Modelli nel dominio della pulsazione complessa s

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1 Modello VS: Modell el domo della pulaoe complea x&( t) Ax() t Bu() t yt () Cxt () Dut () x() x( ) Ax() Bu () y () Cx () Du () x() ( I A) Bu() ( I A) x() [ ] y () CI ( A) B Du () CI ( A) x() evoluoe forata evoluoe lbera

2 Modello I/O ( ) ( ) y a y L a y& a y& a y y() L a y() a y() Y () ( m) bu L bu& bu& bu m m b u () L bu () bu () U () m m b m L b b y () u () L a a evoluoe forata Y () U () o L a a evoluoe lbera

3 Modello I/O: fuoe d trafermeto (fdt) G ()& y () u () codo al ulle { ( )} t y δ G CI A B D C I A B adj( ) () ( ) det( I A) D G () m b L b b m L a a Per tem lear varat G() è ua fuoe raoale: G () N (), dove N( ) e D( ) oo polom D () 3

4 Il paaggo VS fdt è dato dalla relaoe G( ) m bm L b b L a a C( I A) C adj( I det( I C adj( I B A) A) B D A) B Ddet( I det( I A) D A) 4

5 Il paaggo fdt VS o è uvoco. Eempo: m b L b m L b b G () L a a O O A O O, a a L L a B M M [ L L ] C b b a b b a b b a, D b m m 5

6 6 Il paaggo fdt VS o è uvoco. Eempo: [ ] m m m m b D C b a b b a b b a b B a a a A a a b b b b G,, ) ( L M M M O M O O L L L

7 7 Il paaggo fdt VS o è uvoco. Eempo (λ real dt.): [ ] [ ], o o,... ) ( r D r r r C r r r B A r r r r a a b b b b G m m L L M M M M O O L L L λ λ λ λ λ λ

8 Aal della damca (tem lear) x() ( I A) Bu() ( I A) x() y () Cadj( I A) B det( I A) D Cadj( I A) x( ) u () ( I A) det det( I A) evoluoe forata evoluoe lbera N() N () D() m b m L b b y () u () L a a evoluoe forata pote emplfcatva: u () N D u u Y () U () o L a a () () evoluoe lbera 8

9 9 pote emplfcatva: D() e D u () hao radc dtte evoluoe lbera evoluoe forata ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ u u u u u u r r r y D D D N D N D N y u u

10 Applcado l attraformata d Laplace: u λt λut λ yt () re re u re evoluoe forata evoluoe lbera t e e λ t λ u t & & mod propr mod forat l evoluoe forata è ua combaoe leare d mod propr e d mod forat; l evoluoe lbera è ua combaoe leare d mod propr; el cao d pol comple cougat e/o multpl, rultat aumoo forma mle.

11 Eempo: trovare la rpota el tempo del tema decrtto dalla fdt G(), co greo a grado ampo 5, da codo al Y G () ( )( 3) ut () 5 5 u () y( ) Y y&( ) mod propr modo for. 678 mod propr t 3t t t t oluoe: yt () e e4444 e3 44 e 44 e3 ev. for. 3e e e t 3t t ev. lb.

12 fdt: G () N () D () pol: radc del deomatore er: radc del umeratore guadago taoaro: { } { A} { } D () λ autval. N() ζ K lm G(), t { } co umero d tegrator defoe: mbolo guadago d pooe K p veloctà K v acceleraoe K a

13 cotat d tempo: τ (pol real) λ τ λ τ σ ( σ parte reale pol compl. co.) guadago a : { m ()} K lm G Defte le precedet gradee, è poble rappreetare la fdt dver mod; d volta volta, bae al problema correte, potrà ceglere la forma pù coveete. 3

14 Rappreetao della fdt: forme caoche polomale: fattorata: G () m b L b b m L a a ( G K ζ ) L( ζ m) () ( λ ) L( λ ) frao paral: G( ) r r λ λ L (pol emplc) cotat d tempo: L ζ ζ ' m G( ) K t L τ λ ' λ τ 4

15 Mod del prmo orde Il modo del prmo orde corrpode a u polo reale: g( ) K λ g( t) Ke λ t forma grafca 5

16 .8 Mod propr del prmo orde: exp(lambda*t) co lambda-, -,, λ lambda.6.4 Ampee Tempo t 6

17 Rpota al grado utaro G( ), y( t) e τ t τ 7

18 Mod del ecodo orde Il modo del ecodo orde corrpode a ua coppa d pol comple e cougat σ ± jω o g () 4b a 4> 43 K a b K ( σ jω o)( σ jω o) K ζω ω K gt e σt () ( ω o t ) forma grafca ω T o o o π, τ ω σ 8

19 Parametr d u modo propro del ecodo orde jω o ω α e( α) ζ σ ω σ σ ζω ω o ω ζ -jω o ω α σ arcta ω o σ ω o 9

20 Mod propr del ecodo orde: exp(-*w*t)*[w*t*(-^)^.5] co.9,.5 ζ ω w.5 Ampee Tempo ormalato w*t

21 Rpota al grado utaro σ ω ω ω ω ζ ω ζ ζ ω ζω ω σ ζω o o t o t t e t e t y G arcta arcta ) (, ) ( l prodotto ω t può defre come uova varable dpedete (tempo ormalato)

22 .o orde: rpota al grado utaro t r ŝ ± ε Ampea t tˆ ω t ε t

23 Pol c.c: parametr carattertc della rpota al grado ŝ : ovraelogaoe mama relatva; tˆ : tempo corrpodete alla ŝ; t : tempo d alta; t r : tempo d alta % 9% t ε : tempo d aetameto a ±ε. 3

24 4 Pol c.c: parametr carattertc della rpota al grado ( ) (**) (*) l arcta ˆ ˆ ζ ζ ε ω ζ ω ζ ζ π ζ ω ω π ζ π ω ε ω σ π ζ πζ t t t t e e r o o ( * ) Fuoe appromate la oluoe umerca. ( ** ) I realtà l vero tempo d aetameto a ±ε è leggermete ferore.

25 Boler, Scattol, Schavo: Fodamet d cotroll automatc, McGraw-Hll 5

26 Boler, Scattol, Schavo: Fodamet d cotroll automatc, McGraw-Hll 6

27 TRASFORMATA Z (varabl caual:, < ) defoe: Y() propretà della traformata Z: Z - j {y()} y(j) co C j Y() Z {y()} ; X() Z {x()} - leartà: - leartà: 3 - hft detro: 4 - hft avat: 5 - hft compleo: Z{y() x()} Y() Z{a y()} a Y() Z{y( Z{y( Z{e a ovvero - k)} k)} y()} Z{b -k k Y( Y() Y() e y()} X() -a ) - k - j y(j) Y(/b) k - j 7

28 TRASFORMATA Z 6 - covoluoe el tempo: Z{y() x()} Y() X() 7 - covoluoe complea: Z{y() x()} Y() X() 8 - dervata parale: Z{ y(,a)} Y(, a) a a 9 - uctà: y() x() Y() X() - teorema del valore ale: - teorema del valore fale: lm lm - veroe: Y() y() d πj y() y() lm Y() lm {( -) Y()} () (o) ( ) () (o) ( ) v() y() x() j y(j) x( j) j x(j) y( j) R() Y() U() Y(w) U(/w) dw/w U(w) Y(/w) dw/w πj πj vero olo e (- - )Y() ha pol co modulo more d j x(j) y( j) 8

29 TRASFORMATA Z 3 - ommatora: 4 - dfferea: y(j) Z j Z{y() - y(-)} ( Y() ) Y() N 5 - y(.) co perodo N: Z{ y()} Z{y ()} N N dy() 6 - dervata : Z{ y()} d è coveete utlare le tavole delle traformate Z 9

30 SISTEMI DISCRETI tema dcreto damco cauale: u() S y() u() S y() 3

31 RAPPRESENTAZIONI varabl d tato: x() A x() B u() y() C x() D u() x() X Z X() (I - A) - B U() (I - A) - X Y() [C (I - A) - B D] U() C(I - A) - X evoluoe forata evoluoe lbera è qud defta la fuoe d trafermeto: G() Y() C(I A) U() B D C adj(i A)B D det(i A) N() C adj(i A) B D det(i A) D() det(i A) pol f.d.t. autovalor d A N() D() 3

32 RAPPRESENTAZIONI a S ua matrce x vertble; defca u uovo tato : x Sx allora: x() SAS - x() SB u() y() CS - x() D u() ovvero x( ) A x() B u() y() C x() D u() la f.d.t. è ua varate del tema: G() C(I A) B D CS (SS SAS ) SB D C(IA) B D G() la f.d.t. o dpede dalla celta degl tat pol, er e guadago oo varat 3

33 RAPPRESENTAZIONI Quatere A, B, C, D f.d.t. G() S 33

34 RAPPRESENTAZIONI (d tem lear) y() a y(-) a y(-) b u() b m u(-m) codo al Z (e codo al ulle) Y() a - Y() a - Y() b U() b m -m U() S defca la fuoe d trafermeto G(): G() Y() U() b b a... b... a m m ovvero G() b b a a b m a m - N( ) D( ) { ζ { λ } er } pol N() D() 34

35 RAPPRESENTAZIONI N() D() { ζ { λ } } er pol K lm G() T K è l guadago taoaro d u tema dcreto ( è l tpo del tema, ovvero d tegrator, ovvero d pol ). 35

36 G() C(I A) b RAPPRESENTAZIONI B D... b b... a a varabl d tato forma caoca d cotrollo forma caoca d oervaoe K Π( ζ ) Π( λ ) j () cacata r k t k p q k k D (O) f.c. d Jorda ( ) a volte ζ λ (o) a volte r j j h o h t h 36

37 RAPPRESENTAZIONI (varabl d tato) D u() B x() - x() C y() A 37

38 RAPPRESENTAZIONI (forma caoca d cotrollo) A c a a..... a B c.. ' C c b b b a.. b a D c b G() b... b b... a a.... y b b - b b u - x ().... x 3 () - - x () x () -a - -a -a

39 RAPPRESENTAZIONI (forma caoca d oervaoe) A.. a a.. a B b b b b a b a.. b a C '.. D b u G() b... b b... a a.... b b b - b - x () - x ().... x - () - x () y -a -a -a

40 RAPPRESENTAZIONI (forma caoca d d Jorda) traformaoe ugl tat: S Q - dove: Q matrce modale d A (le coloe oo gl autovettor d A); eempo: A j λ... q k p k B j b b b.. j jk jk C ' j c c c.. j jk jk D j D b c j j r.. b k b q b c p jk c jk b jk c jk jk c jk b jk c jk k jk k k t k.. G() r λ... k p t k k q k... D 4

41 RAPPRESENTAZIONI (forma caoca d d Jorda) r - x () λ u p k - - x k () x k () x k () -q k k t k y D 4

42 SISTEMI DEL PRIMO ORDINE (polo λ; λ r) x y() r x y() x τ τ r cotate d tempo (.o pa) y() r x y() r 4

43 SISTEMI DEL PRIMO ORDINE (polo λ; λ r) x y() δ() x y() (-) r x y() (-) x y() (-) r 43

44 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (polo λ; λ r; λ f) x τ r cotate d tempo (.o pa) τ T T π f perodo ocllaoe (.o pa) x τ T x T 44

45 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (polo λ; λ r; λ f) x τ T x puto ale vluppo f T τ x τ T 45