Approfondimenti su: cinematica, moto in una dimensione

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1 Approondmen su: cnemaca, moo n una dmensone Problem,,3,4: dcolà meda, ul per la preparazone all esame Problem 5,6: argomen d approondmeno, acola ) Un ghepardo, n agguao nella saana, asa una gazzella e pare all aacco. a sua poszone meda ene osseraa arare nel empo secondo la legge x() x + b, durane prm second del suo momeno. a) Che cosa rappresenano paramer x e b, e qual sono le loro dmenson e unà d msura? b) Ponendo alor numerc d x e b rspeamene a. e 4. (nelle rspee unà d msura), calcolare la elocà meda del ghepardo nell nerallo emporale da. s a 3.6 s. c) roare la elocà sananea al empo.6 s, parendo dalla ormula della elocà meda e consderando nerall emporal a a pù pccol:. s,. s,. s. d) roare l espressone della elocà sananea, calcolarla a.6 s e commenare. ) Nel ubo a ragg caodc d un elesore, un elerone enra n una regone n cu è accelerao unormemene per mezzo d or camp elerc, passando da una elocà nzale d 3. 4 m/s ad una elocà nale d m/s n una lunghezza d. cm. Per quano empo l elerone permane nella regone d accelerazone e qual è l alore dell accelerazone? (Queso è da ars dopo aer sudao l moo armonco semplce) 3) Un corpo appeso ad una molla osclla n ercale con un moo armonco semplce d ampezza A.3 m, pulsazone ω 3π rad/s e cosane d ase ϕ π/ rad. S calcolno sposameno, elocà e accelerazone sananee a emp seguen: (a) s; (b).5 s; (c). s; (d).7 s. 4) All usca d una cura, l macchnsa d un reno che sa aggando a Km/h s accorge che una locomoa da manora è enraa nello sesso bnaro da una dramazone posa.47 Km pù aan. a locomoa procede a 9. Km/h, nella sessa drezone del reno. Il macchnsa azona mmedaamene la renaura rapda. Quale dee essere l alore mnmo della decelerazone cosane mpressa dal reno per eare una collsone? 5) Un razzo spermenale ene lancao ercalmene; l moore è progeao per ornre un accelerazone a.3 m/s erso l alo, n modo da ncere l accelerazone d graà, ma per un malunzonameno la spna del moore dmnusce lnearmene col empo (coè secondo una legge del po a() a k, con k cosane), arresandos del uo dopo 4 s. a) Qual è l alezza massma ragguna dal razzo? b) Dopo quano empo l razzo rcade (ronosamene) a erra? (s consder l accelerazone d graà g 9.8 m/s pracamene cosane a qualunque quoa) 6) Un oggeo, parendo dalla poszone nzale x al empo s, s muoe su una rea secondo la legge orara x() rappresenaa nel graco. Cosrure qualaamene grac della elocà sananea () e dell accelerazone sananea a() (presare aenzone a pun e 5 ). x x

2 Soluzon de problem d approondmeno d: cnemaca, moo n una dmensone ) Consderamo x() x + b ; oamene x ha le dmenson d una lunghezza, qund: a) x ha le dmenson d una lunghezza e s msura n mer (m). Derando una ola rspeo al empo s passa da x() alla elocà () b; derando una seconda ola s roa l accelerazone a() x b, per cu l paramero b è ½ dell accelerazone del ghepardo. e sue dmenson sono qund quelle d un accelerazone, e l unà d msura x sarà m/s, n modo che molplcando per l empo al quadrao s oengano mer: ([b] [ ] m/s s m). Il moo del ghepardo è unormemene accelerao (almeno ne prm san) se b è cosane. b) Ponamo x. m e b 4. m/s e chamamo. s (empo nzale), 3.6 s (empo nale). a elocà meda nell nerallo emporale dao sarà: x x x x( ) x( ) x + b ( x + b ) b ( ) 4.m/s (3.6. )s (3.6.)s.6 m/s ( 7.6 km/h) c) Calcolamo ders alor d elocà che s oengono dalla ormula precedene consderando l empo nzale.6 s, e come empo nale +. Per. : x ( ) x ( ) b[( + ) ] b[( + ] 4. m/s [ ]s.s 3.86 m/s Allo sesso modo per. rsula 3.48 m/s, e per. s ha m/s. d) Dalla deraa prma () b, gà roaa n a), calcolamo la elocà sananea: (.6s) 4. m/s.6s 3.44 m/s S ossera qund come la successone delle elocà, e 3, calcolae al puno c) con degl nerall emporal sempre pù pccol ende rapdamene all esao alore della elocà sananea. (Una curosà: quale sarà la elocà del ghepardo al empo?) ) S consderano le legg del moo relneo unormemene accelerao: x( ) x + + a ( ) + a doe s prenderanno poszone e elocà nzal x m e 3. 4 m/s, menre poszone e elocà nal al empo saranno x(). cm. m e () m/s. S ha un ssema d due equazon nelle due ncogne a e. Rcaamo l accelerazone a dalla seconda equazone: ( ) a e sosuamo nella prma:

3 ( ) x ( ) + ( + ( )) Da quesa rcaamo l empo, corrspondene all nerallo d empo (a parre dallo zero) durane l quale l elerone è accelerao: x( ). m s (4.6ns) ; 4 6 ( + ( ) ) ( ) m/s nne rcaamo l accelerazone da una delle ormule preceden: 6 4 ( ) m/s 5 a.3 m/s s Noamo che l accelerazone roaa è d ben 4 ordn d grandezza superore all accelerazone d graà (9.8 m/s )! 3) a coordnaa poszone d un corpo n moo oscllaoro armonco semplce è descra da una legge del po: x ( ) A cos( ω + ϕ) se la poszone cenrale d equlbro è assuna essere n x m. a elocà e l accelerazone sananee s rcaano dreamene per derazone rspeo al empo: ( ) Aω sen( ω + ϕ) a ( ) Aω cos( ω + ϕ ) (a) s (b).5 s (c). s θ() ω + ϕ π/ rad (9 ) π rad (36 ) 7π/ rad cos(θ) + sen(θ) + - x() A cos(θ) m.3 m m () -Aω sen(θ) -.83 m/s m/s +.83 m/s a() -Aω cos(θ) m/s -6.6 m/s m/s,5,5 -,5 - -,5 cos(θ) π/ π 3π/ π 3π ue quese re grandezze sono proporzonal a delle,5 sen(θ) unzon rgonomerche (senθ o cosθ), che dpendono dall angolo θ() (ω + ϕ), e assumono,5 alor compres ra + e. Nelle due gure π/ π 3π/ π 3π cosruamo la rappresenazone graca d quese θ -,5 unzon, con l angolo espresso n radan. - Nel problema che samo sudando, x() è la -,5 coordnaa ercale, l ampezza del moo (alezza massma o mnma del corpo) è A.3 m, la pulsazone è ω 3π rad/s, e la cosane d ase ale ϕ π/ rad. Non resa che calcolare l angolo θ() per ognuno de emp assegna, roare qund l alore della unzone rgonomerca (anche solo osserando l graco) e nne rcaare x(), () e a() dalle loro espresson. I prm re cas sono specal, l calcolo è mmedao e conene are una abella: θ

4 Per l quaro caso (d) è necessaro calcolare esplcamene. Mosramo solo l calcolo per l accelerazone, comncando dalla unzone rgonomerca; n queso po d calcol conene enere cono delle unà d π : cos( ω + ϕ ) cos(3π rad/s.7 s + π / rad) cos(8.6π rad) cos(.6 π rad) cos(.88 rad) -.3 n cu s è passao da 8.6π rad a.6π rad oglendo 4π rad (4 angol gr), e può essere eenualmene ule (dpende dal po d calcolarce) rasormare l angolo da radan a grad : ( rad ) θ θ π π Inne abbamo: - a Aω cos( ω + ϕ ).3m (3π rad/s) (-.3).3m 88.8s m/s Noa: radan non sono un unà d msura (al par d mer e second) ma sono un numero puro: na ndcano solo quane ole è lungo, rspeo al raggo, un arco d crconerenza connesso all angolo n esame; d conseguenza possono scomparre senza problem dal calcolo delle unà d msura, ranne oamene nelle unzon rgonomerche. Un alro modo d esprmere lo sesso conceo è l seguene: un angolo non ha dmenson come le alre grandezze sche, poché le sue caraersche sono ndpenden dal modo n cu può essere msurao (ad esempo, un angolo reo è sempre reo, un segmeno può essere lungo o coro rspeo a un segmeno d rermeno), e qund non ha neanche unà d msura. 4) Ponamo lo zero dell asse X nel puno n cu l reno esce dalla cura; da queso momeno l reno procede con moo relneo unormemene decelerao (con accelerazone negaa a ), e con elocà nzale Km/h 33.3 m/s; lo spazo percorso è dao dalla ormula: x ( ) a e la sua rappresenazone graca sul pano -x è daa da una cura parabolca con pendenza nzale, che po dmnusce no a zero (angene orzzonale), quando l reno s arresa. a locomoa agga a elocà cosane 9. Km/h 5.8 m/s, parendo dalla poszone nzale x.47 Km 47 m, e l suo sposameno è dao dalla ormula: x ( ) x + a rappresenazone graca è una rea che pare da x, e ha pendenza <. Conene are dapprma uno sudo graco qualao della suazone. Nella gura sono rappresena re ders cas possbl, quando sono assegna re ders alor per l accelerazone del reno a, con n parcolare a > a > a 3. Nel caso (cura erde) s ha una ore decelerazone e l reno s arresa prma d nconrare la locomoa (rappresenaa dalla rea nera). Nel caso 3 (cura rossa) la decelerazone è roppo bassa e l reno raggunge la locomoa con elocà neamene superore (osserare le pendenze) e qund s ha collsone; noare che la cura nconrerebbe la rea n due pun. Nel caso nermedo (cura blu) la decelerazone è ale da ar nconrare le due cure n un unco puno, n cu esse hanno la sessa angene (la sessa elocà); due ecol s nconrano senza dann. a decelerazone mnma da roare è qund la a. (Per eserczo, cosrure un graco l pù possble esao, calcolando numercamene le ormule se e usando derse a). Per la soluzone del problema, è charo che l nconro ra ecol aene quando a un cero empo s ha x () x (), coè se: x reno (pendenza ) x 3 ocomoa (pendenza )

5 ( ) a x + a + + x Quesa è una equazone d secondo grado nell ncogna ; per quano so dallo sudo graco, per eare la collsone non deono essere soluzon real per, o al lme e ne può essere una sola; queso equale a rchedere che l dscrmnane sa mnore o uguale a zero: ( ) a x da cu s rcaa aclmene la decelerazone del reno: ( ) ( ) (m/s) a.84 m/s x 47 m e qund la mnma accelerazone negaa che l reno dee aere per eare la collsone rsula essere.84 m/s. Per eserczo, rcaare anche l empo al quale ecol s nconrano dolcemene, e la loro elocà n quel momeno (sere anche come erca). 5) Il moo del razzo rsula composo d due derse par. Nella prma pare (I) l razzo sale con un moo accelerao, ma non unorme, n cu è sooposo all accelerazone oale, arable nel empo secondo: a ( ) a ( ) g a k g doe g è l accelerazone d graà (non dmenchamo che la graà è sempre presene!) e a() è l accelerazone orna dal moore; quesa prma y pare del moo dura no allo spegnmeno del moore al empo 4 s, doe l razzo è arrao alla quoa y e ha la elocà. Nella seconda pare del moo (II) s ha semplcemene una cadua lbera del y razzo, sooposo alla graà; l razzo, graze alla elocà acqusa II (supposa posa!) sale ancora no alla quoa y, ma po precpa no al I suolo (y ) al empo nale. Il prmo passo è roare la cosane k che descre l eoluzone nel empo dell accelerazone del moore; dalla ormula lneare a() a k, e dal ao che al empo dee essere a() m/s, s ha: a.3m/s 3 a k k.59m/s 4s (e dmenson d k sembrano srane ma sono coeren con l suo ruolo nella ormula d a()). (I) Possamo ora calcolare elocà e alezza del razzo alla ne del prmo perodo. Poché samo n presenza d accelerazone non cosane, rcorramo alle ormule negral; la elocà al empo s roa negrando l accelerazone oale nel empo da a, con elocà nzale zero, perché l razzo pare da ermo dalla sua rampa d lanco: ( ) a ( ) d ( a g k ) d ( a g ) d k d ( a ) g k menre l alezza al empo s roa negrando la () con alezza nzale zero: y( ) ( ) d [( a g ) k )] d 3 3 ( a g ) d k d ( a g ) k 3 ( a g ) 6 k (Noa: come c s doea aspeare, essendo l accelerazone lneare nel empo, la poszone dpende dal empo al cubo).

6 Imponendo l empo (e rcordando che g 9.8 m/s ) oenamo le quanà: + 9. m/s ; y m (II) Passamo ora alla seconda pare del moo; essendo unormemene accelerao (con accelerazone cosane g) possamo usare le ormule noe, che algono con la scela del empo nzale a zero: doremo rcordarc d sommare l empo d olo che calcolamo per quesa II pare al empo della pare I del momeno per aere l empo oale del olo; poszone e elocà nzal sono quelle appena calcolae: y ( ) y + g ( ) g alezza massma y errà ragguna al empo n cu la elocà ercale rsula zero; qund dalla seconda ormula con () m/s abbamo: 9.m/s g.96 s g 9.8m/s e sosuendo nella prma: y y + g 498 m + 9.m/s.96s - 9.8m/s (.96s) 57 m Il empo d olo della seconda pare del moo II s roerà dreamene dalla prma ormula, mponendo y() (alezza al suolo): y + II g II g II II y che è una equazone d secondo grado nell ncogna ; rsolendo s roeranno due soluzon: II + ± + g y 9. ± g 9.8 II +. II -8.3 s da cu, sommando al empo d olo della prma pare abbamo due rsula per l empo oale: 6.s ; 5.69s Quale d ques rsula è quello guso? Sono u e due acceabl? a soluzone che c neressa è oamene la prma poché dee essere >. alra soluzone è un empo precedene a, e qund non ha sgncao per l nosro problema. In realà s può edere che l secondo rsulao per II corrsponde all nerallo d empo rascorso da quando un corpo ene lancao dal suolo erso l alo, sooposo solo a g, n modo che arr all alezza y con elocà. In conclusone, l alezza massma ragguna dal razzo è 57 m, e l empo oale del olo, dal lanco alla cadua, è 6. s. Alr esercz neressan per compleare l dscorso: a) ercare l aermazone aa sopra a proposo dell alro alore d II ; b) cosa succede e cosa camba ne rsula se a 5 m/s? 6) Da una aena leura del graco, e dall osserazone della pendenza delle cure (la rea angene) s rcaa che l corpo è rmaso ermo no a, s è messo po bruscamene n momeno con elocà posa no a, doe () m/s (angene orzzonale). Po l corpo ha assuno una elocà negaa, con un mnmo d pendenza negaa a 3, rornando a elocà zero a 4 ; successamene la elocà è aumenaa spedamene (norno a 5 la pendenza è pracamene ercale) per po dmnure no ad assesars a un alore cosane erso 6. Maemacamene l puno a è un puno angoloso e qund non derable, o meglo doao delle due derae, desra e snsra, a seconda d come c s acna a queso puno, l quale manesa

7 qund una dsconnuà nella deraa prma. In Fsca, nauralmene, non è possble che l corpo s mea n momeno sananeamene ; s arà nece un cambameno d elocà connuo (dalla deraa snsra alla desra) n un nerallo emporale molo pccolo, non perceble su queso graco, e qund agl ee prac la elocà sarà comunque una unzone connua del empo (e lo sesso sarà per l accelerazone). Nel puno 5 la pendenza è quas ercale: queso sgnca che s ha un x sensble dso per un molo pccolo; la elocà è molo grande, rualmene nna (ma per un nerallo d empo nnesmo!). o sesso succede anche per l accelerazone, che però camba segno passando da snsra a desra rspeo a 5, poché da un lao la elocà è n aumeno, dall alro n dmnuzone. In conclusone, grac quala della elocà e accelerazone sananea saranno del po: a