sempre ν >, n genere ν non supera l 5-%) la soluzone è: νω x = e [ Acosω + B snω] ; νω x& x = e [ x cosω + snω] ; ω ω = ω ν ( 9 l'espressone ra parenes è analoga a quella rovaa per ν = con la sola dfferenza la frequenza ω è leggermene mnore a causa dello smorzameno. Quesa dmnuzone della frequenza è rascurable per valor d smorzameno pc delle sruure cvl: s enga presene che se ν =. ω =.98ω. S hanno perano oscllazon d frequenza e qund d perodo pressoché ugual a quell preceden, ma d ampezze decrescen per effeo del ermne esponenzale negavo che conene l rapporo d smorzameno ν. Analogamene a quano fao n precedenza s deermnano le cosan A e B mponendo le condzon nzal e s oene l espressone ( : νω x& + νωx x = e [ x cosω + snω] ω ; ω = ω ν νω x& x = e [ x cosω + snω] ω ; ( ( 8

9 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca x(, ) x(,.5) x(,.) x(,.) Fgura Funzon d rsposa x(,ν), per dvers valor dello smorzameno. La funzone x(.) è valuaa con l espressone approssmaa (, la funzone x(.) con l espressone esaa (. I valor adoa sono m=5.35, k= kn/m. Sposameno nzale x =3 m, velocà nzale =4 m/sec. S no l nfluenza d ν. Il prodoo νωx è rascurable rspeo a x&, così come ω dffersce poco da ω, perano dal puno d vsa praco è possble ulzzare l espressone della rsposa non smorzaa molplcaa per l ermne smorzane esponenzale, secondo l espressone (, come peralro dmosrao dalla Fgura. Da quesa espressone sembrerebbe che una sruura pù rgda (ωgrande) a parà d smorzameno ν, smorz le oscllazon pù rapdamene; ma n realà queso non avvene spesso poché non è esaamene valdo che la vscosà sa dreamene proporzonale alla velocà, come è sao assuno nello scrvere la equazone del moo. ν= (smorzameno crco) manca l ermne oscllaoro e s ha: νω x = e [ x ( + ω)] ( è un caso che non presena nessun neresse praco. Esamnamo l caso avene condzon nzal : sposameno nullo e velocà assegnaa. 9

10 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 x = x = A = x& x& = ωb cos( ω) B = ω La legge del moo dvene qund: x = e x = e x snω ] ω ; ω = ω ν νω & [ νω & x [ snω] ω ; ( 3 ( x(,.) x(,.) Fgura 3 Funzon d rsposa x(,ν), nel caso d sposameno nzale x =, velocà nzale =4 m/sec.. La funzone x(.) è valuaa con l espressone approssmaa ( 3 la funzone x(.) con l espressone esaa ( 4. I valor adoa sono m=5.35, k= kn/m.

11 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Il problema fsco e lo sudo d una vbrazone provocaa da una forza del po F() applcaa per un empo esremamene lmao. S defnsce mpulso la seguene espressone: I = lm Δε + ε F( ) d ; ( 5

12 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 del moo Rscrvendo l'equazone F() x k x m = & + & ( 6 s possono negrare var membr da +Δε calcolarne l lme per Δε che ende a : Δ = + ε ε ε ε ) ( lm d F xd k xd m & & Δ = + ε ε ε ε ) ( lm d F xd k d d dx m & Δ = + ε ε ε ε ) ( lm d F xd k x md& ( 7 SS

13 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Oenendo, per Il ermne noo, l'espressone dl una forza mpuls va. Il prmo ermne, In cu s è espressa accelerazone come dervaa della velocà rspeo al empo, rappresena, dopo la semplfcazone, l negrale d un dfferenzale d una funzone, qund la funzone sessa. Il secondo ermne nvece s può rsolvere solo esplcando la funzone x(), ma essendo lo nervallo nfnesmo possamo approssmarla con una funzone lneare x()=a S oene allora: m[ x& ] x + k a[ + ε + ε ] = I ( 8 l prmo ermne è la dfferenza ra la velocà fnale e quella nzale molplcaa per la massa, ma essendo la velocà, la velocà nzale è uava nulla, perano essa rappresena la velocà che ha la massa su cu ha ago l'mpulso, e qund e la velocà del moo che ne derva. Il secondo ermne al endere dell nervallo a zero, rsula essere un nfnesmo d ordne superore e qund rascurable; s ha qund: m x& I x& = = I m ( 9 Sosuendo qund la legge del moo dervane da una forza mpulsva assume la seguene espressone: I x = e m ω νω snω ; ( chamaa "funzone d rsposa a mpulso e Indcaa con l smbolo h(). Se l mpulso anzché all sane = agsce all sane =τ, allora lo sposameno x all sane dovuo all mpulso dpende dal empo nercorso Δ=-τ, perano s ha x( ) = I( τ ) e m ω νω ( τ ) snω( τ ) ; ( 3

14 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 La generca sora d forze F(), può essere pensaa come successone d mpuls F(τ)dτ 6.78 F() F ( ) h(,,.5) F ( ) h(,,.5) F3 ( ) h(, 3,.5).5 Fgura 4 Esempo d forza connua ed effeo all sane 4.5 d re mpuls per =,,3 e loro somma (n basso a desra) ff() La rsposa al empo dvene qund la sovrapposzone degl effe d u gl mpuls che precedono l empo, coè: F( τ ) νω ( τ ) x( ) = e snω( τ ) dτ m ω ; ( Assumendo come F(τ) propro l ermne noo della equazone d equlbro (, e sosuendo nella ( s oene: 4 ma( τ ) νω ( τ ) x( ) = e snω( τ ) dτ m ω ( 3 νω ( τ ) x( ) = a( τ ) e snω( τ ) dτ ω

15 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 La espressone ( 3 è dea rsposa ad un accelerogramma nel domno del empo o anche negrale d Duhamel. Volendo esegure un calcolo approssmao, ma pù effcene dal puno d vsa del empo d calcolo, s può osservare che è suffcene ener cono degl mpuls che precedono l sane d calcolo d un empo mulplo del perodo d non olre vole, ad esempo per una sruura con T=.5, è suffcene consderare un empo precedene d non olre 5 second. 5

16 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7. Lo spero d rsposa Osservando la espressone ( 3 s noa come, dao un accelerogramma, la rsposa dpenda esclusvamene da due paramer, ν ed ω. Perano due sruure aven gl sess valor d ν ed ω hanno la sessa sora della rsposa, ed n parcolare la sessa rsposa massma. In generale nelle cosruzon cvl non s è neressa all nera sora della rsposa ma a valor massm delle sollecazon e degl sposamen. Una vola noo lo sposameno massmo Xmax, la sollecazone massma vale: F = k ( 4 max X max E possble così dmensonare la sruura se s vuole che res n campo elasco. In alernava, noo Xmax, è possble dmensonare la sruura perché soppor lo sposameno Xmax. Dal puno d vsa del progesa è perano molo ule dao un accelerogramma dsporre d un dagramma dove n ascsse sono rpora perod propr T ed n ordnaa l valore d Xmax. S possono cosrure curve per dvers valor del rapporo d smorzameno ν. S osserva che rcavaa lo sposameno massmo, e la relava forza, è possble cheders quale è la accelerazone che produrrebbe una uguale forza d nerza: F max = k X max = m Sa ( 5 Inverendo la ( 3 s oene: k Sa = X max Sa = ω X m ma ( 6 Se ua l energa d deformazone s rasformasse n energa cneca, cosa che avverrebbe n assenza d smorzameno, s avrebbe: E = k X max = m Svmax Svmax = ω X max ( 7 Dalla ( 3 e ( 3 s oene l legame ra Sa ed Sv: 6

17 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Sa = ω Sv ( 8 EC8 Amax= (m/sec^),5e- Xmax(m),E-,5E-,E- 5,E- smorz= smorz=.5 smorz=.,e+,,, 3, 4, T(sec) Ec8 Amax= (m/sec^) V (m/sec) 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E+,,, 3, 4, T (sec) smorz= smorz=5% smorz=% 7

18 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Ec8 Amax=(m/sec^) Sa (M/sec^) 8,E+ 7,E+ 6,E+ 5,E+ 4,E+ 3,E+,E+,E+,E+,,, 3, 4, smorz= smorz=5% smorz=% T(sec) Fgura 5 Sper d rsposa n sposameno, pseudovelocà e pseudoaccelerazone, per dvers valore dello sporzameno. In basso spero d rsposa n scala rlogarmca. Ec8 Amax= (cm/sec^),e+4 V (m/sec),e+3,e+,e+ smorz= smorz=5% smorz=%,e+,,, T (sec) Fgura 6 spero d rsposa n velocà n scala logarmca. 8

19 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Sv ed Sa sono dee Pseudovelocà e Pseudoaccelerazone dell oscllaore, non essendo esaamene la velocà o l accelerazone assolua dello sesso. S osserva n parcolare che la accelerazone assolua deve endere al valore della accelerazone del erreno per T che ende a zero, coè per sruure nfnamene rgde che raslano qund con l erreno, nolre la velocà relava deve endere alla velocà del erreno quando la sruura è nfnamene flssble, quando coè T ende all nfno, poché la massa n al caso rmane ferma rspeo al ssema fsso menre l erreno s muove. V sono perano defferenze ra pseudovelocà e velocà relava della sruura n corrspondenza ded perod lungh, menre la accelerazone assolua dffersce dalla pseudoaccelerazone n prossmà d T=. S osserva nfne che, come deo,nel caso d sruura molo flessble, la massa ende a rmanere ferma, perano lo sposameno relavo è par a quello assoluo del ereno U, perano lo spero d rsposa n sposameno deve endere a U per T che ende all nfno. 9

20 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.. Sper d rsposa d accelerogramm Sper d rsposa su rocca (a) 5 7 even ssmc (4 accelerogramm) San Rocco5 NS San Rocco5 EW Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g 4 3 M= Perodo, T (s) Tarc4 NS Tarc4 EW Robc3 NS Robc3 EW Gebze NS Gebze EW Hercegnov NS Hercegnov EW Robc4 NS Robc4 EW San Rocco3 NS San Rocco3 EW Meda EC8 - So. A Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g M>6. even ssmc ( accelerogramm) 3 Perodo, T (s) Gebze NS Gebze EW Hercegnov NS Hercegnov EW Ulcjn NS Ulcjn EW Bagn NS Bagn EW Surno NS Surno EW S.G. La Molara NS S. G. la Molara EW Tolm NS Tolm EW Hercegnov5 NS Hercegnov5 EW San Rocco4 NS San Rocco4 EW Robc NS Robc EW Meda EC8 - So. A Fgura 7 spero d rsposa per accelerogramm real a confrono con l loro spero medo

21 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 e lo spero normavo su rocca per erremo nens (Tpo ) Gl sper d rsposa sopra llusra s rferscono ad accelerogramm regsra su rocca selezona (ved Rey e al. ) dallo European Srong Moon Daabase, con parcolare rfermeno a quell relav a erremo del Frul, Monenegro e Izm. Gl accelerogramm sono sa normalzza dvdeno le ordnae per l pcco d accelerazone, perano l ordnaa dello spero d rsposa al perodo propro T= vale. Una operazone che spesso vene effeuaa per rcavare sper d progeo è quella d fare la sasca d sper d rsposa rappresenav, con qualche crero, della suazone d neresse. Una analoga d mnmo è quella delle caraersche d nensà epcenrale, e d suazone geologca e geoecnca del so ove s vuol valuare lo spero. Nelle fgure sono mosra anche gl sper oenu medando quell relav a dvers accelerogramm. S oengono così forme pù regolar d quelle relave a sngol accelerogramm. S no come a nensà epcenrale maggor (n magnudo), rpora nella fgura nferore, corrspondano accelerogramm con sper d rsposa con la zona d massma amplfcazone pù esesa. Quesa suazone è rlevable n modo pressoché ssemaco. Perano è da aenders che gl sper su rocca relav a zone d percolosà ssmca nferore, coè quelle ove l azone ssmca aesa è mnore, dovrebbero avere una esensone della zona d massma amplfcazone mnore. Rey J., Faccol E., Bommer J. (). Dervaon of desgn sol coeffcens (S) and response specra shapes for eurocode 8 usng he European Srong Moon Daabase. Journal of Sesmology,

22 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.. Sper d rsposa rcava a parre dalle caraersche d ssmcà regonale Dao l epcenro d un erremoo d noa nensà sono sae messe a puno per va sasca funzon, dee legg d aenuazone, che a parre dalle caraersche d nensà epcenrale, danno, n base alla dsanza del so ove s vuole valuare lo spero d rsposa, l valore delle ordnae speral mede. Con opporune operazon d meda s possono così calcolare, a parre dalle caraersche d ssmcà locale, sper d rsposa d so, n genere su rocca, sempre su erreno a superfce orzzonale, che engono cono delle caraersche d ssmcà del erroro crcosane. A olo d esempo s rporano valor rcava per alcune cà Ialane [Nu, Rasulo & Vanz, 5]. Nu,C., Rasulo, A., Vanz, I., (5) Proposa per la Valuazone della Classfcazone Ssmca del Terroro Ialano Rapporo Tecnco N/5 Dparmeno d Sruure Unversà degl Sud RomaTre.

23 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7,9,8 NuRasuloVanz ServzoSsmco RW Romeo,7 Caana CATANIA CATANIA,6,5 Messna MESSINA MESSINA,4,3 Napol NAPOLI NAPOLI,,,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Messna, Zona, Caana e Napol, Zona, Confrono ra sper d rsposa T=475 ann oenu a parre dalla recene classfcazone INGV, oenu con la classfcazone GNDT dal SSN, Rvalua da Sabea Puglese da [Nu, Rasulo& Vanz 5] 3

24 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7,45,4 NuRasuloVanz ServzoSsmco RW Romeo Frenze FIRENZE FIRENZE,35 Genova GENOVA GENOVA,3 Palermo PALERMO PALERMO,5 Roma ROMA ROMA,,5 Trese TRIESTE TRIESTE, Veneza VENEZIA VENEZIA,5 Verona VERONA VERONA,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Confrono ra sper d rsposa con perodo medo d rorno 475 ann oenu a parre dalla recene classfcazone INGV, oenu con la classfcazone GNDT dal SSN, Rvalua da Sabea Puglese, da [Nu, Rasulo& Vanz 5] La ecnca pù dffusa per la valuazone sasca a parre da da d ssmcà del erroro è quella messa a puno da Cornell nel 969. Per un approfondmeno s rmanda a es pù specalzza. Le forme speral così oenue dpendono olre che dalle legg d aenuazone dalla defnzone delle caraersche della ssmcà regonale. S no ad esempo che gl sper oenu con la recene classfcazone dell INGV 4, sono pù bass d quell oenu a parre dalla precedene classfcazone del GNDT. S no come le forme speral così oenue sono anch esse puoso regolar, e presenano una cera analoga con quelle oenue con operazon d meda d sper d accelerogramm naural. 4

25 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 La cosa è d alronde da aenders n quano le legg d aenuazone sono rcavae per va sasca dalle regsrazone degl accelerogramm naural. Se nvece degl sper con perodo medo d rorno 475 ann s valuano quell con perodo 7 ann, corrsponden a probablà d superameno del 5% n 5 ann, s possono oenere forme speral qual quelle della fgura seguene:,4 Bar, Bologna Caana, Frenze Genova,8 Messna Mlano,6 Napol Palermo,4 Roma Torno, Trese Veneza, Verona,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Sper med con perodo medo d rorno 7 ann. 5

26 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7..3 Sper d rsposa rsposa d norma Le normave nazonal ed nernazonal defnscono n genere le forme speral n relazone alle caraersche delle formazon pù superfcal del erreno. Ad esempo l Eurocodce 8 fa rfermeno alle caraersche degl sra sno a 3 mer d profondà. Quesa profondà non ha un parcolare valore scenfco, puoso rappresena un valore sno al quale s spngono sondagg che s effeuano per la valuazone delle caraersche geoecnche de erren d fondazone quando s deve cosrure un edfco. Il fondameno scenfco s basa sulla valuazone che spesso a 3 mer d profondà gl sra d erreno dvengono molo compa per cu non ha neresse praco ndagare le caraersche a profondà pù grand. Qualora le caraersche del erreno sano d qualà scadene a profondà maggor, è perano opporuno fare sud specfc. E uava orma rconoscuo che le forme speral aese n un so specfco dpendono non solo dalle caraersche degl sra superfcal, ma anche dalle caraersche alla sorgene ssmca e da erren araversa. Perano s rene che sa quanomeno opporuno che le forme speral vengano defne a lvello regonale araverso sud specfc che engano cono d u possbl paramer, non ulmo la morfologa locale. L Eurocodce 8 dà la seguene espressone per lo spero elasco d progeo: ξ: smorzameno sperale 6

27 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Spero elasco dell Eurocodce 8 7

28 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Ser elasc per erremo nens: Tpo I 8

29 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Valo r de paramer nell EC8, erremo nens: Tpo I 9

30 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Ser elasc per erremo debol: Tpo II 3

31 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Valo r de paramer nell EC8, erremo debol: Tpo II 3

32 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 La proposa d annesso ecnco nazonale dell EC8, d gennao 5, rpora seguen valor de paramer Zona ssmca Caegora S suolo TB TC TD A,,,4 4,5 - B,5,5,6 5, C-D-E,3,,8 6, A,,5,35,5 3, 4 B,,,45,5 C-D-E,35,5,6, Valor de paramer dello spero d rsposa elasco della componene vercale d accelerazone per lo SLU Zona ssmca Caegora S suolo TB TC TD A,,,4 4,5 - B,5,5,6 5, C-D-E,3,,8 6, A,,5,35,5 3, 4 B,,,45,5 C-D-E,35,5,6, Valor de paramer dello spero d rsposa elasco delle componen orzzonal d accelerazone per lo SLD Lo spero d rsposa relavo alla componene vercale è generalmene concenrao su frequenze pù elevae d quello per le componen orzzonal. L Eurocodce 8 dà le seguen espresson: I paramer sono da nella seguene abella: 3

33 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Nell annesso ecnco nazonale s danno gl sess valor. 33

34 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7..4 Confrono ra sper normav ed alcune propose n leraura Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Confron EC8 / Annex Ialano / OPCM 374/Plaks Terremo Tpo Soosuolo Tpo A Soosuolo Tpo B A - EC8 A - Annex Naz. A - OPCM A - Plaks (a) 3 4 Perodo, T (s) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g B - EC8 B - Annex Naz. B - OPCM B,B - Plaks (b) 3 4 Perodo, T (s) 34 Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo C C - EC8 C,C - Annex Naz. B,C,E - OPCM C,C3 - Plaks (c) 3 4 Perodo, T (s) E - EC8 C6 - Annex Naz. B,C,E - OPCM E - Plaks (e) 3 4 Perodo, T (s) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo D D - EC8 C3,C4 - Annex Naz. D - OPCM D,D - Plaks (d) 3 4 Perodo, T (s) Soosuolo Tpo E

35 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Confron EC8 / Annex Ialano / OPCM 374/Plaks Terremo Tpo Soosuolo Tpo A Soosuolo Tpo B A - EC8 A - Annex Naz. A - OPCM A - Plaks (a) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g B - EC8 B - Annex Naz. B - OPCM B,B - Plaks (b) 3 4 Perodo, T (s) 3 4 Perodo, T (s) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo C C - EC8 C,C - Annex Naz. B,C,E - OPCM C,C3 - Plaks (c) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo D D - EC8 C3,C4 - Annex Naz. D - OPCM D,D - Plaks (d) Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Perodo, T (s) (e) 3 4 Perodo, T (s) 3 4 Perodo, T (s) Soosuolo Tpo E

36 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7..5 Teso della Ordnanza della Proezone Cvle 374 relavo alla defnzone della Azone Ssmca S rpora l eso dell allegao ecnco alla Ordnanza d Proezone Cvle 374. S raa d una formulazone smle a quella dell EC8 e relav Anness ecnc nazonal. Per ques ulm s veda anche l so Web: 36

37 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 37

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42 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.3 Oscllaore Semplce: Soluzone nel caso n cu l ermne noo è una forza cosnusodale L'espressone d equlbro della massa del ssema, n assenza d smorzameno, è la seguene: m&& x + d x& + k x = F cos Ω F && x + νω x& + ω x = cosω m ( 9 Ove Ω rappresena la frequenza della eccazone eserna. In queso caso la soluzone dell equazone dfferenzale è la somma dell 'negrale generale (uguale a quello rovao nel caso d oscllazon lbere) e dell 'negrale parcolare che vara nel empo con la sessa frequenza della eccazone eserna ndpendenemene dalla sruura: x = e νω Acosω + Bsnω ] + [ A cosω + Bsn Ω ] ( 3 [ Nella espressone ( 3 l prmo ermne della addzone è l negrale generale, esso all aumenare d ende a zero, la legge del moo a regme, qund, sarà rappresenaa dal negrale parcolare: x ) = [ A cos Ω + B sn Ω ] ( 3 ( Baserà allora calcolars I valor delle cosan A e B. S derva qund due vole l'negrale parcplare rcavando le espresson d della velocà e accelerazon relave n funzone delle cosan A e B ncogne. Quese espresson, sosue a v valor nella equazone dfferenzale, c permeono d calcolare lare valor d A e B che la soddsfano. A = B = F m F m ω Ω ( ω Ω ) + 4ν ωω νωω ( ω Ω ) + 4ν ωω ( 3 Sosuendo quese espresson nell'negrale parcolare s ha la soluzone: 4

43 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 43 ) cos( 4 ) ( ) ( φ ω ν ω Ω Ω + Ω = m F x ) cos( ),, ( ) ( φ ω ν Ω Ω = M m F x 4 ) ( ),, ( B A M + = Ω + Ω = Ω ω ν ω ω ν ) ( ) ( Ω Ω = = ω νω φ A B arg ( 33 Ove la fonzone M(ν,ω,Ω) è dea funzone d rasfermeno, φ è l angolo d sfasameno della rsposa. S vede, qund, che l'ampezza della rsposa e dreamene proporzonale all 'nensà della eccazone ma dpende anche, rame la funzone d rasfermeno dalla frequenza dell 'eccazone, da quella della sruura, dallo smorzameno. Esplcando la funzone M(.) s ha: 4 ) ( ),, ( ω ν ω ω ω ν Ω + Ω = Ω M ω β Ω = ), ( 4 ) ( ),, ( β ν μ ω β ν β ω ω ν = + = Ω M 4 ) ( ), ( β ν β β ν μ + = ( 34 sosuendo quesa nuova funzone nell espressone della rsposa ( 33 s oene: = Ω = ) cos( ), ( ) ( φ β ν μ ω m F x = Ω = ) cos( ), ( ) ( φ β ν μ k m m F x ( 35

44 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 F x( ) = μ( ν, β ) cos( Ω φ) = xs μ( ν, β ) cos( Ω φ) k 7.5 μ(., β ) μ(.5, β ) μ(., β ) 5 μ(., β ) β Fgura 7 Andameno del coeffcene d amplfcazone μ(ν,β) per dvers valor dello smorzameno ν. 3 Dalla erza delle ( 35 s può dare una nerpreazone della rsposa dnamca. Essa è daa essenzalmene dalla sessa espressone della rsposa saca, rapporo ra forza e rgdezza k, sfasaa rspeo alla applcazone della forza d un empo =φ/ω, ed amplfcaa d un faore par a μ(ν,β) deo per queso "funzone d amplfcazone dnamca". La funzone d amplfcazone dnamca dpende dallo smorzameno e dal rapporo ra la frequenza eccarce e quella della sruura. Se β= s ha l caso d forza saca (Ω=O) o d sruura nfnamene rgda (ω= ). Il valore d μ(ν,β=) vale. Se β=, s ha l caso sruura molo flessble con perodo propro molo lungo (ω=) o d eccazone ad ala frequenza (Ω= ) (ω= ). l valore d μ(ν,β= )=. Se β=, s ha l (ω=ω) coè d frequenza propra uguale alla frequenza d eccazone, l valore d μ(ν,β=)=/(ν), perano se lo smorzameno è pccolo l coeffcene d amplfcazone dvene molo grande. La suazone è dea d rsonanza, ed al lme, dopo mole oscllazon la sruura può amplfcare molssmo l effeo dell azone. 44

45 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.3. Valuazone del ransoro Se s vuole valuare l ransoro s deve rsolvere l equazone dfferenzale ( 3. L negrale parcolare dell equazone del moo è quello llusrao, s rcava d alronde sosuendo l secondo ermne della soluzone generale, coè la soluzone parcolare nella equazone d equlbro, rcavando le espresson d A e B sopra llusrae: x = e νω Acosω + Bsnω ] + [ A cosω + B sn Ω ] ( 36 [ A = B = F m F m ω Ω ( ω Ω ) + 4ν ωω νωω ( ω Ω ) + 4ν ωω ( 37 Dervando la espressone ( 3 s oene l espressone della velocà, s possono così mporre le condzon nzal e da quese rcavare le espressn d A e d B n funzone d A, B e dello sposameno e velocà nzal: x x& = [ Acosω + Bsnω] + [ A cosω + B sn Ω] νω νω = νωe [ Acosω + Bsnω] + e [ Aω snω + Bω cosω] + [ A Ωsn Ω + BΩsn Ω ] ( 38 x = A + x& A = νω[ Acosω] + Bω cosω + BΩ cosω] = νωa + Bω + B Ω ( 39 A = x A x& νω BΩ x& νω B = + A + = + ( x ω ω ω ω ω A ) BΩ + ω ( 4 45

46 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca x() x(). x() x () x() x() Fgura 8 Forzane cosnusodale. In alo: rsposa nel caso d perodo propro T=.7sec, perodo della forzane Θ= sec, coeff. d smorzameno ν=.5, ampezza della forzane F=, massa.4 (la rgdezza è qund par a ).In basso: rsposa nel caso d perodo propro T=.8 sec e massa., gl alr paramer sono mmua. x: rsposa oale, x: negrale generale, x: rsposa senza conrbuo del ransoro 3 Le espresson ( 4 sono dverse da anche nel caso n cu velocà e sposameno nzale sono null, perano l ransoro dà sempre luogo ad una alerazone della rsposa, che ende ad annullars con le oscllazon. Ad esempo, n Fgura 8 s noa che la rsposa oale x(), è dversa nzalmene dalla sola rsposa a regme x(), la dfferenza è daa dal conrbuo del ransoro x(). Nella fgura è ben evdene l fao che l applcazone della forzane gà dversa da dà luogo ad un consderevole dfferenza nella fase nzale ra forzane e rsposa, dfferenza che ende a rdurs dopo poche oscllazon. L effeo del ransoro è pù modeso se vene applcaa una forzane del po Fsn(Ω) che pare anch essa dal valore nullo al empo =. Nel caso d forzane snusodale le cosan A e B dvengono: 46

47 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 F ω Ω B = m ( ω Ω ) + 4ν ωω F νωω A = m ( ω Ω ) + 4ν ωω ( 4 Sono perano ugual alle espresson della forzane cosnusodale ma sono scambae ed una, la A con segno nvero, menre le A e B dell negrale generale s oengono mponendo che la soluzone complea soddsf le condzon nzal, hanno perano le medesme espresson ( 4, ove A e B hanno le espresson appena rovae. 47

48 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.3. x () x() x() Fgura 9 Forzane snusodale: rsposa nel caso d perodo propro T=.8sec, perodo della forzane Θ= sec, coeff. d smorzameno ν=.5, ampezza della forzane F=, massa (la rgdezza è qund par a ) (ranne la forzane è l secondo caso della Fgura 8) x: rsposa oale, x: negrale generale, x: rsposa senza conrbuo del ransoro 3 48

49 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.4 Oscllaore semplce: Rsposa al moo del erreno Se l moo del erreno è del po A()=a sn ω, l equazone d equlbro è la sessa ( 9 nella quale a ermne noo è l ermne -m a sn ω, anzché la forzane F sn ω. La rsposa è qund quella appena vsa ove al ermne F s sosusce -m a. Il rapporo ra la accelerazone assolua del ssema e la accelerazone alla base, è deo ramanza del ssema: (& x& ( ) + a( )) max + (νω / Ω) / = ( ) a ( ( ω / Ω) ) + ν ( ω / Ω) ( 4 Quesa espressone è la medesma che s oene nel caso d forzane snusodale ra forza oale d rsposa e forza agene: ( dω x& + k x) max F La sessa relazone vale ra sposameno assoluo, somma d quello relavo e quello del erreno, e sposameno del solo erreno. La rasmanza ha pressoché lo sesso valore del coeffcene d amplfcazone, salvo per valor molo eleva dello smorzameno. 7.5 Tr(., Ω ) Tr(.5, Ω ) Tr(., Ω ) 5 Tr(., Ω ) Ω Fgura. Andameno della rasmanza n una sruura con frequenza propra w= per dvers valor del coeffcene d smorzameno S no che la rsposa dvene qund: ma x( ) = cos( Ω m ( ω Ω ) + 4ν ωω φ x( ) = am ( ν, ω, Ω) cos( Ω φ) 49 ) ( 43

50 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca ) ( ),, ( B A M + = Ω + Ω = Ω ω ν ω ω ν ) ( ) ( Ω Ω = = ω νω φ A B arg La funzone M() è dea funzone d rasfermeno, se s vuole la rsposa n accelerazone la funzone va dervaa due vole rspeo al empo, oenendo qund la funzone d rasfermeno n accelerazone relava: Ω M(). 4 ) ( ),, ( ω ν ω ω ω ν Ω + Ω = Ω M ω β Ω = ), ( 4 ) ( ),, ( β ν μ ω β ν β ω ω ν = + = Ω M 4 ) ( ), ( β ν β β ν μ + = ( 44

51 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.5 Oscllaore semplce: Valuazone della Rsposa n Forma Numerca..5. Calcolo della rsposa dnamca al passo: Meodo d negrazone al passo dell equazone del moo In genere, dsponendo d un calcolaore, è convenene negrare numercamene l equazone d equlbro dnamco: m& x ( ) + dx& ( ) + kx( ) = ma( ) ( puoso che non rsolvere l negrale d Duhamel o la soluzone relava alla sovrapposzone n frequenza. S raa d dscrezzare l empo n nervall d dmensone cosane Δ, suffcenemene pccol e scrvere l equazone dnamca non n forma dfferenzale ma n forma fna. La funzone sposameno e le sue dervae sono calcolae n corrspondenza de emp, n cu è sao dscrezzao l fenomeno. I meod numerc rappresenano l unca soluzone per l calcolo della rsposa se la sruura enra n campo non lneare. Peralro sme della rsposa non lneare possono essere fae con meod approssma basa su approssmazon lnear della rsposa. S llusrano nel seguo due meod d negrazone numerca: l prmo delle dfferenze cenral, nel quale l ncogna d sposameno all sane +, è espressa n funzone dello sposameno e delle sue dervae (velocà ed accelerazone) agl san preceden: ed -, è deo per queso un meodo esplco; l secondo, chamao meodo d Newmark, esprme lo sposameno all sane + n funzone degl sposamen agl san ed -, ma anche della accelerazone all sane +, lo sesso n cu vene calcolao lo sposameno, e che è anch esso una ncogna. Il meodo, almeno n lnea d prncpo, rchede d erare a parre da un valore d enavo della accelerazone all sane +, ed è per queso deo mplco..5. Meod esplc: le dfferenze cenral La velocà all sane può essere espresse come rapporo ncremenale ra quelle agl san + ed -: x+ x x& = Δ ( L accelerazone s può oenere dal rapporo ra l ncremeno della velocà ra + ed, ed ed - : 5

52 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 5 x x x x x x Δ = Δ = + + ; & & (3 ( ) x x x x Δ + = + && (4 Sosuendo la (3 e la ( nella equazone d equlbro dnamco ( s oene: ( ) ) ( ma kx x x d x x x m = + Δ + Δ (5 Raccoglendo ermn con lo sesso ndce e porando a desra dell uguale ermn che dpendono da ed - s oene: ( ) ( ) ( ) x m k x d m ma x d m Δ Δ Δ = Δ + Δ + ) ( (6 La (6 è una equazone rcorrene, all sane + sono noe ue le grandezze relave agl san preceden, perano è possble rcavare lo sposameno x relavo ad +. La (6 può essere vsa come la classca Kx=F, n cu la F è l secondo membro. S no nolre come nella (6 compaa l ermne Kx, che rappresena la forza elasca all sane. Qualora la sruura abba comporameno non lneare l espressone relava alla forza d rchamo è f(x), perano la ( dvene : ) ( )) ( ( ) ( ) ( ma x f dx x m = + + & & & (7 e la (5 dvene: ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ = Δ + Δ + x m x f x d m ma x d m ) ( ) ( (8 S deve osservare come anche la forza d rchamo non lneare sa noa n quano è propro quella relava al passo precedene. Nessuna dfferenza, nemmeno d complessà d calcolo, v è n queso caso nel passaggo da una anals lneare ad una non lneare. S deve nfne osservare che per l calcolo del prmo passo =Δ=+, non è possble defnre lo sposameno all sane - da nserre nella (6 o nella (8. Se s specalzzano la ( e la (4 per =, rcavando velocà ed accelerazone al empo =, rcavando dalla ( la x +, e sosuendola nella (4, e rcavando da quesa x -, s oene: ( ) x x x x & & & Δ Δ = / (9

53 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 È charo che le grandezze all sane = sono un dao del problema, n generale sono nulle. V sono due requs essenzal cu meod d negrazone al passo devono soddsfare: devono essere sabl, e devono asscurare la convergenza alla soluzone esaa. Il prmo requso è dovuo alla caraersca che alcun ssem d negrazone numerca hanno d dvergere ndefnamene se l passo d negrazone non è suffcenemene pccolo rspeo al perodo propro della sruura. Pù precsamene se s calcola la rsposa dell oscllaore semplce non smorzao nel caso d oscllazon lbere l cu rsulao esao è: Acos ω, nel caso del meodo delle dfferenze cenral la rsposa può rsulare non oscllaora ed anz cresce ndefnamene se Δ>T/π. Il meodo dà comunque luogo a rspose snusodal ma con perod nferor rspeo a quello reale, quesa po d errore, deo d convergenza, s rduce al dmnure del rapporo Δ/T come s vede n fgura. -,5,,,3 (T'-T)/T -, -,5 -, -,5 d/t Meodo delle dfferenze cenral, scosameno ra perodo propro calcolao ed effevo per oscllazon lbere non smorzae In praca nel caso ssmco la necessà d rappresenare l azone n modo accurao mpone n genere d sceglere un passo d negrazone non superore a. second, menre valor pc vanno da.5 a. second. Perano, nel caso d sruure cvl, ad un grado d lberà, nelle qual l perodo propro è n genere superore a. second, l rapporo Δ/T è nferore a, l meodo rsula perano sable (Δ/T</π: condzone d sablà) ed accurao (s veda la fgura). Se la sruura enra n campo plasco due requs dvengono pù facl da soddsfare, n quano l effeo globale è equvalene ad un allungameno del perodo. In defnva pass da segure nella programmazone del meodo delle dfferenze cenral sono seguen: passo nzale: valuazone dell accelerazone al empo = (eq.(, eq.(9, (8: ( dx& ( = ) kx( = ) ma( = )) && x( = ) = m 53 (

54 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 54 ( ) x x x x && & Δ Δ = ( ) ( ) ( ) ) ( x m k x d m ma x d m Δ Δ Δ = Δ + Δ A u pass successv (eq.(8): ( ) ( ) ( ) x m k x d m ma x d m Δ Δ Δ = Δ + Δ + ) ( ( Se s devono calcolare le alre grandezze d passo s ulzzano la ( e la (4: x x x Δ = + & ( ) x x x x Δ + = + && (

55 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Meod mplc: l meodo d Newmark S pozz che s possa approssmare l accelerazone d rsposa (relava) n ogn passo con una accelerazone cosane par alla meda delle accelerazon d nzo (puno ) e fne passo (puno +). In ale poes s possono rcavare le grandezze del moo lungo l passo ed a fne passo: && x + && x && x = + (3 && x && + + x x& x& + = + Δ (4 Δ x x x& (&& x & + x + = + Δ + + ) 4 (5 La (4 può essere scra come x & + = x& + [(.5) Δ] && x + (.5Δ)& x (6 + x + = x + x& Δ + [(.5.5) Δ ]&& x + [. 5Δ ]& x (7 + Le espresson (4a ed (4b possono essere generalzzae secondo le due espresson seguen dovue a Newmark (): x & x& + α ) Δ && x + ( α & x (8 x [( ] + + = Δ ) + = x + x& Δ + (.5 ) Δ && x + βδ & x + [ ] [ ] β (9 Se valor d α e β sono rspevamene.5 e.5 le due espresson concdono con le (6 e (7. S rova mmedaamene che se valor d α e β sono rspevamene.5 e /6, le due espresson concdono con la soluzone relava al caso n cu l negrazone nel passo s esegua ulzzando una varazone lneare della accelerazone relava ra nzo e fne passo (secondo la ben noa regola de rapez). La (9 può essere ulzzaa per rcavare lo sposameno d fne passo. La (8 per rcavare la velocà d fne passo. S deve ulzzare un crero eravo assegnando nzalmene un valore d enavo alla accelerazone. Se a fne passo, sosuendo valor rova nella equazone d equlbro dnamco ( s oene un valore della accelerazone suffcenemene prossmo a quello d enavo, s può renere d aver ragguno la convergenza, alrmen s deve erare sno a convergenza..5.4 Rfermen bblografc Newmark,N.M., 959, A Mehod of Compuaon for Srucural Dynamcs, Journal of Engneerng Mechancs Dvson, ASCE 85 55

56 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7.6 Oscllaore Semplce: Sma della rsposa massma non lneare E sao dmosrao che lo sposameno massmo d un oscllaore semplce elaso plasco soggeo ad un accelerogramma, se l perodo propro è elevao, è crca uguale a quello dell oscllaore ndefnamene elasco. Perano l aglo massmo nella sruura è par al aglo elasco dvso per la dulà massma rchesa. Se l perodo propro è breve, la rsposa n sposameno è ale da aver la sessa energa d deformazone massma dell oscllaore elasco ndefno. Dea E el =/ Kx e, dea E ep =/ Kx y +K (x u -x y )= K x u x y -/ Kx y, uguaglando due ermn s ha: x u =.5(x e / x y + x y )=.5(q x y + x y ) esprmendo x u normalzzao rspeo ad x y s ha: μ=x u / x y =.5[(x e / x y ) + )]=.5(q + ) q rappresena l faore d rduzone della forza: q=f e /F y 56

57 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca μ ( x) x dulà rchesa se T con l poes d ugual Energa n funzone d x= x e / x y =q In genere se l azone ssmca è rappresenaa dallo spero d rsposa elasco d progeo, ed l perodo propro s rova nella zona a velocà cosane: T>T c, s assume valda l poes d ugul sposameno, al d soo d ale perodo l poes d ugual energa è ragonevolmene cauelava. Deo q l rapporo ra forza d nerza massma F e se la sruura rmane n campo elasco e la ressenza della sruura F y, qualora l perodo della sruura T* sa nferore a T c s può ulzzare l espressone : d d q d q T * * e,max * TC * max = + * ( ) * e,max per l calcolo della rposa massma n sposameno, nella espressone daa d e,max è lo sposameno nel caso d rsposa elasca. 4 57

58 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 d( q,.8 Tc) d( q,.7 Tc) d( q,.6 Tc) d( q,.4 Tc) q 58

59 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Sruure a Pù Grad d Lberà: Coordnae Generalzzae S consder l elao a pan n fgura. S rascura la deformablà assale e per aglo, le rav sono nfnamene rgde (Unà d msura: [F]=[kN], [L]=[m], [m]=[on]) Caraersche geomerche Dmensone plasr: b h =3 3 mm Alezza d pano: h p =3, m Lunghezza campaa: L =6, m Numero d plasr: n = Inerasse ela: n =5, m Momeno d nerza de plasr: I p Rgdezza de plasr: EI p k pp = =9 3 knm - 3 h 3 = bh =6,75-4 m 4 Rgdezza d pano: k p =n k pp =8 3 knm - Caraersche meccanche Modulo elasco del cls: E =3 MPa (=3 3 knm - ) Masse Massa mpalcao: m =,7 on m - Massa sulla rave d pano: m =m n =3,5 on m - Massa d pano: m=m L = on p 59

60 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7. EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE Il ssema d equazon che governano l moo della sruura s possono rcavare ulzzando dfferen meod : ) Equlbro alla d Alamber (scrura drea delle equazon d equlbro dnamco) ) Meodo energeco (Prncpo d Hamlon o della conservazone dell'energa oale del ssema) 3) Elemen fn Menre l meodo 3) è ulzzao ampamene ne programm d calcolo perchè s presa ad un elevao grado d auomazzazone, prm due meod sono l fruo del radzonale approcco alla dnamca Lagrangana. Con rfermeno al elao dell'esempo vene ora descro l meodo ). Nella fgura accano sono llusrae le sollecazon d aglo ad ogn pano (verso ed ampezza). Il elao è soggeo ad uno sposameno alla base x g. Effeuando l'equlbro alla raslazone delle masse d pano possamo scrvere l ssema d equazon seguen, ognuna delle qual mosra come la forza d'nerza (proporzonale all'accelerazone assolua della massa) equlbr la reazone elasca (proporzonale alla rgdezza d pano kp e dpendene dallo sposameno relavo d pano). mx (&& + && xg) kp( x x) + kx p = ( mx (&& + && xg) + kp( x x) = che s può rscrvere meendo a faor comune le ncogne x e x ossa gl sposameno relav pano (ved fgura). 6

61 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 mx && + kx p kx p = mx && g mx && k px+ k px = mx && g Volendo scrvere le preceden n forma compaa s può ulzzare la noazone marcale: m && x kp kp x m xg m + x = k p k p x m && && MX && + DX & + KX = MI && x g nella quale M è la marce delle masse, K è la marce delle rgdezze, I è l veore d rascnameno ed X è l veore ncogno degl sposamen d pano. Il ermne a secondo membro rappresena l veore delle forze equvalen al ssma.. SOLUZIONE CON APPLICAZIONE AD UN TELAIO PIANO Nel caso dell'esempo le marc delle masse e delle rgdezze assumono le espresson: m M = m M = marce delle masse 4 4 k p k p K = kp k K = 4 4 marce delle rgdezze p.8.8 Se s pozza d conoscere una soluzone del po X=φ y(), ove y() è uno scalare che vene deo la coordnaa generalzzaa e serve a modulare l veore φ, ques ulmo dà la forma della deformazone. Ad esempo:.5 φ =.86 Sposamen del prmo e secondo pano Per l prncpo de lavor vrual l lavoro delle forze nerne ed eserne fao n uno sposameno vruale deve essere nullo perché v sa equlbro. Sosuendo a X l espressone dello sposameno X=φ y e le sue dervae emporal, assuno propro δx=φ δy quale sposameno vruale, premolplcando per φ T ermn dell equazone d equlbro s oene: T T T T y φ Mφ&& y+ y φ MI&& xg + y φ Dφy& + y φ Kφy= Dvdendo per δy s oene: φ T Mφ&& y+ φ T MI&& x + φ T Dφy& + φ T Kφy= 6 g

62 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Che può rscrvers come: T T T T φ Mφ&& y+ φ Dφy& + φ Kφy= φ MI&& x g Da cu: T T T T φ Mφ&& y+ φ Dφy& + φ Kφy= φ MI&& x g Ponendo: T φ Mφ = m T φ Dφ = d T φ Kφ = k T φ MI = L L equazone d equlbro s rscrve: my && + dy& + ky = Lx && g m = massa generalzzaa, d = smorzameno generalzzao, k = rgdezza generalzzaa. Dvdendo per la massa generalzzaa s oene: && y+ νω y& + ω y= px && g Ove p=l/m, è deo coeffcene d parecpazone. L equazone è quella d un oscllaore semplce soggeo ad una accelerazone amplfcaa p vole rspeo a quella effeva. 6

63 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 3 Sruure a Pù Grad d Lberà: Anals Modale 3. CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL SISTEMA S consder ora l caso nel quale sa assene la forzane eserna n genere denomnao problema delle OSCILLAZIONI LIBERE. M X&& + KX = S può pozzare una soluzone d enavo del po X := φ snω Sosuendo la precedene nel ssema d equazon s oene un nuovo ssema nel quale le ncogne sono l veore delle ampezze φ e la frequenza del moo ω, la deermnazone della cu soluzone è dea PROBLEMA AGLI AUTOVALORI ( K ω M) φ = E φ = ossa n forma compaa Il ssema così oenuo è un ssema omogeneo che come ben noo dalla maemaca ammee soluzone (auosoluzone) se e solano se l deermnane della marce de coeffcen possede deermnane nullo. Dunque per calcolare le auosoluzon del ssema occorre mporre la condzone: de[ E ] = Nel caso del elao n esame l problema agl auovalor s scrve semplcemene: k p k p ω m φ := k p k p m φ ossa k p ω m k p φ := k p k p ω φ Imponendo l'annullameno del deermnane della marce E s oene la seguene equazone algebrca bquadraca nell'ncogna ω 63

64 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 k p ω m k p ω m k p := m ω 4 3mk p ω + k p := le cu soluzon sono dae dalle espresson seguen 4m + k p 3mk p 9m k p ω := m 3mk p 9m k p 4m k p ω := m I due valor ω e ω sono de FREQUENZE PROPRIE del ssema Calcolo coeffcen Polnomo caraersco ax +bx+c=: a := m b 3k p m := ( ) c := k p b b 4a c λ := a λ = b + b 4a c λ := a λ =.44 3 FREQUENZE PROPRIE PERIODI PROPRI ω := λ ω = 8.94 π T := ω T =.347 ω := λ ω = π T := ω T =.33 - Uso del problema agl auovalor generalzzao mplemenao n Mahcad 64

65 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Spesso programm d calcolo auomaco sfruano meod numerc approssma per la valuazone della frequenze propre FQUAD := genvals ( K, M) FQUAD = Ω := FQUAD T := π Ω Ω = 8.94 (FREQUENZE PROPRIE).33 T =.347 (PERIODI PROPRI) CALCOLO DEGLI AUTOVETTORI 65

66 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 Pochè gl auoveor sono defn a meno d una cosane è possble sceglere dfferen condzon d normalzzazone ) meodo della componene unara Imponendo la condzone che almeno una componene d cascun auoveore sa e parzonando la marce del problema agl auovalor s ha E φ := problema agl auovalor auoveore -mo φ φ := φ E := K λ M marce del problema agl auovalor parzonameno della marce del problema agl auovalor e E, E := E, E, se s pone ad esempo φ := dalla seconda equazone s rcava l valore d φ pochè gl auovalor hanno reso dpenden le due equazon la prma sarà auomacamene soddsfaa. Nel caso d pù d due grad d lberà l ermne E, rappresena la prma colonna della marce de coeffcen molplcao per, prmo valore dell'auoveore poso =, esso fa s che ermn no del problema sano propro valor passamo al nosro esempo Auoveore φ φ := E := K λ M E := E, E := E, φ := E E φ φ a := φ φ a =.68 Auoveore φ φ := 66 E,

67 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 E := K λ M E := E, E := E, φ := E E φ φ a := φ φ a =.68 La forma generale prma rcavaa può essere parcolarzzaa al caso auale. Ad esempo con rfermeno al prmo modo la prma equazone del moo s può scrvere: 67

68 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 7 ( k p λ m ) φ k p φ := dalla quale s evnce, che poso φ := k p λ m φ := k p φ =.68 Analogamene per l'auoveore del secondo modo ) meodo della normalzzazone della marce delle masse In ale caso s mpongono le seguen condzon: T φ M φ := :=..n n=n pan Raccoglendo gl auoveor φ n un'unca marce Φ dea marce modale le preceden possono scrvers n manera compaa Φ T M Φ := I dove la marce I è la marce unà I := Per l caso dell'esempo mponendo la precedene al problema agl auovalor prma defno s oengono le seguen componen del -mo auoveore φ := k p m ( ) + k p k p λ m mφ φ := m Calcolamoc dunque le componen de sngol auoveor Auoveore φ φ := k p m ( ) + k p k p λ m mφ φ := m φ φ := φ 68