Elettrotecnica /2009 Totale ore: 30; Crediti corrispondenti: 3

Transcript

1 Eleroecnca 2 28/29 Toale ore: 3; re corrsponden: 3 Anals de crcu n funzonameno dnamco Anals nel domno del empo rcu del prmo ordne e del secondo ordne, elazone ngresso/usca ed equazon d sao, Prncpal segnal mpress: mpulso unaro, gradno unaro, snusode. Anals nel domno della arable d Laplace rcham defnzone, propreà, eorem, rasformae e anrasformae, rasformazone delle equazon de componen e delle equazon opologche, anals del crcuo. Funzon d ree: eccazone e rsposa del crcuo, legame con la rsposa mpulsa, propreà delle funzon d ree. Sablà. Dopp bpol mulpol e mulpora, eorem, marce mpedenza e ammeenza, marc brde e d rasmssone, collegameno sere parallelo ed n cascaa d dopp bpol, equalenza d dopp bpol.

2 Da sapere Sudo d funzone, derae, negral elazon caraersche de componen Legg d Krchoff Elemen d opologa Albero, coalbero, aglo, magla, aglo fondamenale, magla fondamenale, ec. Equazon dfferenzal lnear Inegrale generale e negrale parcolare Anals de crcu elerc Meodo compleo Meodo de poenzal nodal Meodo delle magle Teorem sulle re Theenn, Noron, Mlmann Trasformae d Laplace 2

3 Modalà d esame A.A L esame consse n una proa scra e nella dscussone del compo. Non saranno pubblca gl es della proa scra. La proa scra può conenere esercz e/o domande eorche. Per superare la proa occorre oenere la suffcenza n ogn eserczo. 3

4 rcu del I ordne onengono un solo elemeno dnamco. Il loro comporameno è rappresenao da un equazone dfferenzale del I ordne. Per sudare la dnamca, alle equazon crcual LK e equazon de componen occorre aggungere l alore all sane nzale della ensone sul condensaore/correne nell nduore. onoscere lo sao d un elemeno dnamco n un dao sane sgnfca conoscere l energa mmagazznaa nell elemeno n quell sane. 4

5 - rcu e L n eoluzone lbera Legg d Krchhoff Equazon de componen L L L c d cosane d empo c L dl L L L dl cosane d empo L Equazone d sao dx x Forma sandard 5

6 dx x -2 Equazone dfferenzale del I ordne la deraa d ordne massmo è la deraa prma lneare l ncogna e la sua deraa compaono solo come ermn d I grado a coeffcen cosan coeffcen che molplcano l ncogna e la sua deraa sono cosan omogenea compaono solo ermn che conengono l ncogna e la sua deraa Fssaa la condzone nzale c.., x, ha un unca soluzone x Ke λ 6

7 L' equazone caraersca λ λ - x Deermnazone d K e λ Ke -3 Sosuendo x K Qund x x e 7

8 sposa lbera o naurale non c sono generaor: e L e L L -4 e L/ hanno le dmenson d un empo Maemacamene - << Nella praca >, L per x.37x x x x x x x2 x3 x4 x5 e.37x 2 x e.35x 3 x e.5x 4 x e.8x 5 x e.67x 8

9 A prescndere da x, dopo 4 cosan d empo x ale crca -5 l 2% del alore nzale; dopo 5 cosan d empo x ale meno dell % del alore nzale. La rsposa de crcu e L ha una duraa d 4 o 5 cosan d empo. La cosane d empo è anche una msura nersa della elocà d decadmeno. I rsula espos possono esenders a u crcu rconducbl alla confgurazone o L. 9

10 L eoluzone lbera del crcuo è una conseguenza -6 della progressa dsspazone dell energa mmagazznaa nzalmene nel condensaore. La poenza dsspaa nel ressore dee concdere col asso d dmnuzone dell energa mmagazznaa 2 2 dw d d 2 d 2 d che concde con l equazone precedene. ò spega perché aumenando la cosane d empo, la ensone dmnusce pù lenamene: a parà d ensone l energa mmagazznaa aumena se aumena, la poenza dsspaa dmnusce se aumena.

11 rcu e L con un generaore - Legg d Krchhoff elazon cosue d e c - e e c cosane d > d empo dx c x e > e u - Forma sandard

12 a d L Legg d Krchhoff elazon cosue L d L a L > L cosane d empo L L L - L a dx L x a a > u 2 Forma sandard L L L L -

13 dx x u ondzon per u dencamene nullo per < n ogn sane dee assumere alor real n ogn sane dee essere specfcao n modo non ambguo -2 Equazone dfferenzale del I ordne, lneare, a coeffcen cosan NON omogenea nell ncogna x compare l ermne y/ Fssaa la condzone nzale c.., x, ha un unca soluzone x Ke x p è un ermne che soddsfa da solo l eq ne dfferenzale per > negrale parcolare. K a deermnaa mponendo la c.. x: x p > x K x p K x x p x x x e x p p 3

14 Se samo neressa ad un alra arable, ad ex., possamo deermnarla a parre dalla conoscenza della arable d sao, oppure rcaare la relazone che lega la arable desderaa all ngresso. e d -3 d dc de c e de d de elazone ngresso-usca I/O La relazone I/O è un equazone dfferenzale ordnara la cu soluzone può ancora essere rcaaa sommando l negrale generale dell omogenea assocaa all negrale parcolare dell equazone complea. La presenza delle derae dell ngresso s erfca spesso quando l usca non e una arable d sao. Le condzon nzal occorren sono legae algebrcamene allo sao della ree nell sane nzale. e c e c e p p 4

15 -4 Tue le grandezze elerche oenbl sono d po esponenzale. In un crcuo auonomo del I ordne, qualunque ensone/correne y, per >, ha l espressone y y y e y p p Tue le grandezze del crcuo hanno la sessa cosane d empo che ale oppure L/. Nella espressone d y compare y : le grandezze derse da c e L possono essere dsconnue n, oero y y - 5

16 Non esse un meodo generale per l calcolo dell negrale parcolare. In alcun cas l calcolo è ageole. Ingresso csodale: negrale parcolare σ u Ue cos ω ϕ U > a Ingresso cosane b Ingresso esponenzale c Ingresso snusodale d Ingresso csodale u u U cosϕ u u Ue x p U cosϕe σ σ x cos ω ϕ cosane U cos ω ϕ x p x p p E un ngresso generalzzao Be σ Acos ω Be σ B sn ω cos ω θ -5 Alr negral parcolar: e Ingresso lneare u A B x p D fingresso polnomale u a n n... a a x p b n n... b 6 b

17 rcu e L con un generaore cosane uucosane Sosuendo dx x A nella x A U A U x Ke U. In, s ha x x p Acosane K U K x U, U - x U x e u. x U per uev s u ai s c c U e Vs. L L I s L e I s. 7

18 x x x.368 x x -2 x x x x x x e x x x x x e x x e.368 x x 8

19 rcu del I ordne - I rsula espos possono esenders a u crcu del I ordne. onsderamo crcu che conengono condensaore N ressor N g generaor ndpenden nduore N ressor N g generaor ndpenden h h L N h L Applcando l eorema d Theenn al bpolo s oene un crcuo con un generaore Applcando l eorema d Noron al bpolo s oene un crcuo L con un generaore 9

20 V s 2 A h h A -2 B B V s 2 h c c h h V s 2 2 h e h. - 2

21 -3 In un crcuo auonomo del I ordne, con h >, qualunque ensone/correne y, per >, ha l espressone y y y e y p Tue le grandezze elerche sono d po esponenzale; hanno la sessa cosane d empo che ale h oppure L/ h. p Nella espressone d y compare y : le grandezze derse da c e L possono essere dsconnue n, oero y y - 2

22 In alernaa all applcazone d Theenn/Noron, s ulzzano le procedure per l ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO GAFO DEL IUITO: L la, N nod 2L arabl descre del crcuo DOVANNO ESSEE SITTE 2L EQUAZIONI: -4 L Eq. Topologche N- a coccl fondamenal L-N alle magle fondamenal L Eq. de omponen 22

23 Il alore nzale Spesso è un dao del problema. Spesso però nel crcuo aene una arazone n, ad esempo un nerruore camba poszone. - è l sane che precede la arazone è l sane mmedaamene successo alla arazone. Per la propreà d connuà della ensone sul condensaore e della correne nell nduore: c c - c L L - L Se l crcuo n - era n regme cosane, deermno lo sao n sudando l crcuo resso a regme cosane, n cu l condensaore è un crcuo apero e l nduore è un coro crcuo. Le grandezze derse da c e L possono essere dsconnue n, oero y y - 23

24 Sablà rsposa ransora e rsposa permanene - I crcu del I ordne con h > sono de sabl λ<. In un crcuo sable qualunque rsposa ha la forma y y y e y p p sposa ransora esponenzale sposa permanene a regme La rsposa ransora è la porzone della rsposa complea che ende ad esnguers quando l empo ende all nfno. La rsposa permanene è la porzone della rsposa complea che rmane quando la rsposa ransora s è esaura. E cosane se generaor ndpenden sono d po cosane. 24

25 Sablà rcu nsabl -2 I crcu del I ordne con h < sono de nsabl. Qualunque rsposa ha ancora la forma y y y e y Essendo > y per p p Per bpol pass h > I crcu pass sono sempre sabl. I crcu a possono essere nsabl. 25

26 Sorapposzone degl effe rsposa lbera e rsposa forzaa Una generca grandezza s può oenere sommando. l conrbuo della c.. con generaor ndpenden spen rsposa lbera 2. l conrbuo de sngol generaor ndpenden calcola con la c.. nulla rsposa forzaa / nello sao zero. y y e y e y p p sposa lbera sposa forzaa nello sao zero La rsposa lbera è legaa all energa mmagazznaa nel crcuo prma dell applcazone del generaore. Essa ende a esnguers al crescere d 26 ; La rsposa forzaa è doua all applcazone d una forza eserna.

27 Propreà d lnearà u ETE Y u 2 ETE Y 2 u ETE Y u au bu 2 y ay by 2 LA ELAZIONE I/O E LINEAE S dce che una ree e lneare se ale la precedene propreà per qualunque arable. Allora: La rsposa nello sao zero e lneare rspeo all ngresso 27 Lo sao zero e una specfcazone ndspensable

28 u Propreà d empo naranza u y u-t y-t u-t T y y-t T essor, nduor, capacor, muue, sono componen empo-naran sono cas n cu la empo-aranza e olua es. nerruore 28

29 ee lneare empo-narane nello sao zero h u u h Sao zero Sao zero [ u h ± u ] [ y h ± y ] du u d Sao zero Sao zero o anche Sao zero h y empo-naranza lnearà y h lme per h operaore lneare dy y d E mporane che lo sao nzale sa nullo alrmen c sarebbero delle cosan d negrazone che non renderebbero lec al passagg 29

30 Funzon sngolar elemenar - Le Funzon sngolar elemenar sono funzon dsconnue o con derae dsconnue Gradno unaro Impulso unaro ampa unara Sono buone approssmazon d segnal che s nconrano ne crcu che subscono fenomen d commuazone Gradno unaro δ - δ per < per > Non è defno n 3

31 δ per per Non è defna n < > δ - -2 Molplcare una funzone connua nel empo per δ - consene auomacamene d consderare ale funzone dencamene nulla per < Dal puno d sa fsco, corrsponde all nserzone d un generaore d alore unaro all sane ee V < > Vδ 3

32 a rcu equalen -3 a V δ - V b b a a I δ - I b b 32

33 u Impulso reangolare -4 V u Vδ Vδ 33

34 dδ δ Impulso unaro per < ndefna per per > δ -5 orren e enson mpulse sono conseguenza d operazon d commuazone o d sorgen mpulse. L mpulso unaro può essere mmagnao come un mpulso d duraa molo bree ed area unara. Maemacamene: δ La funzone mpulso bδ ha area par a b. 34

35 Esemp 5 δ 5δ-3-6 2δ -2 3 Propreà d selezone b a f δ f a< <b La funzone mpulsa non può essere realzzaa ma solo approssmaa 35

36 36 δ δ δ δ δ δ ampa unara -7 δ 2 -

37 37 Per la lnearà e empo naranza della relazone I/O, la rsposa alla u può essere oenua come somma delle rspose a cascuno de ermn delle sommaore a secondo membro. Allora se h e la rsposa all mpulso e d h k ; j j j e k G y 2 j j j G u δ δ Qualunque funzone lneare a ra può essere decomposa n gradn e rampe e s può screre n forma generale come: -8 k rsposa al gradno d k e e rsposa alla rampa

38 Segnal perodc - Onda quadra può essere scomposa n una somma nfna d snusod Sluppo n sere d Fourer omponene connua prma armonca 38

39 39,2,3, sn 2,,2, cos 2 / 2 doe cos oppure sn cos 2 è perodca : FOMA EALE Fourer d Sere 2 / 2 / 2 / 2 / n n f T b n n f T a T n c c f n b n a a f T f f f T T n T T n N n n N n n N n n ω ω π ω ϑ ω ω ω -2

40 Eoluzone d un onda quadra dalle sue componen armonche d Fourer -3 Somma delle prme 2 componen Somma delle prme 3 componen Somma delle prme 4 componen Somma delle prme 5 componen 4

41 ee lneare eccaa con un generaore d ensone perodca ee lneare eccaa con una sere d generaor d ensone snusodal: approssmazone del crcuo d snsra -4 V sorgene perodca ee lneare V cosω α V 2 cos2ω α 2 ee lneare V n cosnω α n 4

42 sposa al gradno d un crcuo La rsposa al gradno d un crcuo è la rsposa del crcuo quando l eccazone è una funzone gradno. - V s V V s δ - Poché la ensone sul condensaore non può arare sananeamene V Prma della commuazone Dopo la commuazone 42

43 43 > < > > per ; / / e V V V V e V V V V d V d V LKT s s s s s s s δ δ V s V -2

44 44 Se V e V e V d e V e V s s s s / / / / > < > < δ δ V s V V s / connua dsconnua -3

45 45 / s s e V V V In generale / / e e e s deermna per < s deermnano per > -5

46 sposa al gradno d un crcuo L Procedmeno alernao -6 V s L V V s δ - L lbera forzaa lbera forzaa l f Ae Vs L Ae / Vs 46

47 47 Poché la correne sull nduore non può arare sananeamene I V I A V A I s s e V I Se e e e V I V s s s / / / / δ V s / V s -7