Propagazione delle incertezze

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1 Propagazoe delle certezze Luca Mar, versoe Questo testo è dstrbuto co Lceza Creatve Commos Attrbuzoe Codvd allo stesso modo 4.0 Iterazoale Coteut Itroduzoe...1 Rappresetazoe d gradezze codzo d certezza... Icertezze relatve... Dall certezza tpo all certezza estesa...3 Propagazoe de valor msurat...3 Propagazoe delle certezze: caso a u sgolo argometo...4 Alcu esemp...4 Propagazoe delle certezze: caso a pù argomet...5 Alcu cas semplc d propagazoe delle certezze...5 U esempo...5 Propagazoe delle dstrbuzo...6 U esempo...6 I prcpal cocett trodott questo captolo devazoe stadard campoara... fattore d copertura...3 certezza estesa...3 certezza relatva... certezza tpo... certezza tpo combata...4 tervallo d cofdeza...3 legge d propagazoe delle certezze...5 lvello d cofdeza...3 metodo Mote Carlo...6 valore msurato... Itroduzoe Ua gradezza X è stata valutata (per esempo msuradola) volte, codzo d rpetbltà e d dpedeza statstca e come rsultato d tal valutazo è stato otteuto l campoe x 1,..., x. Il fatto che gl elemet del campoe sao dvers tra loro e che l valore x o sa precsamete prevedble a partre da valor x 1,..., x 1 suggersce d formalzzare la gradezza X come ua varable casuale, otteuta da ua dstrbuzoe d probabltà che geerale è o ota (come d abtude statstca, per semplctà adotteremo lo stesso smbolo, X, per dcare sa la gradezza sa la varable casuale ad essa assocata, e altereremo lberamete l rfermeto a X come gradezza e come varable). Noostate la codzoe statstco-probablstca, è abtuale rappresetare la gradezza medate u sgolo elemeto x del suo seme supporto A, x A, duque: X = x come quado, per esempo, s scrve: lughezza(oggetto) = 1,3 m U mportate ragoe d questa rappresetazoe è che le legg (geometrche, fsche, ecoomche,...) che descrvoo le relazo tra gradezze soo geeralmete scrtte suppoedo che le varabl abbao come valor sgol umer (co evetual utà d msura, ua precsazoe o rlevate qu). Cosderamo l caso, suffcetemete geerale, d ua gradezza Y, al cu valore samo teressat ma che o sappamo valutare drettamete, ma solo attraverso ua fuzoe f: Y = f(x 1,..., X K ) cu le X soo varabl casual. Ache Y è allora geerale ua varable casuale, le cu caratterstche dovrebbero essere dervate dalle caratterstche delle varabl casual X propagate attraverso la fuzoe f. Poché l formazoe sulle gradezze X è certa, u problema d questo geere s chama d propagazoe 1

2 delle certezze (l terme tradzoale è propagazoe degl error : o dscuteremo qu l evetuale dffereza). La pù semplce stuazoe d propagazoe delle certezze è el caso Y = f(x). Potrebbe trattars per esempo del calcolo della superfce d u oggetto quadrato a partre da u campoe d valor per la sua lughezza, Y = f(x) = X. U poco pù complessa è per esempo la stuazoe cu le varabl dpedet da cosderare soo due, come el caso cu s vogla calcolare la superfce d u oggetto rettagolare a partre da campo d valor per le sue due dmeso, Y = f(x 1, X ) = X 1 X. Rcordamo prma d tutto come s può rappresetare l formazoe su ua gradezza l cu valore è certo. Vedremo po come propagare le certezze attraverso fuzo a u argometo e po a K >1 argomet. Rappresetazoe d gradezze codzo d certezza Come sappamo, codzo d certezza l formazoe su ua gradezza può essere stetzzata partcolare medate ua statstca d poszoe e ua statstca d dspersoe. Abbamo gà dscusso crca lmt d applcabltà della meda campoara. Quado essa rsulta applcable, e s potzza che la dstrbuzoe da cu l campoe è stato otteuto sa suffcetemete regolare, l valore medo della varable casuale è stmato medate l valore medo campoaro: m X = 1 =1 x che porta u formazoe d poszoe sulla dstrbuzoe su valor possbl della varable casuale, e vee qud usato come valore rappresetatvo per la gradezza, chamato breve valore msurato. I asseza d altra formazoe, è duque l valore msurato che vee applcato alla fuzoe f per calcolare u valore y per la gradezza Y. L formazoe sulla gradezza X dovrebbe però essere rappresetata o solo medate l valore msurato ma ache attraverso ua statstca d dspersoe, che specfch l certezza d tale valore, che è evdetemete dovuta alla dspersoe de valor della varable casuale toro al suo valor medo. Rcordamo che la varaza campoara è: ( x m X ) s =1 X = 1 La sua radce quadrata, coè la devazoe stadard campoara, è ua statstca d certezza relatva alla varabltà della gradezza. D altra parte, c teressa valutare l certezza o drettamete della varable casuale ma del suo valor medo, coè del valore msurato della gradezza, che è a sua volta ua varable casuale: eseguedo pù campoamet dalla stessa dstrbuzoe, s otterrebbero fatt valor med campoar dvers. Duque la varaza del valore msurato è: s m X = s ( x m X ) X = =1 ( 1) la cu radce quadrata: =1 ( x m X ) = u X = s X ( 1) è ua devazoe stadard, dmesoalmete omogeea al msurado, chamata certezza tpo ( glese stadard ucertaty, da cu l smbolo u X ) del valore msurato. I codzo d certezza l formazoe su ua gradezza può essere duque stetzzata dalla coppa m X, u X, valore msurato e certezza tpo. Icertezze relatve L certezza tpo u X forsce u formazoe sulla stabltà del valore msurato, ma matee ua certa ambgutà: per esempo, ua stessa certezza d 1 W sul valore della ressteza d u resstore da 10 W e d uo da 10 kw flusce modo be dverso sulla qualtà de due valor msurat. Per rdurre questa ambgutà, s usa rportare l certezza relatva, defta come: u Xrel = u X m X

3 duque mettedo relazoe l valore dell certezza tpo co l valore msurato. Poché geeralmete u Xrel è u umero pccolo, lo s dca specfcadoe solo la prma cfra sgfcatva e la poteza egatva d dec per cu è moltplcato. Per esempo, se (tralascado l dcazoe dell utà d msura) m X = 40,6 e u X = 0,03 allora l certezza relatva è u Xrel = 0,03/40,6» 0,0007 coè u Xrel = U altro metodo per rportare le certezze relatve è d moltplcarle per 10 3, e qud d comucarle per mlle (ell esempo, 0,7 ), oppure ache d moltplcarle per 10 6, e qud d comucarle part per mloe (ell esempo, 700 ppm). Dall certezza tpo all certezza estesa E spesso utle esprmere le msure come tervall d dffereza, tal coè che og elemeto dell tervallo possa essere scelto co u alta probabltà come valore per la gradezza. S può passare dalla rappresetazoe medate certezze tpo a quella per tervall moltplcado l certezza tpo u X per u fattore d copertura ( glese coverage factor) k, otteedo così l certezza estesa ( glese expaded ucertaty) U X =k u X, tale duque che [m X U X, m X +U X ] sa l tervallo d dffereza cercato. Assumedo che sa ota la dstrbuzoe d probabltà d cu m X è l valor medo e u X è l certezza tpo, può essere rcavata la relazoe tra l tervallo così otteuto, chamato tervallo d cofdeza, e la probabltà dell tervallo stesso, chamata tal caso lvello d cofdeza. C è evdetemete ua relazoe d mootoctà dretta tra fattore d copertura e lvello d cofdeza, e qud tra ampezza dell tervallo d cofdeza e lvello d cofdeza, relazoe che può essere espressa aaltcamete se s coosce la dstrbuzoe d probabltà sottostate. Nel caso d dstrbuzoe gaussaa, partcolare: fattore d copertura lvello d cofdeza 1 0,68 1,645 0,9 1,960 0,95 0,9545,576 0,99 3 0,9973 Propagazoe de valor msurat Data ua relazoe fuzoale Y = f(x 1,..., X K ) se le X soo varabl casual, ogua co valor medo m e certezza tpo u, evdetemete ache la Y sarà ua varable casuale, dpedete dalle X attraverso la fuzoe f. Dalle K coppe m, u e cooscedo l espressoe aaltca d f s poe duque l problema d come calcolare la coppa m Y, u Y per la varable casuale Y, coè propramete la msura per la gradezza Y. Per quato rguarda m Y, la scelta abtuale è: m Y = f(m 1,..., m K ) che però è o problematca solo el caso cu f sa leare. Solo questo caso, fatt dcado co E[X] l valore atteso della varable casuale X, vale che f(e[x 1 ],..., E[X K ]) = E[f(X 1,..., X K )], coè o è rlevate se prma s calcolao valor med delle X e po ad ess s applca f, come appea supposto, oppure s applca f agl elemet de K campo e po s calcola l valor medo d Y sul rsultato, u opzoe d prcpo altrettato ammssble. Vedamo u semplce esempo, el caso d ua fuzoe o leare moo-argometale, coè co K = 1, come: Y = f(x) = X co cu potremmo valutare l area d ua superfce quadrata a partre dalla msura del suo lato. Suppoamo che X sa stato valutato tre volte, otteedo x 1 =1.00, x =1.10, x 3 =1.30 ( umer soo evdetemete artfcal e stamo tralascado l dcazoe dell utà d msura). Le due procedure forscoo allora: m Y = f(e[x])» (m X ) = x 1 x x 3 /3 =1.8 e: 3

4 m Y = E[f(X)] = E[X ]» x 1 x x 3 /3=1.30 Il fatto che rsultat sao dvers mostra che la scelta della procedura o è geerale dfferete. D altra parte, l crtero d scelta è complesso: potremo qud cotuare ad assumere che valor msurat s propagho secodo la procedura tradzoale. Propagazoe delle certezze: caso a u sgolo argometo Il calcolo d u Y è pù complesso. Comcamo a cosderare l caso semplce delle fuzo a u solo argometo, K = 1, cu duque Y = f(x). La preseza d u certezza su X fa sì che valor x sao geerale o cocdet co l valor medo m X e qud che a og valore sa assocato uo scarto x m X. Assumedo che gl scart x m X sao suffcetemete pccol e che l comportameto d f toro al puto m X sa suffcetemete leare, s può svluppare f sere d Taylor toro a m X arrestados al terme del prmo orde: y= f ( x)= f ( m X )+ df dx ( x m X ) avedo dcato co df/dx la dervata df/dx della fuzoe f calcolata el puto m X. D altra parte, poché abbamo assuto che f(m X ) = m Y : y m Y = df dx ( x m X) relazoe che stablsce la dpedeza de (pccol) scart d y toro a m Y da (pccol) scart d x toro a m X (rcordamo che lo svluppo sere d Taylor cosete d calcolare l valore f ( x+δ x) a partre dal valore d f(x) e delle dervate d f calcolate x: f ( x+δ x)= f (x)+ df dx Δ x+ d f dx Δ x! + d 3 f dx 3 Δ x 3 3! +..., dove apputo d f dx è la dervata -esma della fuzoe f calcolata x). Tal scart possoo essere mmedatamete trasformat certezze tpo, otteedo: u Y = df dx u X (espressoe che tra l altro gustfca l dea che questo o sa altro che u problema d cambo d varabl). Il valore u Y, chamato certezza tpo combata della gradezza Y dpede dall certezza tpo u X della gradezza X attraverso l terme df / dx, che rappreseta duque u coeffcete d sesbltà della varazoe d X medate f ell toro del puto m X. Per esempo, se Y =f X = X allora df dx = m X e qud u Y = m X u X (aturalmete queste equazo soo dmesoalmete corrette, el seso che [u Y ]=[Y ] ; fatt assumedo che [ X ]=[u X ] e cosderado che [dx ]=d [ X ], d [f ] d [x ] [u X ]=[f ]=[Y ] ). Alcu esemp (S ot: valor umerc rportat quest esemp o soo realstc e le gradezze soo dcate omettedo l utà d msura) Y =X k Poché df /dx =1, allora u Y =u X L certezza o s modfca per traslazoe. Y =k X Poché df /dx =k, allora u Y =k u X Se l certezza assoluta d Y è k volte superore a quella d X, le certezze relatve, u Xrel =u X / m X e u Yrel =u Y / m Y =k u X / k m X, soo ugual. Y =X Poché df /dx =X, allora u Y = m X u X Duque questo caso l certezza dpede dal valore della gradezza d gresso. Per esempo, se m X =10 e u X =, allora m Y =m X =100 e u Y = m X u X = 10 =40. I term d certezze relatve: u Xrel =/10=0, metre u Yrel =40/100=0,4 : la relazoe quadratca tra X e Y peggora ache l certezza relatva. 4

5 Y =s( X ) Poché df / dx =cos( X ), u Y = cos(m X ) u X Duque ache questo caso l certezza dpede dal valore della gradezza d gresso. Per esempo, se m X =0 e u X =0,1, allora m Y =s(m X )=0 e u Y =cos(m X ) u X =1 0,1=0,1. Nell toro d m X =0, la fuzoe Y =s( X ) è approssmata come Y X : l certezza tpo d Y è uguale all certezza tpo d X. Propagazoe delle certezze: caso a pù argomet Possamo ora geeralzzare l dscorso precedete al caso cu la fuzoe f ha K > 1 argomet, acora svluppado f sere d Taylor toro al puto m 1,..., m K e arrestados a term del prmo orde. Nell potes che le covaraze tra le gradezze d gresso X sao trascurabl, dopo alcu passagg aalogh a quell comput el caso moo-argometale s ottee: K ( y m Y ) = ( f ) ( x x m ) e qud: K =1 =1 = u Y ( f ) u x espressoe che cosete d calcolare l certezza tpo d Y fuzoe delle certezze tpo delle X (ota: ache questo caso, coeffcet d sesbltà f / x s tedoo calcolat el valor medo m 1,..., m K ). Pù geerale, cosderado le covaraze u, j (e dcado co u, =u la varaza d X ): = u Y =1 K K j=1 f f u x x, j j la versoe geerale della cosddetta legge d propagazoe delle certezze. Alcu cas semplc d propagazoe delle certezze coè d applcazoe a cas partcolar della legge: u Y = ulle): se Y =X 1 X allora u Y =u 1 u ; K f u =1 x (duque ell potes d covaraze se Y =X 1 X allora u Y =m u 1 m 1 u o ache, pù espressvamete u Yrel =u 1rel u rel ; se Y=X k allora u Y = k m k 1 X u X o ache, pù espressvamete u Yrel = k u Xrel. Nell esempo semplce Y =X 1 X, applchamo ache la formula per covaraze o ulle (rcordado aturalmete che u, j =u j, ): K K u Y = f f u =1 j=1 x x, j = f [ f u j x 1 x 1 f u 1 x 1, ] f [ f u x x 1, f u 1 x ] f e poché questo caso = f =1 s ha falmete che u x 1 x Y =u 1 u u 1,. U esempo S vuole valutare la poteza P dsspata a cap d u resstore a cu è applcata ua tesoe, ma o s dspoe d u sstema per msurare drettamete P. S rcorda, d altra parte, che P=V / R, dove V è la tesoe applcata al resstore e R è la sua ressteza. Dspoedo d u sstema d msura che cosete d valutare V e R, s potrà allora calcolare, coè msurare drettamete, P. Suppoamo che la msurazoe d V e R sa stata rpetuta. Da corrspodet campo s calcolao valor med m V e m R e le certezze tpo u V e u R, così che l formazoe per V e R è rappresetata dalle coppe m V,u V e m R, u R rspettvamete. Il problema è duque d calcolare m P, u P per la poteza dsspata. Per quato rguarda m P, semplcemete m P =m V / m R. Per calcolare u P s utlzza la legge d propagazoe delle certezze, ell potes d covaraze ulle: u P =( f V ) u V +( f R ) u R =( m V ) u m V +( m V ) u R R m R 5

6 Il passo successvo potrebbe essere d rcooscere che l modello della msurazoe prevede la dpedeza d R dalla temperatura t, R(t)=R 0 [ 1+α(t t 0 )], dove R 0 è la ressteza del resstore alla temperatura t 0. Propagazoe delle dstrbuzo La procedura dcata per la propagazoe delle certezze può o essere sempre applcable, partcolare perché s rtee troppo complessa, o o approprata (per esempo perché f è sesblmete o leare toro al valor medo delle gradezze d gresso, e qud u approssmazoe solo al prmo orde ello svluppo sere d Taylor è crtca ma s gudca troppo complesso u trattameto aaltco dell approssmazoe a ord superor), o o fattble (per esempo perché f o è dervable toro al valor medo delle gradezze d gresso). S può allora adottare ua stratega alteratva per valutare l certezza per la gradezza Y, medate ua tecca d tpo o aaltco ma umerco, basata sul metodo Mote Carlo. Suppoamo che sao ot la fuzoe Y = f ( X 1,..., X K ) e le dstrbuzo delle gradezze d gresso X (e qud o solo le coppe m, u ). U campoe d put è ua K-upla d valor x 1,..., x K, cu og x è otteuto dalla dstrbuzoe assocata a X (se le varabl casual X o fossero dpedet la K-upla dovrebbe essere otteuta per campoameto dalla dstrbuzoe coguta). Evdetemete da x 1,..., x K s può calcolare u valore y per Y, y = f(x 1,..., x K ). Suppoamo ora che queste due operazo campoameto dalle K varabl d put a f e calcolo d f sul campoe così otteuto sao rpetute u umero W suffcetemete elevato d volte. S geera questo modo u campoe y 1,..., y W d valor per Y. Se W è apputo suffcetemete elevato (dell orde delle dece d mglaa d elemet o pù), la sua dstrbuzoe a frequeze relatve s può affdablmete cosderare o dstguble dalla dstrbuzoe d probabltà d Y. Il valor medo e la devazoe stadard del campoe forscoo duque valor m Y e u Y cercat, ma da tale dstrbuzoe s possoo ache calcolare drettamete gl tervall d cofdeza per og dato lvello d cofdeza rchesto. Questa tecca duque propaga le dstrbuzo, e o solo le certezze, e ha ache l merto d o rchedere la coosceza de coeffcet d sesbltà d f. U esempo Suppoamo (valor umerc o realstc e seza dcazoe d utà d msura): Y = f ( X 1, X )= X 1 + X co etrambe le gradezze d gresso dstrbute uformemete, egl tervall 10± e 0±3 rspettvamete e statstcamete dpedet. Utlzzado per esempo u foglo d calcolo, geeramo W campo d put, coè W coppe d valor dstrbut come rchesto (cofdado duque ell uformtà del geeratore d umer casual del programma) e sommamo valor d ogua delle W coppe. La dstrbuzoe de valor y otteut può essere allora vsualzzata stogramma: e da essa possoo essere calcolat m Y e u Y. Naturalmete la qualtà dell operazoe dpederà sa dalla qualtà del geeratore d umer casual adottato, sa dalla dmesoe W del campoe (el caso raffgurato, W = 10000) ( questo caso o è dffcle cofrotare rsultat otteut co Mote Carlo co quell aaltc: le certezze tpo soo u 1 =/ 3 e u =3/ 3, e qud u Y = u 1 +u,08 ). 6