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1 Teori dei sisei - Cpiolo Relizzzioi e rppresezioi igresso-usci Il proble dell relizzzioe... Iroduzioe... Le relizzzioi iie... Deerizioe dell relizzzioe ii per u sise SISO... Esepio...7 Esercizio (Appello di Geio Es. )...9 Esercizio (Appello di Dicebre 99 - Es. 5)...9 Clcolo dell relzioi igresso-usci... Iroduzioe... Sisei epo-coiui lieri epo-ivrii... Mrice di rsferieo e rice di rispos ll ipulso... Sbilià eser... Iroduzioe... Sbilià eser e sbilià ier... Il proble dell relizzzioe INTRODUZIONE Suppoio di vere u sise epo-coiuo (regolre diesioi fiie) liere e epoivrie, descrio (i for di so) dlle equzioi & F Gu y H Sppio che si defiisce rice di rsferieo del sise l rice H si F G L oeu coe rpporo r Y(s) (rsfor di Lplce del veore di usci) e U(s) (rsfor di Lplce del veore di igresso) ell ipoesi di codizioi iizili ulle. D ques relzioe si deduce che, fiss l quer di rici ( F, G, H, L) che crerizzo il sise, l rice di rsferieo è uivocee deeri. Il proble che ci poio, llor, è il seguee: o l rice di rsferieo di u sise, è uic l quer di F, G, H, L che descrive il sise sesso? rici

2 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo I lre prole, ci chiedio se esise u corrispodez biuivoc r l fuzioe di rsferieo di u sise e l quer di rici ( F, G, H, L) che descrive il sise sesso i for di so. L pri osservzioe che possio fre è quell per cui, se l rice di rsferieo W(s) soddisf l codizioe di fisic relizzbilià, llor è sepre possibile rovre u rppresezioe di so del sise, ossi, i defiiiv, u F, G, H, L che descrive il sise sesso. quer N.B. Ricordio che l codizioe di fisic relizzbilià è che ue le fuzioi rzioli che cosiuiscoo l rice W(s) bbio grdo del uerore iore o l più ugule l grdo del deoiore, ossi che si ri di fuzioi proprie. Quidi, l codizioe di fisic relizzbilià iplic l esisez di u quer ( F, G, H, L) d ssocire ll rice W(s). Il osro proble, coe deo, è verificre se c è che l uicià, ossi se le quer è uic i corrispodez di ciscu W(s) oppure se ci possoo essere diverse F, G, H, L corrispodei ll sess W(s). quere Possio giusificre, i odo essezilee quliivo, il oivo per cui sussise il seguee risulo Teore - Fiss u rice di rsferieo W(s) che god dell proprieà di fisic relizzbilià, o è uic l quer di rici ( F, G, H, L) ssocibile per l descrizioe del sise Queso eore dice che, i effei, d u W(s) fisicee relizzbile, è possibile che ci sio più sisei vei le rice coe rice di rsferieo. U pri oivzioe di queso fo è l seguee: bbio piee viso, ei cpioli precedei, che le rici ( F, G, H, L) che descrivoo il sise dipedoo sreee dl riferieo preso per l rppresezioe dello spzio di so, ere ivece W(s) è sepre idipedee d le riferieo. Di coseguez, d W(s), esisoo ceree ifiie quere ( F, G, H, L) d ess corrispodei. Iolre, u lro oivo viee d quello che bbio viso proposio dell scoposizioe coic cople di Kl: i quell sede, ifi, bbio osservo coe l rice di rsferieo del sise diped solo dll pre copleee rggiugibile e copleee osservbile; ciò sigific che se oi bbio u sise, vee u cer W(s), e ggiugio delle pri che sio copleee o rggiugibili e/o copleee o osservbili, oeio u uovo sise, che però h l sess rice di rsferieo W(s). Ache se l ggiu di uove copoei ue presuibilee l ordie del sise, l W(s) o subisce odifiche. LE REALIZZAZIONI MINIME Proprio sull scor di quo ppe deo, fccio desso il seguee discorso: suppoio di vere u geerico sise, di ordie, vee u rice di rsferieo W(s); suppoio iolre di ggiugere l sise delle pri copleee o rggiugibili e/o copleee o osservbili; coe effeo, oeio u ueo dell ordie del sise, ere l W(s) rie ivri. I geerle, quidi, possio dire che, d u sess W(s), possoo corrispodere sisei: ciò sigific che, d ppuo l sess W(s), possio ssocire d ess quere Auore: Sdro Perizzelli

3 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser ( F, G, H, L) co l rice di so F che ssue diesioi diverse. Allor, il proble dell deerizioe dell quer di rici ( F, G, H, L) corrispodee d u d W(s) prede il oe di proble di relizzzioe. I bse quo deo pri, queso proble ee soluzioi. Spesso, ci si poe llor il proble di deerire, r quese ifiie relizzzioi, quell che o prevede l presez di pri copleee o rggiugibili e/o copleee o osservbili: ques pricolre relizzzioe si dà il oe di relizzzioe ii del sise. L ggeivo ii deriv dl fo che, solo i ssez di pri copleee o rggiugibili e/o copleee o osservbili, o è possibile ridurre ulerioree l ordie del sise: i lre prole, u relizzzioe ii corrispode d u quer ( F, G, H, L) i cui l rice di so F h l ordie più bsso possibile r le ifiie relizzzioi possibili. Deerizioe dell relizzzioe ii per u sise SISO Vedio llor coe è possibile deerire l relizzzioe ii di u sise del qule si o solo l rice di rsferieo. I pricolre, fccio l ipoesi seplificiv che il sise bbi igresso e p usci (perciò si r di u sise cosiddeo SISO, ossi Sigle Ipu Sigle Oupu), il che sigific che W(s) è sepliceee u fuzioe di rsferieo. Io, bbio deo che, d W(s), è possibile ssocire d ess u qulsisi relizzzioe solo po che W(s) soddisfi l codizioe di fisic relizzbilià: essedo W(s) u fuzioe sclre, ques codizioe cosise el fo che il uerore di W(s) deve vere grdo o superiore l deoiore. Teedo coo di ciò, coicio dl cso pricolre i cui si s s s... s Ricvdo, d ques, l igresso i fuzioe dell usci, oeio ( ) s s s... s Se or irsforio secodo Lplce bo i ebri di ques relzioe (ell ipoesi, ovviee, di codizioi iizili ulle, perché così è previso dll defiizioe di fuzioe di rsferieo), oeio u d y d y dy y... Abbio duque oeuo l relzioe igresso-usci el doiio del epo prire d quell el doiio di Lplce. A queso puo, cosiderio le seguei vribili di so: Auore: Sdro Perizzelli

4 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo y dy... Sull bse di quese posizioi e del lege igresso-usci oeuo pri, possio subio idividure le equzioi di so del sise: dy & & &... 4 & & u( ) d y d y dy... y u( )... Ques è duque l equzioe di so del sise. I for ricile, si r dell seguee equzioe: & u { F G Molo più seplice è l equzioe di usci, che è sepliceee y e quidi h l seguee for ricile: y [... ] H Se osservio ques rppresezioe oeu per il sise, ci ccorgio subio che si r dell già irodo for coic di corollo, crerizz d u rice di so F i for copg e d u rice di igresso G vee ui gli eleei ulli re l ulio che è 4 Auore: Sdro Perizzelli

5 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser uirio. D lr pre, oi sppio che ogi sise descrivibile ell for coic di corollo è u sise copleee rggiugibile. Possio che fferre che si r di u sise copleee osservbile: ifi, se dio rovre l rice di osservbilià corrispodee ques rppresezioe, è fcile verificre che si r di u rice di rgo pri d (che è l ordie del sise). Quidi, il sise così oeuo è copleee rggiugibile e copleee osservbile, il che ci dice, i bse quo deo i precedez, che l relizzzioe rov è u relizzzioe ii. Tuo ciò vle duque el cso i cui l rice di rsferieo è ell for U s s s s... s Vedio se e coe cbio le cose el cso geerle i cui l rice di rsferieo è ell for b s bs b s... b s b s s s... s Il cso che cosiderio è quello i cui : se uerore e deoiore ho lo sesso grdo, possio fre l divisioe, i odo d oeere l fuzioe di rsferieo ell for r( s) L s s s... s dove L è u cose, ere r(s) è il polioio reso dell divisioe, ossi u polioio vee grdo sicuree iore di quello del deoiore. Esplicido l usci i fuzioe dell igresso, oeio llor che r( s) L s s s... s Airsfordo secodo Lplce bo i ebri di ques relzioe, oeio l usci y() ell for... y( ) Lu( )... Acor u vol, bbio oeuo il lege igresso-usci el doiio del epo: secodo ebro, il erie L corrispode proprio ll rice di rsferieo direo che copre ell equzioe di usci di u sise iproprio liere epo-ivrie. L lro erie, ivece, corrispode ll irsfor di Lplce di u frzioe vee grdo del deoiore sreee ggiore del grdo del uerore. Sio, quidi, el secodo cso, che ci ppresio descrivere. Il cso è duque quello i cui grdo del deoiore possio io porre l fuzioe di rsferieo ell for < : se il uerore h grdo sreee iore del Z( s) Z( s) 5 Auore: Sdro Perizzelli

6 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo Se, rbirriee, ipoio che si dovrà essere ecessriee Z( s) U s s s s... s b s bs b s... b s b Z( s) Possio llor rgiore el odo seguee: fccio fi che Z(s) si l usci del sise, ere U(s) si l igresso (coe effeivee è); rovio u relizzzioe ii corrispodee ll fuzioe di rsferieo Z ( s ) e poi ggiusio ques relizzzioe eedo coo del lege esisee r Z(s) e l usci rele Y(s). Dobbio duque rovre u relizzzioe ii per Z( s) s s s... s Queso cso è so ffroo già i precedez ed bbio rovo che si r dell for coic di corollo: possio perciò predere z dz d z d z d z (dove bbio euo coo del fo che <), i odo d oeere l equzioe di so ell for & u { F G 6 Auore: Sdro Perizzelli

7 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser Dobbio or eere coo del lege r z() e y() l fie di rovre l equzioe di usci: el doiio di Lplce, bbio deo che il lege r y() e z() è Airsfordo, bbio che b s bs b s... b s b Z( s) y b d z b d z b d z dz b b z... I bse lle posizioi fe pri, ques corrispode che y( ) b b b... b b Ques è duque l equzioe di usci, che i for ricile è y b b b () erii ulli H dove, evideeee, i erii ulli soo si ggiui (i uero pri --) i odo che H risuli u veore colo d copoei. I defiiiv, quidi, bbio oeuo u relizzzioe del sise sepliceee uilizzdo i coefficiei del uerore e del deoiore dell fuzioe di rsferieo sseg; i pricolre, l relizzzioe oeu poe sise ell for coic di corollo, il che sigific che il sise è copleee rggiugibile. No è ivece deo che il sise si copleee osservbile, il che sigific che o è deo che l relizzzioe così rov si ii. Cos deve ccdere ffiché il sise si che copleee osservbile? Deve ccdere che l W(s) si cosiui d polioi prii, il che sigific che uerore e deoiore o devoo vere zeri i coue. Allor, se ci soo degli zeri i coue r uerore e deoiore, bisog pri eliirli e poi si può pplicre il procedieo ppe esio: così fcedo, si è ceri di oeere u relizzzioe ii del sise. Esepio Si sseg l fuzioe di rsferieo s 9s s 4 s 8s 9s Voglio rovre u relizzzioe ii per ques fuzioe W(s). L pri cos che si osserv è che il uerore ed il deoiore ho lo sesso grdo, per cui possio effeure l divisioe: fcedo i coi, si oiee 7 Auore: Sdro Perizzelli

8 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo s s ( s )( s ) s 8s 9s s 8s 9s Dobbio verificre se gli zeri del uerore di quell frzioe (cioè - e -) soo dei poli per quell sess frzioe (cioè degli zeri del deoiore). Fcedo i coi, si rov che - è u polo, ere - o. Allor, pri di cosruire l relizzzioe, dobbio seplificre il polo -: scopoedo il deoiore, si rov che ( s )( s ) s ( s )( s 7s ) ( s 7s ) A queso puo, sio i grdo di cosruire l quer di rici di defiisce il sise i for di so: F G 7 H [ ] L Possio che verificre l boà dei clcoli effeui. Per frlo, dobbio ppurre cose: il sise deve essere copleee rggiugibile (corollbile), cos che ccde se e solo se l rice di rggiugibilià K risul di rgo ; il sise deve essere copleee osservbile, cos che ccde se e solo se l rice di osservbilià K O risul di rgo ; s l fuzioe di rsferieo del sise deve essere. s 7s Coicio d rggiugibilià e osservbilià: K [ G FG] ( K) ρ sise copleee rggiugibile 7 H K HF 5 ρ O K O sise copleee osservbile Adesso rovio l fuzioe di rsferieo del sise: pplicdo l defiizioe, bbio che W s H si F G L H s G H s 7 ( ) s s s s G 7 7 s s [ ] s s s 7 7 s 7s Abbio duque cofer dei clcoli fi pri. 8 Auore: Sdro Perizzelli

9 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser Esercizio (Appello di Geio Es. ) Deerire u relizzzioe ii i for coic di corollo per il sise descrio dll seguee fuzioe di rsferieo: s s s s s s Risoluzioe Si osserv subio che il uerore ed il deoiore di W(s) ho lo sesso grdo, per cui possio effeure l divisioe: fcedo i coi, si oiee s s s s s s s ( s ) Dobbio verificre se gli zeri del uerore di quell frzioe (cioè -) soo dei poli per quell s s s soo s, s- sess frzioe (cioè degli zeri del deoiore): gli zeri dell fuzioe ed s-, il che sigific che - è u polo, ere - e o. Allor, pri di cosruire l relizzzioe, dobbio seplificre il polo -: scopoedo il deoiore, bbio che s s s s s s s s ( )( ) ( ) A queso puo, sio i grdo di cosruire l quer di rici di defiisce il sise i for di so: F G H [ ] L Esercizio (Appello di Dicebre 99 - Es. 5) Deerire u relizzzioe ii per il sise descrio dll seguee fuzioe di rsferieo: s 8s s 6 s 4s 5s Risoluzioe Si osserv cor u vol che il uerore ed il deoiore di W(s) ho lo sesso grdo, per cui possio effeure l divisioe: fcedo i coi, si oiee ( s ) s s s s 4 5 s s s s s ( )( ) 9 Auore: Sdro Perizzelli

10 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo Avedo già provveduo d eliire gli zeri e i poli dell frzioe, possio cosruire l quer di rici di defiisce il sise i for di so: F G H [ ] L Clcolo dell relzioi igresso-usci INTRODUZIONE Suppoio di vere u sise del uo geerico: fisso u ise iizile τ, uo so iizile (τ) e l deo dell igresso u ( ) Ω, sppio che il sise produce u ovieo di so ed u ovieo di usci uivocee deerii, rispeivee, dll fuzioe di rsizioe ϕ τ u η ( ), u( ),. Possio llor fferre che, di so,,, ( ) e dell fuzioe di usci fisso u eveo ( ) X T, u( ) T Ω, u eleeo y Y Ques fuzioe f u,τ, è possibile ssocire, d ogi coppi edie u fuzioe f : T Ω Y, τ (, u( )) y( ) f, τ, u( ), τ, prede llor il oe di relzioe igresso-usci o che rppresezioe igresso-usci i quo leg l usci del sise ll igresso (olre che lle codizioi iizili). SISTEMI TEMPO-CONTINUI LINEARI TEMPO-INVARIANTI Per vere u ide igliore di cos si u relzioe igresso-usci, fccio riferieo l solio sise epo-coiuo (regolre diesioi fiie) liere descrio dlle equzioi & F( ) G( ) u y H( ) Spedo che lo so del sise i u ise τ è do dll forul di Lgrge () ϕ(, τ)( τ) τ ϕ(, ξ)g( ξ)u( ξ)dξ Auore: Sdro Perizzelli

11 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser possio scrivere che l corrispodee usci, ll ise, vle y() H()() H() ϕ(, τ)( τ) H() τ ϕ(, ξ)g( ξ)u( ξ)dξ Se predio τ coe ise iizile e cosiderio lo so ullo coe so iizile (cioè cosiderio il sise iizilee scrico o che iizilee riposo ), ques relzioe si seplific e dive y() H() ϕ(, ξ)g( ξ)u( ξ)dξ Ques relzioe rpprese il lege igresso-usci, per il sise i ese, i corrispodez delle fisse codizioi iizili. Essedo oo l deo dell igresso ell iervllo [,] di osservzioe, l deerizioe uivoc del lege igresso-usci è duque possibile solo po di cooscere l rice M, ξ H() ϕ(, ξ)g( ξ ) Ques rice prede il oe di rice di rispos ll ipulso e c è u seplice oivo fisico che giusific queso oe: suppoio che il osro sise si sooposo d u uero di igressi e rispod co u uero p di uscie, per cui u è u veore d copoei, ere y è u veore p copoei; suppoio, iolre, che lo so del sise si ullo ll ise e che ue le copoei dell igresso vego eue ulle re i-si, rpprese ivece dll ipulso δ( ξ ). Se voglio clcolre il vlore del k-si rispos y k i u cero ise, sfrudo l relzioe rov pri e eedo coo che ui gli igressi soo ulli re l i-sio, possio scrivere che k y ( ) ik (, ξ)u i ( ξ)dξ ik (, ξ) δ ( ξ ) dove, ovviee, ik (, ξ ) è l eleeo di poso ik dell rice M(, ξ ). Cosiderdo iolre l o proprieà di seccio dell fuzioe δ, possio risolvere subio quell iegrle e scrivere che y ( ) (, ) k ik Abbio cioè rovo che l eleeo ( ik, ) dell rice M(, ) corrispode l vlore dell k-si usci del sise oeu i corrispodez di ui igressi ulli re l i-sio che vle δ( ξ ). Tordo desso ll rppresezioe igresso-usci y () H() ϕ(, ξ)g( ξ)u( ξ)dξ, suppoio che il sise si che epo-ivrie: i queso cso, le rici H e G o dipedoo dl epo ( ξ ) e, iolre, l rice di rsizioe di so è ϕ(, ξ) e F, per cui quell relzioe dive dξ y() H e F ( ξ) Gu( ξ)dξ Auore: Sdro Perizzelli

12 Appui di TEORIA DEI SISTEMI - Cpiolo Applicdo llor u ipulso i ξ, oeio che M( ) He F G e ques è l rice di rispos ll ipulso per u sise liere epo-ivrie. MATRICE DI TRASFERIMENTO E MATRICE DI RISPOSTA ALL IMPULSO E iedio osservre u cos olo ipore proposio di ques uli defiizioe: ifi, se clcolio l rsfor di Lplce di M(), oeio che F F [ ] [ ] ( [ ]) Lplce M( ) Lplce He G H Lplce He G H si F G Abbio cioè rovo u lr proprieà di cui gode l rice di rispos ll ipulso: l rice di rispos ll ipulso di u sise liere epoivrie corrispode ll irsfor di Lplce dell fuzioe di rsferieo del sise sesso. Ovviee, vedo i precedez ppuro che solo l pre copleee osservbile e rggiugibile del sise ifluisce sull W(s) e spedo che esise u corrispodez biuivoc r u fuzioe e l su rsfor di Lplce, deducio che solo l pre copleee osservbile e copleee rggiugibile del sise ifluisce sull rice di rispos ll ipulso del sise sesso. Sbilià eser INTRODUZIONE Qudo ci sio occupi dell sbilià di u sise, lo bbio fo co riferieo llo so del sise: si prl, i queso cso, di sbilià ier. Vicevers, l sbilià eser di u sise è leg ll sbilià dell usci del sise sesso. I pricolre, co riferieo d u sise epo-coiuo (regolre diesioi fiie) liere epo-ivrie descrio dlle equzioi & F Gu y H sussise l seguee defiizioe: Def. Il sise si dice sbile eseree se l usci corrispodee so ullo risul lii per ogi igresso liio Auore: Sdro Perizzelli

13 Relizzzioi, rppresezioi igresso-usci e sbilià eser I forule, possio esprierci el odo seguee: idic co y ( ) l usci del sise i corrispodez dello so iizile ullo (cioè l usci liber, viso che sio cosiderdo sisei u A per >τ), il sise lieri) e di u igresso u ( ) Ω geerico liio (le cioè che si dice sbile eseree se esise u cose rele C le che y ( ) C τ Ques defiizioe ecessi di lcui chiriei. I prio luogo, osservio che, se il sise h più di u igresso e più di u usci, le codizioi di igresso liio e usci lii corrispodoo dire che sio liie le rispeive ore. Quidi, d esepio, l codizioe perché l igresso si liio è che µ R le che u() µ τ Discorso logo, ovviee, per l usci. E bee che sooliere che l or ipieg o è ipore, el seso che, i bse d u o proprieà dei sisei lieri, l proprieà di sbilià o dipede dll or uilizz. STABILITÀ ESTERNA E STABILITÀ INTERNA L defiizioe di sbilià eser è ieresse che perché sussise il seguee fodele lege co l sbilià ier: Teore - Codizioe ecessri e sufficiee perché il sise liere epo-ivrie ( F, G, H) si sbile eseree è che risuli sioicee sbile l pre copleee rggiugibile e copleee osservbile del sise sesso Si deduce, i bse queso eore, che ei sisei lieri epo-ivrii ( F, G, H) copleee rggiugibili e osservbili, sbilià eser e sbilià ier (sioic) soo equivlei. Auore: SANDRO PETRIZZELLI e-il: sdry@iol.i sio persole: hp://users.iol.i/sdry succursle: hp://digilder.iol.i/sdry Auore: Sdro Perizzelli