CONDUZIONE TERMICA INSTAZIONARIA IN UN CILINDRO OMOGENEO E ISOTROPO

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1 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO Valero D AESSANDO * * Igegere Termomeccaco; Dottorato d cerca Eergetca ; Gruppo d Termofludodamca, Uvertà Poltecca delle Marche EQUAZIONE DEA CONDUZIONE TEMICA Il problema fco della coduzoe termca è retto da uequazoe dfferezale leare alle dervate parzal o omogeea che ottee a partre da ua legge geerale e da u equazoe cottutva: la prma è otteuta a partre dal prmo prcpo della termodamca e la ecoda, vece, è otteuta dall oervazoe fca del feomeo ed è po avvalorata dal potulato d produzoe etropca. Il procedmeto logco che porta alla dervazoe dell equazoe geerale della coduzoe, come acceato, è baato ullapplcazoe del prmo prcpo ad u volume d cotrollo che a tereato da ol camb termc coduttv; deduce faclmete che deve eere: Fluo termco coduttvo + Geerazoe tera d calore = Varazoe el tempo delleerga tera eedo lo cambo d lavoro fra l volume d cotrollo e lambete ullo quato è ell ambto della Tramoe del Calore. A queto puto d ottee: () ΦdS G r,t d c r,t u t d dove l prmo addedo al prmo membro della () rappreeta la poteza termca etta cambata per coduzoe attravero l volume d cotrollo fato, eedo l vettore fluo termco; l ecodo addedo è l terme rappreetatvo della geerazoe tera d poteza termca co G = G(r,t) geerazoe volumetrca d poteza termca; al ecodo membro è vece dcata la varazoe d eerga tera el tempo alltero del volume d cotrollo. Applcado l teorema d Gau-Gree ha che: () ΦdS Φ d Sottuedo la () ella (): (3) Φd Gr,td c r,t u t d ordado e teedo coto della leartà delloperatore tegrale ottee: (4) u Φ G p t r,t c r,t d Poché ltegrale (4) è ullo qualuque a l domo d tegrazoe, rchamado u fodametale teorema dellaal, deduce che ache l campo calare tegrado deve eere ecearamete ullo per cu: (4,a) Φ G T t r,t c r,t A partre dall equazoe geerale, per raggugere la chuura del problema è ecearo trodurre u equazoe cottutva che legh l fluo termco alla campo termco: fuzoa molto bee, a tal propoto, l potulato d Fourer che ell pote d mezzo otropo crve ella forma:

2 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - (4,b) Φ T r,t l quale, come gà detto, è frutto dell oervazoe fca ma è fortemete avvalorato dal potulato d produzoe etropca: può dmotrare, fatt, che l potulato d Fourer oddfa l potulato d produzoe dell etropa. Sottuedo la (4,b) (4,a) ottee: (5) T t Tr,t Gr,t c r,t che ellpote d mezzo omogeeo: (6) T T t r,t Gr,t r,t a (5) è lequazoe fodametale della coduzoe termca u mezzo omogeeo e otropo. Nel eguto farà rfermeto a ol ca cu la geerazoe d calore a aete (G(r,t)=). I queta pote la (6) rduce ad uequazoe d Fourer: (7) T T t r,t r,t a oluzoe della (7) coete d determare l campo termco alltero del domo eame, e d calcolare qud l fluo termco attravero le uperfc. I geerale per le equazo alle dervate parzal e, qud, ache per l equazoe della coduzoe, o è poble rcavare ua oluzoe per va aaltca ed metod d tegrazoe aaltca dpobl (come la tecca d eparazoe delle varabl) oo d lmtata applcabltà. Peraltro, ache ca cu cooca u tegrale geerale, o è detto che reca a determare u tegrale partcolare. Per otteere quet ultmo, fatt, boga aegare opportue codzo al cotoro ulla temperatura (e/o ulle ue dervate) alla frotera del domo. tegrale geerale, oltre, dpede da fuzo arbtrare (e o da cotat arbtrare, come accade per le equazo dfferezal ordare), e l mpozoe delle codzo comporta la roluzoe d problem matematc, geerale, etremamete complcat. D coegueza, dal puto d vta teorco, c deve accotetare d tudare olamete l eteza e l uctà della oluzoe d ua equazoe alle dervate parzal. Quete coderazo eprmoo l mportaza dell utlzzo de metod umerc. obettvo d queta breve epozoe cote el determare ua oluzoe della (7), la quale arà trovata otto opportue pote emplfcatve che arao pegate eguto. e codzo al cotoro che pooo porre per u problema dfferezale come quello della coduzoe termca oo eezalmete d 3 tp e, ell ambto della Tramoe del Calore, clafcao come egue. Codzo al cotoro del prmo tpo (o d Drchlet): S ha quado è fata la temperatura ulla uperfce del domo; el cao geerale la temperatura è fuzoe a del tempo che dello pazo: (7,a) t f r,t Ca partcolar della (7,a) hao e la temperatura è fuzoe olo della pozoe o olo del tempo o, acor pù emplcemete e è ua cotate. Codzo al cotoro del ecodo tpo (o d Neuma): S ha quado è fata la dervata ormale della temperatura ulla uperfce del domo; tale dervata può eere fuzoe a del tempo che dello pazo: (7,b) T f r,t Queta codzoe al cotoro equvale a fare l fluo termco attravero la uperfce del domo d tegrazoe dellequazoe. I partcolare è: (7,c) T

3 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - e l corpo è termcamete olato. U eempo d codzoe al cotoro d II tpo ha a regme u coduttore percoro da correte elettrca: ulla uperfce del coduttore v è u fluo d calore geerato teramete per effetto Joule. a tea coa può avere ulla uperfce d u elemeto d combutble ucleare ede d proce d foe. Codzoe al cotoro d terzo tpo (o d ob): S ha quado è fata ua combazoe leare fra la temperatura della uperfce e la dervata ormale alla uperfce tea: (7,d) T t f r,t Fcamete cò gfca che v è tramoe del calore per covezoe, accordo co la legge d Newto, fra le uperfc del corpo e l mezzo etero (fludo) la cu temperatura t f può varare a co l tempo a co la pozoe lugo la uperfce. I tre tp d codzo al cotoro decrtt coproo la maggor parte delle pobl catche aocate agl camb termc coduttv e hao la propretà fodametale d eere codzo al cotoro lear. PAAMETI ADIMENSIONAI NEO STUDIO DEA CONDUZIONE TEMICA Ne problem d Tramoe del Calore, e ella Fca Tecca geerale, è utle rcorrere alltroduzoe d quattà admeoal modo da rdurre l umero d varabl goco e otteere ua maggore geeraltà e rultat fal. Nellambto della coduzoe termca defcoo le eguet varabl admeoal: Coordata admeoale: Temperatura admeoale: Numero d Bot: B h x X T T T T Numero d Fourer o tempo admeoale: t Fo Il gfcato fco del umero d Fourer lo può faclmete rcavare crvedolo ella forma: t Fo t c t Fo 3 c Eo l rappreeta l rapporto fra la quattà d calore tramea per coduzoe el tempo t attravero lo trato d peore e l volume 3 otto ua dffereza d temperatura utara e la capactà termca dello trato teo; maggore è l umero d Fourer maggore è la peetrazoe d calore el corpo u determato tervallo d tempo. Il gfcato fco del umero d Bot ottee, aalogamete al umero d Fourer, rcrvedolo come: h B h Scrtto queta forma, eo equvale al rapporto fra la reteza termca utara coduttva e quella covettva. Il umero d B eprme u crtero per tablre fo a che puto a opportuo coderare la dtrbuzoe d temperatura uforme u corpo e problem d cambo termco regme varable. I altr term l umero d Bot determa l campo d applcabltà del coddetto approcco a parametr cocetrat, che è applcable ella codzoe che rult: B. 3

4 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - POBEMA DE CIINDO OMOGENEO ED ISOTOPO obettvo che c prefgge è d rcavare la dtrbuzoe della temperatura u cldro fto cottuto da materale omogeeo ed otropo aeza d geerazoe tera d calore zalmete a temperatura uforme e cotate e, uccevamete, portato maera mpulva ulla ua uperfce laterale ad ua temperatura ferore a quella zale. S aume oltre che a valda la codzoe B modo da poter tracurale lo cambo termco covettvo del cldro co l etero. Il problema fco brevemete decrtto trova la eguete formulazoe aaltca: (8) Tr, T T,t Te T T r r r r t a oluzoe del problema dfferezale opra epoto può eere trovata co l metodo d eparazoe delle varabl, ell applcare queto metodo è empre coveete avere codzo al cotoro omogeee, percò tale ottca è utle porre: (9) r,t Tr,t Te Alla luce della (9) l equazoe (8) e le ue codzo al cotoro dvetao: () r,,t r r r r t C poe l obettvo d trovare la oluzoe della () ella forma: (),t Fr G t r Sottuedo () () ottee: () r F r F r r F F r t G G t a () può eere oddfatta e e olo e etramb uo membr oo ugual ad ua medema cotate. Eedo e coe a due varabl recprocamete dpedet; per coereza fca co l problema eame, oltre, è ecearo che tale cotate a egatva: dovedo l cldro maltre l ecceo d temperatura eo preete. S ottee qud: (3) (4) F G r r F r Fr t Gt a (3) è u equazoe d Beel d orde zero: le oluzo d tale equazoe dcoo fuzo cldrche e fra tal fuzo aoverao le fuzo d Beel d prma e ecoda pece e le fuzo d Hekel. I queta trattazoe farà rfermeto alle ole fuzo d Beel d prmo orde e d prma pece. Ua geerca oluzoe della (3) è: (5) r C J r F ella (5) J (r) è la fuzoe d Beel d prmo orde e prma pece coì defta: J r! r a oluzoe della (4) ha vece la forma: (6) G t C e t 4

5 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - Sottuedo (4) e (6) () ottee: (7) t,t Ae J r r a (7) deve oddfare la codzoe al cotoro per cu: t r,t Ae J dove oo gl zer potv ordat maera crecete d J (r). a cotate arbtrara β, che è trodotta per ecetà aaltca, deftva è coea agl zer della fuzoe d Beel d prma pece e d orde zero ed al raggo del cldro: (8) t r,t Ae J r a (8) rappreeta ua eme umerable d oluzo partcolar dell equazoe che govera l problema e da ee parte per otteere l tegrale della geerale della (8) che può eere crtto come combazoe leare delle (8): (9) r,t A t e J r Sulla (9) può eere falmete mpota la codzoe zale d temperatura uforme da cu ottee: () AJ r a () può eere fruttata per otteere coeffcet dello vluppo ere. Poché per le fuzo d Beel vale la propretà d ortogoaltà: () xj xj xdx J m J v per m per fuzo d Beel d orde zero la () dvee baalmete: () xj m xj xdx m J Operado l cambo d varable x = r/ può crvere: (3) rj r r J m dx J m a (3) ha u ruolo d prmo pao el calcolo de coeffcet A. A tal fe moltplcado etramb membr della () per m rj r ed tegrado ell tervallo [,] ottee: (4) rj m r dr A rj rj m rdr 5

6 CONDUZIONE TEMICA INSTAZIONAIA IN UN CIINDO OMOGENEO E ISOTOPO V. D Aleadro Copyrght ADEPON Tutt Drtt ervat - S preca che è poble l vertbltà d ere ed tegrale pochè oo oddfatte le pote de teorem che regolao tale paaggo. Valedo oltre le relazo: (5) (6) d dx d dx x J x x J x v v x J x x J x v v per le fuzo d orde zero deve rultare: (7) x J J x Operado l cambo d varable x = r/ ella (6) ottee, per = : (8) d dr rj r rj r Teedo coto della (3) e della (8), l equazoe (4) aume la forma: (9) rj r A J Da emplc calcol algebrc, e tededo coto che J () =, a partre dalla (9) ottee l epreoe fale de coeffcet A : (3) A J Sottuedo la (3) ella (4) ottee l tegrale del problema dfferezale a cu è fatto rfermeto ad zo d paragrafo: (3) r,t e t J r J A queto puto, la formulazoe admeoale della dtrbuzoe d temperatura el domo dveta: (3) * * Fo J,Fo e Il fluo termco, vece, lo ottee drettamete dal potulato d Fourer: J (33) T Φ e r e r r t e J r J Nella pratca gegertca è cooldata l abtude d trocare gl vlupp ere, che compaoo elle oluzo dell equazoe d Fourer, al prmo orde, quato per F, l errore che commette è ferore al %. 6