λ = 6 chiamate/ora T = 8 minuti 8 60

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1 Esercz n 1 Una centralna telefnca per pccl uffc (PBX, che sta per Prvate utmatc Branch Exchange) sddsfa le rcheste d chamata medante l mpeg d crcut. S assuma che le rcheste d chamata arrvn da una pplazne d utent d dmensne nfnta. Nell ptes che arrvn alla centrale n meda 6 chamate/ra e che gn chamata dur n meda 8 mnut, determnare. l traffc ffert λ 6 chamate/ra T 8 mnut 8 λ T 6.8 Erl 6 vend suppst la pplazne d dmensne nfnta, l dat λ frnt dal prblema fa rferment alla rchesta d traffc che l ntera pplazne nfnta d utent rvlge alla centrale. Se la λ frnta avesse fatt rferment alla rchesta d traffc del sngl utente, l prdtt λ T cstturebbe l traffc ffert dal sngl utente. Indcata cn M la dmensne della pplazne, n quest cas fnta, l traffc cmplessvamente ffert sarebbe stat M. B. la dstrbuzne del numer d chamate fferte Nelle ptes fatte (pplazne d dmensne nfnta), l numer d chamate fferte, che cncde anche cn l numer d srgent telefnche attve, assume una dstrbuzne d Pssn. In partclare P(k chamate fferte) k k! e D cnseguenza, la rspsta al quest è.8 P( chamate fferte) e e 44.9%.8 P(1 chamata fferta) e.8 e 5.95% (.8).8 P( chamate fferte) e e 14.8% (.8).8 P( chamate fferte) e e.8% 6 6 e csì va (s rcrd che l numer d chamate fferte può assumere tutt valr nter cmpres tra e ). C. la dstrbuzne del numer d chamate smaltte Le rsrse che la centrale telefnca ha a dspszne per smaltre le rcheste d traffc che le gungn sn lmtate: S. Per quest nn tutte le rcheste (traffc ffert)

2 ptrann essere sddsfatte e sl un numer lmtat d rcheste, al pù par a S, ptrann essere smaltte cntempraneamente (s parla, appunt, d traffc smaltt). Il numer d chamate smaltte assume una dstrbuzne d Erlang. In partclare k P(k chamate smaltte) k! S! D cnseguenza, la rspsta al quest è P( chamate smaltte) P(1 chamata smaltta) P( chamate smaltte) % % % Pché l numer d chamate che pssn essere cntempraneamente smaltte sddsfatte può assumere sl valr cmpres tra e, la smma delle prbabltà appena calclate è banalmente par a 1. Il grafc sttstante rprta le dstrbuzn del numer d chamate fferte e smaltte. Mentre valr delle prbabltà del numer d chamate smaltte sn null per k >, valr che le prbabltà del numer d chamate assumn per k 5 sn mlt prssm all zer e sembran null sl per mtv d scala.,5,45,4,5,,5,,15,1,5 ffered calls carred calls D. la prbabltà d perdta S parla d perdta nel mment n cu una rchesta d chamata nn può essere accettata, l che accade nel mment n cu tutte le rsrse della centrale telefnca, ssa due crcut, sn tutte ccupate. Pertant

3 P(perdta) P( chamate smaltte)15,9% Esercz n In un call center centralnste s ccupan d rspndere alle chamate n arrv. Se medamente arrvan al call center 1 chamate/ra e una chamata dura medamente 9 mnut,. determnare la prbabltà che un utente, chamand l call center, trv la lnea ccupata Vst che l esercz nn l ammette esplctamente, l assunzne che ccrre fare è che la dmensne della pplazne da cu prvengn le rcheste d chamate, n quest cas gl utent del call center, sa nfnta. Le rsrse che l sstema, n quest cas l call center, ha per sddsfare le rcheste d chamate, cncdn nvece cn le centralnste. Pertant λ 1 chamate/ra T 9 mnut S La prbabltà che un utente trv la lnea ccupata cncde cn la prbabltà d perdta del sstema call center, ssa cn la prbabltà che entrambe le centralnste san mpegnate n cnversazn cn utent. In altre parle, la prbabltà d trvare la lnea ccupata cncde cn la prbabltà che l numer d chamate smaltte sa par a S. P(lnea ccupata)p( chamate smaltte)! 1! 1!! dve rappresenta l traffc ffert, che ccrre calclare. 9 λ T Erl P(lnea ccupata) ( ) 1.5 ( 1.5) 1.% B. determnare l traffc smaltt Del traffc ffert ( 1 E1,S ( )) una frazne par a ( ) E va perduta, mentre la restante frazne 1,S resce ad essere effettvamente smaltta. D cnseguenza,

4 ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 E 1 P lnea ccupata Erl s 1,S S nt che quand s parla d traffc ffert, perdut smaltt s fa rferment a valr med. Per renders cnt d cò, s può calclare l valre med della dstrbuzne del numer d chamate smaltte. In partclare, rsulta E(numer chamate smaltte) P( chamate smaltte) ( 1.5) ( 1.5) ( 1.5) ( 1.5) Cme c s pteva aspettare, l valre med del numer d chamate smaltte cncde prpr cl traffc smaltt. C. determnare quante centralnste s devn mpegare, se s vule ttenere una prbabltà d trvare la lnea ccupata nferre al 5% La prbabltà d trvare la lnea del call center ccupata cncde cn la prbabltà d perdta del sstema, che dpende da due parametr, l traffc ffert e l numer d rsrse S, secnd una legge che va stt l nme d Erlang B. S P E ( ) C!! perdta 1,S S Per rappresentare grafcamente la prbabltà d perdta, s fssa l valre d S e s rprta l andament della prbabltà d perdta al varare del traffc ffert n crrspndenza del fssat valre d S. Il grafc sttstante rprta l andament della prbabltà d perdta n funzne del traffc ffert quand l numer d rsrse S è fssat a valr,,4,5.

5 1.1 P(lss).1.1 S S S4 S Offered traffc [Erl] Dalle curve s può vedere cme, fssat l traffc ffert, per dmnure la prbabltà d perdta ccrre aumentare l numer d rsrse S. S può a quest punt prcedere per tentatv, cnsderand nzalmente quale prbabltà d perdta s avrebbe se s mpegasser S centralnste. P perdta!!! % La prbabltà d perdta è ancra superre al 5%. S rpete allra l calcl cn S 4 centralnste. P perdta 4 4!!! 4 4! % Cn S 4 centralnste s resce pertant ad ttenere una prbabltà d perdta nferre al 5%.

6 D. vlend mantenere S centralnste ed ttenere una prbabltà d perdta del 1%, determnare d quant le centralnste dvrann essere pù svelte nel rspndere alle rcheste degl utent del call center Fssat S e la prbabltà d perdta, l unca quanttà ncgnta nella frmula Erlang B rmane l traffc ffert. Facend rferment alle curve del precedente grafc, cò equvale a cnsderare la curva crrspndente a S (curva rssa) e a leggere per quale valre dell ascssa l rdnata assume l valre.1. Dal punt d vsta analtc, l prblema equvale a rslvere la seguente equazne! !!! 1!!.5954 Erl S può a quest punt determnare la nuva durata meda delle cnversazne cme mn e 4 sec λ 1 1 T re 6 mn.57 mn mn.57 6sec Le centralnste dvrann essere pertant mlt pù svelte, vst che la durata meda delle cnversazn deve abbassars da 9 mnut a mnut e 4 secnd. Esercz n In un call center 44 centralnste s ccupan d rspndere alle chamate n arrv. Se le chamate al call center prvengn da una pplazne d utent e medamente gn utente effettua 1 chamata gn 5 grn della durata meda d 9 mnut,. determnare la prbabltà d trvare la lnea ccupata Occrre nnanztutt determnare l traffc ffert. S nt a tal prpst che l prblema frnsce la dmensne M della pplazne; quest nn cmprmette l assunzne d dstrbuzne pssnana del traffc ffert, dat che questa apprssmazne può cnsderars mlt buna gà a partre da una pplazne csttuta da untà. Inltre dat λ 1 chamata/5 grn e T 9 mnut fann rferment al sngl utente. Quest sgnfca che l lr prdtt cncde cl traffc ffert dal sngl utente e che, per determnare l traffc ffert n ttale, basta mltplcare l traffc ffert dal sngl utente per la dmensne M della pplazne. In altre parle 1 λ T 9.15 Erl 1.5 merl M.15 4 Erl Determnat, è pssble determnare la prbabltà d trvare la lnea ccupata (tutte e 44 le centralnste cntempraneamente mpegnate) applcand la frmula Erlang B sulla

7 prbabltà d perdta. Il prblema è csttut dal fatt che nel cas n questne ccrrerebbe applcare la frmula 44 P E ( ) 44! perdta 1,S 44! l che mplcherebbe l dvere calclare 45 addend della smmatra a denmnatre. E n quest cas che le tabelle entran n gc. Dp avere ndvduat, nfatt, dalla tabella Erlang B (fle ErlB.pdf) la rga crrspndente a S 44 e la clnna crrspndente ad 4 Erl, è suffcente leggere l valre all ncrc tra la rga e la clnna n questne. Quest valre rappresenta nfatt la prbabltà d perdta crrspndente a partclar valr d S ed n questne. S rcava csì P perdta % B. a partà d traffc ffert, determnare l numer d centralnste che cnsente d avere una prbabltà d trvare la lnea ccupata nferre all 1% Per rslvere l quest s utlzza la stessa tabella. Fssata la clnna crrspndente ad un traffc ffert 4 Erl, s può ntare cme la prbabltà d perdta dmnusca al crescere del numer d rsrse S. In partclare, l pù pccl valre d S cu crrspnde una prbabltà d perdta nferre all 1% è 5. Il call center dvrà pertant mpegare 5 centralnste se s vule che la prbabltà d trvare la lnea ccupata sa nferre all 1%. In realtà, se s fsse utlzzat un calclatre esatt, dspnble ad esemp n lne ( s sarebbe trvat S 5.4. Pché però nn ha sens cnsderare un numer d rsrse (centralnste nel cas del prblema) nn nter, l apprssmazne va fatta all nter superre, vst che ad S 5 crrspnde una prbabltà d perdta superre all 1%. Per rslvere l precedente quest, anche l altr tp d tabella (nversa, fle ErlB-nversa- 1.pdf ErlB-nversa-.pdf) avrebbe ptut essere usata. Scrrend la clnna relatva ad un valre d prbabltà d perdta dell 1%, s può ntare cme l traffc ffert aumenta all aumentare del numer d rsrse S e s trva che S 5 srgent sn n grad d srreggere un traffc ffert superre a 4 Erl (4.619).