Introduzione. La funzione di risposta armonica... 2 Diagrammi della risposta armonica... 4

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1 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Dagramm d ode Itroduzoe... La fuzoe d rpota armoca... Dagramm della rpota armoca... 4 DIARAMMI DI ODE... 5 Regole d cotruzoe de dagramm d ode... 5 Dagramm d ode delle fuzo elemetar... 9 ESEMPI VARI... 3 Eempo: tema del ecodo orde... 3 Eempo: tema del ecodo orde... 5 Itroduzoe Ne captol precedet abbamo eamato procedmet per la oluzoe delle equazo dfferezal lear, poedo partcolare rlevo quell baat ulla traformazoe d Laplace: l otro obbettvo era la deduzoe della rpota de tem lear a ecctazo tpce, come l grado o la rampa, coì come a egal d tpo qualuque. Queta procedura d aal vee comuemete detta aal el domo del tempo. Ad ea, ello tudo de tem d cotrollo lear, affaca l aal el domo della frequeza, detta ace aal armoca, ce baa u u dvero modello matematco de tem lear: la coddetta fuzoe d rpota armoca. La fuzoe d rpota armoca cottuce ua rappreetazoe de tem lear tazoar trettamete legata alla fuzoe d trafermeto ed è pertato equvalete alle equazo dfferezal qualora codero tem zalmete quete. Tuttava, ea è peo pù vataggoa per alcue ue carattertce, prcpale tra le qual è l atttude ad eere rlevata permetalmete: altre parole, la fuzoe d rpota armoca rappreeta, rpetto all equazoe dfferezale, u modello matematco d pù agevole detfcazoe a partre da dat permetal.

2 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I La fuzoe d rpota armoca Per defre la fuzoe d rpota armoca, dobbamo partre da ua propretà carattertca de tem lear tazoar. Coderamo percò u tema leare tazoaro al cu greo è applcato u greo uodale del tpo eguete: x(t X( t Se l tema è atotcamete table, la ua ucta a regme (coè ua volta eaurto l tratoro vara ac ea co legge uodale, caratterzzata dalla tea pulazoe. Ea può qud eere eprea el modo eguete: y (t Y( t ( ϕ( Queta epreoe motra ce l ampezza dell ucta e l agolo d fae rpetto all greo oo, geerale, fuzo della pulazoe del egale d greo. S defce, allora, fuzoe d rpota armoca la fuzoe F(, d varable reale ed a valor comple, avete come modulo l rapporto Y(/X e come argometo l agolo ϕ(: F( Y( e X ϕ Y( X ( ( co( ϕ( ( ϕ( Queta fuzoe, vrtù della leartà del tema, è dpedete dall ampezza X del egale greo e decrve completamete l comportameto del tema codzoe d regme (perodco alle vare frequeze. Premea la defzoe, coderamo adeo u tema leare tazoaro co fuzoe d trafermeto ( razoale fratta. Dato ce amo tereat a tem atotcamete tabl, la fuzoe ( deve avere tutt pol a parte reale egatva. Suppoamo allora d applcare greo al tema l egale x(t X( t : la ua traformata d Laplace è X( X Suppoedo ce l tema parta da ua codzoe zale d quete, la rpota del tema a tale greo è ua rpota forzata la cu traformata d Laplace, per defzoe, è data dal prodotto X( (: Y( (X( ( X ( X ( ( E evdete, da queta epreoe, ce pol della fuzoe Y( oo gl te della fuzoe d trafermeto (, pù quell corrpodet al egale greo, ce queto cao partcolare oo p e p -. Effettuado, allora, l attraformazoe, pol d ( corrpodoo ad u terme tratoro y 0(t (dato ce oo tutt a parte reale egatva, metre gl altr ad u terme permaete y P(t ce, evdetemete, è d tpo uodale: poamo duque crvere, geerale, ce Autore: Sadro Petrzzell

3 Aal armoca: dagramm d ode y(t y t t 0 (t y P (t y 0 (t K e K e I queta epreoe, K è l reduo corrpodete al polo p, metre K è l reduo corrpodete a p -. L poamo calcolare faclmete: K K [ Y( ( ] [ Y( ( ] ( ( X ( X ( ( X ( X A queto puto, rcordado la propretà della traformata d Laplace ecodo cu F(*F*(, poamo crvere ce ϕ( ϕ( ( ( e ( ( e dove ovvamete ϕ( è l argometo d (, metre ( è l uo modulo. Co queta pozoe, poamo eprmere la y(t el modo eguete: y(t y (t 0 X X ( ( ( tϕ ( ( tϕ ( e e y (t ( 0 e X ( tϕ( ( tϕ( Adeo, dato ce l tema è per pote atotcamete table, poamo tracurare l terme tratoro y 0(t, aumedo d coderare tat t uffcetemete grad da avere y 0(t 0: e y(t ( e X ( tϕ( ( tϕ( e ( X ( t ϕ( D altra parte, abbamo precedeza detto ce l ucta del tema deve eere ella forma geerale y (t Y( ( t ϕ( ed abbamo oltre defto la fuzoe Y( d rpota armoca medate la relazoe F ( ( co( ϕ( ( ϕ( : X poamo allora cocludere ce F ( ( I deftva, abbamo dmotrato l eguete teorema: dato u tema leare tazoaro co fuzoe d trafermeto razoale fratta avete tutt pol a parte reale egatva e oggetto ad ecctazoe uodale, eo preeta, a regme, ua rpota uodale avete la tea frequeza dell ecctazoe; oltre, la fuzoe d rpota armoca del tema ottee dalla fuzoe d trafermeto ( poedo. 3 Autore: Sadro Petrzzell

4 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I N.. La fuzoe d rpota armoca può defre ace per tem tabl: tuttava, queto cao ea o a gfca fco é rulta murable permetalmete. A queto puto, rcordado ce la fuzoe d trafermeto a corrpodeza buvoca co la ua attraformata d Laplace, oa co la fuzoe d rpota all mpulo, poamo ace affermare ce la rpota all mpulo d u tema leare atotcamete table determa uvocamete la ua rpota armoca. S può dmotrare faclmete ace l cotraro, oa ce la rpota armoca d u tema leare atotcamete table determa uvocamete la ua rpota all mpulo. Dagramm della rpota armoca La rappreetazoe grafca della fuzoe d rpota armoca vee effettuata co pecal dagramm, ce cottucoo la bae de procedmet grafc per la te delle ret correttrc el domo delle frequeze. Coderamo allora u tema leare tazoaro, atotcamete table, avete fuzoe d trafermeto (. Abbamo vto, e paragraf precedet, ce da queta fuzoe poamo rcavare la fuzoe d rpota armoca emplcemete poedo : otteamo tal modo la fuzoe (. Queta fuzoe è ua fuzoe d varable reale (0 < ed a valor comple, per cu può rappreetare elle dvere otazo pobl per umer comple. Ce e tereao due partcolare: otazoe trgoometrca otazoe carteaa arg( ( ( ( e ( Re{ ( } Im{ ( } I bae a quete otazo, c oo due dtt mod per rappreetare grafcamete la fuzoe ( fuzoe della pulazoe : quado rappreeta ( term d modulo e fae, etramb fuzo d, ottegoo coddett dagramm d ode (o dagramm logartmc; quado vece rappreeta ( term d parte reale e coeffcete della parte mmagara, empre fuzo d, ottegoo coddett dagramm d Nyqut (o dagramm polar. Il otro obbettvo è quello d capre come cotrucoo quet dagramm e come e e fruttao le propretà. Comceremo da dagramm d ode. Autore: Sadro Petrzzell 4

5 Aal armoca: dagramm d ode Dagramm d ode Regole d cotruzoe de dagramm d ode Al fe d trodurre dagramm d ode, è per prma coa ecearo porre forma pù opportua la fuzoe d trafermeto (. Sappamo tato d poter eprmere la fuzoe d trafermeto el modo eguete: ( m K ( z ( p I queto modo, abbamo evdezato gl zer ed pol della fuzoe. I pù, covee eparare pol ell orge da pol real e dalle coppe d pol comple cougat e, per quato rguarda l umeratore, eparare gl zer real dalle coppe d zer comple cougat: ( p ( z K v w µ ( p Stamo pratca uppoedo quato egue: q ( δ ( δm m la fuzoe ( preeta µ pol ell orge, v pol real e w coppe d pol comple cougat: ovvamete rulta µvw; la fuzoe ( preeta p zer real e q coppe d zer comple cougat, modo tale ce rult pqm. A queto puto, al poto d evdezare pol e gl zer real, evdezamo le cotat d tempo ad e aocate: coderado ce z ( z z z ( T z ( T ( p p ( T abbamo ce ( p p q ( z ( T ( δ K w µ v v ( p ( T ( δm m Poedo 5 Autore: Sadro Petrzzell

6 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Autore: Sadro Petrzzell 6 ( ( v p p z K ' K poamo duque crvere ( ella forma ( ( µ δ δ w m m v q p T ( T ( K' ( I modo aalogo, poamo procedere per zer e pol comple: crvedo fatt ce δ δ / / / / / / / abbamo ce µ δ δ w m m q m v q q p T ( T ( K' ( Poedo allora q m q ' K K poamo fe porre la ( ella eguete forma cocluva: µ δ δ w m m v q p T ( T ( K ( A queto puto, otteuta la ( queta forma, poamo dvduare la fuzoe d rpota armoca ( ella forma cu c erve: ( µ δ δ w m m v q p T ( T ( K (

7 Aal armoca: dagramm d ode Queta è l epreoe della fuzoe d rpota armoca ulla bae della quale cotrucoo dagramm d ode. I dagramm d ode cotrucoo rportado, fuzoe della pulazoe, l modulo e l argometo della fuzoe d rpota armoca: per quato rguarda l ae delle ace, o codera la pulazoe, beì la quattà log, utlzzado qud la coddetta cala logartmca; 0 queto modo, l ae delle ace vee uddvo decad: gl etrem d ua decade oo due valor d pulazoe d cu quello fale è 0 volte quello zale: per quato rguarda, vece, l ae delle ordate, ute ua dffereza tra l dagramma del modulo d ( e quello dell argometo d (: el dagramma de modul (o dagramma delle ampezze, o vee rportato drettamete (, beì la quattà 0 log 0 (, oa l modulo d ( epreo : 0 log0 ( log (rad el dagramma degl argomet (o dagramma delle fa, vece, vee arg ( : drettamete rportato ( arg ( ( log (rad E bee comuque precare ce, ootate la cala uata per le ace a quella logartmca, valor umerc ce vegoo rportat oo quell della 7 Autore: Sadro Petrzzell

8 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I pulazoe eprea radat, modo da facltare la lettura del dagramma e oprattutto calcol ce u eo baao. I vatagg ce coeguoo mpegado la cala logartmca oo eguet: prmo luogo, è poble rappreetare, col dovuto dettaglo, gradezze ce varao u rage otevolmete ete: partcolare, l modulo della fuzoe d rpota armoca, geeralmete, paa, all aumetare della frequeza, da valor molto alt a valor molto ba; ecodo luogo, è poble ommare dagramm relatv a tem cacata, al fe d otteere l dagramma del tema complevo: fatt, la rpota armoca compleva ottee eeguedo l prodotto delle gole rpote armoce, coè eeguedo l prodotto delle ampezze (ce, mpegado ua cala logartmca, rcoduce ad ua omma e la omma algebrca delle fa; fe, è poble cotrure dagramm relatv ad ua fuzoe d rpota armoca, data forma fattorzzata, come omma d dagramm elemetar, d u umero lmtato d tp fodametal, corrpodete cacuo ad u golo fattore. Ua volta dvduate le quattà rportate e dagramm d ode e le cale ecodo cu tal quattà vegoo rportate, paamo a vedere le prcpal carattertce d tal dagramm. A tale copo, rpredamo l epreoe della ( trovata prma: p q δ ( T K ( µ v w ( δ ( T I queta epreoe dvduao faclmete le eguet fuzo elemetar: K ( µ ( T ± δ ± Allora, e traccao dagramm d ode, delle ampezze e delle fa, corrpodet a quete fuzo elemetar, baterà po ommarl per otteere l dagramma d ode della fuzoe compleva (. Il otro copo dveta duque quello d traccare dagramm d ode delle fuzo elemetar. Autore: Sadro Petrzzell 8

9 Aal armoca: dagramm d ode Dagramm d ode delle le fuzo elemetar La prma fuzoe elemetare d cu c occupamo è ( K Queta fuzoe a evdetemete modulo par a K (dpedete da e fae dpedete olo dal ego d K: e K è potva, la fae è 0, metre e K è egatva, la fae è -π. Deducamo allora quato egue: l dagramma de modul è ua retta orzzotale corrpodete a ( 0 log K : 0 0 log 0 ( log 0 l dagramma delle fa è vece ua retta orzzotale corrpodete a -π e K<0 oppure cocdete co l ae delle ace e K>0: arg ( ( K> π log 0 K<0 La ecoda fuzoe elemetare è ( ( Queta fuzoe corrpode ad evetual pol ull della fuzoe d trafermeto del tema. Calcolamo per prma coa l modulo d queta fuzoe: ( ( La fuzoe ce vee allora rportata ul dagramma d ode de modul è 9 Autore: Sadro Petrzzell

10 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I ( 0 log 0 0 log 0 Dato ce ace vee rportata la quattà log 0, deducamo ce ( 0 log corrpode ad ua retta paate per l orge e d pedeza 0-0(/decade dpedete dal valore d : l cao pù emplce è ovvamete quello d u tema avete olo polo ell orge, per cu : la fuzoe da coderare è duque ( (, per cu la quattà da rportare ul dagramma de modul è ( 0 log, 0 corrpodete ad ua retta (paate per l orge d pedeza 0( / decade : 0 log0 ( ( ( log (/decade l ecodo cao è quello d u tema avete pol ell orge, per cu : la fuzoe da coderare è duque ( (, per cu la quattà da rportare ul dagramma de modul è ( 40 log0, corrpodete ad ua retta (paate per l orge d pedeza 40( / decade : 0 log 0 ( ( ( log (/decade S oerva, duque, geerale, ce, aumetado l umero de pol ell orge (coè l coddetto tpo del tema, l dagramma de modul della Autore: Sadro Petrzzell 0

11 Aal armoca: dagramm d ode fuzoe ( ( è empre ua retta paate per l orge, ma d pedeza crecete: tale pedeza aumeta d 0(/decade per og aumeto utaro d. Paamo adeo al dagramma delle fa della fuzoe ( ( : abbamo tato ce 90 arg ( arg[ ( ] arg 80 (... > Avedo ua quattà puramete mmagara a deomatore, l argometo è u multplo tero -π/, per cu avremo, el dagramma delle fa, acora ua volta ua retta orzzotale, empre pù lotaa dall ae reale quato maggore è l umero d pol ell orge: arg ( ( K> log 0-80 La terza fuzoe elemetare d cu c occupamo è Comcamo empre dal modulo: ( ( T ( ( T ± T T La fuzoe da rportare ul dagramma de modul è duque ( 0 log 0 ( 0 log 0 T 0 log 0 T 0 log 0 ( T Per capre quale adameto abba queta fuzoe, poamo oervare quello ce uccede per molto pccolo e per molto grade: e e << ( 0 log0 0( T >> ( 0 log0 T T Autore: Sadro Petrzzell

12 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I I bae a quet rultat, dcata co la coddetta frequeza d brea (o T frequeza d rottura o ace frequeza d agolo, poamo affermare ce l adameto d ( corrpode ad ua retta cocdete co l ae orzzotale per << e, per >>, ad ua retta paate per l puto (0, e co pedeza d -0(/decade. S tratta allora d capre come quatfcare le dzo << e >> : aume ce << equvalga a por ua decade prma d e, ovvamete, ce >> equvalga a por ua decade dopo. Coì facedo, poamo traccare l dagramma de modul da - fo a ua decade prma d e da ua decade dopo fo a : 0 log 0 ( ( ( T 0 0 log (/decade Dobbamo adeo capre l adameto del dagramma ell toro della frequeza, oa tra /0 e 0. E poble allora procedere modo dver: u prmo modo arebbe quello d calcolar la quattà ( corrpodeza d 3 o 4 put ell tervallo coderato e d terpolare valor otteut al fe d raccordare due tratt etrem; u ecodo modo, pù appromato, è vece quello d cotrure l dagramma atotco, ce ottee emplcemete prolugado due tratt etrem fo a coguger : 0log 0 ( ( ( T 0 0 log (/decade Autore: Sadro Petrzzell

13 Aal armoca: dagramm d ode Coì facedo, ottee u dagramma appromato, ce però approma molto bee (lo può verfcare aaltcamete l dagramma reale. Nel eguto, qud, faremo empre uo d queto dagramma atotco. Paamo ora al dagramma delle fa della fuzoe ( ( T : la fae d queta fuzoe è arg( arg[ ( T ] arg arctg( T T Dobbamo duque dagrammare la fuzoe arctg( T. Ace queto cao, poamo comcare ad aalzzare l adameto atotco del dagramma: e e e << arg ( 0 T arg ( 45 T >> arg ( 90 T I bae a quet rultat, poamo traccare u dagramma delle fa qualtatvo fatto el modo eguete: arg ( 0 0 log S tratta acora ua volta d tablre l adameto del dagramma ell toro della frequeza d brea /T: poamo allora appromare queto adameto co u egmeto d pedeza par a quella della tagete al dagramma reale el puto (, 45. Dobbamo allora adare a calcolare queta tagete e partcolare la ua d ( arg ( pedeza: aaltcamete, dobbamo calcolare la quattà, oa d( log 0 d ( arg( d d [ ( ] ( ( ( [ ] d T d arctg T arctg T d log d log d d ( log T d ( log 0 T T log e Autore: Sadro Petrzzell

14 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Dato ce log e0.3 è u umero carattertco, deducamo ce la pedeza della tagete al dagramma reale vale d ( arg( d( log 0 T T.3 ed è ovvamete fuzoe d, oa del puto cu c tamo poedo: a o terea l puto, corrpodeza del quale trova u altro umero carattertco: d( arg(.3.5 d( log0 T Poamo duque traccare, ell toro della frequeza d brea, u egmeto d pedeza.5: arg ( log Ovvamete, la cooceza della pedeza d tale egmeto coete d dvduare co precoe l puto cu l egmeto teo tereca l ae delle ace: fatt, dato ce l egmeto paa per put (,0 e (, 45 ed a pedeza.5, poamo crvere ce log 0 π 4 log 0.5 log 0 π π da cu cocludamo ce. 4.8 La relazoe trovata è fodametale, quato coete d traccare l dagramma delle fa emplcemete coocedo la frequeza d brea : ota, dvdedo per 4.8 ( prma appromazoe, bata ace dvdere per 5 trova l puto cu l dagramma tereca l ae delle ace per po rmaere u d eo per decrecet. Ovvamete, moltplcado per 4.8 ottee vece l valore della pulazoe a partre dalla quale l dagramma aeta atotcamete ul valore -90 ; tra valor e, l dagramma è cottuto da u egmeto d pedeza -.5. Queto emplce procedmeto prede l ome d regola del 4.8. Autore: Sadro Petrzzell 4

15 Aal armoca: dagramm d ode Abbamo duque capto come dagrammare l modulo e la fae della fuzoe elemetare ( ( T. No c vuole molto per capre come dagrammare l modulo e la fae della fuzoe ( ( T E evdete, fatt, ce a l dagramma del modulo a quello della fae d queta fuzoe ottegoo emplcemete rbaltado, rpetto all ae delle ace, quell d ( ( T. Il dagramma de modul arà duque fatto el modo eguete (ovvamete tratta empre del dagramma atotco: 0 log 0 ( 0(/decade 0 ( ( T 0 0 log 0 Il dagramma delle fa, per l quale vale ovvamete acora la regola del 4.8, arà del tpo eguete: arg ( log 0 Oervamo adeo ce le fuzo ( T e ( T, aumedo T potvo, oo relatve, rpettvamete, ad u polo a parte reale egatva e ad uo zero a parte reale egatva. I modo del tutto aalogo, allora, le fuzo ( T e ( T, aumedo T empre potvo, oo relatve, rpettvamete, ad u polo a parte reale potva e ad uo zero a parte reale potva. C cedamo allora come oo fatt dagramm d ode d quete fuzo. Coderamo ad eempo la fuzoe Poamo tato crvere ce ( ( T 5 Autore: Sadro Petrzzell

16 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I ( ( T ( ( T dove ( '( T. ( '( '( arg( arg'( arg'( Queto rultato dce duque ce l dagramma del modulo d ( rmae mmutato rpetto a quello d ( da quello d ( ( T T, metre quello della fae ottee T tramte u rbaltameto rpetto all ae delle ace, per cu cocde co quello d ( T. 0 log 0 ( 0(/decade 0 ( ( T 0 0 log 0 arg ( ( ( T log Ovvamete, dagramm della fuzoe ( ( T otterrao etramb da quell, appea traccat, della fuzoe ( u rbaltameto rpetto all ae delle ace: T tramte Autore: Sadro Petrzzell 6

17 Aal armoca: dagramm d ode 0log 0 ( ( ( T 0 0 log (/decade arg ( ( ( T log 0 La peultma fuzoe d cu dobbamo traccare dagramm d ode è ( δ (corrpodete alla preeza d ua coppa d pol comple cougat. Calcolamo per prma coa l modulo d queta fuzoe: ( δ ul dagramma ( 0 log 0 δ Evdetemete, la quattà (, oltre a dpedere da, dpede ace dalla pulazoe aturale e dal coeffcete d morzameto δ. E bee rcordare ce faccamo rfermeto al cao cu 0 δ <, quato, e foe δ, le due radc o arebbero pù complee cougate e potrebbe cdere l terme d grado el prodotto d due term d grado, rcoducedo percò a ca coderat precedeza. 7 Autore: Sadro Petrzzell

18 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Premeo queto, uppoamo ota la pulazoe aturale, metre lacamo varable δ. Poamo allora vedere quato vale la fuzoe ( per molto maggore e molto more della pulazoe aturale: e e << ( 0 log0 0 >> ( 0 log 0 40 log 0 Qud, per <<, l dagramma cocde co l ae delle ace, metre, per >>, l dagramma è cottuto da ua retta paate per l puto (,0 e d pedeza -40(/decade: 0 log 0 ( 0 0 log (/decade Dobbamo ora capre l adameto del dagramma ell toro della frequeza, oa tra /0 e 0. Allora, come abbamo fatto per term d prmo grado, poamo peare d utlzzare ace qu l dagramma atotco, ce ottee emplcemete prolugado due tratt etrem fo a coguger : 0 log 0 ( ( δ 0 0 log (/decade Autore: Sadro Petrzzell 8

19 Aal armoca: dagramm d ode Tuttava, queto cao ubetra ua complcazoe rpetto a quato accade per term del prmo orde: fatt, metre quel cao può faclmete verfcare ce l dagramma atotco approma comuque bee l dagramma reale, queto cao l appromazoe dpede trettamete dal valore del coeffcete d morzameto δ. Vedamo allora qualce dettaglo pù u queto apetto. Nel dagramma atotco appea traccato, abbamo uppoto ( 0 ; e, vece, uamo l epreoe d (, otteamo ce ( 0 log0 δ Abbamo coè ce,, la quattà ( o è ulla, ma aume u valore tato maggore quato pù pccolo è l coeffcete d morzameto δ. Queto è gà u prmo rultato ce c coete d dre ce l dagramma reale può dcotar apprezzablmete dal dagramma atotco. S può trovare ace u altro rultato mportate: trova fatt ce la fuzoe ( preeta u mamo el puto max δ Evdetemete, al dmure d δ, tale puto d mamo approma al valore, cofermado ua volta d pù la dffereza tra l dagramma reale e quello atotco. Naturalmete, percé l valore max abba u eo, l argometo della radce a deomatore deve eere potvo, dal ce deducamo ce queto mamo ete olo e -δ >0, oa e δ <. Poamo allora affermare quato egue: e δ <, la fuzoe ( preeta u adameto reale dvero (ace otevolmete da quello atotco, per cu l dagramma atotco va ecearamete corretto, uado valor dcat appote tabelle; e, vece, rulta δ >, allora la fuzoe ( o preeta u mamo e l dagramma atotco dveta accettable ( quato ( rulta comuque avere u adameto mootocamete decrecete. Rportamo, cocluoe, ella fgura eguete l adameto della fuzoe ( per dver valor del coeffcete d morzameto δ: 9 Autore: Sadro Petrzzell

20 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Queto dagramma coferma (ovvamete le cocluo aaltce rcavate prma: partcolare, oerva ce l valore d ( el puto d mamo max vale el cao cu δ0. Paamo adeo al dagramma delle fa per la fuzoe la fae d queta fuzoe è δ ( : arg ( arg δ δ arctg δ arctg S tratta, ace queto cao, d ua fuzoe d e d δ, per cu avremo ua famgla d curve al varare d δ. Suppoedo empre fata la pulazoe aturale, calcolamo arg ( alcu put otevol: δ << arg ( arctg 0 δ >> arg ( arctg 80 Autore: Sadro Petrzzell 0

21 Aal armoca: dagramm d ode δ arg ( arctg arctg 90 0 Il corrpodete dagramma reale, al varare d δ, è fatto el modo eguete: Voledo appromare queto dagramma co u adameto atotco, bata oervare ce, al dmure d δ, le curve dvetao pù rpde ell toro della frequeza aturale, per cu può traccare u dagramma del tpo eguete: arg ( ' ' ' log La pedeza del tratto clato può eere rcavata co lo teo procedmeto eguto el cao de term del prmo orde, oa calcolado la pedeza della tagete al dagramma reale corrpodeza d. Seguedo queto procedmeto, trova ce, per u aegato valore d δ, la frequeza cu l tratto clato va ad terecare l ae delle ace è legata alla frequeza aturale dalla relazoe Autore: Sadro Petrzzell

22 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I ' ( 4.8 δ Uado queta emplce formula, dveta ace queto cao mmedato l traccameto del dagramma atotco. Sego del coeffcete d morzameto Ua oervazoe mportate è la eguete: metre la pulazoe aturale è par al modulo delle radc complee cougate, per cu è empre potva, l coeffcete d morzameto δ può ace eere egatvo, metre o lo abbamo coderato potvo: per otteere, allora, l dagramma d ode corrpodete a δ<0, bata coderare ce l dagramma de modul rmae varato (a patto d coderare l valore aoluto d δ, metre quello delle fa rulta rbaltato rpetto all ae delle ace. L ultma fuzoe da aalzzare è l terme d grado poto a umeratore (corrpodete coè a due zer comple cougat, oa la fuzoe ( δ Acora ua volta, l procedmeto è emplce, quato bata rbaltare, rpetto all ae delle ace, dagramm (a per modul a per le fa otteut poco fa per la fuzoe δ (. Autore: Sadro Petrzzell

23 Aal armoca: dagramm d ode Eemp var Eempo: tema del ecodo orde Voglamo traccare l dagramma d ode della fuzoe ( ( T,T>0 Dato ce l tema o preeta pol a parte reale potva, poamo mmedatamete rcavare la fuzoe d rpota armoca emplcemete poedo : ( ( T Queta fuzoe d rpota armoca è duque data dal prodotto delle fuzo elemetar (, ( ( e ( 3 ( T : l dagramma delle ampezze d ( è allora l prodotto de rpettv dagramm delle ampezze, metre l dagramma delle fa ottee facedo la omma (algebrca, ce coè tega coto de term a umeratore e d quell a deomatore de rpettv dagramm delle fa. Comcamo allora dal dagramma delle ampezze: l modulo d ( è 0 log 0 ( 0 log 0 0 log 0 ( ( T T Poamo procedere el modo eguete. I prmo luogo, abbamo ua ola frequeza d brea, /T, corrpodete alla cotate d tempo T. Adamo allora ad dvduare tale frequeza ull ae orzzotale, uppoedo ce trov come dcato ella fgura eguete: E lecto aumere ce, poedoc ua decade prma rpetto a (coè corrpodeza d /0, l cotrbuto del terme ( T a tracurable rpetto agl altr, per cu la fuzoe è appromable co ( ; l corrpodete modulo ( è allora ( 0 log 0 ( 0 log0 e tratta caramete d ua retta co pedeza egatva d 0/decade. 3 Autore: Sadro Petrzzell

24 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I Per rappreetare queta retta, dato ce e coocamo la pedeza, c bata coocere u puto da ea tercettato. Allora, co rfermeto alla fgura precedete, poamo ad eempo calcolare l valore d ( corrpodeza d 0.00: facedo cot, ottee 0 ( 3 [ ( ] 0 log , da cu qud deducamo ce Dato ce uppoe oto, poamo duque dvduare queto puto ul dagramma è madare da eo ua retta co pedeza egatva d 0/decade: 0 0 log /decade Queta retta approma bee l dagramma reale fo alla frequeza d brea, a partre dalla quale l cotrbuto del terme (T - o può pù eere tracurato. Per teere coto d queto cotrbuto, c bata aumetare la pedeza d 0/decade ( quato appamo ce l dagramma delle ampezze d (T - è a ua volta ua retta co pedeza -0/decade, paado percò a -40/decade. Poamo duque cocludere ce l dagramma (atotco delle ampezze d ( è fatto el modo eguete: 0log /decade /decade Autore: Sadro Petrzzell 4

25 Aal armoca: dagramm d ode Paamo adeo al dagramma degl argomet: l argometo d ( è arg( arg arg( arg ( T ( arg( T arg( arctg( T Coderado ce >0, rulta arg(0, per cu cocludamo ce π arg( arctg ( T Abbamo duque la fuzoe -arctg(t tralata d π/ vero l bao, per cu l dagramma atotco, uado la regola del 4.8 per otteere la pulazoe, è fatto el modo eguete: arg ( π log Eempo: tema del ecodo orde Voglamo traccare l dagramma d ode della fuzoe 0. ( >0 ( 0.5 Dato ce l tema o preeta pol a parte reale potva, poamo mmedatamete rcavare la fuzoe d rpota armoca emplcemete poedo : 0. ( ( 0.5 Queta fuzoe preeta ua partcolartà, rappreetata da uo zero a parte reale potva (o, cò ce è lo teo, ua cotate d tempo egatva a umeratore. Poamo allora procedere el modo eguete: moltplcado umeratore e deomatore per la quattà (0., otteamo ( ( ( Autore: Sadro Petrzzell

26 Apput d Cotroll Automatc Captolo 6 parte I 0. I tal modo, la ( rulta data dal prodotto d u terme ( ( avete olo cotat d tempo potve e d u terme ( ul quale 0. dobbamo dagare. Queto terme ( preeta ua carattertca fodametale, ce è quella d avere modulo utaro: cò gfca ce l dagramma delle ampezze d (, ce ottee come prodotto de dagramm delle ampezze d ( e (, cocde co l dagramma d (, quato l dagramma d ( è ua retta cocdete co l ae delle ace. Per quato rguarda, vece, l dagramma delle fa, arà la omma del dagramma delle fa d ( (ce appamo traccare quato ( retra tra le fuzo aalzzate precedeza e d quello d (. Adamo allora a vedere come è fatto l dagramma delle fa d (: arg ( log I deftva, qud, l terme ( o modfca l modulo d (, metre produce uo faameto crecete co la frequeza. Per queto motvo, eo prede l ome d fattore paa-tutto: queto ome dca l fatto ce, dato u tema avete ( come fuzoe d rpota armoca e poedo greo a tale tema u egale uodale u(t A( t, d pulazoe quala, l ucta del tema è emplcemete del tpo y(t A( t ϕ. Il tema, coè, o atteua e o amplfca, ma lmta olamete a faare l greo d ua quattà dpedete da. Autore: Sadro Petrzzell e-mal: adry@ol.t to peroale: ttp://uer.ol.t/adry Autore: Sadro Petrzzell 6