Modellazione e controllo di sistemi dinamici

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1 Modellazione e controllo di sistemi dinamici Prof. Stefano Miani 1 1 Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica Università degli Studi di Udine tel: miani.stefano@uniud.it web:

2 Testo di riferimento Bolzern, Scattolini, Schiavoni Fondamenti di controlli automatici, 3/ed McGraw-Hill euro

3 Contenuti del corso Lezione 1: forma di stato e funzione di trasferimento Legame ingresso-uscita Struttura della f.d.t. Cancellazioni Invarianza della f.d.t. Passaggio da stato a f.d.t. Passaggio da f.d.t. a stato Rappresentazioni della f.d.t. Lezione 2: Rappresentazioni della f.d.t, risposta impulsiva F.d.t associata a un ritardo e ad azione proporzionale, integrale e derivativa Risposta impulsiva Risposta impulsiva di sistemi Lezione 3: risposta al gradino Risposta al gradino Schemi a blocchi Connessione serie Connessione parallelo Retroazione Forma di stato del sistema serie Cancellazioni Cancellazioni algebriche Risposta in frequenza Determinazione della c.i. A asintoticamente stabile Ingressi sinusoidali per sistemi asint. stabili Proprietá bloccanti degli zeri Segnali periodici Diagrammi di Bode Azione filtrante Modelli approssimanti

4 Legame tra forma di stato e funzione di trasferimento Sistema lineare e stazionario con u IR m, x IR n, y IR p. ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du sx (s) x(0) = AX (s) + BU(s) Y (s) = CX (s) + DU(s) X (s) = (si A) 1 x(0) + (si ( A) 1 BU(s) ) Y (s) = C (si A) 1 x(0) + C (si A) 1 + D U(s) } {{ } W (s)

5 X (s) = X el (s) + X ef (s) Y (s) = Y el (s) + Y ef (s) La f.d.t. W (s) contiene informazioni sul solo legame ingresso-uscita u(t) = δ(t) = U(s) = 1 = Y (s) = W (s) funzione di trasferimento = trasformata di Laplace della risposta all impulso g(t) Per u(t) generica vale y ef (t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ

6 Struttura della funzione di trasferimento per sistemi SISO (m = p = 1) W (s) = C (si A) 1 B + D (si A) 1 = adj(si A) det(si A) Numeratore: matrice n n di polinomi di grado al piú (n 1) Denominatore: φ A (s)=polinomio caratteristico della matrice A, di grado n C (si A) 1 B = n 1 (s) di grado (n 1) Cadj(sI A)B det(si A) = n 1(s) φ A (s)

7 W (s) = n 1(s) φ A (s) + d = n 1(s) + dφ A (s) = n(s) φ A (s) φ A (s) d 0 n(s) ha grado n. Se alcuni zeri z i di n(s) coincidono con gli autovalori di A (si dimostri che se ció accade allora ci sono cancellazioni tra gli zeri di n 1 (s) e gli zeri di φ A (s)) grado di W (s) é < n. Effettuate le cancellazioni, zeri del numeratore di W (s)=zeri della f.d.t. zeri del denominatore di W (s)=poli della f.d.t. poli autovalori

8 Invarianza della funzione di trasferimento ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du = G(s) = C(sI A) 1 B + D Cambio di base, T invertibile: ˆx = Tx  ˆB {}}{{}}{ ˆx = TAT 1 ˆx + TB u y = CT }{{ 1 } x + }{{} D u ˆD Ĉ Ĝ(s) = Ĉ(sI Â) 1 ˆB + ˆD = CT 1 (si TAT 1 ) 1 TB + D = Ĝ(s) = G(s)

9 Realizzazione ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du É univoco!!! W uy (s) = C(sI A) 1 B + D = Cadj(sI A)B det(si A) + D

10 W (s) di ordine n in forma minima: le forme di stato che la realizzano sono infinite. Le forme di stato di dimensione minima hanno n stati. W (s) = b ns n + b n 1 s n b 0 s n + a n 1 s n a 0 W (s) = d + b1 n 1 sn b0 1 s n + a n 1 s n a A = B =. 0 a 0 a 1 a 2... a n 1 1 C = [ b0 1 b bn 1 1 ] D = d

11 Zeri, poli e rappresentazioni Forma poli-zeri Forma di Bode G(s) = ρ i (s + z i) i (s2 + 2ζ i α ni s + α 2 ni ) s g i (s + p i) i (s2 + 2ξ i ω ni s + ω 2 ni ) G(s) = µ i (1 + sτ i) i (1 + 2ζ i s g i (1 + st i) i (1 + 2ξ i s α ni s ω ni + s2 ) α 2 ni + s2 ) ωni 2 Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G(s) G(s) é stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa g 0, T i > 0, ξ i > 0 G(s) propria (strettamente propria): grado numeratore inferiore o uguale (inferiore) a quello del denominatore

12 ρ: costante di trasferimento g: tipo z i, p i : zeri e poli reali α ni, ω ni : pulsazioni naturali delle coppie di zeri e poli complessi coniugati ζ i, ξ i : smorzamenti delle coppie di zeri e poli complessi coniugati µ: guadagno τ i, T i : costanti di tempo degli zeri e dei poli reali µ = ρ i τ i i α2 ni i Ti, τ i = 1, T i = 1 i ω2 ni z i p i

13 Ritardo, proporzionale, integrale e derivativa Dato il segnale u(t), il segnale ritardato di τ > 0 secondi é y(t) = u(t τ). Trasformando entrambi i membri si ottiene Y (s) = e sτ U(S) ovvero la f.d.t. associata al ritardo é G(s) = e sτ. Le f.d.t. associate all azione proporzionale, integrale e derivativa sono: G P (s) = K P G I (s) = 1 s G D (s) = s

14 Risposta impulsiva di sistemi elementari G(s) = K G(s) = ω 2 n s 2 +2ξω ns+ω 2 n g(t) = K K 1 + st g(t) = K T e t/t G(s) = 1 s g(t) = δ 1(t) G(s) = K g(t) = Kδ(t) ω n 1 ξ 2 e ξωnt sin (ω n t ) 1 ξ 2

15 Risposta impulsiva La risposta impulsiva del sistema G(s) = e sτ ρ i (s + z i) i (s2 + 2ζ i α ni s + α 2 ni ) s i (s + p i) i (s2 + 2ξ i ω ni s + ω 2 ni ) é esprimibile mediante scomposizione in fratti semplici { G(s) = e sτ µ s + K i + } α i s + β i s + p i s 2 + 2ξ i i i ω ni s + ωni 2 g(t) = g 1 (t τ)δ 1 (t τ) g 1 (t) = µδ 1 (t)+ i K i e p i t + i γ i e ξ i ω ni t cos(ω ni 1 ξ 2 i t+φ i)

16 Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1 s ) Y (s) = G(s)U(s) G(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 s n + a n 1 s n a 0 µ i (1 + sτ i) ( ( ) ) 2 s i 1 + 2ξ ni ω ni + s ω ni G(s) = s g i (1 + st i) ( ( ) ) 2 s i 1 + 2ξ di ω di + s ω di scomposizione come somma di risposte di sistemi elementari (vedi risp. impulsiva)

17 Parametri caratteristici della risposta al gradino y y max valore di regime valore massimo ymax y S% = 100 y sovraelongazione max % T M tempo di max sovraelongazione T s tempo di salita (y [0.1, 0.9]y ) T r tempo di ritardo (y(t r ) = 0.5y ) T aε tempo di assestamento all ε% ( y(t) y y ε)

18 Valore di regime, valore iniziale Dal teorema del valore finale Se m < n allora y(0) = lim s sg(s)1 s = G( ) (= 0 se m < n) ẏ(0) = lim s (sy (s) y(0)) = lim sg(s) s s Se il sistema e asintoticamente stabile (g 0) allora y = lim t y(t) = µ(1 + sgn(g))

19 Sistemi del primo ordine senza zeri G(s) = µ 1 + st, y(t) = µ ( 1 e t/t ) 1 Step Response Amplitude Time (sec) y S% T max T r T s T a5 T a1 µ T 2.2T 3T 4.6T

20 Sistema zero/polo G(s) = 1 + sτ 1 + st = τ (1 T + τ ) 1 T 1 + st ( ( τ ) ) y(t) = µ 1 + T 1 e t/t 2 Step Response τ /T = τ /T =0.5 Amplitude τ /T = 1 T aε = T ln 1 τ T 0.01ε Time (sec)

21 Sistema con due poli reali 1 G(s) = ( y(t) = δ 1 (t) G τ (s) = (1+sT 1 )(1+sT 2 ) = T 1 1 T 1 T 2 1+sT 1 T 2 1 T 1 T 2 1+sT T 1 T 2 ( T2 e t/t 2 T 1 e t/t τs = G(s) + τsg(s) (1 + st 1 ) (1 + st 2 ) y(t) Y (s) =0 {}}{ ẏ(t) sy (s) y(0) y τ (t) = y(t) + τẏ(t) ) )

22 G(s) = y(t) = µ µ 1+2ξs/ω n+(s/ω n) 2 ( ξ 2 e ξωnt sin ( ω n t ) ) 1 ξ 2 + arccos ξ ξ: smorzamento (critico=1) ω n : pulsazione naturale y µ S% 100 ξπ/ 1 ξ 2 T aɛ 1 ξω n ln 0.01ɛ

23 Schemi a blocchi Sistemi n-dimensionali, m = p = 1 (SISO) W (s) = n(s) (s d(s) = K zi ) (s pi ) r C(s) u P(s) y W ry (s) = P(s)C(s) = C(s)P(s)

24 r + C(s) + y P(s) W ry = C(s) + P(s)

25 r + C(s) P(s) y H(s) W ry (s) = C(s)P(s) 1 + H(s)C(s)P(s)

26 Serie: W 1 (s) = (A 1, B 1, C 1, D 1 ) e W 2 (s) = (A 2, B 2, C 2, D 2 ), u 2 = y 1 [ ] [ ] A1 0 B1 A tot = B B 2 C 1 A tot = 2 B 2 D 1 C tot = [ ] D 2 C 1 C 2 D tot = D 2 D 1 Esercizio: si determinino le forme di stato delle connessioni parallelo e retroazione. Si verifichi che per la connessione in retroazione in generale λ(a tot ) λ(a 1 ) λ(a 2 )

27 r s 3 u s+1 y s+2 s 3 W ry (s) = s + 1 s + 2 Il sistema non e internamente stabile, ovvero esistono c.i. per cui l uscita di evoluzione libera diverge. W 1 (s) : A 1 = 2, B 1 = 1, C 1 = 5, D 1 = 1 W 2 (s) : A 2 = 3, B 2 = 1, C 2 = 4, D 2 = 1 [ ] 2 0 A tot = 5 3

28 Le cancellazioni algebriche introdotte per semplificare la determinazione della fdt sono ammesse. L eventuale cancellazione zero-polo instabile e virtuale. r s+5 s 1 y r + 10 s+5 y 1 1 s 1 y 1 s 1 W ry (s) = 10 (s + 5)(s 1) + 10 W ry1 (s) = 10(s 1) (s + 5)(s 1) + 10 Nota: se il sistema di partenza avesse realmente avuto la rappresentazione con y 1, il sistema complessivo sarebbe risultato instabile internamente.

29 Risposta in frequenza ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) G(s) = C(sI A) 1 B + D (1) Dato u(t) = e λt+β, ˆx(0) tale che x(t) = ˆx(0)e λt+β? ẋ(t) = λˆx(0)e λt+β = Aˆx(0)e λt+β + Be λt+β λˆx(0)e λt+β = Aˆx(0)e λt+β + Be λt+β (2) ˆx(0) = (λi [ A) 1 B ] y(t) = C (λi A) 1 B + D e λt+β = G(λ)e λt+β

30 Cambio di variabile: Ingresso: u(t) = e λt+β x(t) = x(t) ˆx(0)e λt+β x(0) = x(0) ˆx(0)e β x(t) = ẋ(t) λˆx(0)e λt+β = = Ax(t) + Be λt+β Aˆx(0)e λt+β Be λt+β dove si e utilizzata l espressione (2)

31 Dunque (ricorda: x(t) = x(t) ˆx(0)e λt+β ) x(t) = Ax(t) Aˆx(0)e λt+β = A(x(t) ˆx(0)e λt+β ) = A x(t) A e asintoticamente stabile, allora x(0), ovvero, x(0): x(t) 0 = x(t) ˆx(0)e λt+β Riassumendo: se A e asintoticamente stabile, l uscita corrispondente all ingresso u(t) = e λt+β, per qualsiasi condizione iniziale, é tale che y(t) = Cx(t) + Du(t) ŷ(t) = G(λ)e λt+β

32 u(t) = sin(ωt + ϕ 0 ) = ej(ωt+ϕ0) e j(ωt+ϕ 0) = 2j = eλ 1t+β 1 e (λ 1t+β 1 ) 2j = u 1 u 2 2j Sistema lineare (sovrapposizione effetti) e A asintot. stabile = considero le due risposte asintotiche separatamente: y 1 = G(jω)e j(ωt+ϕ 0), y 2 = G( jω)e j(ωt+ϕ 0) y = y 1 y 2 2j

33 G(s) é la trasformata di un segnale reale: G( jω) = G(jω) G(jω) = G(jω) e G(jω) G( jω) = G(jω) e G(jω) y = y 1 y 2 = G(jω) ej(ωt+ϕ0+ G(jω)) e j(ωt+ϕ 0+ G(jω)) 2j 2j = G(jω) sin(ωt + ϕ 0 + G(jω)) Esercizio: si giunga allo stesso risultato mediante sviluppo di Heaviside della trasformata della risposta forzata. considerando l ingresso U(s) = ω s 2 +ω 2

34 G(λ) = 0 = il segnale e λt viene asintoticamente bloccato + V in + R v in v R v C = 0 v R = Ri R i C = C v C i = i R = i C + C v in Ri R v c = 0 = v in RC v C v c = 0 v c = 1 RC v c + 1 RC v in, v C (0) = 0

35 V C (s) = src V in(s) = G C (s)v in (s) V R (s) = V in (s) V C (s) = src 1 + src V in(s) = G R (s)v in (s) La capacitá si comporta come una circuito aperto in continua, infatti G R (0) = 0, in continua la tensione cade tutta ai capi della capacita.

36 Un segnale periodico f (t) di periodo T ammette uno sviluppo in serie di Fourier F 0 = 1 T T f (t)dt Fn c = 2 2π T T f (t) cos(n T t)dt Fc s = 2 2π T f (t) sin(n T t)dt f (t) = F n=1 T [ ( Fn c cos n 2π ) ( T t + Fn s sin n 2π )] T t

37 Esempio: f (t) = t 0.5, di periodo T = 1. F 0 = 1 4 F c n = 4 (2nπ) 2 (1 ( 1) n )) F s n = 0;

38 f (t) = cos(2πt) cos(6πt) cos(10πt)

39 Si consideri il sistema dinamico P(s) = s con u(t) = f (t) = cos(2πt) cos(6πt) +... ; Il segnale di regime permanente in uscita e la somma dei singoli contributi di regime permanente. y RP (t) = P(j0) P(j2π) cos(2πt + P(j2π))+ P(j6π) cos(6πt + P(j6π)) +... P(0) = 1 P(2jπ) = , P(2jπ) = ( P(6jπ) = ) ỹ RP = cos(2πt ) + [ cos(6πt +... )]

40 Confronto tra la risposta di regime permanente ottenuta con u(t) e con u(t) troncato alla prima armonica

41 Diagrammi di Bode Funzione di trasferimento W (s) stabile u(t) = A sin(ωt + φ) Y (s) = W (s)u(s) I modi del sistema decadono = restano i modi in ingresso y rp (t) = A W (iω) sin (ωt + φ + arg (W (iω))) Se il sistema è stabile si comporta come un guadagno e uno sfasatore (variabili) alle varie frequenze 1 W (s) = (s + 1)(s + 3) u(t) = sin(t) = y(t) = 1 (1i + 1)(1i + 3) sin(t+ 1 (1i + 1)(1i + 3) )

42 G(iω) = G(iω) e i arg(g(iω)) : risposta in frequenza Rappresentazione grafica di modulo e fase G(iω) db = 20 log 10 G(iω) G(iω) db = µ db + j 1 + iωτ j db + j 1 + 2iξ N j ω/ωj N ω 2 /ωj 2 g ω db j 1 + iωt j db j 1 + 2iξ D j ω/ωj D ω 2 /ωj 2 db db arg (G(iω)) = arg(µ) + j arg (1 + iωτ j) + j arg ( ) 1 + 2iξj D ω/ωj D ω 2 /ωj 2 µ 1/s 1/ (1 + st ) 1/ (1 + 2ξs/ω n + s 2 /ω 2 n)

43 { 0 se µ > 0 µ db = 20 log 10 µ arg(µ) = π se µ < 0 ( ) 1 1 (iω) g = 20g log 10 ω arg db (iω) g = g π 2

44 1 1 + iωt = db { 0 se ω 1/ T 20 log 10 ω 20 log 10 T se ω 1/ T ( ) { 1 0 se ω 1/ T arg = 1 + iωt sign(t ) se ω 1/ T π 2

45 { 1 0 se ω ωn 1 + 2ξiω/ω n ω 2 /ωn 2 = ω db 40 log 10 ω n se ω ω n ( ) { 1 0 se ω ωn arg 1 + 2ξiω/ω n ω 2 /ωn 2 = π sign(ξ) se ω ω n

46 Ritardo G(s) = e sτ G(jω) db = 0 G(jω) = ωτ In ascissa: x = log 10 ω ω = 10 x G(jω) = τ10 x Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

47 Diagrammi polari (Nyquist) Rappresentazione della parte reale e immaginaria di G(jω) sul piano complesso al variare di ω in [, ]. G(s) = s 1 Bode Diagram Nyquist Diagram Magnitude (db) Imaginary Axis Phase (deg) Frequency (rad/sec) Real Axis

48 G(s) = / (s/2) + (s/2) 2 Bode Diagram 40 Nyquist Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Imaginary Axis Real Axis

49 G(s) = e s s Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis

50 Filtri passa-basso G(s) lascia passare solo le basse frequenze, eliminando quelle a pulsazione superiore a ω. { 1 2 G(jω) G(j0) 2, G(jω) G(j0) 1 2, ω ω ω > ω

51 Filtri di Butterworth/Chebyshev Filtri (di ordine n) con particolare posizionamento dei poli che tendono al comportamento ideale al crescere di n (il ritardo di fase cresce) Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

52 Filtri passa-alto G(s) lascia passare solo le alte frequenze, eliminando quelle a pulsazione inferiore a ω. { 1 2 G(jω) G(j0) 2, G(jω) G(j0) 1 2, ω ω ω < ω

53 Filtri passa/elimina banda e filtri a spillo Passa (elimina) banda : G(jω) { 1 (0) per ω [ω1, ω2] 0 (1) per ω [ω 1, ω2] A spillo: G(s) = ( s ω n ) 2 s ω n + ( s ω n ) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec)

54 Semplificazione poli e zeri a alta frequenza G(s) = s (1 + s)( s) = s s G a (s) = s 0 Bode Diagram 10 Magnitude (db) G G a Phase (deg) arg(g) arg(g a ) Frequency (rad/sec)

55 y 1a 0.6 y y 1 (t) = ( 1 e t) ( 1 e 10t) = e t e 10t y 1a (t) = 1 e t

56 Semplificazione poli e zeri a bassa frequenza G(s) = s (1 + s)( s) = s s G a (s) = s 0 5 Magnitude (db) G G a arg(g) arg(g a ) Phase (deg)

57 Step Response Amplitude Time (sec) y 1 (t) = ( 1 e 20t) ( 1 e t) = e 20t e t y 1a (t) = 1 e 20t La differenza e dovuta dal fattore a bassa frequenza!!!

58 u(t) = sin(100t)

59 G(s) = ( s) ( s + 1 s 2) ( s) ( s + 1 s 2) (1 + s) G a (s) = s 10 Bode Diagram 0 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

60 Step Response Amplitude Time (sec)

61 Poli dominanti 3.98 G(s) = ( s)( s) = s s G a (s) = s 50 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

62 4 Step Response Amplitude Time (sec) µ G(s) = (1 + T 1 s)... (1 + T n s) µ G a1 (s) = 1 + ( i T i)s µ G a2 (s) = (1 +.5( i T i)s) 2

63 Sistemi impropri Il sistema originale e l approssimante devono avere un andamento simile nel campo di frequenze di interesse G(s) = G(s) = s s s 60 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

64 u(t)=sin(5t)

65 Parametri ricavati dalla risposta allo scalino Metodo della tangente Sistemi con risposta non oscillante G a (s) = µ 1 + Ts e τs (3) y τ T+τ yτ/t

66 Step Response Amplitude τ/t τ T+τ Time (sec)

67 Metodo delle aree L area compresa tra l asintoto della curva e la risposta al gradino di (3) e data da S 1 = µūτ + τ e t τ T dt = µū(τ + T ) = ȳ(τ + T ) L integrale della risposta di (3) tra t = 0 e t = T + τ e dato da e dunque S 2 = T 0 µū(1 e t T )dt = µūt e T = es 2 ȳ = ȳt e E consigliabile rispetto alla tangente per segnali rumorosi

68 Sistemi con risposta oscillante Sistema approssimante del 2 o ordine G a (s) = µω 2 n s 2 + 2ξω n + ω 2 n Max sovraelongazione percentuale S% per t = T M π T M = ω n 1 ξ 2 η = ln 0.01S% π = ξ = S% = 100e ξπ 1 ξ 2 η 1 + η 2 ω n = π 1 + η 2 T M ξ 1 ξ 2

69 Approssimanti di Pade G a1 (s) = µ 1 + as 1 + bs e τs = 1 τs + τ 2 s µ 1+as 1+bs = µ(1 + as)(1 bs + b 2 s 2 b 3 s ) = µ(1 + (a b)s + b(b a)s µ = 1 b a = τ b(b a) = τ 2 2 G a1 (s) = µ 1 0.5τs τs G a2 (s) = µ 1 0.5τs + τ 2 s 2 / τs + τ 2 s 2 /12

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