Trasformate e sistemi lineari
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- Adamo Rocchi
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1 Trasformae e ssem lnear Trasformaa d Laplace Funzone d Trasfermeno Mod Rsposa Impulsva Calcolo dell usca noo l ngresso (ved Marro par. 2. a 2.3,2.5, C 2.2, C 2.3) (ved Vell-Peernella par. II. a II.4, III. a III.3) 29/9/2 G.U -FdA- Unversa degl Sud Roma Tre
2 f () = F( ± KT) perodca, T :perodo A L k f A T B k () = 2π 2π + k cos + ksn 2 T A = 2 T T z / R= T / 2 T z / 2 2 NM f () d valore medo 2 2πk Ak = f()cos T T d ; T / 2 L Ω T z / 2 2 2πk Bk = f()sn T T d f() = k F( kω) e 2π T / 2 T z / 2 Fk ( Ω) = f( ) e T NM O QP T / 2 Sere d Fourer B k ρ A k ϕ F( kω ) =ρ jkω jkω d O QP e jϕ ulzzando numer compless 2π Ω = T 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 2
3 Sere Trasformaa L NM T La sere è per segnal perodc, un segnale qualsas può essere vso come perodco con perodo nfno. T / 2 Fk ( Ω) = f( ) e T T / 2 Ω f() = k F( kω) e 2π z jkω d jkω O QP Ω z, Ω, kω ω, = Ω=2π T= T=3 F F 2π T Ω=2π/3 kω kω jω F( ω) = f( ) e d z jω F () = F( ω) e dω z Condzone: f() sommable z f() d < 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 3
4 Trasformaa d Laplace jω F( ω) = f( ) e d Corrspondenza bunvoca z z jω solo se f () d < F () = F( ω) e dω z Sì?? No Scchè propro cas pù neressan creano problem 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 4
5 TRUCCO Invece d rasformare f(), rasformamo: Trasformaa d Laplace δ () f () e σ σ e F() δ () Pongo s = σ + jω z F( σ + jω) = f( ) e e d s Fs () = fe () d z σ j ω Trasformaa d LAPLACE σ mn : ascssa d convergenza 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 5
6 Trasformaa d Fourer n Maple > readlb(fourer): > sn(*)*exp(-2*)*heavsde(); sn( ) e (-2 ) Heavsde() > plo(sn(*)*exp(-2*)*heavsde(),=-..4, color= 'red'); > F:= fourer(sn(*)*exp(-2*)*heavsde(),,w); I F := Iw I 2 I 2 + Iw+ I > plo(abs(f), w=-4..4,color= 'red'); Modulo w 4 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 6
7 > F:= laplace(exp(-2*)*sn(*),,s); > F:= subs(s=sgma+i*omega,f); F := Trasformaa d Laplace n Maple s s + 4 ( σ + I ω + 2) 2 + > plo3d( abs(f), sgma=-5..,omega=-3..3, vew=...25); Grafco del Modulo.2 Effeo de pol della F(s). Il modulo va all nfno (fase non rporaa) La sezone su queso pano è la rsposa armonca (confrona con Fourer) sgma omega 2 3 > Pol:= solve(denom(f)=); Pol := I, -2 I 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 7
8 Meod d calcolo basa sulla Trasformaa d Laplace S possono operare delle rasformazon su segnal nel domno del empo (o dello spazo) n modo da: meere n evdenza le caraersche perodche o pseudoperodche del segnale (domno della frequenza); faclare alcune operazon maemache, qual l negrazone o la dervazone, rendendole puramene algebrche. Formalmene la Trasformaa d Laplace F(s) d una funzone f() è l negrale: s f() s = L[ f()] = e f() d con s = σ + jω ( f ( ) =, < ) z * hp ecnche: f() sommable z s : è deermnao e fno F( s) s = : Re[ s] Re[ s ] β. S β = ascssa d convergenza 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 8
9 Una Trasformaa Fondamenale f()= R S T p e > p può essere anche complesso p> p= p< p s F s e e d p s e ( p s) ( ) = = = se Re[ s] > Re[ p] s p z p Le [ ]= s p jω Le = ule per rasformare s jω sn() e cos() δ () = RST > L K K = L Kδ () = Gradno, sep, f. d Heavsde: δ () s 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 9
10 LINEARITA L[c f ()+c 2 f 2 ()]=c F (s)+c 2 F 2 (s) ESPONENZIALE a Le = z s a e e d = s a SINUSOIDE L L e sn Ω = e P = j s L M N jω jω Propreà noevol O Q Ω + Ω ESPONENZIALE FUNZIONE del TEMPO a ( s a) Le f() = e f() d= F( s a) z exp(-a)sn(omega*) TRASLAZIONE L ( a ) f ( a ) = e F ( s ) a δ as /9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- -
11 Propreà noevol TEOREMA del VALORE FINALE TEOREMA del VALORE INIZIALE lm f () = lm sf() s s lm f( ) = lm sf( s) + s INTEGRAZIONE DERIVAZIONE d df s L f ( ) = e d = negrando per par = sf( s) f () d d 2 d 2 f = 2 s F s sf L ( ) ( ) ( ) d per f ( ) = 3 d 3 L f ( ) s F( s) 3 = d L f ( ) dτ = F( s) s è sempre da leggere - 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- df d = (se pare uo da )
12 CONVOLUZIONE NEL TEMPO L[ f ( ) g( τ) dτ ] F ( s) G( s) un prodoo! L.. a ( τ ) ( τ ) eg e u ulssma per l calcolo della rsposa al forzameno (eq. dfferenzale non omogenea) Propreà noevol Esempo: L = L 2 s s s N Ms O z QP = δ () δ ( τ) dτ = dτ = 2 z CONIUGATO F(s*)=F*(s) s*= conugao d s Essono abelle d rasformae e d ANTITRASFORMATE :^) 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 2
13 Carrellno con aro vscoso e forza applcaa ngresso: fe = δ () Fe() s = s equazon: Mv = fe( ) Dv Esempo elemenare f e f a = M Dx ẋ M= D= Coeffcene d aro v()= [ ] M sv () s v() = F () s DV () s [ sm + D] V ( s) = F ( s) e e L V() s = Fe () s = Ms+ D s+ s s lm s = s s + s 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 3
14 Esempo elemenare Vs () B A As + A + Bs = + = = s + s ( s+ ) s s s + δ - () δ - -e - s L - e - L O L v () = L NM L L () s s + QP = N M O L O QP s + NM QP s + = δ e La rasformaa della somma è uguale alla somma delle rasformae Abbamo rsolo l eq. dfferenzale rame un eq. algebrca 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 4
15 Inversone delle L-rasformae Paramo da un rapporo d polnom, n quano consderamo ssem a cosan concenrae (n genere ), m n per la causalà as = a n s n +a n- s n a =a n (s-p n )...(s-p ) p : pol della rasformaa zer del denomnaore Fs () N() s Ds () = = bs as n Ns () bn R = + Ds () a ( s p) n R :Resdu Espansone n frazon parzal: R s p N () s = lm ( ) se p pj Ds () s p n praca pol semplc N( p ) p p a ( p p )...( p p )...( p p ) ( ) n n 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 5
16 Se l k-mo polo compare r vole, lo svluppo prende quesa forma: () (2) ( r ) k k k k k k R R R s p ( s p ) ( s p ) con ( r j) ( j) d r N( s) Rk = lm ( s p ) ( r j) k s p k ( r j)! ds D( s) L L M N r Pol Real Mulpl ( s p) ( h) ( h) ( h ) p R P R e = h ( s p) ( h )! p e con p< O Q 2 Essono anche pol compless mulpl, con analogo comporameno 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 6
17 Esemp pol real mulpl Esempo pco r = 2 R d L N = lm ( s pk) Rk lm ( s pk ) p ds D s p () 2 ( 2) 2 k s k NM O L QP = NM k N D O QP f s L δ = = ()a s 2 2 s s Calcolando resdu, s rrovano coeff. corre Una rasformaa con 2 pol nell orgne R R () ( 2) d = ds s = ; a a f s= = s = f s= 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 7
18 Paramer de pol real semplc Convene defnre de paramer prac per caraerzzare gl andamen Pol real Y ()= s bs s p ( ) a f... y()= Re y ( ) = Rp p R τ R : ampezza del modo τ = Cosane d empo p Se l modo è convergene [ p < ] s può consderare esno per > 3τ y( 3τ ) = 5% y( ) 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 8
19 Y () s = j ϕ d ω n =pulsazone naurale, ζ :coeffcene d smorzameno Paramer de pol compless conuga bs 2 s + a s+ a (...) jϕ Anrasformaa R= Re, R* = Re ; p= σ + jω ( ) ( ) ( ) ( ) () j ϕ σ+ jω j ϕ σ jω σ j ω+ ϕ j ω+ ϕ σ y = Re e + Re e = Re e e + = 2Re cos( ω+ ϕ ) ( ) Termnologa ( s p)( s p*) = s 2σs+ ω + σ = s + 2ζωns+ ωn ζ pol sono real ζ < dverge p2, = ζω n ± ζ ω n ω n Radc p = σ + jω, p ; Resdu R, R Re σ 2π/ω * * ζ = cosψ σ ψ ω n I m ω R e 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 9
20 Andamen vs. poszone de Pol Una W(s) razonale* s faorzza n ermn del po: * Aenzone: essono R W(s) non razonal! nel empo R h e p : h ( s p) ( h )! e solo Combnazon Lnear d ess compaono nelle evoluzon lbere dello sao e delle usce. La convergenza a dpende da p ed h I I R R e R e [p] h= h=2 h=3 2 /2 convergen = non convergen 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 2
21 L G() s L con G(s) razonale, è somma d Esponenzal Snusod smorzae Polnom() = L N M Ns () Ds () Polnom x esponenzal Raramene mpuls δ( ) O QP p e e a s a sn( ω+ ϕ) 2,,,... Andamen elemenar 2 s + as + b,,, s s s e a 2 ( s a) (per ). Il loro numero è par al grado del denomnaore (le snusod conano per 2) 2. La poszone de pol sul pano s, deermna gl andamen 3. La convergenza a dpende da Re[p ] 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 2
22 $SSOLFD]LRQHDOOH HT GLII,QJUHVVR8VFLWD Eq. dff. ordnara, lneare, sazonara, ordne=n : LPPC Q D G \ D G\ D \ W E G X Q EXW Q + ( ) = P ( ) GW GW P GW P Q Q G \() W Q Q Q 2 ( Q ) Q Q N ( N) L V< ( V) V \() V \()... \ () V< ( V) V \ () Q = = GW. = condzon nzal qund: Q ( Q ) P ( P ) Q \ = P X DV< ( V)... DV< ( V) D< ( V ) &, ( V) EV8( V)... E8( V ) &, ( V) rsolvendo per Y(s) E V E <V P P ( Q ) &,\ () V &, ( V 8V X P ) () () = () + DV +... D DV... D DV... D Q Q $ Q Q % Q Q & as n as + a Il denomnaore n compare n u gl addend. E l polnomo caraersco (dell eq. omogenea) 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
23 Applcazone alle eq. dff. Ingresso Usca bs CI y CIu Y() s = U() s + as as as A B C bs Gs ()= as Funzone d Trasfermeno del ssema descro dall equazone dff. I ermn A e C sono null se u() B rappresena l evoluzone lbera del ssema In parcolare, C è nullo se u()= per Den(C) = Den(B) Se l evoluzone lbera (B) converge, converge anche C. Den(A) conene pol d B + quell della rasformaa dell ngresso. I mod presen nell usca sono quell propr del ssema + quell dell ngresso Prmo crero nuvo d sabla: è sable se basa azzerare l ngresso per rporare l ssema a rposo! Se mod del Ssema convergono a zero nel lungo perodo rmangono solo quell dell ngresso: IL SISTEMA E STABILE 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 23
24 Decomposzone della Rsposa bs CI y CIu Y() s = U() s + as as as CI y Lbera: U () = Us () Ys () = + as CIu as Forzaa: bs CI y CIu CI Y ( s) = U ( s) + as as as y SSE l ssema e sable : R ransoro: prma dell esnzone de mod naural del ssema Forzaa S permanene : dopo rmane solo la pare con pol dell ngresso T errore! = se u()= < 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 24
25 Amplude Rsposa d una coppa Cplx Conj Sep Response ω = Rsposa al gradno: gradno (permanene) oscllazone (ransoro) Tme (sec) Al dmnure d ζ, aumena l comporameno oscllaoro Per ζ = s ha una snusode norno a ( pol sono a Re[ ]=, ssema non asnocamene sable). 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 25
26 Mod propr del ssema bs L anrasformaa d: Gs è composa da (è combnazone lneare d...): as Esponenzal a ()= a e, e sn( ω + ϕ ) 2 3 Polnom del empo: ( = cos),,, ! Polnom() per esponenzal: e a Evenualmene Impuls nell orgne (al lme della causalà): δ () Sono MODI NATURALI del Ssema. Il loro numero è par all ordne dell eq. dfferenzale ( le snusod conano per 2) Le caraersche del ssema s rfleono sulla poszone de pol sul pano s (Re[s], Im[s]). La convergenza dpende dalla loro pare reale (deve essere Re[p ]<) Sablà asnoca d un Ssema LPPC <==> Re[p ]< 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 26
27 Caraersche della Funz. d Trasfermeno Un Σ è descro (quas*) compleamene dalla sua funzone d rasfermeno af= GS b s + + b m a s n m n + + a * salvo cancellazon L anals della G(s) c permee d deermnare faclmene:. Sablà asnoca: Re p < 2. Velocà d convergenza: maggore se R p mnore 3. Comporameno oscllaoro: p p j compless = * e 4. Valore per dell usca (regme): lm s sgs ( ) U( s) spesso u() = δ () U( s) = s 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 27
28 Precsazon per Re[s]= Sablà asnoca se Re p < p p < polo semplce lm e < polo ad es. doppo lm e comunque Re p = p Cosa succede se? Dalle espresson preceden, Se semplce, l evoluzone lbera conene una cosane (sable non asnocamene) Se mulplo, conene una rampa, una parabola, ecc. (nsable) Per pol mmagnar pur, s hanno snusod (se pol semplc) o dvergen polnomalmene (se pol mulpl) p 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 28
29 Cos è l anrasformaa d G(s)? Y() s = G() s U() s C.I.= Assumamo U(s)= u()=δ() mpulso Y(s)=G(s) y()=g() Rsposa Impulsva Ma anche (con la convoluzone) : Inolre se: u () = δ () Us ()= gradno s G() s z Ys () = y() = g( τ) dτ = g () s area unara δ () d= 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 29 z y () = u( τ) g ( τ) dτ = δ() g ( τ) dτ = g () Rsposa Indcale (negrale d quella mpulsva)
![soluz. dell omogenea sep Σ y() >6 y()=l - [F(s)/s], Rsp.](/docs-images/93/113450142/images/30-1.jpg "Transora Permanene 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.")
30 Esempo n Maple eq. dff. LPPC modello d un Σ: FdT: soluz. dell omogenea: L - [F(s)]: Rsposa mpulsva = una parcolare soluz. dell omogenea sep Σ y() >6 y()=l - [F(s)/s], Rsp. Transora Permanene 29/9/2 Unversà degl Sud Roma Tre G.U -FdA- 3
31 ngresso: IH = δ () W ) H() V = V nullo per < Î CI u =, CI y = equazon: Y = I () W 'Y H [ ] V9() V Y () = ) () V '9() V $SSOLFD]LRQHDO&DUUHOOLQR H f e f M a = Dx x M= D= Ma v()=.5 Y().5 9() V = ) H() V + = + V + ' V + ' V + V V + Polo d G(s): - Polo della rsp. lbera: - Pol d V(s): -, A B v() A: rsposa forzaa, ngresso+ssema B: rsposa lbera, solo ssema v A B 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
32 Dopo 5 second, la forza orna a 8QLQJUHVVRSLFRPSOHVVR Possamo sudare la rsposa all ngresso: δ () W δ ( W 5) oppure consderare l evoluzone lbera da =5 S oene comunque: Se u() orna a zero, l ssema orna a rposo Î Sablà Asnoca Re[p ]< 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
33 ,QJUHVVLH5LVSRVWH&DQRQLFKH. La rsposa mpulsva è d scarso neresse praco (gl mpuls non essono fscamene), ma è mporane, perché consene d vedere u e sol mod del ssema 2. Le rspose canonche (ul) s rcavano negrando quella mpulsva δ () W δ () W δ () W 2 y= y=/2 I GW I GW w(): rsposa mpulsva w - (): rsposa al gradno (rsp.ndcale) (*) w -2 (): rsposa alla rampa E sulla seconda (*) che s defnscono le specfche d progeo nel domno del empo 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
34 $OFXQH7UDVIRUPDWH Trasformaa degl ngress canonc: f () δ() δ () δ 2() = δ k() = k- / (k-)! Fs () / s 2 / s / s k negral Alr ngress molo ul sono: sn( ω) e cos( ω ), ω = ω ω 2 σ σ sn( ω) cos( ω) e sn( ω) e cos( ω) s ω s ω s + σ ω s + ω ( s+ σ) + ω ( s + σ) + ω s ulzza L σ e f() = F( s+ σ) 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
![I W J() W = I() W I2() W = I( W τ) I2( τ) Gτ f () &RQYROX]LRQHIDFROWDWLYR f 2 () Rappresenazone grafca: / J() W = / I () W / I () W 2 I 2 I VW Dm: *V () = I( W τ) I () τ Gτ H GW= f 2 () f ( -τ) τ I](/docs-images/93/113450142/images/35-0.jpg "I 2 VW = I ( τ) I ( W τ) H GW Gτ = L d funzone rardaa Il valore d g() n dpende dal passao I I Vτ Vτ 2 2 = I () τ ) () V H G τ = ) () V I () τ H Gτ = ) () V ) () V 2 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ")
35 I W J() W = I() W I2() W = I( W τ) I2( τ) Gτ f () &RQYROX]LRQHIDFROWDWLYR f 2 () Rappresenazone grafca: / J() W = / I () W / I () W 2 I 2 I VW Dm: *V () = I( W τ) I () τ Gτ H GW= f 2 () f ( -τ) τ I I 2 VW = I ( τ) I ( W τ) H GW Gτ = L d funzone rardaa Il valore d g() n dpende dal passao I I Vτ Vτ 2 2 = I () τ ) () V H G τ = ) () V I () τ H Gτ = ) () V ) () V 2 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
36 Dm: IW 'LPRVWUD]LRQL,VWUXWWLYHIDFROWDWLYR IW /IW () = )V (); / I( τ) Gτ = V )V () / I ()( τ J W τ) G τ = )() V * () V J() W = = cos W ( SHU W > : J() W = δ ()) W [ ( τ) ] ( ) [ ( )] / I = ) V / W = /IW ( ) = V)V () I( ) δ V Dm: IW I( τ) Gτ = I( W) I( ) V / I W ) V I ( ) ( ) = () V / ( W) = () ( ) 8QLYHUVLWjGHJOL6WXGL 5RPD7UHµ *8)G$
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Crcu el secono orne Un crcuo el secono orne è caraerzzao a un equazone fferenzale el secono orne I crcu el secono orne conengono una o pù ressenze e ue elemen namc L e/o C Teora e Crcu Prof. Luca Perregrn
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