FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

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1 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Molt tem damc SISO (Sgle Iput Sgle Output) pooo eere rappreetat da modell lear e tempovarat per mezzo d equazo dfferezal lear e a coeffcet cotat, che eprmoo ua relazoe fra la varable d greo x (forzate) e la varable d ucta y (rpota) eme alle loro dervate rpetto al tempo: o, co otazoe pù compatta dove è poto d y(t) d y(t) dy(t) a + a a + ay(t) dt dt dt m m d x(t) d x(t) dx(t) bm + b m m b m + bx(t) dt dt dt m ay(t) + ad y(t) bd x(t) dy(t) Dy(t). dt S oerva che per l tegrazoe dell equazoe dfferezale, oa per la determazoe dell ucta y(t) oto l greo x(t), devoo eere ote le codzo zal: () (-) y(), y (),...,y (). Traformado ecodo Laplace l equazoe dfferezale che modella l tema e applcado la propretà d traformazoe del dfferezale el tempo ottee la relazoe: ( ) j j a Y() + a Y() D y(t) b X() j t Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

2 cu co X() e Y() dcao le traformate d Laplace de egal d greo e ucta x(t) e y(t) e è uppoto x(t) cauale. S ha qud: ( ) m j j a Y() b X() + a D y(t). j t La traformata ecodo Laplace d y(t) è duque la omma d due term: oa, poedo Y () j ( D y(t) ) m j b a j X() + a a t m b Y() F X(), a ( ) j j a D y(t) j t Y L(), a Y() Y F() + Y L() e attraformado y(t) yf (t) + yl(t). La rpota del tema è duque la omma d due cotrbut. Il prmo è dpedete dalle codzo zal e dpede olo dall greo (rpota forzata): ottee quado al tema è applcato u greo e le codzo zal oo ulle. Il ecodo è dpedete dal egale forzate e dpede olo dalle codzo zal (rpota lbera): è l evoluzoe damca del tema prvo d greo co codzo zal o ulle. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

3 I deftva, la leartà del modello mplca che l evoluzoe della rpota forzata e della rpota lbera poao eere determate dpedetemete e po ovrappote. I partcolare, rulta dove è poto Y F() G() X() m b G() a. Eamamo ora propro l cao cu l tema evolva a partre da ua codzoe d quete, oa co codzo zal tutte ulle: tal cao la rpota y(t) cocde co la rpota forzata e la ua traformata vale: co Y() Y F() G() X() m b G() a. Oervamo che la fuzoe razoale fratta G() caratterzza l tema, coè force la traformata ecodo Laplace dell ucta forzata ota la traformata ecodo Laplace dell greo. G() è detta fuzoe d trafermeto (fdt) del tema ed è defble ache come l rapporto tra la traformata d Laplace dell ucta forzata e quella dell greo corrpodete, quala a quet ultmo, applcato co codzo zal ulle: Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 3

4 Y F() G(). X() X() G() Y F () I deftva, u tema SISO leare e tempovarate è modellato el domo del tempo da ua equazoe dfferezale leare a coeffcet cotat o, equvaletemete, è modellato el domo della frequeza complea dalla ua fuzoe d trafermeto. Pertato l modello d u tema SISO leare e tempovarate co greo x(t) e ucta y(t) è peo chematzzato grafcamete co ua black box come fgura. S ot che coeffcet a e b che caratterzzao la fuzoe d trafermeto G() oo gl te che dvduao l equazoe dfferezale, pertato la fuzoe d trafermeto può eere determata ache per pezoe dall equazoe dfferezale. Ife, le radc del polomo a umeratore della fuzoe d trafermeto G() oo dette zer del tema (e oo evdetemete umero par a m), metre le radc del polomo a deomatore della fuzoe d trafermeto G() oo dette pol del tema (e oo evdetemete umero par a ). Poché u tema reale è rappreetato da ua equazoe dfferezale a coeffcet a e b real, e coegue che polom a umeratore e a deomatore della fuzoe razoale fratta G() hao coeffcet real. Pertato gl zer e pol del tema oo o real o comple e cougat a coppe. ESEMPIO S determ la fuzoe d trafermeto del tema SISO leare e tempovarate co greo x(t) e ucta y(t) rappreetato el domo del tempo dalla eguete equazoe dfferezale: d y(t) d y(t) d y(t) dy(t) d x(t) d x(t) dx(t) x(t) 4 3 dt 3 dt + dt + dt + dt dt + dt. S dvduo qud gl zer e pol del tema. Traformado ecodo Laplace l equazoe dfferezale co codzo zal ulle ottee: Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 4

5 4 3 3 Y() + 4 Y() + 6 Y() + 4Y() X() X() + X() X(), ovvero ( ) ( ) Y() + X(), da cu 3 Y() + G(). X() Evdetemete lo teo rultato è otteble per pezoe, oervado che coeffcet dell equazoe dfferezale oo ell orde, utlzzado la otazoe precedetemete coderata: Pertato ha: a 4, a 3 4, a 6, a 4, a, b 3, b -, b, b b3 + b + b+ b + G() a4 + a3 + a + a + a che cocde co l rultato trovato. U modello del tema alteratvo alla equazoe dfferezale data è duque lo chema grafco fgura. X() Y() Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 5

6 Per determare pol e gl zer del tema oervamo che la fuzoe d trafermeto può crvere ache come egue: ( + )( ) ( )( ) 3 + G() e qud l tema preeta m3 zer (z +j, z -j, z 3 +) e 4 pol (p -+j, p --j, p 3 -, p 4 ). FUNZIONI DI TRASFERIMENTO E SCHEMI A BLOCCHI Oervamo che el domo della frequeza complea per u tema damco SISO leare tempovarate vale la relazoe: Y()G() X() che è aaloga alla relazoe che defce u tema tatco yg x. Ne coegue che è poble applcare tutte le regole d rduzoe de dagramm a blocch vte per tem tatc emplcemete ottuedo a guadag de blocch tatc le fuzo d trafermeto de blocch damc e a egal el tempo le loro traformate ecodo Laplace. Ad eempo, la fuzoe d trafermeto d due tem cacata co fuzo d trafermeto rpettvamete date da G() e G() dveta: G() G() G(). Ragoamet del tutto aalogh al precedete valgoo per le dvere coeo parallelo, retroazoe ecc. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 6

7 RISPOSTA ALL IMPULSO Ua caratterzzazoe de tem SISO lear e tempovarat ottee ache attravero la rpota all mpulo d Drac, oa l ucta corrpodete a u greo x(t)δ(t) co codzo zal ulle. La traformata della rpota all mpulo vale evdetemete: Y ( ) G( ) X ( ) G( ) ( ) G( ) G( ), ovvero la fuzoe d trafermeto d u tema SISO leare e tempovarate è la traformata d Laplace della rpota all mpulo d Drac. Attraformado la precedete epreoe deduce ache che la rpota all mpulo vale y ( t ) L - {G()}g(t). Pertato la rpota all mpulo d Drac d u tema SISO leare e tempovarate è l attraformata d Laplace della ua fuzoe d trafermeto. Ne derva che la rpota all mpulo cotee tutt mod della fuzoe d trafermeto. Attraformado po la relazoe Y( ) G( ) X( ) oerva, per l teorema della traformata del prodotto d covoluzoe, che + t y(t) g(t)*x(t) g()x(t τ τ)dτ g()x(t τ τ)dτ dove l ultma uguaglaza derva dal fatto che g(τ) è cauale e duque ulla per τ<, metre per lo teo motvo x(t-τ) è ulla per t-τ<, ovvero per τ>t. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 7

8 I deftva la rpota ad u geerco egale x(t) co codzo zal ulle è par al prodotto d covoluzoe fra x(t) e la rpota all mpulo g(t). RISPOSTA AL GRADINO O RISPOSTA INDICIALE Ua ulterore caratterzzazoe d u tema SISO leare tempovarate ottee prededo coderazoe la rpota al grado utaro o rpota dcale, oa l ucta corrpodete a u greo x(t)(t) co codzo zal ulle. Evdetemete ha: y(t) L { Y()} L { G() X()} L G() oché, per l teorema della traformata dell tegrale, t y(t) g( τ)dτ oa la rpota al grado utaro è par all tegrale della rpota all mpulo. Cò era prevedble e derva dal fatto che l grado utaro è l tegrale dell mpulo d Drac. Aalogamete, ha che la rpota alla rampa leare utara è l tegrale della rpota al grado utaro e che la rpota alla rampa parabolca utara è l tegrale della rpota alla rampa leare utara. Acora, evdetemete la rpota all mpulo è la dervata della rpota al grado, quet ultma è la dervata della rpota alla rampa leare utara, che a ua volta è la dervata della rpota alla rampa parabolca utara. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 8

9 ESEMPIO Calcolare la rpota all mpulo del eguete tema. X() + + Y() La traformata della rpota all mpulo è la fuzoe d trafermeto del tema: Y ( ) G( ) + + ( + ) + che è ua fuzoe razoale fratta co deomatore d orde e umeratore d orde m< (tema trettamete propro). Le radc del deomatore oo complee e cougate emplc e valgoo -± j. Per otteere g(t) attraformamo G(), che è gà eprea fratt emplc, otteedo: g( t ) t L { G( )} e t ( t ) che cotee etramb mod della fuzoe d trafermeto e t t (t) e t cot (t), co l ecodo terme moltplcato per u reduo ullo. e S può verfcare che valgoo l teorema del valore zale e quello del valore fale. Ifatt g( ) lm G( ) lm + + e g( ) lm G( ) lm + +. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 9

10 .35 Rpota all'mpulo del tema Tempo [] ESEMPIO Calcolare la rpota al grado utaro, la rpota all mpulo e la rpota alla rampa leare utara del eguete tema. X() + 5 ( + )( + ) Y() La traformata del egale d ucta vale: Y( ) G( ) X ( ) + 5 ( + )( + ) che è ua fuzoe razoale fratta co deomatore d orde 3 e umeratore d orde m< (tema trettamete propro). Le radc del deomatore oo, -, -, tutte emplc. Per otteere y(t) determamo lo vluppo fratt emplc d Y(): Y ( ) K + K + + K3 + Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

11 co K Y( ) ( + )( + ) + 5 K ( + ) Y( ) 4 ( + ) K 3 ( + ) Y( ) ( + ) Qud attraformado ha la rpota al grado del tema: y( t ) {Y( )} 5 t 3 t 4e e L + ( t ). Oervamo che la rpota (forzata) al grado y(t) cotee l modo aocato all greo e mod de pol della fuzoe d trafermeto del tema. 3 Rpota al grado del tema Tempo [] S può verfcare che valgoo l teorema del valore zale e quello del valore fale. Ifatt Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

12 e y( y( ) lm Y( ) lm ) 5 ( )( + ) + 5 lm Y( ) lm. ( + )( + ) Per determare la rpota all mpulo g(t) del tema oervamo che rulta ( ) dy(t) d 5 t 3 t t t g(t) 4e + e (t) 4e 3e (t) dt dt la cu traformata cocde evdetemete co la fuzoe d trafermeto G(). Determamo ora la rpota alla rampa utara y r (t) del tema oervado che rulta t 5 t t t τ 3 τ y r(t) y( τ)dτ dτ (t) 4 e dτ (t) + e dτ (t) 5 t τ t 3 τ t 5 t 3 t 3 τ + 4e e (t) t 4e 4 e (t) t 3 t + t+ 4e e (t) 4 4 che cotee a due mod dell greo a rampa (la cu traformata è /, co fratt emplc / e /, corrpodet a mod rampa e grado) e due mod d tema (preet ell epreoe della rpota all mpulo e dovut a due pol). Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

13 ESEMPIO Calcolare la rpota all mpulo e la rpota al grado utaro del eguete tema. X() + + Y() La traformata della rpota all mpulo è la fuzoe d trafermeto del tema: Y() G() + + ( + ) + 3 che è ua fuzoe razoale fratta co deomatore d orde e umeratore d orde m< (tema trettamete propro). Le radc del deomatore oo complee e cougate emplc e valgoo -± 3j. Per otteere g(t) attraformamo G(), che è gà eprea ell uco fratto emplce combato (cao delle radc complee emplc), otteedo: gt () L { G ()} L L L ( + ) + 3 ( + ) + 3 ( + ) ( + ) + 3 t t e co3t ( t) e 3t ( t) 3 che evdetemete cotee etramb mod della fuzoe d trafermeto t e 3cot ( t) e t e 3 t ( t ). Per quato rguarda la rpota al grado, la ua traformata d Laplace vale: Y() G() X() + + Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 3

14 che è ua fuzoe razoale fratta co deomatore d orde 3 e umeratore d orde m< (tema trettamete propro). Le radc del deomatore oo e - ± 3j, tutte emplc. Per otteere y(t) determamo lo vluppo fratt emplc d Y(): Y() K + α+ β ( + ) + 3 co K Y() α+ β ( ) ( + + ) ( + + ) ( ) 3 da cu e, deftva, α β ( + ) + 3 Y() ( + ) + 3 ( + ) + 3 ( + ) + 3 Qud attraformado ha la rpota al grado del tema: t t y() t L { Y()} + e co3t+ e 3t () t. 3 Oervamo che la rpota (forzata) al grado y(t) cotee l modo aocato all greo e mod de pol della fuzoe d trafermeto del tema. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 4

15 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO NON RAZIONALI FRATTE Abbamo vto che la fuzoe d trafermeto d u tema SISO leare tempovarate è ua fuzoe razoale fratta ella varable complea : G( ) m b. a S oerva tuttava che o tutt tem SISO lear tazoar oo caratterzzat da fuzo d trafermeto razoal fratte. Sa ad eempo l cao d u tema modellato da u rtardo puro o rtardo fto, oa da ua black box che, rpota ad u greo x(t), produce u ucta rtardata d τ ecod: y(t) x( t τ ). Il tema è acora leare e tempovarate, oa valgoo le propretà d ovrappozoe degl effett e d rpetbltà degl epermet, tuttava la ua fuzoe d trafermeto vale: x(t) Blocco rtardo puro τ y(t) G( ) Y( ) X ( ) L{ x( t τ )} X ( ) τ X( ) e X( ) τ e X() e -τ Y() che è evdetemete ua fuzoe o razoale fratta. Il rtardo puro preeta molt tem d cotrollo, partcolare quell che cludoo tramo peumatche, draulche o meccache: tal tem l ucta e le ue dervate rpodoo dopo u tempo fto all applcazoe dell greo. Ioltre l tempo morto è geeralmete preete tutt tem che prevedoo l telecotrollo, come ad eempo elle applcazo pazal. U eempo d tema modellable da u rtardo puro è l lamatoo, cu vuole regolare modo automatco lo peore d u lamato metallco. La mura dello peore avvee ad ua certa dtaza L da cldr d lamazoe, per cu, e la Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 5

16 veloctà V d traporto del lamato è cotate, ha u rtardo fto d valore τl/v. Qud, ha uo peore murato dal eore dato da: ( t d m ) d( t τ ) d( t L / V ) eore V L co ua fuzoe d trafermeto G() L D m() τ e e V. D() ESEMPIO U tema SISO leare tazoaro ha ua rpota all mpulo come fgura. S determ la rpota y(t) all greo x(t) rportato fgura. g(t) x(t) t 3 t S ha: - Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 6

17 g(t)r(t)-r(t-)-(t-) t (t)-(t-) (t-)-(t-) x(t)- (t)+ (t-)+(t-)-(t-3). U prmo metodo per determare la rpota del tema cote ell utlzzare la traformata d Laplace e determare la fuzoe d trafermeto. S ha: G () L { gt ()} e e Pertato la traformata della rpota al grado vale: 3 Y() G() X() e e e e e e + e e + e e e + e + e e e + e Attraformado ottee qud la rpota del tema all greo x(t): ( t ) ( t 3) yt ( ) t ( t) + ( t ) ( t ) + ( t ) ( t 3) + ( t 3) ( t 4) + ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t 3) + ( t 4) + + ( t ) ( t ) ( t 3) ( t 3) ( t 4) ( t 4) + ( t 5) ( t 5). U ecodo metodo cote el o utlzzare la traformata d Laplace ma la propretà d leartà del tema. Poché l tema è leare, vale fatt l prcpo d ovrappozoe degl effett: la rpota y(t) a x(t), che è ua combazoe d grad, è ua combazoe d rpote al grado. pertato: y(t)- y(t)+ y (t-)+ y (t-)- y (t-3) dove co y(t) è dcata la rpota al grado del tema. È qud uffcete coocere olo la rpota al grado per determare y(t). Queta può calcolare o come yt () L { G () } o emplcemete tegrado la rpota all mpulo, che è u dato del problema. S ha duque: Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 7

18 t ( ) ( ) t t ( ) ( ) ( ) t y t g τ dτ τ dτ t τ dτ t dτ ( t ) t ( t ) ( t) ( t ) ( t ) ( t ) dove oo pot fuor dagl tegral egal a grado poché l rultato dell tegrale tra e t d ua fuzoe tegrada è o ullo olo quado la tea fuzoe tegrada è o ulla. Sottuedo la precedete epreoe della rpota al grado ell epreoe d y(t) ottee qud la rpota del tema all greo x(t): y( t) t ( t) + ( t ) ( t ) + ( t ) ( t ) + + ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t 3) ( t 3) + ( t ) ( t 3) + ( t ) ( t 3) ( t 4) ( t 3) + ( t 3) ( t 4) ( t 4) + ( t 4) + ( t 5) ( t 5). Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 8

19 FISICA REALIZZABILITÀ DI SISTEMI CON FUNZIONI DI TRASFERIMENTO RAZIONALI FRATTE Coderamo u tema SISO leare tempovarate co fuzoe d trafermeto data da ua fuzoe razoale fratta ella varable complea : G( ) m b. a Oervamo che l tema è fcamete realzzable (coè l modello decrve u tema reale) olo e m, oa e G() è propra, ache o trettamete (m). Ifatt per m> avrebbe: G() km- m- + km-- m k + R()/A() co R() polomo reto d grado r<; pertato l'attraformata d G(), oa la rpota all mpulo del tema varrebbe: g(t) km- δm-+(t) + km-- δm-(t) k δ(t) + L - {R()/A()} coteedo coì degl mpul d orde uperore al prmo, qud pù veloc dell mpulo δ(t) che è l greo corrpodete a g(t). U tema d queto tpo (co m>) dce atcpatvo, poché rpode all greo atcpadolo, oa co ua ucta pù veloce dell greo teo. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 9

20 FORME DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO RAZIONALI FRATTE Oervamo che ua geerca fuzoe d trafermeto ella forma G() B() A() m m- bm + bm + + b + b - a + a + + a + a co m< ( orde del tema) può ache crvere come egue: G () ( z ) ( z)... ( zm) k ( p) ( p)... ( pm) m ( z j) j k ( p) dove umer comple zj oo le radc del umeratore della fuzoe d trafermeto o gl zer della fuzoe d trafermeto, ache d molteplctà maggore d uo, metre umer comple p oo le radc del deomatore della fuzoe d trafermeto o pol della fuzoe d trafermeto, ache d molteplctà maggore d uo. S ha oltre kbm/a. I queto cao dce che la fuzoe d trafermeto è eprea ella forma pol-zer. Suppoamo ora che la fuzoe d trafermeto abba µ (ν) zer (pol) ell orge, m () zer (pol) real o ull e m () coppe d zer (pol) comple e cougat, co µ+m+mm e ν++. L epreoe precedete può dettaglare come egue: Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

21 µ ( z)... ( zm) [( σz ) + ωz ]... [( σz G() k ν ( p)... ( p) [( σp ) + ωp ]... [( σp µ ( z)... ( zm) ( + δzω k ν ( p)... ( p) ( + δpω co z + ω p z + ω ) + ωz ) + ωp )... ( + δzmω )... ( + δpω p m m zm p ] ] + ω + ω zm p ) ) ωzj ωp σz + ωz, j j σp + ωp, j,...,m,..., e δz j δp σz j σz + ω j z j σp σp + ω p coϕz, j coϕp, j,...,m,..., da cu G () m µ m ( z j) ( + δzω j j k ν ( p) ( + δpω Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete z p + ω + ω cu la fuzoe d trafermeto è acora eprea ella forma pol-zer, ma oo evdezate le coppe d radc complee e cougate a el umeratore che el deomatore. I coeffcet δ e ω preet e term relatv a zer e pol comple e cougat dcoo rpettvamete coeffcete d morzameto e pulazoe aturale della coppa d radc corrpodete. È agevole decrvere grafcamete l gfcato d tal coeffcet. Nella fgura ucceva oo rappreetat a ttolo d eempo ua coppa d zer e ua d pol comple e cougat, rpettvamete σ z ± jωz ( σ z >) e σ p ± jωp ( σ p<). Co emplc coderazo geometrche deduce che le pulazo atural ωz e ωp rappreetao rpettvamete modul degl zer e de pol, metre coeffcet d z p ) )

22 morzameto δz e δp rappreetao l coeo dell agolo formato dal raggo vettore che uce la radce a parte mmagara potva co l orge eme al emae reale egatvo: per tale motvo ha queto cao δz< e δp>. 4 3 Eempo d mappa pol - zer ωp Ae mmagaro σp ωp φp ωz -ωz -ωp φz ωz σz Ae reale È utle rappreetare la fuzoe d trafermeto ache ella coddetta forma delle cotat d tempo. I partcolare, dato uo zero (o u polo) reale, defce la ua cotate d tempo come l vero dello zero (o del polo) cambato d ego. Pertato dalle precedet epreo ha ache: µ ( + τz G() k ν ( + τp )... ( + τz )... ( + τp m δ ) + z ω δp ) + ω z p δ + + zm... + ω ω ω z zm δ p ω ω ω p p da cu ottee la fuzoe d trafermeto eprea ella forma cotat d tempo: zm p Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete

23 G () µ k ν m δ m z + ( + τz ) j j ω j ( + τ δ p ) p + ω j zj p + ω zj + ω p dove le cotat d tempo per zer e pol real valgoo: τ z j, j m, z j τ p,. p S ota che la cotate d tempo d uo zero o u polo reale è murata ecod ed è potva (egatva) e lo zero o polo è dpoto el empao tro (detro). Ioltre la cotate d tempo è tato maggore valore aoluto quato pù lo zero o l polo è vco all ae mmagaro, tato more cao cotraro. Pertato, el cao del polo reale, la relatva cotate d tempo mura la rapdtà del modo elemetare aocato. Per aaloga defce allora la cotate d tempo d ua coppa d zer o pol comple come l vero cambato d ego della parte reale: τ z j σ δ ω, j m, zj zj z j τ p σ δ ω,. p p p S ota acora che la cotate d tempo d ua coppa d zer o d pol comple è murata ecod ed è potva (egatva) e la coppa d zer o pol è dpota el empao tro (detro). Ioltre la cotate d tempo è tato maggore valore aoluto quato pù gl zer o pol oo vc all ae mmagaro, tato more cao cotraro. Pertato, el cao d coppa d pol comple, la relatva cotate d tempo mura la rapdtà de mod elemetar aocat. Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 3

24 ESEMPIO Sa ua fuzoe d trafermeto eprea ella forma pol zer come egue: G() G() k ( ) (+ ) ( 4+ 3) ( ) ( ) ( 3j) ( 3j) k + +. ( 4) (+ 3) ( + ) ( 4) ( + 3) ( j) ( + j) 4 Eempo d mappa pol - zer 3 Ae mmagaro Ae reale S hao m4 zer z, z-, z3+3j, z4-3j, compredet µ zer ell orge, m zer real e m coppa d zer comple e cougat. V oo po 5 pol p, p4, p3-3, p4+j, p5-j, compredet ν pol ell orge, pol real o ull e coppa d pol comple e cougat. Nella fgura precedete è rappreetata la mappa pol-zer del tema. Evdetemete, raggruppado le coppe d radc complee cougate ha ache: ( ) ( + ) [( ) + 3 ] G() k ( 4) ( + 3) [( ) + ] e co emplc operazo pooo evdezare le coppe d zer e pol comple e cougat co l relatvo coeffcete d morzameto δ e la pulazoe aturale ω: Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 4

25 ( ) ( + ) ( 4 + 3) G() k ( 4) ( + 3) ( + ) + ( ) ( ) + 3 k + ( 4) ( 3) ( + ( 3) ) qud per z3+3j e z4-3j ha u coeffcete d morzameto δz3 4 e ua 3 pulazoe aturale ωz3 4 3, metre per p4+j e p5-j ha δp3 4 e ωp3 4. S oto coeffcet d morzameto egatv che dcao che a pol che gl zer comple trovao el empao detro d Gau. Operado ulla precedete epreoe ha ache: G () ( ) ( + ) + k ( ) ( + ) ( 3) + ( ) qud per z e z- hao delle cotat d tempo τz- e τz/, metre per p4 e p-3 hao delle cotat d tempo τp-/4 e τp/3. Per la coppe d zer comple z3+3j e z4-3j, co parte reale potva, ha po ua cotate d tempo τz3τz4-.5, metre per p4+j e p5-j ha ua cotate d tempo τz4τz5-. Evdetemete la cotate d tempo aocata al polo ullo ha valore fto. S ha fe: ( ) () ( 3) 3 k k k. ( 4) ( + 3) ( ) Copyrght Maragraza Dotol. L autore garatce l permeo per la rproduzoe e la dtrbuzoe del preete 5