Formulazione di un problema di programmazione lineare

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1 Formulazoe d u problema d prorammazoe leare ttravero la prorammazoe leare pooo eere rolt umero problem d ottmzzazoe, facedo rcoro all mplemetazoe d opportu alortm al calcolatore. L aettvo leare è dcatvo della tpoloa d relazo matematche che leao vcol e varabl del problema. I vata d queto tpo d prorammazoe oo rcoducbl prcpalmete alla pobltà che ea force d appromare ua ere d problem o lear, molto comple, rucedo a forre comuque ua oluzoe. Le fa della prorammazoe leare oo 5, e coì chematzzabl: IDENTIFICZIONE DEL PROBLEM (Idvduazoe del obettv da rauere) OSSERVZIONE DEL SISTEM (Raccolta dat e tma de parametr) COSTRUZIONE DEL MODELLO MTEMTICO (Idvduazoe d varabl decoal, fuzoe obettvo e fuzo d vcolo) VLIDZIONE DEL MODELLO (Calcolo oluzo e verfca rado d appromazoe) ppromazoe ecceva INGEGNERIZZZIONE (Uo d uo trumeto per veloczzare l calcolo) Dopo aver chematzzato le fa della prorammazoe leare, è opportuo cercare d eplctare al melo le carattertche d u tpco problema d ottmzzazoe. La forma tadard d u problema d ottmzzazoe è la euete:

2 Fuzoe obettvo z() : R m z() Stema d vcol: b R Le due codzo d leartà della fuzoe z() oo raumbl elle euet propretà:. Propretà addtva: z( y) z() z(y), y R. Propretà d proporzoaltà z( λ ) λ z() R, λ R I eerale, qud, come può evcere dalla formulazoe del problema d ottmzzazoe, occorre mmzzare la fuzoe obettvo z(). La ecoda codzoe del problema mette relazoe la matrce (m*), detta matrce de coeffcet d vcolo, e l vettore b de term ot, attravero l vettore d elemet che cottuce l vettore delle varabl del problema. Ife la terza codzoe ruarda l vcolo d potvtà delle varabl dmeoal.

3 ESEMPIO DI FORMULZIONE DI UN PROBLEM DI P.L. Modello d produzoe U dutra chmca produce tre tp d compot, B, C, utlzzado per la produzoe due tablmet. Nel prmo u ora d lavorazoe cota 5 e veoo prodott k d compoto, k d compoto B e k d compoto C. Nel ecodo mpato, dove u ora d produzoe ha u coto par a 75, o ora producoo k d compoto chmco, k d compoto chmco B e 5k d compoto C. De tre compot chmc è rcheta ua produzoe oralera par ad almeo 9, e k, rpettvamete. La produzoe de tre compot comporta la eerazoe d otaze quat; partcolare per o k d compoto producoo d otaza quate, metre per o k d compoto B o C la quattà d otaza quate prodotta è par a. Ua lee reoale ul cotrollo della qualtà dell ambete mpoe che o è poble produrre oralmete pù d 5 k d otaza quate. Coderado che o mpato può eere utlzzato a cclo cotuo, formulare l modello d prorammazoe leare relatvo alla pafcazoe ottmale della produzoe oralera de tre compot chmc, co l obettvo d mmzzare cot complev d lavorazoe. Metodoloa d roluzoe del problema Iaztutto occorre defre la fuzoe obettvo z() che tede mmzzare, ed allo teo tempo dvduare le varabl decoal. alzzado l problema, rulta opportuo celere come varabl decoal le ore d lavorazoe d o mpato, vto che tutte le altre radezze oco oo ad ee rferte. Per cu : d ore lavoratve del I mpato; d ore lavoratve del II mpato. Poché l obettvo è la mmzzazoe de coto, occorre redere mma ua fuzoe z() defta come omma de cot della produzoe del prmo e del ecodo mpato: z( ) 5 75 dove 5 e 75 oo rpettvamete cot d u ora d lavorazoe el prmo e el ecodo mpato. queto puto occorre eplctare vcol del problema. Iaztutto etoo de vcol ulle quattà da produrre: 9 Prodotto

4 Prodotto B 5 Prodotto C C oo po altr vcol ull utlzzo del tablmet. Poché o mpato può eere a cclo cotuo le codzo d vcolo oo eprmbl el euete modo: Gl ultm vcol oo quell relatv alla produzoe d otaze quat. Le quattà d otaze complevamete prodotte da due mpat valoo: I 5 7 II Per cu l vcolo è coì eprmble: 7 5 Ua volta dvduat l elemet bae che caratterzzao l problema, è poble rcrvere la forma tadard el euete modo: z() 5 75 m z() ; Il problema preeta otto codzo d vcol; l vettore è coì fatto: La matrce de coeffcet d vcolo e l vettore b de term ot oo euet: 5 7 b 5 Gl ultm due vcol o veoo rportat ella matrce quato e oo vcol d potvtà epre à ella forma tadard del problema.

5 Ua delle codzo prcpal de problem d ottmzzazoe è che le codzo d vcolo della forma tadard ao tutte rportate otto forma d equazo; el problema eame, vece, vcol oo tat formulat come dequazo matematche. Per ovvare a tutto cò rcorre ad artfc alebrc d traformazoe, dtuedo prma, però, quattro ca dver cu c può trovare: CSO : fuzoe obettvo da mamzzare Può accadere che u problema d ottmzzazoe rcheda la mamzzazoe e o la mmzzazoe della fuzoe obettvo; tal cao frutta la euete proprètà che coete d rcodurre l problema ella forma ota: ma { z() : R } m{ z'() : R } ovvero z'() z() Per cu azché fare l mamo della fuzoe z(), calcola l mmo dalla fuzoe z ()-z(). CSO : vcol epre come duualaze E u cao dvduable el problema eame. Iaztutto occorre pecfcare qual è l eo della duualaza. La procedura llutrata d euto è rferta a dequazo del tpo: a b Il problema rolve troducedo ua varable aulara defta el euete modo: a b co, maera tale da poterla erre ella formulazoe del problema d P.L. CSO B : vcol epre come duualaze La procedura llutrata d euto è rferta a dequazo del tpo: a b Il problema rolve troducedo ua varable aulara defta el euete modo: co a b, maera tale da poterla erre ella formulazoe del problema d P.L. CSO :codzoe d potvtà o oddfatta I queto cao troducoo ulteror due varabl decoal potve : e Per cu e ( ) e l vcolo rcrve ella forma: ) ( Qud le equazo che rappreetao le codzo d vcolo per l problema ame, vte le precedet coderazo dvetao:

6 Il vettore delle varabl decoal ora è cottuto da otto elemet; l vettore b è rmato varato, a dffereza della matrce che adeo è coì rappreetabl: Per trovare la oluzoe del problema occorre prma d tutto dtuere tre dver ca pobl:. m> : vcol oo umero maore rpetto alle cote. Il problema o è rolvble; tuttava occorre accertar che qualche equazoe d vcolo o a rdodate;. m : l tema è rolvble e e olo e Det() ; tal cao la oluzoe è uca;. m< : è l cao pù rcorrete ed è quello che tede rauere attravero la formulazoe del problema. Le oluzo oo fte; fra d ee ete la oluzoe ottma che è quella che mmzza la fuzoe obettvo. ffché l problema poa eere rolto queto cao occorre che a be poto, ovvero che : Rao()m. Cò vuol dre che ella matrce de coeffcet etoo coloe learmete dpedet e da ea può etrarre ua ottomatrce quadrata d orde m*m. Le oluzo che pooo otteere oo d due dver tp: oluzo ammbl, ovvero oluzo che verfcao tutt vcol; oo fte. oluzo d bae; tal cao è ecearo verfcare che ao u ottoeme delle oluzo ammbl. Quete oluzo oo umero d: m)! m!(!

7 ll tero delle oluzo d bae è poble rtraccare la oluzoe ottma emplcemete ottuedo le k oluzo bae ella fuzoe obettvo e dvduado quella che fra tutte la rede mma. Partedo empre dal preuppoto che l problema a be poto, aalzzamo d euto la procedura per l calcolo delle oluzo d bae. S defce zalmete u eme, detto eme del dc d bae, del tpo: { } m...,,, Data la matrce de coeffcet, dvduao le coloe learmete dpedet e, d volta volta, etraoo da delle ottomatrc d orde m*m cottute, apputo, olo dalle coloe dpedet. Il vettore delle varabl decoal può eere vto compoto due ottovettor, d cu uo che cotee le varabl d bae e uo coteete le varabl o d bae. La tea coa fa per la matrce, vta come l eme d due matrc cottute, ua dalle coloe learmete dpedet, e l altra dalle rmaet coloe. Per charre l cocetto rportao euet chem dcatv: m : Varabl d bae Varabl o d bae m m : Matrce de coeffcet Il problema d ottmzzazoe ella forma tadard dveta, qud l euete: [ ] [ ] [] vcol d Stema C C C z() m z() T Per trovare le oluzo d bae bata rolvere l euete tema: b b Se poe la codzoe che le varabl o d bae oo ulle, ottee:

8 b SOLUZIONI DI BSE La oluzoe d bae è ammble e e olo e oddfa l tema d vcol del problema. Iaztutto procede alla determazoe del umero d oluzo d bae etet per l problema eame:! m!( m)! 6! 8! 8 6! ( 8 ) partre dalla matrce de coeffcet, etraoo delle ottomatrc d orde m*m cottute da coloe learmete dpedet (determate delle ottomatrc dvero da zero). Le varabl che o apparteoo all eme del dc d bae oo le varabl o d bae che veoo pote par a zero. Il tema dveta qud rolvble, poché l umero d equazo è tal modo propro par al umero delle cote. I ultma aal procede alla verfca dell ammbltà delle oluzo accertado l oddfacmeto delle codzo d vcolo orare del problema. Per l cao eame, uo del em del dc d bae è l euete: {,,,,5,6 } Per cu le varabl o d bae oo 7 e 8. Il determate della ottomatrce etratta dalla matrce de coeffcet, qud, è cottuta dalle coloe,,,,5 e 6 ; ee rultao learmete dpedet come può verfcare dal calcolo del determate : 5 det( ) 7 Per cu l vettore delle oluzo è l euete: 7 9 7

9 Come è faclmete verfcable, ottuedo valor delle varabl coì rcavat elle equazo che cottucoo l tema d vcol, la oluzoe trovata è ammble. Evdetemete dovrebbero calcolare tutte le pobl oluzo d bae e otturle ella fuzoe obettvo. La oluzoe che e coetrà la mmzzazoe arà quella ottma.

10 Calcolo delle oluzo d bae d u problema d prorammazoe leare Dopo aver aalzzato el dettalo le carattertche prcpal d u problema d prorammazoe leare, la ua formulazoe e la procedura rolutva, vuole rportare u ulterore eempo cu, dato u tema d vcol, etrapolat da u problema leare, voloo determare le oluzo d bae. ; ; ; 5 8 ; 5 S defce la matrce de coeffcet : Le oluzo d bae oo,qud, umero d:! m!( m)!! 5!! ( 5 ) Il vettore de term ot b è uuale a: b 8 S cele come prmo pao l euete eme del dc d bae: {,,5} Per cu la matrce d coloe learmete dpedet arà: det( ) Per cu le varabl o d bae, pote par a zero, arao Il tema d parteza, fatte le precedet auzo, rulta : e

11 Il vettore delle oluzo arà: 5 Il vettore precedete è ammble perché rpetta tutt vcol d potvtà delle varabl mpot dal problema. S procede, qud, al calcolo d ua ecoda oluzoe celedo l euete eme d dc d bae: {,,5} Per cu la matrce d coloe learmete dpedet arà: det( ) Il vettore delle oluzo rulta coì fatto: Come è poble vedere da valor aut dalle varabl, queto cao la oluzoe o è ammble perché o veoo rpettat tutt vcol d potvtà.

12 Iterpretazoe eometrca d u problema d prorammazoe leare La oluzoe eometrca d u problema leare è teorcamete empre calcolable; tuttava occorre teer preete l mpobltà d rappreetare rafcamete u problema co pù d tre varabl. Prma d procedere co la roluzoe d ua ere d eemp, occorre forre de cocett troduttv e delle defzo prelmar. S defce ua combazoe covea, la euete combazoe leare d vettor : () () () λ (), λ, λ k,... λ () (k) λ R ()... λ k (k) dove llo teo modo defce u eme coveo Ω tale che vettor abbao combazoe leare acora Ω. () ad eo apparteet Ω R λ λ è () coveo k λ λ () λ (), () (), (),... (k)... λ k S defce, qud l eme delle oluzo ammbl come l terezoe fra due em: Ω Ω Ω Ω Ω { R : a b } { R : } Ω (k) Ω I partcolare Ω è u eme a cu apparteoo tutt vettor che oddfao la codzoe a b ; a è l vettore ra della matrce de coeffcet d vcolo che compaoo ella forma tadard del problema. Ω è vece l eme d tutt l che oddfao la codzoe d potvtà mpota ella formulazoe tadard del problema d p.l. Ife defce puto etremo apparteete all eme Ω la combazoe leare d vettor che rappreeta ua oluzoe ammble del problema. I deftva l procedmeto loco che è alla bae della roluzoe rafca d u problema d prorammazoe leare è l euete:. dvduare l eme Ω ;. verfcare che Ω o a u eme vuoto ( Ω );. dvduare put etrem d Ω ;

13 . rcercare la oluzoe ottma. Eempo Rolvere l rafcamete l problema d prorammazoe leare co la euete forma tadard: z() m z() S.V. O equazoe d vcolo vee rappreetata come ua retta u u daramma carteao: ; r ; r ; r ; r r5 RPPRESENTZIONE GRFIC DEI VINCOLI 6 X 8 6 r r r E D C - -5 B 5 5 X

14 I put, B, C, D, ed E che delmtao l domo Ω e rappreetao, qud, uo put etrem. Le coordate d tal put oo le euet: (,) B(,) C(,) D(,) E(,) S procede ottuedo valor aut da put etrem, le cu coordate oo propro e, ella fuzoe z() che tede mmzzare. Per cu ottee: z z B z C z D z E 8 Il puto etremo del domo che mmzza la fuzoe obettvo è B; pertato eo rulta eere oluzoe ottma del problema. Grafcamete è poble determare la oluzoe ottma facedo alcue coderazo ul radete del vettore de coeffcet d e. Per l cao quetoe l vettore C è l euete: C S procede, qud, rappreetado ullo teo daramma carteao, precedetemete rportato, l vettore C, e dvdua fra le rette ortooal alla drezoe del radete, paat per put etrem, la retta pù baa.