9. Circuiti dinamici

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1 9. rcu namc Inuore. Poenza assorba all nuore. Enera maneca. omporameno enereco ell nuore. onensaore. Poenza assorba al conensaore. Enera elerosaca. omporameno enereco el conensaore. rcu e el prmo orne. Equazone sao e cosane empo. sposa lbera e rsposa forzaa. omporameno e crcu e con eccazone cosane e con eccazone snusoale. Sablà. rcu, e el secono orne. Equazone sao e soluzone enerale. omporameno asnocamene sorasmorzao, smorzao crco, armonco smorzao. omporameno nsable. Eccazone cosane. rcu namc conenen nerruor o eaor a opoloa arable. Inuor muuamene accoppa. enn a crcu eener. Vncol alebrc ra arabl sao e ranezze mpresse. ompensazone mpuls correne o ensone ne crcu eener. onnuà elle arabl sao ne crcu non eener. Inuore Il paramero efnzone è eo nuanza o coeffcene auonuzone. a sua unà msura nel ssema nernazonale è l Henry [H]=[Vs]/[A]=[J/A ] ' ' ' ' ' ' ' ' a correne ell nuore al enerco sane è eermnable se s conosce l anameno ella ensone a suo cap sn a un sane nfnamene remoo nel quale la correne è nulla. In alernaa, sablo un sane assuno come sane nzale, la correne è eermnable se s conosce, olre all anameno ella ensone nell nerallo [,], anche l alore che essa assume n. Per quesa raone l nuore è eo componene con memora. Un nuore fsco è cosuo a un aolmeno n rame fao mole spre, solo aole aorno a un nucleo maerale ferromaneco. nuanza rappresena l coeffcene proporzonalà ra la correne ell aolmeno e l flusso el campo maneco a quesa prooo concaenao con l aolmeno sesso,.e. =. Se s rascurano, come è leco, le sspazon poenza che s erfcano nel conuore e nel maerale ferromaneco, alla lee Faraay s oene che la relazone ra la correne e la ensone a cap ell aolmeno è =/. A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

2 a poenza p assorba a un nuore è un fferenzale esao esprmble come p W m a quanà W m rappresena l enera mmaazznaa all nuore meane l campo maneco a esso prooo e prene l nome enera maneca. Essa è una funzone sao perché pene esclusamene alla correne che crcola nell nuore. a correne assume qun l ruolo arable sao. Wm Enera maneca ell nuore Dao che l enera maneca un snolo aolmeno è sreamene posa è nulla solo se = l coeffcene auonuzone rsula sempre poso > ' m '' ' ''' W W W '' m ''' m enera W m complessamene assorba a un nuore n un ao nerallo euala la arazone ella sua enera maneca. Essa non pene all anameno ella correne ma esclusamene a alor a quesa assun al esrem ell nerallo funzone sao. w, p W m 3 enera complessamene assorba a un nuore al empo rsula n qualunque sane posa se o al pù nulla se = w, p S no che l nuore può eroare poenza, n un ao nerallo, supponamo a a a. sula però p p p ' ' pe ' ' pe ' ' w, nuore è qun un componene passo. enera a esso eroaa n un ao nerallo è sempre mnore o uuale a quella complessamene assorba n preceenza. enera complessamene assorba a un nuore n un cclo = rsula nulla w, p = Se unque n un aa fase el cclo l nuore assorbe eroa poenza nella fase successa la eroa assorbe 4 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

3 Se un nuore è araersao a una correne cosane nel empo la ensone a su cap è nulla se = cos Inuore n conzon sazonare coro crcuo In conzon sazonare qun un nuore s compora come un coro crcuo 5 S assuma ora che n un ao sane la correne ell nuore subsca una sconnuà, ossa pass al alore al alore. Inerano la relazone efnzone ell nuore nell nerallo nfnesmo [, ] s oene a preceene è sosfaa se e solo se l anameno ella ensone è oe rappresena l mpulso Drac. Se n un ao sane qun la correne un nuore subsce sconnuà la ensone a suo cap subsce un mpulso. In al conzon all sane l nuore assorbe/eroa una poenza nfna n rao arare sananeamene l enera accumulaa. Tale poenza è eroaa/forna al bpolo complemenare. Quano scusso è un comporameno lme rrealzzable nella praca per a e fenomen ress parass. Ne crcu real possono uaa erfcars elle rape arazone ella correne nel nuor. In al conzon a loro cap s sablsce una noeole ensone cu corrpone lo scambo una noeole poenza. 6 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

4 onensaore Il paramero efnzone è eo capacà. a sua unà msura nel ssema nernazonale è l Fara [F ]=[As]/[V]=[]/[V]=[ J/V ] ' ' ' ' ' ' ' ' a ensone el conensaore al enerco sane è eermnable se s conosce l anameno ella correne che lo araersa sn a un sane nfnamene remoo nel quale la ensone è nulla. In alernaa, sablo un sane assuno come sane nzale, la ensone è eermnable se s conosce, olre all anameno ella correne nell nerallo [,], anche l alore che essa assume n. Per quesa raone l conensaore è eo componene con memora. Un conensaore fsco è cosuo a ue lasre armaure maerale conuore pose n cnanza. D solo ra le lasre è nerposo un elerco maerale solane a ala permeablà. a capacà rappresena l coeffcene proporzonalà ra la ensone che asce ra le ue armaure e la carca q accumulaa con seno opposo su cascuna esse,.e. q =. Se s rascura, come è leco, la conucblà el elerco, alla efnzone correne s oene che la relazone ra la ensone e la correne e a cap ell aolmeno è =/. 7 a poenza p assorba a un conensaore è un fferenzale esao esprmble come p W e a quanà W e rappresena l enera mmaazznaa al conensaore meane l campo elerco a esso prooo e prene l nome enera elerosaca elerca. Essa è una funzone sao perché pene esclusamene alla ensone a cap el conensaore. a ensone assume qun l ruolo arable sao. W e Enera elerosaca el conensaore Dao che l enera elerosaca è sreamene posa è nulla solo se = la capacà rsula sempre posa > ' ' ''' enera W e complessamene assorba a un conensaore n un ao nerallo euala la arazone ella sua enera elerosaca. Essa non pene all anameno ella ensone ma esclusamene a alor a quesa assun al esrem ell nerallo funzone sao. W W W ' m '' m ''' m w, p c We 8 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

5 enera complessamene assorba a un conensaore al empo rsula n qualunque sane posa se o al pù nulla se = S no che l conensaore può eroare poenza, n un ao nerallo, supponamo a a a. sula però p p p ' ' pe ' ' pe ' ' w, w, p Il conensaore è qun un componene passo. enera a esso eroaa n un ao nerallo è sempre mnore o uuale a quella complessamene assorba n preceenza. enera complessamene assorba a un conensaore n un cclo rsula nulla w, p = Se unque n un aa fase el cclo l conensaore assorbe eroa poenza nella fase successa la eroa assorbe 9 Se un conensaore è soeo a una ensone cosane nel empo la correne che lo araersa è nulla se = cos conensaore n conzon sazonare crcuo apero In conzon sazonare qun un conensaore s compora come un crcuo apero A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

6 S assuma ora che n un ao sane la ensone el conensaore subsca una sconnuà, ossa pass al alore al alore. Inerano la relazone efnzone el conensaore nell nerallo nfnesmo [, ] s oene a preceene è sosfaa se e solo se l anameno ella correne è oe rappresena l mpulso Drac. Se n un ao sane qun la ensone el conensaore subsce sconnuà la sua correne subsce un mpulso. In al conzon all sane l conensaore assorbe/eroa una poenza nfna n rao arare sananeamene l enera accumulaa. Tale poenza è eroaa/forna al bpolo complemenare. Quano scusso è un comporameno lme rrealzzable nella praca per a e fenomen ress parass. Ne crcu real possono uaa erfcars elle rape arazone ella ensone a cap e conensaor. In al conzon n ess s sablsce una noeole correne cu corrspone lo scambo una noeole poenza. rcu namc S efnsce namco un crcuo conenene almeno un nuore oppure un conensaore. Un crcuo mamco è caraerzzao a un ssena rsolene alebrco-fferenzale. e corren el nuor e le enson e conensaor compaono soo l seno eraa e assumono l ruolo arabl sao. Per eermnare la soluzone è necessaro scomporre l ssema e appence A n una pare puramene fferenzale uazone sao e n una pare puramene alebrca uazone usca. e arabl sao possono essere eermnae auonomamene rsoleno l uazone sao. A al fne è necessaro conoscere, olre al nress, alor che quese assumono nell sane nzale. Successamene, noe le arabl sao e l nress, s possono eermnare le arabl usca ulzzano la relaa uazone. Quano le arabl sao non sono ue npenen ma sono soee a ncol alebrc l crcuo s ce eenere. In ques cas è ancora possble solare la pare fferenzale ma l orne el ssema rsula roo non ue le corren el nuor e le enson e conensaor enano arabl sao effee. A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

7 rcuo namco eenere: crcuo namco le cu connesson e/o cu componen sono al a sablre almeno un ncolo alebrco che conole esclusamene corren nel nuor e/o enson su conensaor e, eenualmene, ranezze mpresse. Un crcuo è eenere se sosueno l nuor con un eneraore correne e conensaor con un eneraore ensone s oene un crcuo paoloco. S rporano alcun esemp. Deenerazon opolocamene een Tal compos a sol nuor o a nuor e eneraor correne npenen 3 Male compose a sol conensaor o a conensaor e eneraor ensone npenen 3 Deenerazon oue a eneraor ploa o rasformaor non een opolocamene k k k Deenerazon oue a nuor perfeamene accoppa M M k Per crcu eener è mporane snuere ra cas n cu l ncolo alebrco è omoeneo non conole ranezze mpresse oppure è non omoeneo conole ranezze mpresse. Nel seuo, salo esplco aso, lmeremo la nosra anals esclusamene a crcu non eener. Qualche cenno a crcu eener sarà fao successamene. 4 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

8 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 rcuo nuo el prmo orne crcuo S analzzano ora crcu namc el prmo orne, ossa crcu non eener conenen un solo nuore oppure un solo conensaore. S conserno a olo esempo l crcuo fura e l relao ssema rsolene Per rsolere l crcuo è necessaro eermnare l uazone sao, ossa è necessaro solare la pare fferenzale el ssema rsolene. Per un crcuo nuo el prmo orne l uazone sao è composa a una sola uazone nella sola arable sao cosua alla correne ell nuore. 5 Per oenere l uazone sao è necessaro nnanzuo eermnare l uazone usca, ossa è necessaro calcolare l alore che ue le ranezze el crcuo assumono n funzone ella arable sao e elle ranezze mpresse. ò può essere oenuo sosueno l nuore con un eneraore npenene correne che mpone la enerca correne S eenza che n rù ell poes crcuo non eenere cò che s oene sosueno l nuore con un eneraore correne è un crcuo anamco necessaramene non paoloco le relazon efnzone e componen non sono n conflo con le uazon opoloche. sula qun possble esprmere ue le ranezze n funzone elle ranezze mpresse e ella correne 6

9 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 uazone sao può essere posa n forma canonca pochè e rsola auonomamene se sono no l anameno per on sane nonché l alore all sane nzale. e alre ranezze neresse el crcuo possono essere oenue successamene aoperano l uazone usca con noo. A queso puno s sosusce l espressone oenua per all nerno ell uazone efnzone ell nuore oeneno così un uazone fferenzale che conene solo uazone sao Equazone sao conzone nzale Equazone usca 7 S eenza che a fn ell oenmeno ell uazone sao s è eermnaa la ensone che, a causa el crcuo a cu è connesso, s sablsce a cap ell nuore quano n esso crcola la enerca correne. ò uol re che s è eermnaa la rappresenazone Theenn el bpolo complemenare ell nuore. Tale rappresenazone esse scuramene per a el fao che, esseno l crcuo n esame non eenere, l crcuo oenuo sosueno all nuore un eneraore correne è non paoloco. r r Equazone sao KT conzone nzale r uazone sao un crcuo nuo el prmo orne può qun essere oenua mmeaamene rappresenano l bpolo complemenare ell nuore meane l bpolo ualene Theenn e conserano la KT applcaa alla mala r 8

10 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 rcuo capaco el prmo orne crcuo Per rsolere l crcuo è necessaro eermnare l uazone sao, ossa è necessaro solare la pare fferenzale el ssema rsolene. Per un crcuo capaco el prmo orne l uazone sao è composa a una sola uazone nella sola arable sao cosua alla ensone el conensaore. S conserno a olo esempo l crcuo fura e l relao ssema rsolene 9 Per oenere l uazone sao è necessaro nnanzuo eermnare l uazone usca, ossa è necessaro calcolare l alore che ue le ranezze el crcuo assumono n funzone ella arable sao e elle ranezze mpresse. ò può essere oenuo sosueno l conensaore con un eneraore npenene ensone che mpone la G G G G G G S eenza che n rù ell poes crcuo non eenere cò che s oene sosueno l conensaore con un eneraore ensone è un crcuo necessaramene non paoloco le relazon efnzone e componen non sono n conflo con le uazon opoloche. sula qun possble esprmere ue le ranezze n funzone elle ranezze mpresse e ella ensone

11 A queso puno s sosusce l espressone oenua per all nerno ell uazone efnzone el conensaore oeneno così un uazone fferenzale che conene solo uazone sao G G G uazone sao può essere posa n forma canonca pochè e rsola auonomamene se sono no l anameno per on sane nonché l alore all sane nzale. e alre ranezze neresse el crcuo possono essere oenue successamene aoperano l uazone usca con noo. G G Equazone sao conzone nzale G G G G G G G Equazone usca S eenza che a fn ell oenmeno ell uazone sao s è eermnaa la correne che, a causa el crcuo a cu è connesso, crcola nel conensaore quano esso è sooposo alla enerca ensone. ò uol re che s è eermnaa la rappresenazone Noron el bpolo complemenare el conensaore. Tale rappresenazone esse scuramene per a el fao che, esseno l crcuo n esame non eenere, l crcuo oenuo sosueno conensaore un eneraore ensone è non paoloco. G G G Equazone sao K conzone nzale uazone sao un crcuo capaco el prmo orne può qun essere oenua mmeaamene rappresenano l bpolo complemenare el conensaore meane l bpolo ualene Noron e conserano la K al noo A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

12 rcu e con eccazone cosane Se ue le ranezze mpresse el crcuo sono cosan la ensone/correne el eneraore ualene Theenn/Noron rsula cosane. uazone sao è r V con V =cos I con I =cos a soluzone enerale ell uazone sao e appence A è k e ecc oe cosane empo el crcuo r [Vs]/[A] / [V/A] = s oe k e ecc I ermn ecc e ecc hanno lo sesso anameno nel empo ella ensone/correne mpressa. S oene qun cosane empo el crcuo [As]/[V] / [A/V] = s k e V r k e I 3 Imponeno l rspeo ella conzone nzale s oene nfne V r e V r I e I omponene reme, r omponene ransora, omponene reme, r omponene ransora, a rsposa complessa può essere sa anche come somma ella rsposa con sao zero e ella rsposa con nresso zero. e e V r e e I sposa con nresso zero, sposa con sao zero, s sposa con nresso zero, sposa con sao zero, s Nel seuo s rpora l anameno nel empo ella correne ell nuore el crcuo. Anamen el uo analoh alono per la ensone el conensaore el crcuo 4 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

13 Se r > o > allora >. Il crcuo è asnocamene sable. Il emne esponenzale s esnue e la soluzone raune un alore reme sazonaro. Tue le ranezze nel crcuo raunono un alore sazonaro. V /r omponene reme, r V /r orrene complessa, = r omponene ransora, S eenza che la sola componene reme olerebbe la conzone nzale. a componene ransora s enera per fare n moo che quesa sa sosfaa. S no che la componene ransora non s manfesa nel caso n cu la componene reme è ale a sosfare, auonomamene, la conzon nzale V se r 5 a correne complessa può essere sa anche come somma ella rsposa allo sao zero e ella rsposa all nresso zero. V /r orrene complessa, = s sposa con sao zero, s sposa con nresso zero, a rsposa con sao zero è nzalmene nulla e raune l alore reme al crescere. a rsposa con nresso zero s manfesa, al fne consenre alla correne sosfare la conzone nzale, purché sa e mnusce n alore assoluo fno a annullars al alore al crescere. 6 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

14 S soolnea che noo l anameno ella arable sao ue le ranezze neresse el crcuo possono essere oenue successamene aoperano l uazone usca. Tue le ranezze aranno qun lo sesso anameno nel empo ella arable sao ecameno esponenzale con cosane empo. a cosane empo è l paramero caraersco ella namca ell nero crcuo. Essa è npenene alle ranezze mpresse non pene a ma solo a r e fornsce un ncazone ella rapà con la quale le ranezze el crcuo possono rsponere a una sollecazone mpressa. / / r = % % % 63. % 3.53 % % % 95. % 4.83 % 98.7 % 5.67 % % 7 V r a cosane esprme l empo necessaro perché la correne lnearzzaa all orne rauna l alore reme Analoamene la cosane empo è l empo necessaro perché la rsposa con nresso zero lnearzzaa all orne rauna l alore nullo 8 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

15 Se r < o < allora <. Il crcuo è nsable. Il emne esponenzale cresce nefnamene al crescere. a soluzone non raune qun un alore reme sazonaro. V V r r e 9 Se r = o = la soluzone preceenemene roaa non è applcable. uazone sao e la soluzone enano V I V I sposa con nresso zero, a rsposa con sao zero cresce lnearmene col empo. a soluzone non raune un alore reme sazonaro. auoalore assocao all uazone fferenzale è nullo la cosane empo è nfna. a rsposa con nresso zero è qun cosua a un ermne cosane par al alore nzale moo sazonaro, e =. Il crcuo è semplcemene sable e appence A. 3 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

16 S no che se l bpolo anamco complemenare al suo nerno non conene eneraor ploa la sua ressenza ualene Theenn è necessaramene posa o al pù nulla. o sesso ale per la conuanza ualene Noron. Allora un crcuo el prmo orne che conena solo resor e eneraor npenen o è asnocamene sable o, al lme se r = o =, è semplcemene sable. É escluso che possa essere nsable. 3 Eserczo 9. Deermnare l anameno nel empo ella ensone e ella correne el conensaore. = =.5 F = V = V; Eserczo 9. Deermnare l anameno nel empo ella ensone = = 3 = 3 4 =.5 =.5 F = V; = V; = 6 V; 3 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

17 Eserczo 9.3 Deermnare l anameno nel empo ella correne ell nuore k = = 3 = 4 =.5 = 8 V = 5.6 mh = A k =.5; k = 3; k = 6.5; Eserczo 9.4 Deermnare l anameno nel empo elle corren, e 3 el crcuo. Deermnare nolre l enera complessamene ceua all nuore al crcuo nell nerallo [, [ 3 3 = 3 = = 4 V; = A; = = mh 33 rcu e con eccazone snusoale Se ue le ranezze mpresse el crcuo arano nel empo con anameno snusoale alla sessa fruenza anche la ensone/correne el eneraore ualene Theenn/Noron assume anameno snusoale alla sessa fruenza. uazone sao è r V con V cos I I cos con a soluzone enerale ell uazone sao è k e ecc oe cosane empo el crcuo r [Vs]/[A] / [V/A] = s oe k e ecc cosane empo el crcuo [As]/[V] / [A/V] = s 34 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

18 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 I ermn ecc e ecc hanno lo sesso anameno nel empo ella ensone/correne eccazone /. Nel caso eccazone snusoale s oene e appence A cos I k e cos V k e r r V I an I V an oe oe S no che la soluzone parcolare roaa è ala anche ne cas r = e =, n cu nello specfco ena V I I V 35 Imponeno l rspeo ella conzone nzale s oene nfne I e I cos cos V e V cos cos 36

19 Se r > o > allora >. Il crcuo è asnocamene sable. Il ermne esponenzale s esnue e la soluzone raune un alore reme snusoale. Tue le ranezze nel crcuo raunono un anameno reme snusoale Veremo n seuo che la soluzone reme el crcuo può essere calcolaa aeolmene araerso l meoo e fasor rasformaa Senmez orrene complessa, = r I cos omponene ransora, I cos omponene reme, r S specfca che l ampezza el ermne ransoro è par alla fferenza ra l alore ella componene reme all sane = e l alore ella correne ell nuore nel meesmo sane. In parcolare l ermne ransoro può non manfesars se l alore ella componene reme a = è uuale al alore nzale ella correne ell nuore. I cos 37 Se r = o = allora. Il emne esponenzale è cosane. Il crcuo è semplcemene sable nel senso che non ere ma la soluzone non raune un anameno reme snusoale a alore meo nullo. orrene complessa I I cos cos omponene cosane omponene snusoale S specfca che l ampezza el ermne ransoro è par alla fferenza ra l alore ella componene reme all sane = e l alore ella correne ell nuore nel meesmo sane. In parcolare l ermne ransoro può non manfesars se l alore ella componene reme a = è uuale al alore nzale ella correne ell nuore. 38 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

20 Se r < o < allora <. Il crcuo è nsable. Il emne esponenzale ere al crescere. Il crcuo è nsable. a soluzone non raune un anameno reme snusoale. orrene complessa omponene esponenzale erene I cos I cos omponene snusoale 39 S analzzano ora crcu namc el secono orne, ossa crcu namc non eener conenen un nuore e un conensaore, oppure ue nuor, oppure ue conensaor rcuo el secono orne con nuore e conensaore elazon efnzone e componen namc h h h h appresenazone bra rea el oppo bpolo complemenare 4 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

21 Equazone sao h h h h onzon nzal x Ax f x x a soluzone parcolare x ecc ha lo sesso anameno elle forzan purchè nessuna elle fruenza naural el crcuo - auoalor ella marce A conca con la fruenza elle forzan sesse. Per eermnare la soluzone enerale occorre eermnare l auoalor e ella marce A e corrsponen auoeor s e s e appence A Equazone caraersca e I A racca A ea h h hh h h Il scrmnane ell uazone caraersca è raccaa 4eA h 4 h hh hh h h 4 hh 4 S analzzano ora possbl comporamen un crcuo el secono orne soeo a eccazone cosane. S conserano esclusamene crcu asnocamene sabl, ossa le cu fruenze naural auoalor hanno enrambe pare reale neaa.. Auoalor real e sn / comporameno sorasmorzao h hh 4 h x x k s e ecc k s e x x a ensone el conensaore e la correne ell nuore eolono secono un anameno ello sesso po. Se un auoalore è molo rane n alore assoluo rspeo all alro la cosane empo corrsponene è molo pccola e l moo a queso assocao ena preso rascurable. eoluzone lbera assocaa all auoalore pù pccolo n alore assoluo è eo moo omnane. 4 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

22 . Auoalor real e concen h h h h 4 ecc x k s k u e k s e x x Auoalor compless e conua / comporameno armonco smorzao h hh 4 h j n jn x X e cos n x x X e cos n ecc / n S no che affnchè nel crcuo el secono orne possa manfesars l comporameno armonco smorzao ee rsulare necessaramene h h < alrmen rsula > Se l oppo bpolo complemenare è recproco come accae se è cosuo solo a ressor s ha h h < h =h per cu l comporameno armonco smorzao può aere n enerale luoo 44 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

23 rcuo el secono orne con ue nuor elazon efnzone e componen namc r r r r appresenazone n correne el oppo bpolo complemenare 45 Equazone sao onzon nzal r r r r x Ax f x x S no che nel caso crcuo con ue nuor l comporameno armonco smorzao può manfesars esclusamene se l oppo bpolo complemenare è non recproco. Nel caso oppo bpolo recproco rsula nfa r r > r =r e s oene r r rr rr r r rr 4 4 In parcolare se l oppo bpolo complemenare è fao solo ressenze e eneraor npenen ma non conene eneraor ploa esso è recproco e l comporameno armonco smorzao non può manfesars 46 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

24 rcuo el secono orne con ue conensaor elazon efnzone e componen namc appresenazone n ensone el oppo bpolo complemenare 47 Equazone sao onzon nzal x Ax f x x S no che nel caso crcuo con ue conensaor l comporameno armonco smorzao può manfesars esclusamene se l oppo bpolo complemenare è non recproco. Nel caso oppo bpolo recproco rsula nfa > = e s oene 4 4 In parcolare se l oppo bpolo complemenare è fao solo ressenze e eneraor npenen ma non conene eneraor ploa esso è recproco e l comporameno armonco smorzao non può manfesars 48 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

25 Eserczo 9.5 Deermnare le cosan empo el crcuo e l anameno nel empo elle corren e a Eserczo 9.6 b c a = c = = 5 V = mh = A Il oppo bpolo anamco complemenare conce con quello ell eserczo 7. b = 4 = 5 A = mh = 3A Deermnare le cosan empo el crcuo e l anameno nel empo ella correne e ella ensone a b c c = = 5 A a = b = 4 = 5 V = 4 mh = A = F = 3 V Il oppo bpolo anamco complemenare conce con quello ell eserczo Eserczo 9.7 oscllaore Wen Deermnare le fruenze naural e suare la sablà el crcuo fura n funzone el paramero k k Noa: Il crcuo rappresena l comporameno lneare nell norno el puno ulbro el seuene crcuo ocllaore Wen Il uaano ensone k è k k 5 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

26 Inerruor eal e eaor nerruore eale è un bpolo n rao mporre un coro crcuo oppure un crcuo apero ra suo ermnal e commuare sananeamene a una conzone all alra = = Il eaore è un oppo bpolo rpolare n rao mporre un coro crcuo n una pora e un crcuo apero nell alra e commuare a una conzone all alra per cascuna pora smulaneamene e n moo sananeo. = = = = e commuazon nerruor eal o eaor nroucono nuoe connesson ra componen o elmnano connesson essen, per cu mofcano la opoloa l crcuo 5 rcu con nerruor e/o eaor a opoloa arable S conser a olo esempo l crcuo fura, operane n reme correne connua. All sane = l nerruore S chue. proponamo ermnae la soluzone el crcuo per. A al fne è necessaro snuere ra l sane = mmeaamene preceene la chusura, e l sane = mmeaamene successo. S All sane = le enson a cap e conensaor alono All sane = le corren el crcuo sono ue nulle S assume che sa connua n, per cu = =. Nell analzzare l comporameno el crcuo è mporane snuere l caso con 4 al caso con 4 = 5 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

27 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 Per l crcuo ena Il crcuo è non eenere. In corrponenza ella commuazone le arabl sao non subscono sconnuà. aso : 4. a commuazone à luoo a un crcuo non eenere 53 All sane = l comporameno el crcuo è / / / Tue le ranezze el crcuo possono essere eoe. Il crcuo oenuo assumeno la connuà elle arabl sao non ola la KT. e corren 4, e sono sconnue n corrpsonenza ella commuazone. uazone sao per s eermna araerso l meoo consueo e rsula G G G G G G G 54

28 S precsa che componen un crcuo reale non sono ma esaamene schemazzabl araerso componen eal sono sempre presen ressor che schemazzano le neabl pere, per cu è escluso che nella realà s eermnno crcu eener. Tuaa spesso alcun paramer sono rascurabl e possono ar luoo a male o al quas eener. Il comporameno el crcuo può enre molo prossmo a quello un crcuo eenere. I crcu eener sono qun cas lme e crcu real Mala eenere se l nerruore è chuso e ene a zero = mf = = V = V eneraore reale eneraore eale ressenza nerna e =. =. = me, ms x me, ms Al enere a zero la ensone el conensaore ara rapssmamene e la sua correne assume caraere mpulso llmaa. Il crcuo ene a un comporameno eenere. 56 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

29 Eserczo 9.8 nerore loco nerruore S el crcuo fura è chuso se l senale G è nullo e è apero se l senale G è >. Deermnare l anameno nel empo che la ensone a cap el conensaore se l senale ha l anameno rappresenao n fura. All sae = l crcuo opera n reme sazonaro. S assuma che l nerruore sa eale e che le commuazon sano sananee. V D = k = V D = 3 V =. pf G S G s 57 Eserczo 9.9 Il crcuo fura opera n reme corree connua. All sane = l nerruore eale S chue. Deermnare. a cosane empo el crcuo per. enera complessamene ceua al crcuo al conensaore nell nerallo [,[ 3. anameno nel empo ella ensone S 3 4 = = 3 = 4 = = mf = 4 V 58 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

30 Eserczo 9. Il crcuo fura opera n reme correne connua. All sae = l nerruore eale S apre. Deermnare. a arazone enera ell nuore nell nerallo [,[. anameno nel empo ella correne per 3. a poenza eroaa al eneraore all sane = 3 4 S = 4 = 3 = 4 = =3 mh = A 59 Eserczo 9. Il crcuo fura opera n reme correne connua. All sae = l nerruore eale S apre. Deermnare. a arazone enera ell nuore nell nerallo [,[. anameno nel empo ella ensone per 3. a poenza eroaa al eneraore all sane = = = 3 3 = 6 4 = 3 5 = 3 = 3 mf = A 6 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

31 Inuor muuamene accoppa M M M,, coeffcen auonuzone o auo-nuanze, [H] M, coeffcene muua nuzone o muua nuanza, [H] M M M Fscamene ue nuor accoppa sono cosu a ue aolmen n rame fa mole spre, solo aol aorno a un nucleo maerale ferromaneco comune. auo-nuanza rappresena l coeffcene proporzonalà ra la correne el prmo aolmeno e l flusso el campo maneco a quesa prooo concaenao con l aolmeno sesso,.e. =. Per l auo-nuanza ale la efnzone analoa, coè =. a muua nuanza M rappresena l coeffcene proporzonalà ra la correne el prmo aolmeno e l flusso el campo maneco a quesa prooo concaenao con l secono l aolmeno, =M. Araerso conserazon fsche è possble mosrare che l meesmo coeffcene proporzonalà M sussse ra la correne el secono aolmeno e l flusso el campo maneco a quesa prooo e concaenao con l prmo aolmeno,.e. = M. Trascurano, come è leco, le sspazon poenza che s erfcano nel conuore e nel maerale ferromaneco, alla lee Faraay s oenono le uazon cosue el nuor accoppa, ossa le relazone ra le corren e la enson e ue aolmen. 6 Il coeffcene muua nuzone M può essere sa poso che neao. Il suo seno pene al erso con cu sono realzza aolmen. D solo per M s fornsce l alore assoluo e s specfca con e punn l corrsponene erso el aolmen. e corren e le enson scele per rappresenare ue nuor accoppa ebbono enere cono queso erso. M M M M M M M M M M 6 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

32 Dao che la marce M è smmerca la poenza p assorba n on sane a ue nuor accoppa è un fferenzale esao esprmble come p M M a quanà W m rappresena l enera mmaazznaa a ue nuor meane l campo maneco complesso a ess prooo e prene l nome enera maneca. Essa è una funzone sao perché pene esclusamene alle corren che crcolano nel nuor. e corren e assumono qun l ruolo arabl sao. W m W m M M Enera maneca ell nuore enera maneca ue nuor accoppa è una quanà posa o al pù nulla, ossa W m, o mpone che la marce M sa semefna posa, alono coè le seuen relazon M S no che l maore sreo anzchè nelle prme ue conzon era al fao che se e = l enera maneca conce con quella el prmo aolmeno, che è sreamene posa, per cu ee essere >. Analoamene per. 63 Nessuna conzone è mposa sul coeffcene M, che può essere sa poso che neao. S efnsce coeffcene accoppameno ra ue nuor l rapporo M Se = ue nuor sono saccoppa. enera maneca complessa conce con la somma elle enera maneche e snol aolmen. 64 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

33 Un crcuo conenene ue nuor accoppa è, n enerale, el secono orne. Per eermnare l uazone sao s procee nel moo consueo M M M elazon efnzone e componen namc M r r r r appresenazone n correne el oppo bpolo anamco complemenare 65 Il oppo bpolo anamco complemenare può essere cosuo o a un oppo bpolo propro o mpropro oppure a ue bpol sn, nel qual caso ermn r e r rsulano null. Sosueno le sue uazon efnzone nelle relazon efnzone el nuor accoppa s oene l uazone sao n forma non canonca Equazone sao n forma non canonca M M r r r r M Se ue nuor non sono perfeamene accoppa M la marce e coeffcen auo e muua nuzone è nerble e l uazone sao può essere posa n forma canonca M M r r r r M M M M 66 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

34 Se ue nuor sono nece perfeamene accoppa M = soraeno alla prma ra ell uazone n forma non canonca la secona molplcaa per la race el rapporo / s oene l seuene ncolo alebrco ra e r r r r Il crcuo è eenere. e corren e ue nuor non sono npenen e non possono assumere, enrambe, l ruolo arable sao. Il crcuo è n realà el prmo orne. Una elle corren è eucble all alra. In parcolare se l oppo bpolo anamco complemenare è cosuo a ue bpol sn ermn r e r sono null. Dalla preceene s oene r r 67 S uole ora aluare soo quale conzone sussse l ualenza ra ue seuen crcu, enramb caraerzza a re paramer M m k M M M m k m k m m k m k k M m M k M m k 68 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

35 Due nuor muuamene accoppa possono essere qun rappresena araerso ue nuor non accoppa e un rasformaore eale. m k m k Il oppo bpolo oenuo schemazza un rasformaore reale, comprenso nuanza spersone a e nuanza manezzazone b. m k Nel caso accoppameno perfeo l nuanza spersone s annulla e l crcuo è rappresenable meane un unco nuore crcuo el prmo orne k 69 Se nolre l nuanza e conseuenemene anche l nuanza ene a nfno l crcuo ena k k I ue nuor accoppa eleao alore nfno e con accoppameno perfeo s comporano come un rasformaore eale. Il loro comporameno è oalmene anamco. enera mmaazznaa è encamene nulla. 7 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

36 Eserczo 9. Deermnare le cosan empo el crcuo e l anameno nel empo elle corren e a M c b a = c = = 5 V = mh = mh M = mh = A = 3A b = 4 = 5 A Il crcuo conce con quello ell eserczo 9.5 salo che n queso caso ue nuor sono accoppa 7 enn allo suo e rcu eener S conser a olo esempo l crcuo fura, apparenemene el secono orne. Il crcuo è eenere n quano conene una mala sol conensaor. e presune arabl sao sono le enson e a cap e conensaor. Per eermnare l uazone sao secono l meoo sluppao fnora oremmo eermnare la rappresenazone el oppo bpolo anamco complemenare nelle enson e. Tale rappresenazone non esse n quano l crcuo anamco che s oene mponeno e araerso ue eneraor ensone è paoloco Per eermnare l uazone sao è necessaro aoperare la rappresenazone mplca el oppo bpolo anamco complemenare ssema rsolene 7 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

37 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 a rappresenazone mplca el oppo bpolo anamco può essere oenua conserano ue le uazon el ssema rsolene meno quelle che efnscono componen namc e elmnano a quese ue le arabl corren, enson che non ruarano componen namc S oene qun la seuene rappresenazone mplca el oppo bpolo complemenare Dalla rappresenazone mplca s ee che, n accoro con quano aeso, la marce che premolplca le corren è snolare e non è possble esprmere quese n funzone elle enson 73 S sosuscono ora le relazon efnzone e componen manc all nerno ella rappresenazone mplca e s oene a prma elle uazon oenue è non fferenzale ma rflee l ncolo alebrco ra le arabl sao ouo al fao che l crcuo è eenere KT applcaa alla mala e conensaor. Ulzzano l ncolo alebrco possamo esprmere una elle presune arbl sao n funzone ell alra Infne sosueno la preceene all nerno ella secona s oene la seuene uazone sao n forma canonca uazone oenua conce quella oenble conserano ue conensaor n parallelo come un unco conensaore ualene capacà = 74

38 uazone sao oenua conole una sola elle enson e conensaor. Il crcuo è el prmo orne. S no che, nel caso analzzao, la arable sao non è sconnua anche nel caso n cu la ensone mpressa al eneraore lo sa. Esseno l crcuo namco n esame eenere l crcuo anamco che s oene mponeno e araerso ue eneraor ensone è paoloco. Per oenere l uazone usca è necessaro mporre la ensone un solo conensaore, quello la cu ensone è la arable sao. Per l alro conensaore è necessaro mporre la arable conuaa, ossa la correne 3 Equazone usca 3 3 S no che nell uazone usca el crcuo compare, olre alla arable sao anche la sua eraa 75 S conser ora l crcuo rappresenaao n fura. Il crcuo è eenere n quano conene una mala cosuua a ue conensaor e un eraore ensone. e presune arabl sao sono le enson e a cap e conensaor. S no che a fferenza el crcuo preceenemene analzzao n queso caso l ncolo alebrco che lea le enson e conensaor è non omoeneo ssema rsolene 76 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

39 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 Analoamene al caso preceene per eermnare l uazone sao nroucamo la rappresenazone mplca el oppo bpolo anamco complemenare. A queso fne conseramo ue le uazon el ssema rsolene meno quelle che efnscono componen namc e elmnamo a quese le arabl corren, enson che non ruarano componen namc S oene qun la seuene rappresenazone mplca el oppo bpolo anamco Anche n queso caso, come aeso, la marce che premolplca le corren è snolare e non è possble esprmere quese n funzone elle enson Sosueno le relazon efnzone e componen namc all nerno ella rappresenazone mplca s oene a prma elle uazon oenue è non fferenzale e rflee l ncolo alebrco ra le arabl sao ouo al fao che l crcuo è eenere KT applcaa alla mala cosua a conensaor e al eneraore ensone. In queso caso però l ncolo è non omoeneo. Infne sosueno la preceene all nerno ella secona s oene la seuene uazone sao n forma canonca ome nel caso preceene l uazone sao conole una sola elle enson e conensaor. Il crcuo è el prmo orne. 78

40 In queso caso ra le forzan olre alla ensone el eneraore compare anche la eraa. Se la ensone mpressa al eneraore è sconnua anche la arable sao ee essere sconnua per compensare l mpulso che sore al secono membro ell uazone. Ne conensaor ha luoo qun un mpulso correne. Per oenere l uazone usca è necessaro mporre la ensone un solo conensaore, quello la cu ensone è la arale. Per l alro conensaore è necessaro mporre la arable conuaa, ossa la correne 3 4 Equazone usca Nell uazone usca el crcuo compaono, olre alla e la, anche le loro erae. 79 Ne crcu eener non è qun asscuraa la connuà analca elle arabl sao. Nel caso n esame se la ensone mpressa al eneraore è sconnua nasce un mpulso correne necessaro per far arare sananeamene la ensone a cap el conensaore e, qun, l enera accumulaa al suo nerno. Tale correne mpulsa s rchue araerso la mala eenere, e n parcolare neressa l eneraore ensone che, nell sane ella sconnuà, fornsce una poenza nfna n rao far arare sananeamene l enera e conensaor S no che la correne mpulsa ee necessaramene rchuers araerso la mala eenere. Se così non fosse nfa essa araerserebbe elle ressenze e arebbe luoo a una ensone nfna, olano così l prncpo non amplfcazone elle enson. 8 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

41 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 Per l crcuo ena Il crcuo è eenere. In corrponenza ella commuazone le enson su conensaor sono sconnue. Infa se s conserassero rsulerebbe olaa la KT aso : 4 =. a commuazone à luoo a un crcuo eenere rcuo mpossble se se 8 A seuo ella commuazone le enson e conensaor sono soee al ncolo KT Per sosfare ale ncolo esse arano sananeamene. Ne conensaor ha luoo qun un mpulso correne Tal mpuls ebbono necessaramene rchuers aaerso la mala eenere. Se così non fosse nfa ess araerserebbero elle ressenze e arebbero luoo a enson nfne, olano così l pncpo non amplfcazone elle enson l unc componen n rao eroare poenza sono conensaor o eneraor npenen le cu enson sono comunque lmae. Dalla K rsula allora 3 5 K 8

42 o suo el mpuls correne consene qun eermnare la ensone comune che s sablsce su enramb conensaor a seuo ella commuazone = S no che con ale alore ensone n corrsponenza ella commuazone non rsula conseraa l enera mmaazznaa a conensaor. a fferenza è assorba all nerruore urane la commuazone. a ensone cosusce la conzone nzale necessara per lo suo el crcuo per uazone sao per s eermna araerso l meoo esposo per crcu eener e rsula G3 G5 G 5 83 Eserczo 9. Il crcuo fura opera n reme correne connua. All sae = l eaore eale S commua. Deermnare l alore all sane elle corren e el nuor nel caso 3 = e nel caso 3 S 3 = 4 = = mh =8 mh = A 84 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

43 Eserczo 9. Il crcuo fura opera n reme correne connua. All sae = l nerruore eale S commua. Deermnare l alore all sane = elle enson e a cap e conensaor nel caso 4 = e nel caso 4 = S 3 4 = = 3 = = F =5 F = V 85 onensaor n paralello KT: = = K: = = = a conzone nzale è ncolaa alla KT W a ruzone ue conensaor n parallelo a un unco conensaore ualene rspea la conserazone ell enera. = W 86 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

44 onensaor n sere KT: = KT: = = = ; = ; W a ruzone ue conesnaor n sere a un unco conensaore ualene non rspea la conserazone ell enera. ò à luoo a alcune nconruenze quano ale ualenza è ulzzaa a fn ella soluzone e crcu. = W 87 S conser l crcuo fura conenene ue conensaor n sere. Sono assenae le enson e enramb conensaor all sane nzale = enera complessamene posseua a conensaor all sane nzale è = W Sosueno ue conensaor con un unco conensaore ualene ossa raano l crcuo come se fosse el prmo orne oenamo = e A reme la ensone el conensaore ualene è nulla. enera complessamene ceua al ressore è W Tale enera è ersa a quella complessamene posseua a conensaor all sane nzale 88 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

45 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 89 Per superare queso apparene paraosso rsolamo l crcuo senza nrourre l ualenza uazone caraersca assocaa all uazone sao è / / / / / / / / uazone sao possee un auoalore nullo, al quale corrspone un moo sazonaro. a soluzone è e k e k oppo bpolo compl. uazone sao e e s no che ao che conensaor sono n sere la marce G el oppo bpolo complemenare possee sempre ue rhe enche, che anno luoo all auoalore nullo 9 A reme le enson e ue conensaor sono uual e oppose. a ensone complessa a cap ella sere è nulla. Olre al ermne esponenzale ecrescene le ue enson posseono anche un ermne cosane enera complessamene ceua al ressore conce con la somma elle arazone enera e ue conensaor all sane = all sane = e rsula Sosueno le espresson e opo alcun passa s oene e snole enson non sono però nulle n enerale perano non è nulla l enera posseua a conensaor. A reme ue conensaor non sono compleamene scarch. W W W W enera ceua al ressore conce unque con quella calcolaa aoperano un unco conensaore ualene

46 In efna se s aopera la capacà ualene n luoo elle ue capacà sne s raa un crcuo el secono orne come se fosse el prmo orne. ò occula l moo sazonaro sempre presene nel caso conensaor n sere, qualuque sa l bpolo cu ques sono collea e à luoo a una apparene olazone el prncpo conserazone ell enera. ononosane ue le quanà relae alla rmanene pare el crcuo sono correamene calcolae anche aoperano l conensaore ualene e W e W W Per quano ruara un crcuo con ue conensaor n parallelo noamo che n realà esso è eenere per cu è el prmo orne. Nessuna olazone accae qun quano s aopera un unco conensaore ualene n luoo ue conensaor n parallelo. 9 Inuor n sere KT: = KT: = = a conzone nzale è ncolaa alla K = = W a ruzone ue nuor n sere a un unco nuore ualene rspea la conserazone ell enera. = W 9 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

47 Inuor n parallelo KT: = = K: = = ; = ; W a ruzone ue nuor n parallelo a un unco nuore ualene non rspea la conserazone ell enera. ò à luoo a alcune nconruenze quano ale ualenza è ulzzaa a fn ella soluzone e crcu. = W 93 S conser l crcuo fura conenene ue nuor n parallelo. Sono assenae le corren e enramb l nuor all sane nzale = = enera complessamene posseua al nuor all sane nzale è W Sosueno ue nuor con un unco nuore ualene ossa raano l crcuo come se fosse el prmo orne oenamo = e A reme la correne ell nuore ualene è nulla. enera complessamene ceua al ressore è W Tale enera è ersa a quella complessamene posseua al nuor all sane nzale 94 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7

48 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7 95 Per superare queso apparene paraosso rsolamo l crcuo senza nrourre l ualenza uazone caraersca assocaa all uazone sao è / / / / uazone sao possee un auoalore nullo, al quale corrspone un moo sazonaro. a soluzone è e k e k oppo bpolo compl. uazone sao e e s no che ao che ue nuor sono n parallelo la marce el oppo bpolo complemenare possee sempre ue rhe enche, che anno luoo all auoalore nullo 96 A reme le corren e ue nuor sono uual e oppose. a correne complessa el parallelo è nulla. Olre al ermne esponenzale ecrescene le ue corren posseono anche un ermne cosane enera complessamene ceua al ressore conce con la somma elle arazone enera e ue nuor all sane = all sane = e rsula Sosueno le espresson e opo alcun passa s oene e snole corren non sono però nulle n enerale perano non è nulla l enera posseua al nuor. A reme ue nuor non sono compleamene scarch. W W W W enera ceua al ressore conce unque con quella calcolaa operano un unco nuore ualene

49 In efna se s s aopera l nuore ualene n luoo el nuor sn s raa un crcuo el secono orne come se fosse el prmo orne. ò occula l moo sazonaro sempre presene nel caso nuor n parallelo, qualunque sa l bpolo a cu ques sono collea e à luoo a una olazone el prncpo conserazone ell enera. onosane ue le quanà relae alla rmanene pare el crcuo sono correamene calcolae anche aoperano l nuore ualene e W e W W Per quano ruara un crcuo con ue nuor n sere noamo che n realà esso è eenere per cu è el prmo orne. Nessuna olazone accae qun quano s aopera un unco nuore ualene n luoo ue nuor n sere. 97 A. Moran, Unersà Bolona Eleroecnca T-A, A.A. 6/7