θ il numero di individui che decedono nella classe di età ] x, x +1]

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1 spszne attuarale e freuenze d decess Per stmare vver SPOSIZION ATTUARIAL FRQUNZ DI DSSO m, per a, a + 1, K, ω,sn state ntrdtte, n ambt attuarale, le stme ttenute rapprtand l numer d decess sservat ad una ualche msura d espszne. n rferment alla classe d età ], +1] e cn rferment agl ndvdu che cntrbuscn alla sservazne per tale classe d età s defnscn { ndvdu è n vta all'età } S l' + survval { ndvdu esce per mrte all'età } D l' + death { ndvdu esce per altra causa all'età } W l' + wthdrawal s t k Sa # D l numer d ndvdu che decedn nella classe d età ], +1] 7

2 spszne attuarale e freuenze d decess Stme per Def. essend Stme per Def. essend d per a, a + 1, K, ω l Freuenza (grezza) d decess l espszne attuarale numer nzale d espst al rsch ( 1 r ) ( 1 s ) ( k ) 1 S D W S W d m per a, a + 1, K, ω L Freuenza (grezza) centrale d decess m l numer centrale d espst al rsch ( 1 r ) ( 1 s ) ( 1 k ) ( t ) 1 S D W S W D 8

3 spszne attuarale e freuenze d decess Osservazne Rcrdand la relazne L l d( 1 t) s nta che s ha Gustfcazne d antell Sa ( t ) 1 D D l n.a. de decess nella classe d età ], +1] mment, pnend Pché ( D ) ( D ) 1 r + r 1 s + s 1 k S D W S W nell ptes d nterplazne perblca s ha 1 r + r (1 S D W S W ; s stma cn l metd de r) ( D ) ( 1 r ) (1 s ) (1 k ) Da cu s ttene la stma cn l metd de mment: + k, und 9

4 spszne attuarale e freuenze d decess Osservazn Nella valutazne s ptzza uguale mrtaltà per sggett che rmangn nella cllettvtà, per nuv ngress e per clr che escn per altra causa La gustfcazne d antell è errata n uant le valutazn relatve ad un stess ndvdu sn fatte n stat d nfrmazne dvers è l numer d decess sservat cn età esatta nella classe d età ], +1]. Pché s cntan decess nell ann che nza cn l età esatta e termna cn l età esatta + 1 s dce che s prende cme rferment l ann d vta cmpres tra due cmpleann. Per cerenza, anche nella valutazne dell espszne s prende cme rferment l ann d vta. Infatt, dspnend d dat ndvdual esatt s determna per cascun ndvdu la sua espszne nell ann d vta, nfatt s ha ( s r ) + ( k r ) + ( r ) 1 S W Nta: per gl ndvdu che decedn l cntrbut all espszne è ( 1 ) D D r 10

5 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar RIFRIMNTO: ANNO DI VITA, ANNO DI POLIZZA ANNO DI ALNDARIO Talvlta nn è dspnble l nfrmazne sulla data d nascta dell ndvdu sservat e nn s è allra n grad d calclare l età esatta n cu s verfca un determnat event (per esemp la mrte l uscta per altra causa). Le valutazn nn pssn allra essere fatte prendend cme rferment l ann d vta. ò tpcamente avvene uand alla stpulazne della plzza s attrbusce all asscurat una età arrtndata (ntera); n tal cas s drà che s prende cme rferment l ann d plzza. Un altra eventualtà s ha nel cas n cu agl ndvdu sa attrbuta un età arrtndata ad una certa data (per esemp all 1/1), cme avvene spess per fnd pensne; n tal cas s drà che s prende cme rferment l ann d calendar. Defnzne Drem che un ndvdu ha età arrtndata (ntera) ad una certa data (per es. un annversar d plzza ppure all 1 genna) se n uella data ha età esatta nell ntervall 1 1,

6 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar ntegg de decess prendend cme rferment l ann d plzza Alla stpulazne della plzza s attrbusce all asscurat l età arrtndata (ntera). S defnsce data d nascta d valutazne, la data n cu grn e mese cncdn cn l grn ed l mese d stpulazne della plzza, l ann è dat da ann d stpulazne della plzza - età arrtndata alla stpulazne della plzza Utlzzand tale data d nascta d valutazne al pst della data d nascta e cnscend la data d ngress n sservazne, la data d uscta dall sservazne e la causa d uscta s è n grad d determnare l vettre delle età ( y,, φ,), z 12

7 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar n rferment alla classe d età ], +1] durate ( r s, t, k,) essend, s è n grad d determnare l vettre delle r la durata d temp dall annversar d plzza precedente all ngress n sservazne nella classe d età ], +1] cn 0 r < 1 e r 0 y se se y < y < + 1 s la durata d temp dall annversar d plzza precedente all uscta dalla sservazne per la classe d età ], +1] cn 0 s 1 e < s 1 z se se z + 1 < z <

8 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar Pché, ne cas d uscta per mrte e, rspettvamente, per altra causa + t nn è pù l età esatta d uscta per mrte, ma t è la durata d temp dall annversar d plzza precedente all uscta per mrte + k nn è pù l età esatta d uscta per altra causa, ma k è la durata d temp dall annversar d plzza precedente all uscta per altra causa s dce che s prende cme rferment l ann d plzza n uant s cnsderan gl event che avvengn nell ann d plzza. S ha allra che è l numer d decess sservat per gl asscurat nell ann d plzza ], +1] Anche nella valutazne dell espszne s prende cme rferment l ann d plzza, cnteggand le espszn tra due annversar d plzza. ( s r ) + ( k r ) + ( r ) 1 S W D 14

9 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar Le stme frnscn delle stme per, rspettvamente, m per a, a + 1, K, ω ssend + f m + f 1 f 2 < 1 2 Nel cas d dstrbuzne unfrme delle stpulazn delle plzze rspett agl ann d vta, vver d dstrbuzne unfrme de cmpleann rspett all ann d plzza, s può assumere f 0 e und e m frnscn delle stme per, rspettvamente, e m 15

10 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar ntegg de decess prendend cme rferment l ann d calendar Nelle asscurazn cllettve ne fnd pensne, c è una data prefssata, per esemp l 1/1, chamata data d valutazne del fnd ed agl asscurat vene attrbuta l età arrtndata (ntera) n tale data. S dce allra che s prende cme rferment l ann d calendar dall 1/1 al 31/12. È cme se tutte le plzze fsser stpulate nella stessa data ed a tutt gl asscurat s attrbusse l età arrtndata n tale data. Analgamente a uant vst nel cas n cu s prenda cme rferment l ann d plzza, s defnsce per gn ndvdu sservat, la data d nascta d valutazne, l vettre delle y,, φ,, +1 l vettre delle durate età (, z ) e, cn rferment alla classe d età ] ] ( r s, t, k,), Pché generalmente l ntervall d sservazne nza all 1/1 d un cert ann e termna al 31/12 d ualche ann dp, per gn ndvdu sservat s ha r 0 e s 1. 16

11 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar Pché, ne cas d uscta per mrte e, rspettvamente, per altra causa + t nn è pù l età esatta d uscta per mrte, ma t è la durata d temp dalla data d valutazne del fnd precedente all uscta per mrte + k nn è pù l età esatta d uscta per altra causa, ma k è la durata d temp dalla data d valutazne del fnd precedente all uscta per altra causa s dce che s prende cme rferment l ann d calendar n uant s cnsderan gl event che avvengn nell ann d calendar. S ha allra che è l numer d decess sservat per gl asscurat nell ann d calendar ], +1] Anche nella valutazne dell espszne s prende cme rferment l ann d calendar, cnteggand le espszn tra due date d valutazne del fnd. 17

12 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar Le stme frnscn delle stme per, rspettvamente, m per a, a + 1, K, ω ssend + f m + f 1 f 2 < 1 2 Nel cas d dstrbuzne unfrme de cmpleann nell ann d calendar, s può assumere f 0 e und e m frnscn delle stme per, rspettvamente, e m Talvlta s attrbusce cme età arrtndata ntera ad una data d valutazne del fnd, l età raggunta all ultm cmpleann. 18

13 Rferment: ann d vta, ann d plzza e ann d calendar Defnzne Drem che un ndvdu ha età trncata (ntera) all 1/1 d un cert ann se n uella, +1 data ha età esatta nell ntervall [ [ è l numer d decess sservat cn età trncata all 1/1 precedente al decess Le stme m per a, a + 1, K, ω frnscn delle stme per, rspettvamente, f essend 0 f < 1 + m + f Nel cas d dstrbuzne unfrme de cmpleann nell ann d calendar, s può assumere 1 f 2 e und e m frnscn delle stme per, rspettvamente, +1 2 e m