Esercizio 1. Esercitazione 15 Novembre 2011 Circuiti dinamici del primo ordine

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1 Esercz Esercazne Nembre 0 rcu dnamc del prm rdne n rfermen al crcu rpra n Fg, s deermn l andamen emprale della crrene sull nduanza () e la ensne () per > 0 V O Fg : rcu per l esercz I V I 0 V 0 Ω Ω Ω 4 mh ( 0) Per rslere ques crcu emp dpendene, s prcede sland l cmpnene dnamc, l nduanza n ques cas, e s deermna l bpl d Theenn della pare lneare algebrca del crcu Per deermnare la ressenza ualene, s prcede annulland generar ndpenden, enend l crcu d Fg S na charamene l parallel ra e n sere cn Fg : alcl della ressenza ualene S ha qund: Ω

2 Per l calcl del generare ualene, ccrre deermnare la ensne a cap de mrse e rferends al crcu d Fg V I Fg : alcl del generare ualene Per fare cò è pssble screre la seguene relazne: O O sì facend rsula mmeda rare I 6 V O Per quan rguarda la ensne ra mrse e O, basa rslere la magla rand la crrene che crcla su e S ha V + da cu s deermna l alre della ensne desderaa: V 0 0 O 0 V E ra pssble deermnare la ensne ualene secnd Theenn, daa da: V V O O Il nu crcu rasfrma secnd Theenn è rpra n Fg 4

3 V Per prma csa ccrre deermnare la csane d emp del crcu e l alre fnale della crrene Impnend che la ensne sull nduanza sa nulla per, s ene l alre ( ) V 4 7 ( ) 0, 74 a csane d emp s ene facend l rappr ra l alre dell nduanza e della ressenza ualene s 7 a crrene () può essere rcaaa applcand l espressne per la rsluzne de ssem del prm rdne cme d segu msra: ( ) ( ) [ ( 0) ( )] e + + e + e Fg4: rcu ualene secnd Theenn Per rcaare la ensne a cap de mrse, basa rcrdare che ale ensne è a cap dell nduanza : s può usare dreamene la legge csua dell ndure () d 0 () [ ( 0) ( ) ] e e d Ulzzand Maab, qualunque alr sfware n grad d calclare e dsegnare cure, è pssble enere gl andamen empral d quese due grandezze, rpra n Fg 4 7

4 4 crrene () emp (s) ensne (V) emp (s) Fg : ndamen d ensne e crrene sull nduanza Esercz n rfermen al crcu rpra n Fg6, s deermn l andamen emprale della crrene () che crcla sulla ressenza per > 0 spe all esercz precedene, la grandezza da deermnare rsede nella pare algebrca che sarà rasfrmaa cn Theenn Il prcedmen rmane nalera, ma, dp aer deermna le arabl d sa del crcu, ccrre nrdurre generar ualen e rslere l crcu csì enu per sddsfare le rchese del prblema I I 0 Ω Ω 4 mf () 0 V Fg 6: rcu per l esercz Per affrnare ques esercz, s rasfrma secnd Theenn l crcu a cap de mrse e S na faclmene che la ressenza ualene rsula essere la sere d e Ω 4

5 u, la crrene nn può crclare su, qund la ensne ualene sarà daa dalla cadua della crrene I su V I 0 00 V Il crcu ualene secnd Theenn è rpra n Fg 7 V Per deermnare l andamen emprale della ensne sul cndensare, è necessar calclare l alre fnale d ale grandezza e l alre della csane d emp Impnend che la crrene sul cndensare sa nulla, s ene: ( ) V 00 V a csane d emp s ene cme prd ra alr della ressenza ualene e della capacà 4 0 0, s pplcan la frmula rslua de ssem del prm rdne, s ene: 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ] 0, 0 e e 00 8 e, + + Fg 7: rcu ualene secnd Theenn Prcedend a rrs, s rrna al crcu rgnale, ssuend al cndensare un generare ndpendene d ensne che mprma l andamen d ensne appena ra

6 I () Ora u med slu pssn essere applca al crcu per enere l andamen della crrene (), anche Theenn Operand n ques sens, s agla la ressenza e s deermna la ressenza ualene a generar ndpenden annulla S na sub che: Ω Il calcl della ensne ualene è anch ess ml semplce, n quan la crrene mpressa dal generare può rchuders sl nella magla eserna a ensne a cap della ressenza rsula essere: Il crcu da rslere è rpra n Fg 9 Fg 8: rcu cn ssuzne del cndensare () V I + V Fg 9: rcu ualene secnd Theenn Il alre d () s ra faclmene ed è da dall espressne seguene () V + () 0 0,, + I 00 8e + 8e 0, + 0 +, 4e 6

7 n Maab è pssble dsegnare ale andamen, cme s ede n Fg crrene () emp (s) Fg 0: ndamen della crrene sulla ressenza Esercz Ques esercz dffersce dal precedene n quan presena un nerrure che camba sa ad un precs sane d emp, camband mmedaamene la plga crcuale Per essere rsl, bsgna affrnare due success prblem del prm rdne, l prm de qual sere per rare le cndzn nzal del secnd V 0 ms < 0 ms T I V I 0 V Ω Ω 0 mh 0 Ω ( 0) 0 ms I V T Fg : rcu per l esercz 7

8 n rfermen al crcu d Fg deermnare l alre d () per 00 ms rcrdands che l nerrure T, nzalmene aper, s chude dp 0 ms dall nz del prblema Per prma csa ccrre rslere l crcu nella pare ala d Fg per rare alr delle arabl d sa (n ques cas la sla crrene sull nduanza) al mmen della rasfrmazne del crcu Pché T è aper sul ram cn nn crcla crrene Per rslere l crcu s usa ancra Theenn applca a mrse e S ene: V 0 Ω V + I V Il crcu rasfrma secnd Theenn è rpra n Fg 0 0 ms < 0 ms V Fg : rcu ualene secnd Theenn Inlre s ha: ( ) V s Peran è pssble screre: 0 0 ( ) ( ) [ ( 0) ( )] e 4 [ 4] e 4 e + + In parclare, quell che neressa è l alre della crrene per 0 ms ( 0 ms) 4 e 4 e a cnnuà delle arabl d sa garansce che la crrene sull nduanza all sane prma dell aperura sa uguale alla crrene sull nduanza sub dp la chusura dell sess E pssble cambare rfermen per l emp mpnend che l sane zer ( 0 ) del nu ssema d rfermen s abba per 0 ms 8

9 n rfermen al crcu d Fg n bass, è pssble calclare l alre della crrene sull nduanza dp la chusura dell nerrure Per an s rasfrma ale crcu applcand Theenn a mrse e S ene: ( + ) 0( + ) Ω V ( + ) + I 0( + ) + 0 V V Per l calcl della c sn pch prblem Presena qualche dffclà l calcl della V S cnsder l crcu, n Fg a snsra, che dee essere suda per enere l generare ualene secnd Theenn pplcand la rasfrmazne de generar è pssble arrare al crcu d Fg a desra n cu è cmpars un generare ualene d ensne al ps d quell d crrene sì facend rsula semplce rare l alre della ensne a mrse e I V T V I Fg : Trasfrmazne d generare reale S ha una magla unca a cu applcare la KV I V + + a ensne a mrse e è daa da I V V + V + V + + Inlre s pssn calclare la csane d emp e l alre fnale della crrene: V ( ) s N u paramer è pssble applcare la frmula rslua per ssem del prm rdne, enend nel nu ssema d rfermen emprale: [ ] [( ) ] [ ] 0 4 e 4 e e e e + + ( ) ( ) + ( 0) ( ) 9

10 Per passare al ecch ssema d rfermen emprale, basa mprre sddsfare alla rchesa del prblema, è suffcene calclare l alre d ( ) ( 00 0) s ( ) ( ) d d E ra pssble calclare la ( ) In parclare, l prblema chedea: , ma per n crrspndenza d [ ( 0) ( )] e [ e ] e [ ] 0 4 e e ( 80 0 ) [ e ] e [ e ] e applcand la KV alla magla pù a snsra V ( ) V + ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( 80 0 ) V [ e ] 80 0 e Esercz 4 0 ms < 00 ms 00 ms T V T V V ( 0) 0 V 0 V 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 mf Fg 4: rcu per l esercz 4 n rfermen alla Fg 4, deermnare l alre della crrene () per 00 ms me al sl s rasfrma cn Theenn a mrse e, escludend l cndensare E semplce arrare a: V ( + ) ( 0 + 0) + + V 0 V 0 Ω

11 Inlre, s ha: ( ) V 0 V s pplcand la frmula rslua de ssem del prm rdne, s ene l andamen delle grandezze fn a quand l nerrure rmane aper ( ) ( ) + [ ( ) ( )] + [ 0 ] 00 0 e e 0 0 e In parclare, è neressane deermnare l alre della arable d sa all sane della chusura dell nerrure, pché ale grandezza è cnnua per defnzne ( 00 0 ) 0 e 0( e ) Il alre appena calcla è l alre della cndzne nzale per l ransr che s nsaura al mmen della chusura dell nerrure S cnsder qund un nu ssema d rfermen emprale cn rgne nel sudde sane d chusura, s ha qund: 00 0 In ale ssema d rfermen è pssble deermnare n md semplce l andamen emprale della arable d sa ale scp, s rasfrma secnd Theenn l crcu a mrse e escludend l cndensare V V T Fg : rcu per l esercz 4 Il calcl della ressenza ualene nn cmpra prblem dsegnand l crcu cme msra n Fg è mmeda rcaare l alre della ensne a u applcand la KV per calclare la crrene e la sua cadua su S ene: 0 0 6, 67 Ω V V 0 6, V

12 Inlre è pssble cnscere l alre fnale della arable d sa e la csane d emp prpra del ransr ( ) V6, 67 V 6, , 7 0 s E mmeda rare l andamen emprale della ensne sul cndensare, che è da da: , 6, [ ] e 6, 67 + [ 0 ( e ) 6, 67] e 6, 67 + [, e ] e ( ) ( ) + ( 0) ( ) In parclare, la ensne appena calclaa è applcaa n parallel alla ressenza su cu scrre la crrene che dee essere deermnaa Per an: 6 ( ) 6, 67 + [, e ] 66, 70 e ( ) 0 In parclare, l prblema chede l alre d ale crrene nell sane un alre d 00 ms S ra qund: 00 ms che crrspnde a ( ) [ e ] e e ,, +,, 667, +, e