Studio delle oscillazioni di un sistema massa-molla. Oscillatore armonico semplice

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1 Sudio delle ocillzioi di u ie -oll Ocillore roico eplice L equzioe del oo II legge dell diic è: d k [] d L oluzioe di que equzioe differezile del II ordie coefficiei coi è: e φ [] Derido ifi l [] e oiuedo [], i h u ideià e Le coi e φ o deerie i be lle codizioi iizili: eφ [3] coφ Diidedo ebro ebro, d qui egue che: gφ [] Deeriio i prio luogo φ. Dll [], derio due oluzioi, che iereero il ed il 3 qudre oppure b il ed il qudre. Co riferieo l co, i ceglierà il qudre 3 qudre e > <, e ciò per oddifre i ego l [3]. Sbilio φ, il lore di i può clcolre d [3]. k Ocillore roico orzo L equzioe del oo è i queo co: d k [5] d d il co più eplice i h qudo β, cioè l forz di rio riul proporziole ll d elocià dell ocille. Diidedo per, l equzioe i crie: d d [6] d d I queo co, l oluzioe è del ipo i cerc r le fuzioi del ipo e. Derido e oiuedo, i ro l equzioe creriic: ± [7] Si diiguoo quidi re ci:. >. I queo co l [7] h due oluzioi reli e di ego egio. L oluzioe dell [6] è: e e [8] Si dice i queo co che il ie è ororzo. Le coi e i deerio di lori iizili di poizioe e elocià. D [8], egue: P. Roo Ocillore roico

2 . 3.. L [7] h due oluzioi coicidei e di ego egio. L oluzioe dell [6] è: il ie i dice i orzeo criico. Per le coi, i h: e e [8] <. Le oluzioi dell [7] oo coplee coiuge. Poo oluzioi i crioo: j j j [ e e ] e e, le due j. L oluzioe dell [6] è llor: o, iroducedo le due coi reli e φ : e e φ Il ie i dice i codizioi di ooorzeo. Le coi e φ dipedoo dlle codizioi iizili: eφ [9] eφ coφ D qui, co brei pggi, i oiee: g φ [] logee quo fo per l ocillore roico eplice, deeriio i prio luogo φ. Dll [], derio due oluzioi, che iereero il ed il 3 qudre oppure b il ed il qudre. Co riferieo l co, i ceglierà il qudre 3 qudre e > <, e ciò per oddifre i ego l [9]. Sbilio φ, il lore di i può clcolre d [9]. [8] 3 Ocillore roico orzo forzo L equzioe del oo è i queo co: d k e [] d d Trio il co pricolre i cui β l forz di rio è proporziole ll elocià e d e e l ollecizioe eer è iuoidle. L [], poedo f i crie: d d f e [] d d L oluzioe di que equzioe i copoe di due pri: P. Roo Ocillore roico

3 . L iegrle geerle dell equzioe [6], ell for [8] oppure [8] oppere [8] 3 ;. U oluzioe pricolre dell [], che cerchereo ell for e φ. L oluzioe dell [] rà, per oguo dei re ci:. e e e φ... e e e φ [3].. 3. e e φ e φ.. doe i ric epre d [8]. L pre. dell oluzioe è u riorio, che i eigue dopo u cero epo. L pre. è iece ziori. Deeriio, i prio luogo, le coi e φ. Dopo u cero epo, riorio eurio, e φ o, uilizzdo l più cood ozioe cople: le [3] i riducoo j φ e [] Derido e oiuedo i [], i oiee: jφ f e j [5] Vludo il odulo di bo i ebri oliplicdo per i coplei coiugi, i deeri : f f [6] Ψ D [5] e d [6], egue iolre: eφ Ψ gφ [7] coφ Ψ Dei due lori di φ, biog cegliere quello che oddif l [7] e ciò iplic che oddiferà che l [7]. Deo i lre prole, riul epre π φ. Reo, queo puo, d deerire le coi e co. e. e le coi e φ co 3.. Procededo coe el co dell ocillore roico orzo, i ro:. eφ coφ. eφ coφ [8] 3. eφ eφ eφ coφ coφ Poedo eφ coφ, le [8] dieo: e P. Roo Ocillore roico 3

4 P. Roo Ocillore roico φ φ φ co 3... e e [9] che i rioloo i odo del uo logo quo già io ei re coripodei ci relii ll ocillore roico orzo. Modello uerico Coicio co il coiderre il co dell ocillore roico eplice. Il odo più eplice di iegrre l equzioe del oo [] i b ulle forule: [] ii i lori, ed il, l uilizzo ierio delle [] coee l deerizioe del oo del ie. Queo eodo, oo coe eodo di Eulero, che clcol le quià e l epo u ol oe le quià,, l epo cioè ll iizio dell ierllo, è ooriee poco precio. Ifi, l piezz delle ocillzioi ede d uere el epo, rferedo queo effeo ideidero u ue le grdezze college, qule d eepio l eergi ole del ie. fig.,,.5,.6, / kg N k., /. -,5 - -,5,5,5 6 epo clcolo uerico Eulero eori epo E T igur U riulo deciee igliore i oiee uilizzdo, ziché le [], le relzioi: []

5 L differez ozile r il eodo di Eulero e queo che di clcolo oo coe lgorio di Verle el fo che il clcolo di e di iee effeuo prededo i lori edi di elocià ed ccelerzioe ell ierllo, piuoo che i lori che quee grdezze ho ll iizio di queo ierllo. Ripeo llo che [], il uero dei pggi di clcolo è lo eo i quo:. Il pggio [] iee i relà ierio direee i [] 3 e ere olo fr copredere che il clcolo di, coe già deo, iee effeuo prededo il lore edio di i, ;. Il pggio [] è olee icipo ripeo llo che []. I fig., i ede ciò che i deeri co lo che di clcolo bo ulle [] l ierllo eporle è o ridoo per gli ei di di fig.. poeo,6,, -, 5 5 -, -,6 Eergi ole J 5, 5,,99999,99998,99997, epo epo elocià / 3 - -,5 -, ccelerzioe / ,5-5, poeo poeo igur Se i uole iulre u ocillore roico orzo forzo, lo che [] dee eere odifico coe egue []: f e f e [] I queo co, ripeo [], i h u pggio i più. Il clcolo di, ifi, dee eere olo pre e o iglobo i [] 3, i quo riul poi ecerio per []. P. Roo Ocillore roico 5

6 I fig. 3, k N /, kg,., f 3.5 N / kg, rd /. poeo epo Eergi ole J epo elocià / poeo ccelerzioe / poeo igur 3 P. Roo Ocillore roico 6