Processi di Markov e code markoviane. Gianluca Reali

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1 roce d Marov e code arovane Ganluca Real

2 Obev Coprendere conce d bae relav alle preazon d una ree d elecouncazon effcenza ulzzazone rardo erda Tep d navà Eere n grado d valuare quanavaene al paraer n ca eplc a gnfcav

3 Modello del ea er valuare quanavaene le preazon d una ree d TLC è necearo rappreenare n odo arao le ue funzonalà: Sorgen d raffco Sea d ervzo Tpc paraer preazonal ono: e a perda:» frequenza con cu le chaae ono rfuae» carco alo» duraa de perod d congeone e ad aea:» epo d aea» epo d peranenza» nuero d rchee n aea

4 Sea d ervzo Roluzone delle conee d ulzzazone: ea a perda pura L ea orenao alla perda L pccolo ea orenao al rardo L grande ea a rardo enza perda L oppure L uen Uen Coda Rchee d ervzo L 3 Serven

5 Caraerzzazone de Se a coda opolazone Ingreo Fla d aea Servzo Servene Servene Uca roceo d arrvo Dcplna d geone Servene roceo d ervzo

6 Eleen decrv del ea a coda Cardnalà della popolazone: fna nfna roceo d Arrvo : frequenza eda varanza Accodaeno: denone della coda:» fna nfna nuero d code Dcplna d geone o Selezone: dcplne d coda» pro arrvao pro ervo FIFO» hore ob fr SJF»... cla d prorà Nuero de erven

7 Sano Caraerzzazone del ervzo» n cardnalà della popolazone» L denone della coda» nuero d erven» CL capacà del ea Clafcazone:» e n C e L>: ea ad aea enza perda» e n>c e L>: ea a perda con aea» e n>c e L: ea a perda pura enza aea araero preazonale:» Tepo d ea epo d aea w epo d ervzo x

8 Caraerzzazone della doanda La doanda è caraerzzaa dalle rchee d ervzo preenae dagl uen del ea conderao una equenza d an d rchea d ervzo τ τ τ τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 τ 7 al an ono drbu econdo una pecfca decrzone aca ull ae de ep e coucono un nee nuerable Tepo d nerarrvo: -eo epo d nerarrvo è l nervallo che nercorre ra l ane d preenazone della rchea --ea τ - e quello della rchea -ea τ τ τ...

9 Tepo d ervzo Sa L la quanà d lavoro che erven del ea devono volgere per oddfare la rchea -ea Defnao l -eo epo d ervzo x : l nervallo d epo che un ervene deve dedcare per oddfare la rchea -ea Se upponao che la capacà C d ogn ervene del ea a denca per ervre la rchea -ea arà necearo un epo par alla quanà d lavoro L dvo la capacà C x L / C...

10 Dagraa eporale del ea C : -eo clene ad enrare nel ea N: nuero d clen nel ea al epo U: lavoro che rea da volgere al epo Grandezze eporal:» τ : epo d arrvo -ea rchea d ervzo» : epo d nerarrvo ra la rchea --ea e la -ea» w : epo d aea n coda della -ea rchea d ervzo» x : epo d ervzo dell -ea rchea Servzo w C - x C x C x C Coda τ τ C C C τ epo C C C

11 roce d ngreo e d ervzo La equenza de ep d nerarrvo { } e quella de ep d ervzo {x } coucono delle realzzazon d due proce ocac: l proceo d ngreo l proceo d ervzo Ogn valore e x è una realzzazone d una varable aleaora Noralene uppone due proce ano azonar aleno WSS e acaene ndpenden

12 Grandezze le Coporaeno al le delle varabl aleaore: ep d nerarrvo ~ l [ E[ n n n n Analogaene poono defnre le ee grandezze per ep d aea ] ] ep d ervzo ep d ea n n A n n w ~ ~ x ~ ~ E[ ~ [ ] l n l n l n w x n n n ] E[ ~ x E[ ~ A E[ w ~ ] ] ] x w W T

13 Caraerzzazone d un ea a coda Una coda è defna da: proceo degl arrv D.d.p. A ep d ervzo D.d.p. B nuero d erven denone del ea L cardnalà della popolazone n dcplna d ervzo Noazone neca d Kendall A/B//L/n A e B poono auere valor:» M eponenzale negava o Marovana» D deernca o coane» E erlangana con ad» H per-eponenzale con ad» G generale

14 Legge d Lle Ipoe: ea enza perda α: nuero d arrv n [] δ: nuero d parenze n [] Nα-δ γ: l area ra le due curve rappreena l epo che u clen hanno racoro nel ea nell nervallo [] Nuero d clen α δ N Tepo

15 Legge d Lle Defnao: epo edo d nerarrvo n []: α/ epo edo d ea per ogn uene n []: T γ/α nuero edo d clen nel ea n []: N γ/ Qund oene: N T * auendo che eano per l ea valor le: oene: l T l T N T W x N q N Rulao ndpendene da A B e

16 Faore d ulzzazone Defnzone: rapporo ra l ro con cu la quanà d lavoro enra nel ea e quello con l quale l ea rece a alrlo defnzone valda auendo che l ao ro d ervzo è ndpendene dallo ao del ea cao ervene: x / cao erven: x / / Il ro con cu l lavoro enra nel ea noralzzaa alla capacà del ngolo ervene è l nenà d raffco uraa n Erlang e vale

17 Se <: Faore d ulzzazone può eere nerpreao coe: frazone d erven occupa rappreena la condzone d ablà del ea Infa nel cao G/G/ rula:» dao un nervallo τ uffceneene grande con probablà l nuero d arrv arà par a τ» qund l ervene arà occupao per un epo par a ττ p defnendo p coe la probablà d rovare l erver lbero n un qualche ane d epo» l nuero d uen erv n ale nervallo arà ττ p» eguaglando l nuero d arrv con n nuero d uen erv oene: τ τ τp p τ

18 Conceo d Sao Inuvaene le preazon perenae da un uene generco che enra nel ea a coda dpendono da quan uen ono gà preen nel ea. Le preazon qund dpendono dalla ora pù o eno recene del ea. Cò gnfca che quano accaduo ha lacao racca nel ea racca che nfluenzerà l fuuro del ea eo e che chaereo STATO del ea.

19 Conceo d ao S può anche conderare la probablà che l ea rov n uno ao al epo : Sa la varable a lo ao x poono auere valor n un nee connuo o n un nee dcreo fno o nuerable No conderereo proce connu nel epo e dcre nelle realzzazon Charaene Π [X] Σ Π

20 Caene d Marov Un proceo aleaoro è deo Caena d Marov e lo pazo degl a è dcreo e gode della propreà d Marov ropreà d Marov: dao un nee d varabl aleaore {X n } queo fora una caena d Marov e la probablà d rovar n fuuro n un deernao ao può eere eprea n funzone olo dello ao auno al epo correne e non occorre pecfcare qual a ono a aun n precedenza: lo ao auale raue ua la ora del ea non può pecfcare quano epo l proceo debba ranere nello ao auale» la drbuzone del epo che l proceo rane n uno ao deve eere enza eora e dora corrpondere alla drbuzone eponenzale

21 Foralene: Caene d Marov l proceo aleaoro X fora una caena d Marov epo-connua e per u gl ner n e per una equenza d an eporal < <...< n < n rula [ X n X n n X n- n- X ] [X n X n n ] Clafcazone: Caene d Marov epo connuo:» drbuzone del epo d ao eponenzale Caene d Marov epo dcreo» drbuzone del epo d ao geoerca

22 Caene d Marov robablà d ranzone da uno ao : p [X X ] per per paare dallo ao all ane allo ao all ane > l proceo dovrà paare per uno ao neredo ad un cero ane neredo u: u p u p u X X X u X u X X X X u X X u X X p ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Equazon d Chapan-Kologorov Equazon d Chapan-Kologorov B C A C C B C B C B A B C C A B AC B C A B

23 Caene d Marov M M M M M M u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p u p p

24 In fora arcale dvena: Caene d Marov H[p ]HuHu con HI defnendo [p ] H oene: H H H I H H dvdendo per e facendo l le endene a zero: H l I H H Q Q q defnce l generaore nfneale Q della arce d ranzone d ao: I l [ q q ] con q < q p l p l

25 Caene d Marov Equazon d Chapan-Kologorov: fora arcale» n avan H H Q» all ndero H Q H p p erne a erne» n avan q p» all ndero q p q q p p con con p p

26 Soluzone alle due equazon: Caene d Marov La probablà d fare una ranzone da nell nervallo T è daa da: La probablà d ucre dallo ao -eo nell nervallo T è daa da: Inolre rula conervazone della probablà: e A I A p q o q o p q o H e Q u du o A! 3 A 3!... o l p q per u gl

27 Caene d Marov robablà d ao: π [X] Veore d probablà: π[π π ] conocendo la drbuzone nzale degl a π può calcolare: π π H π e che oene da: dπ π Q d oppure n fora erne a erne: Q u du dπ d q π q π

28 Caene d Marov Oogenee Una caena d Marov epo-connua è dea oogenea e le probablà d ranzone fra due a quala n un dao nervallo d epo non dpende dall ane d nzo d ale nervallo a olo dalla ua duraa: p q q p... H Q [q Equazon d Chapan-Kologorov: p p H H e Q H H H I p Q H [p ] ]

29 Caene d Marov Oogenee robablà d ao: dπ d dπ d q π q π Q Caena d Marov rrducble: ogn ao è raggungble da quala alro: p > l Caena d Marov ergodca: p π p π π H π e le probablà d ao convergono ad un valore le ndpendene dalla drbuzone nzale degl a Q lπ π p

30 Caene d Marov Oogenee Le probablà le oa n condzone d equlbro aco ono le oluzon del ea lneare: Eepo q π π q π q q q oppure q q q q πq π qπ qπ q qπ qπ q qπ qπ q π π π q q q q q q q q π π π

31 roce d naca e ore Caene d Marov n cu ono peree da un generco ao olano ranzon vero gl a naca e - ore defnendo π [X] Conderao l cao d una caena d Marov oogenea; defnao: > M Q - per q q da q q q

32 roce d naca e ore La oluzone oene cobnando le eguen equazon: d - d d d Condzon nzal...

33 roce d naca e ore che poono vedere anche per pezone vva facendo l blanco de flu d probablà: Fluo enrane nello ao : - Fluo ucene dallo ao : La dfferenza ra quee due quanà rappreena l ao d varazone d probablà dello ao : d d K- 3 -

34 roce d oon Caraerche: caena d Marov d pura naca a ao coane... K-

35 roce d oon K-... e e e d d e e d d e d d d d! robablà d arrv n - Condzon nzal

36 roce d oon K

37 roce d oon [] [] [ ] [] [] [ ] [] [] [ ] [ ] [] [] [ ] e e E E E E E E E E E E E E e e e e e E σ σ!!!!!!! Valor edo varanza

38 roce d oon aca de ep d nerarrvo e x! p p A ~ ~ > σ ; ; d e e A E E e a e A ropreà eoryle della drbuzone eponenzale e l epo d peranenza n uno ao è una v.a. eponenzale l epo racoro nello ao non è ulzzable per predre quano reerà ancora nello ao eo.

39 roce d oon ropreà eoryle della drbuzone eponenzale Supponao d fare un ane d rfereno n corrpondenza d un arrvo. Se al epo non v è ao neun alro arrvo c chedao quale a la probablà che l proo arrv verfch dopo a parre da. [ ~ ~ ] [ ] < > e A A A A ~ ~ e [ > ] ~ e e e e [ ] [ ] [ ~ > ] e e ~ e

40 roce d oon Caraerche: caena d Marov d pura naca a ro coane E[K] σ K! e Ro d naca coane roceo d arrvo d oon Tep d nerarrvo eponenzal

41 roce d oon α β α α β C ano arrv n - eveno condzonane B. Suddvdao l nervallo - n nervall generc d po α ι enza arrv e n nervall d po β con un ngolo arrvo eveno A β β A B α β e e β β... β! α e e β α e β e β e β β... β α β e!! β e... e α β e β e α

42 roce d oon A queo pun agn d drbure aleaoraene pun nell nervallo - con drbuzone unfore. E eplce rcavare che β β β 3 A B...! β Sccoe le due probablà concdono ne conegue che: da arrv n - e queo ono genera da un proceo d oon allora que ono drbu unforeene nell nervallo -.

43 roce d oon S upponga d accuulare arrv d un proceo d oon. A al fne arà necearo un epo par alla oa d v.a. eponenzal la cu funzone caraerca arà par a: Π la cu an-raforaa è par a f X x x! e x x DISTRIBUZIONE DI ERLANG

44 n. orgen d raffco Se d ervzo L fla d aea. ervzo Il ea è decro aravero varabl aleaore:» nuero d uen nel ea» l nuero d uen nella ola fla d aea» h nuero d erven coneporaneaene occupa» x epo d ervzo» epo d peranenza nel ea epo d coda o d rardo» w epo d peranenza nella fla d aea

45 Se d ervzo La varable aleaora è caraerzzaa aravero la ua probablà le π p probablà che n n un un generco ane d d oervazone n n rege peranene ano preen uen all nerno del del ea

46 araer preazonal robablà d ea bloccao erven r L { } S p p L S r robablà d rfuo» r..o. rchea d ervzo offero r r..o./ea bloccao r{ ea bloccao/r..o. } r r..o. robablà d ervzo bloccao erven p S p { } r robablà d rardo { } Λ p { } Λ» r..a. rchea d ervzo accola r r..a./ervzo bloccao r{ ervzo bloccao/r..a. } r r..a. r S r { } Λ { } Λ r

47 roce d naca e ore n equlbro aco K- 3 -

48 roce d naca e ore n equlbro aco ccoe qund coane rula a - α α

49 Ipoe: Sea a coda M/M// / ep d nerarrvo..d. con drbuzone eponenzale negava d paraero ngreo d oon; ep d ervzo..d. con drbuzone eponenzale negava d paraero ; proce d arrvo e d ervzo acaene ndpenden. ngolo ervene; pazo nfno per la fla d aea. Il proceo d coda K è decrvble edane un proceo d Marov d naca e ore con pazo d ao { } Il proceo d coda K è ergodco e /<

50 Evoluzone eporale ngreo 4 3 ervzo nace or

51 Frequenze d ranzone d ao per frequenza d naca per frequenza d ore...

52 robablà le d ao Souendo e nella oluzone generale: dove dove / < drbuzone geoerca

53 robablà le d ao Il nuero edo d uen nel ea è Il epo d peranenza edo nel ea è Legge d Lle p E[ K ] / T

54 robablà le d ao robablà le d ao p La La drbuzone è d d po geoerco con paraero

55 araer preazonal In condzon d equlbro aco l nenà eda d raffco alo A concde con l nenà d raffco offero A o La probablà d ervzo bloccao S r concde con la probablà d rardo Π r S r A A o Π r prob. che l l ervene a occupao la la percenuale eporale d d occupazone del ervene la la prob. che una rchea n n arrvo a corea ad ad aendere n n coda p

56 Drbuzon n equlbro aco l lunghezza della fla d aeanuero d uen nella fla d aea hnuero d erven pegna l nuero edo d uen all nerno del ea è qund { } l r { } h r l h h l

57 Tep d aea S upponga che un uene rov al uo arrvo l ea nello ao oa v ono alr uen preen nel ea uno n ervzo e - nella fla d aea. Nel cao d dcplna FIFO l uene pra d eere ervo dovrà aendere un epo par alla oa d v.a. eponenzal. Queo avverrà con probablà K -. In eda avrà che: e w W δ

58 Tep d aea F w r w e W Deo nolre w r l r-percenle del epo d aea coè quel valore che non è uperao per una percenuale d epo uguale a r w w r r r w r W ln r

59 Tep d peranenza nel ea Nel cao d dcplna FIFO l uene pra d eere ervo dovrà aendere un epo par alla oa d v.a. eponenzal. Queo avverrà con probablà K -. In eda avrà che: e S w T e r F deo nolre r l percenle r% del epo d coda / r ln T r r r r

60 Tep d peranenza nel ea Drbuzone del epo d ea Tepo

61 Tep d peranenza nel ea Tepo edo d ea / Inenà eda d raffco Erl Al Al crecere dell nenà d d raffco l l epo d d coda ende all nfno

62 Sea a coda M/M/ per frequenza d naca per frequenza d ore... 3 < dove

63 Sea a coda M/M/ T...!! N e e e La drbuzone d probablà degl a è una dorbuzone d oon

64 Sea a coda M/M/ < < n... 3 < dove

65 Sea a coda M/M/!!!!!!.!!!!

66 Sea a coda M/M/ Un uene che arrva n ngreo al ea ha la neceà d accodar con probablà par a: [ ] coda!! [ ] coda!!! FORMULA DI ELRLAG C ndcaa coe C/ E ulzzaa nella elefona per deernare la probablà d rovare una lnea lbera fra le dponbl.

67 Ipoe: Sea a coda M/M/// ep d nerarrvo..d. con drbuzone eponenzale negava ; ep d ervzo..d. con drbuzone eponenzale negava ; proce d arrvo e d ervzo acaene ndpenden. erven acaene denc ed ndpenden; capacà nulla della fla d aea. Il proceo d coda K è decrvble edane un proceo d Marov d naca e ore con pazo d ao { }. Il proceo d coda K è ergodco per ogn valore povo d e coda a perda

68 Evoluzone eporale Il nuero d uen nel ea concde con l nuero d erven coneporaneaene occupa ngreo 3 K 3 ervzo nace or

69 Frequenze d ranzone d ao per - frequenza d naca per frequenza d ore dove

70 robablà le d ao er l equlbro de flu ha forule general: poo A /: raffco offero al ea rula < o o A A!!! o o A A!!! dove

71 robablà d blocco d chaaa Nel cao d proceo d ngreo d oon dao che la probablà d r..o. è ndpendene dallo ao ha: Π p S p S p Λ Nel cao d ea a coda M/M// per o Π p S p A o A o!! FORMULA B DI ERLANG

72 Forula B d Erlang L epreone della probablà d ea bloccao e d rfuo per un ea a coda M/M// a perda n eno reo é denonaa anche funzone d Erlang del po d ordne e d argoeno A o Gode nolre della propreà d calcolo d po rcorvo nfa: E A o A o A o!! A o E A o E Ao A o con l pro eleeno par a: E A o A o A o

73 Forula B d Erlang La grande poranza della forula B d Erlang rede anche nel fao che ea rula valda per quala drbuzone de ep d ervzo rea neceara l poe d..d.. In condzon d equlbro aco la drbuzone del nuero d uen nel ea è funzone del olo epo edo d ervzo / e non della drbuzone del epo d ervzo eo

74 araer preazonal Inenà eda d raffco alo A che rappreena l nuero edo d erven coneporaneaene occupa dpende da A o e dal nuero d erven : A Ao [ E A ] Inenà eda d raffco rfuao: A A A p o Coeffcene d ulzzazone del ervene: A o E o A o A A o A [ E ] o

75 robablà d rfuo n funzone d La probablà d rfuo a parà d A decrece al crecere del nuero d erven robablà d rfuo A o 5.6 A o A o 3. A o A o A o Nuero d erven

76 Denonaeno d n funzone d Π p La probablà d rfuo è a parà d una funzone onoona crecene d A 3 Nuero d erven Π p. Π p Inenà eda d raffco offero A Erl

77 robablà d rfuo n funzone d A robablà d rfuo Nuero erven Inenà eda d raffco offero A Erl

78 n funzone d A A parà d congeone d chaaa e con elevao nuero d erven preenano n condzon d equlbro aco un rendeno MIGLIORE rpeo a e con poch erven. Coeffcene d ulzzazone robablà d rfuo Πp Nuero erven cala logarca Inenà eda d raffco offero A o Erl

79 Eepo nuerco Traffco offero ad una lnea elefonca A o Erl Tale raffco è offero ad un unco faco d crcu n odo ale che la probablà d rfuo a nore dell % E A. 7 S upponga d rparre ale raffco unforeene u n fac con n S può noare coe all auenare d n auena l nuero d fac necear e dnuce l d ogn ngolo faco n A o A o /n *n Π p

80 B d Erlang: denonaeno del ea Denonaeno del ea: ao l raffco offero A e fao l valore ao per la probablà d congeone d chaaa Π ax deernare : rovare l pù pccolo valore d ale per cu E A o Π ax ale valore può eere faclene deernao per enav a parre da l valore effevo della congeone d chaaa porà rulare nferore a Π ax

81 B d Erlang: valuazone delle preazon Valuazone delle preazon: dao l nuero de erven ed l raffco offero deernare la probablà d d congeone d chaaa: Occorre noare che olaene è noo l raffco alo A * e l nuero d erven da cu può are A aravero la relazone eguene o A [ ] * E o A A Una vola calcolao A calcola la probablà d congeone d chaaa Π p E A o

82 Eepo nuerco S conder un cenralno elefonco auoaco ABX d una grande azenda. Il cenralno è collegao alla ree elefonca nazonale RTN rae un cero nuero d lnee bdrezonal. S conder nolre che:» nell ora d puna gl uen aea al cenralno forulano edaene 4 chaae dree vero la RTN;» nell ora d puna l nuero d chaae provenen dalla RTN e dree vero gl uen del ABX è edaene 8;» l fluo delle chaae a enran che ucen è oonano;» la drbuzone d probablà delle durae delle converazon è d po eponenzale negavo con valor edo par a 3 nu;» la odularà delle lnee è par a 4 ovvero poono nerre lnee olo a grupp d 4;» l ABX è del po a perda pura. S deern l nuero d lnee necearo a garanre un ervzo con congeone d chaaa non uperore all %. Calcolare nolre la frequenza aa delle chaae conena nell ora d puna.

83 Eepo nuerco Il ABX può eere odellao con un ea a coda del po M/M// n cu è l nuero d lnee ra ABX e RTN S calcola l raffco globale offero. Queo è par alla oa del raffco ucene 4 A u 3 7 Erl 6 e del raffco enrane 8 A e 3 6 qund 9 Ao Au Ae Erl 6 Erl

84 Eepo nuerco er calcolare l nuero d lnee necearo a garanre una probablà d congeone d chaaa nore dello. deve deernare l no valore d ale che A. S oene n al cao 5 E o A caua del vncolo ulla odularà l nuero d lnee da nerre arà par qund a 8 Dao ale nuero d lnee la congeone d chaaa arà noevolene nferore a quella rchea nfa Π p effevo E

85 Eepo nuerco er deernare la frequenza aa delle chaae conena nell ora d puna calcola pra l valore d A ax ale che E A. 8 oax da cu rcava A ax 8.64 per cu ax A o ax chaae / ora

86 Eepo nuerco 3 S conder l ABX dell eepo denonao con 8 lnee bdrezonal che lo conneono alla Ree Telefonca Nazonale. A danza d epo dalla ua nallazone vuole valuare la qualà d ervzo offera apendo che a eguo d una capagna d ure è rconrao nell ora d puna un valore d nenà eda d raffco alo par a crca.4 Erl.

87 Eepo nuerco 3 Dao l raffco alo urao può rcavare l raffco offero al ea rolvendo l equazone A A E. 4 o 8 o da cu ha A o Erl er quano rguarda l valore d congeone d chaaa ha E Il ABX non è pù n grado d rpeare l vncolo ul grado d ervzo. Le preazon ono varae ad eepo per un leggero ncreeno dell uenza. Bognerà qund rdenonare l nuero d lnee per rporare la probablà d rfuo oo la ogla dello.

88 Modello d un ulplaore a paccheo Ipoe eplfcave: I flu d pacche prodo dalle orgen ono rappreenabl edane proce d oon I flu d pacche ee dalle orgen ono uuaene ndpenden; Le lunghezze de pacche hanno drbuzone eponenzale negava e ono uuaene ndpenden; Il proceo d ngreo è ndpendene dal proceo d ervzo Canale d uca

89 Se a coda ulervene La rchea n arrvo è erva edaaene e rova aleno una rora ervene dponble alren è rfuaa. Tal e hanno rlevane neree nello udo delle re elefonche. n. orgen d raffco. S

90 Modell per e d couazone elefonc Le orgen d raffco elefonco preenano rchee d conneone enav d chaaa. Il ervene del ea d couazone ndcao con l erne generco d gunzone eplca le funzon neceare a upporare la chaaa. S ndca con l erne blocco la condzone n cu rova l ea d couazone quando al preenar d un enavo d chaaa non è n grado d effeuare la conneone. orgen d raffco elefonco rore del ea d couazone