Trasformate e sistemi lineari

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1 Traformae e em lnear Traformaa d Laplace Funzone d Trafermeno Mod Rpoa Impulva Calcolo dell uca noo l ngreo (ved Marro par. 2. a 2.3,2.5, C 2.2, C 2.3) (ved Vell-Peernella par. II. a II.4, III. a III.3) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

2 Meod d calcolo baa ulla Traformaa d Laplace S poono operare delle raformazon u egnal nel domno del empo (o dello pazo) n modo da: meere n evdenza le caraerche perodche o peudoperodche del egnale (domno della frequenza); faclare alcune operazon maemache, qual l negrazone o la dervazone, rendendole puramene algebrche. Formalmene la Traformaa d Laplace F() d una funzone f() è l negrale: f() = L[ f()] = e f() d z con = + j f = < σ ω ( ( ), ) * hp ecnche: f() ommable z : è deermnao e fno F() = :Re[] Re[ ] β. S β = aca d convergenza Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 2

3 Una Traformaa Fondamenale f()= R S T e p > p può eere anche compleo p> p= p< p F e e d p e ( p ) ( ) = = = e Re[ ] > Re[ p] p z p Le [ ]= p Le jω = ule per raformare jω n() e co() δ () = RST > L K K = L Kδ () = Gradno, ep, f. d Heavde: δ () Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 3

4 Propreà noevol LINEARITA L[c f ()+c 2 f 2 ()]=c F ()+c 2 F 2 () a Le = z a e e d = ESPONENZIALE a SINUSOIDE L M N jω jω L L e n Ω = e P = j O Q Ω Ω ESPONENZIALE FUNZIONE del TEMPO a ( a) z Le f() = e f() d= F( a) exp(-a)n(omega*) TRASLAZIONE L ( a ) f ( a ) = e F ( ) δ a a Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 4

5 Propreà noevol TEOREMA del VALORE FINALE TEOREMA del VALORE INIZIALE lm f ( ) = lm F( ) lm f( ) = lm F( ) + INTEGRAZIONE DERIVAZIONE L f( ) dτ = F( ) d df L f ( ) = e d = negrando per par = F( ) f () d d 2 d 2 f F f 2 = L ( ) ( ) ( ) d per f ( ) = 3 d 3 L f ( ) F( ) 3 = d è empre da leggere - Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 5 df d = (e pare uo da )

6 Dmorazon Iruve (facolavo) z Lf () = F (); L f( τ) dτ = F () Dm: z L f ()( τ g τ) dτ = F() G() g() = = co ( per > : g() = δ ()) [ ( τ) ] ( ) [ ( )] L f = F L = Lf ( ) = F () f( ) δ Dm: z f ( τ) dτ = f( ) f( ) L f F f ( ) ( ) = () Lf ( ) = F () f( ) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 6

7 Propreà noevol CONVOLUZIONE NEL TEMPO L[ f ( ) g( τ) dτ ] F ( ) G( ) un prodoo! L eg e u a ( τ ).. ( τ ) ulma per l calcolo della rpoa al forzameno (eq. dfferenzale non omogenea) Eempo: L = L 2 N M O z QP = δ () δ ( τ) dτ = dτ = 2 z CONIUGATO F(*)=F*() *= conugao d Eono abelle d raformae e d ANTITRASFORMATE :^) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 7

8 z g() = f() f2() = f( τ) f2( τ) dτ f () Convoluzone (facolavo) f 2 () Rappreenazone grafca: L g() = L f () L f () Dm: 2 z 2 z G () = f( τ) f () τ dτ e d= f 2 () f ( -τ) τ z z 2 = f ( τ) f ( τ) e d dτ = L d funzone rardaa Il valore d g() n dpende dal paao z z τ τ 2 2 = f () τ F () e dτ = F () f () τ e dτ = F () F () 2 Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 8

9 Carrellno con aro vcoo e forza applcaa ngreo: equazon: fe = δ () Fe() = Mv = f () e Dv Eempo elemenare f e f a = M Dx x M= D= Coeffcene d aro v()= [ ] M V () v() = F () DV () [ M + D] V () = F () e e L V() = Fe () = M+ D + lm = + Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 9

10 Eempo elemenare V () B A A + A + B = + = = + ( + ) + δ - () δ - -e - L - e - L O L v () = L NM L L () + QP = N M O L O QP + NM QP + = δ e La raformaa della omma è uguale alla omma delle raformae Abbamo rolo l eq. dfferenzale rame un eq. algebrca Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

11 Inverone delle L-raformae Paramo da un rapporo d polnom, n quano conderamo em a coan concenrae (n genere ), m n per la caualà a = a n n +a n- n a =a n (-p n )...(-p ) p : pol della raformaa zer del denomnaore F () N() D () = = b a n N () bn R = + D () a ( p) n R :Redu Epanone n frazon parzal: R p N () = lm ( ) e p pj D () p n praca pol emplc N( p ) p p a ( p p )...( p p )...( p p ) ( ) n n Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

12 Se l k-mo polo compare r vole, lo vluppo prende quea forma: () (2) ( r ) k k k k k k R R R p ( p ) ( p ) con ( r j) ( j) d r N( ) Rk = lm ( p ) ( r j) k p k ( r j)! d D( ) r Pol Real Mulpl L L M N O Q ( h) ( h) ( h ) p R P R e = h ( p) ( h )! p ( p) 2 e con p< Eono anche pol comple mulpl, con analogo comporameno Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 2

13 Eemp pol real mulpl Eempo pco r = 2 R d L N = lm ( pk) Rk lm ( pk ) p d D p () 2 ( 2) 2 k k NM O L QP = k NM N D O QP L δ = = ()a f 2 2 Una raformaa con 2 pol nell orgne Calcolando redu, rrovano coeff. corre R R () ( 2) d = d = ; a a f = = = f = Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 3

14 Paramer de pol real emplc Convene defnre de paramer prac per caraerzzare gl andamen Pol real Y ()= b p ( ) a f... y()= Re y ( ) = Rp p R τ R : ampezza del modo τ = Coane d empo p Se l modo è convergene [ p < ] può conderare eno per > 3τ y( 3τ ) = 5% y( ) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 4

15 Y () = j ϕ d 2 b + a + a (...) jϕ Paramer de pol comple conuga Radc p = σ + jω, p ; Redu R, R Anraformaa * * R= Re, R* = Re ; p= σ + jω ( j ) ( j ) j( ) j( ) y () Re jϕ σ+ ω e Re jϕ σ ω e Re σ ω + ϕ ω + ϕ = + = e e + = 2Re σ co( ω+ ϕ ) ω n =pulazone naurale, ζ :coeffcene d morzameno ( ) Termnologa ( p)( p*) = 2σ + ω + σ = + 2ζωn+ ωn ζ pol ono real ζ < dverge p2, = ζω n ± ζ ω n ω n Re σ 2π/ω ζ = coψ σ ψ ω n I m ω R e Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 5

16 Una W() razonale* faorzza n ermn del po: h p R ( p) h nel empo R : e ( h )! Andamen v. pozone de Pol e olo Combnazon Lnear d e compaono nelle evoluzon lbere dello ao e delle uce. La convergenza a dpende da p ed h I * Aenzone: eono W() non razonal! I R R e R e [p] h= h=2 h=3 2 /2 convergen = non convergen Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 6

17 Andamen elemenar L G() L = L N M N () D () con G() razonale, è omma d Eponenzal Snuod morzae Polnom() Polnom x eponenzal Raramene mpul δ( ) e O QP σ e a n( ω + ϕ) 2,,,... 2 e a (per ) a 2 + a + b,,, ( a) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer Il loro numero è par al grado del denomnaore (le nuod conano per 2) 2. La pozone de pol ul pano, deermna gl andamen 3. La convergenza a dpende da Re[p ]

18 Applcazone alle eq. dff. Ingreo Uca Eq. dff. ordnara, lneare, azonara, ordne=n : LPPC n a d y a dy a y b d u n bu n + ( ) = m ( ) d d m d m n n d y() n n n 2 ( n ) n n k ( k) L Y( ) y() y()... y () Y( ) y () n = = d K = condzon nzal qund: n ( n ) m ( m ) n y = m u a Y( )... ay( ) a Y( ) CI ( ) b U( )... bu( ) CI ( ) rolvendo per Y() b b CIy () CI () Y () = U a n n () a a... a a... a m m A a n a + a ( n ) ( u m ) n n B n n C Il denomnaore n compare n u gl addend. E l polnomo caraerco (dell eq. omogenea) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 8

19 b CI y CIu Y() = U() + a a a A Applcazone alle eq. dff. Ingreo Uca B C b G ()= a Funzone d Trafermeno del ema decro dall equazone dff. I ermn A e C ono null e u() B rappreena l evoluzone lbera del ema In parcolare, C è nullo e u()= per Den(C) = Den(B) Se l evoluzone lbera (B) converge, converge anche C. Den(A) conene pol d B + quell della raformaa dell ngreo. I mod preen nell uca ono quell propr del ema + quell dell ngreo Prmo crero nuvo d abla: è able e baa azzerare l ngreo per rporare l ema a rpoo! Se mod del Sema convergono a zero nel lungo perodo rmangono olo quell dell ngreo: IL SISTEMA E STABILE Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 9

20 Decompozone della Rpoa b CI y CIu Y() = U() + a a a Lbera: CI y U () = U () Y ( ) = + a CIu a Forzaa: b CI y CIu CI Y ( ) = U ( ) + a a a y SSE l ema e able : R ranoro: prma dell enzone de mod naural del ema Forzaa S permanene : dopo rmane olo la pare con pol dell ngreo T errore! = e u()= < Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 2

21 Amplude Rpoa d una coppa Cplx Conj Sep Repone ω = Rpoa al gradno: gradno (permanene) ocllazone (ranoro) Tme (ec) Al dmnure d ζ, aumena l comporameno ocllaoro Per ζ = ha una nuode norno a ( pol ono a Re[ ]=, ema non anocamene able). Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 2

22 Mod propr del ema b L anraformaa d: G ()= è compoa da (è combnazone lneare d...): a a a Eponenzal e, e n( ω + ϕ ) 2 3 Polnom del empo: ( = co),,, ! Polnom() per eponenzal: e a Evenualmene Impul nell orgne (al lme della caualà): δ () Sono MODI NATURALI del Sema. Il loro numero è par all ordne dell eq. dfferenzale ( le nuod conano per 2) Le caraerche del ema rfleono ulla pozone de pol ul pano (Re[], Im[]). La convergenza dpende dalla loro pare reale (deve eere Re[p ]<) Sablà anoca d un Sema LPPC <==> Re[p ]< Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 22

23 Caraerche della Funz. d Trafermeno Un Σ è decro (qua*) compleamene dalla ua funzone d rafermeno af= GS b + + b m a n m n + + a L anal della G() c permee d deermnare faclmene: * alvo cancellazon. Sablà anoca: Re p < 2. Velocà d convergenza: maggore e R p mnore 3. Comporameno ocllaoro: p p j comple = * e 4. Valore per dell uca (regme): lm G ( ) U( ) peo u() = δ () U( ) = Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 23

24 Precazon per Re[]= Sablà anoca e Re p < p p < polo emplce lm e < polo ad e. doppo lm e comunque Re p = p Coa uccede e? Dalle epreon preceden, Se emplce, l evoluzone lbera conene una coane (able non anocamene) Se mulplo, conene una rampa, una parabola, ecc. (nable) Per pol mmagnar pur, hanno nuod (e pol emplc) o dvergen polnomalmene (e pol mulpl) p Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 24

25 Co è l anraformaa d G()? Y() = G() U() C.I.= Aumamo U()= u()=δ() mpulo Y()=G() y()=g() Rpoa Impulva Ma anche (con la convoluzone) : Inolre e: u() () Y () = = δ G() area unara δ () d= Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 25 z y() = u( τ) g( τ) dτ = δ() g( τ) dτ = g() U()= gradno z y() = g( τ) dτ = g () Rpoa Indcale (negrale d quella mpulva)

26 Eempo n Maple eq. dff. LPPC modello d un Σ: FdT: oluz. dell omogenea: L - [F()]: Rpoa mpulva = una parcolare oluz. dell omogenea ep Σ y() >6 y()=l - [F()/], Rp. Tranora Permanene Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 26

27 ngreo: fe = δ () Fe() = nullo per < CI u =, CI y = equazon: Mv = f () Dv e [ ] M V () v() = F () DV () e Applcazone al Carrellno f e f M a = Dx x M= D= Ma v()=.5 v().5 V() = Fe () + = + M+ D M+ D + + Polo d G(): - Polo della rp. lbera: - Pol d V(): -, A B v() A: rpoa forzaa, ngreo+ema B: rpoa lbera, olo ema v A B Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 27

28 Un ngreo pù compleo Dopo 5 econd, la forza orna a Poamo udare la rpoa all ngreo: oppure conderare l evoluzone lbera da =5 S oene comunque: δ () δ ( 5) Se u() orna a zero, l ema orna a rpoo Sablà Anoca Re[p ]< Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 28

29 Ingre e Rpoe Canonche. La rpoa mpulva è d caro neree praco (gl mpul non eono fcamene), ma è mporane, perché conene d vedere u e ol mod del ema 2. Le rpoe canonche (ul) rcavano negrando quella mpulva δ () δ () δ 2( ) y= y=/2 z z d d w(): rpoa mpulva w - (): rpoa al gradno (rp.ndcale) (*) w -2 (): rpoa alla rampa E ulla econda (*) che defncono le pecfche d progeo nel domno del empo Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 29

30 Alcune Traformae Traformaa degl ngre canonc: f () δ() δ () δ 2() = δ k() = k- / (k-)! F () / 2 / / k negral Alr ngre molo ul ono: n( ω) e co( ω ), ω = ω ω 2 σ σ n( ω) co( ω) e n( ω) e co( ω) ω ω + σ ω + ω ( + σ) + ω ( + σ) + ω σ ulzza L e f() = F( + σ) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 3