ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2003/2004 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Tema di MATEMATICA. Seconda prova scritta Sessione straordinaria

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1 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol EME DI TTO DI LICEO CIENTIFICO.s. / CORO PERIMENTLE P.N.I. Tem di MTEMTIC ecod prov scri essioe srordiri Il cdido risolv uo dei due problemi e 5 dei quesii i cui si ricol il quesiorio. PROBLEM. I u pio è sseg l prbol p di verice V e uoco F li ce, rispeo d u sseg uià di lugezz, il segmeo VF si lugo. Idico co E il puo simmerico di F rispeo V e rierio il pio d u coveiee sisem di ssi cresii O: Deermire l equzioe dell prbol p e sbilire se esise u puo di p le ce il rigolo EF si regolo i. b Cimo P u geerico puo dell prbol p, rovre le coordie del bricero del rigolo PEF e deermire l equzioe del luogo geomerico descrio dl puo l vrire di P su p. c Idici co R ed due pui ppreei il primo ll prbol p ed il secodo l luogo e siui el qudre su u re r perpedicolre ll sse di simmeri dell prbol p, clcolre qule disz d V bisog codurre l re r icé l re dell regioe ii di pio dei dl segmeo R, dll rco VR dell prbol p e dll rco V del luogo si 8 ugule. 9 d bilire se l disz rov sopr è espress d u umero rziole o irrziole. oluzioe Il sisem di rierimeo più coveiee è quello co origie i,, uoco dell prbol i F, e verice dell prbol i V,. Queso compor ce E, e grisce ce il segmeo VF bbi lugezz. L prbol co verice V, equzioe geeric ed impoedo ce l ordi del uoco si, si c b per cui l prbol equzioe p :.

2 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol Il puo geerico P dell prbol coordie,. Cosiderimo l igur soose: Or ci soo dierei modi di procedere. U modo è clcolre le F e E ed imporre ce il prodoo dei coeiciei golri si pri -. eguimo ques srd: F : E : Or impoedo m PF m PE si per cui suppoedo l equzioe d risolvere dive ± 5 ± ± 5. Ovvimee essedo 5 > le soluzioi del ipo ± 5 vo scre per cui quelle d cosiderre soo ± 5 d cui i pui ce redoo il rigolo EF regolo soo 5 5 5,, 5,. U lro modo di procedere è il seguee: dovedo essere regolo, llor il rigolo EF è iscrivibile i u semicircoerez co ipoeus pri l dimero. Queso sigiic ce V e VF

3 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol soo i rggi dell semicircoerez per cui dovro essere uguli e cioè impoedo ce VF V ce è l sess equzioe già ricv e risol. b Il bricero di u rigolo geerico sciss pri ce soo pri d dell somm delle scisse dei verici del rigolo e ordi pri dell somm delle ordie dei verici del rigolo; el osro cso, F E F E, quidi: : : : F E F E Quidi il luogo geomerico descrio dl bricero del rigolo EF, o cosiderdo il pedice, è : cioè u prbol c ess co verice i, V. c Cosiderimo l igur soose: Cosiderimo l re, > perpedicolre ll sse di simmeri delle due prbole, sse coicidee co l sse delle ordie. Poicé i pui R ed si rovo el primo qudre essi vro sciss posiiv, per cui le coordie dei due pui soo:

4 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol R,, Or, vis l simmeri i gioco, l re dell regioe VR l si può clcolre come semidierez r l re dell regioe VRR e V, cioè ' ' V VRR VR. Or le due ree ' ', V VRR le clcoo pplicdo il pricipio di rcimede, per cui l re del segmeo prbolico è i dell re del regolo circoscrio. I l modo ' ' V VRR per cui ' ' V VRR VR Or 9 8 VR d L disz è ovvimee u umero rziole.

5 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol PROBLEM. I u pio, rierio u sisem moomerico di ssi cresii orogoli O, soo ssege le curve di equzioe: si cos dove è u prmero rele. Dimosrre ce si r di curve periodice co periodo, ce o i comue iiii pui dei quli si ciedoo le coordie. b Tr le curve ssege deermire quelle ce o come gee orizzole l re di equzioe. c Corollo ce due curve soddiso ll codizioe precedee, dimosrre ce soo l u simmeric dell lr rispeo ll sse e disegrle ell iervllo, dopo ver spiego, i pricolre, percé essu di esse prese pui di lesso. oluzioe L uzioe si l possimo riscrivere come. L uzioe cos cos cos è periodic di per cui ce l uzioe cos srà periodic di, mere l uzioe è periodico di, per cui il periodo dell uzioe si è il miimo cos comue muliplo r i periodi delle uzioi compoei, per cui T m. c. m,. Idicimo co prmero. Or ' 'si ''si, '' due curve dell migli l vrire del cos cos ' cos ' ' ' ' cos ' '' ' ' Per cui i pui i comue r le uzioi dell migli soo iiii e del ipo,,, b '. I pui ce o gee orizzole soo i pui sziori, cioè i pui i cui si ull l deriv prim percé l ullmeo dell deriv prim compor ce i pui i gioco o soo dei miimi relivi o dei mssimi relivi o dei lessi gee orizzole; per cui l ullmeo dell deriv prim è codizioe suiciee percé l uzioe bbi gee o gei 5

6 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol orizzoli. Clcoo llor l deriv prim: ' cos cos si si si cos cos uppoedo l deriv prim si ull se e solo se si,. Quidi le scisse dei pui i cui si ull l deriv prim si ricvo dll equzioe si, i corrispodez dei quli le rispeive ordie sro ±. Or impoedo ± si ± per cui le due curve dell migli ce o gee orizzole pri soo si si cos cos si si cos cos pplicimo ll prim curv di equzioe si cos l rsormzioe si : ' ' ' si ' cos ' si cos si cos ' cioè le due curve soo simmerice rispeo ll rsormzioe, simmerice cioè rispeo ' ll sse delle ordie. c udimo l uzioe si cos i [, ] e poi rccimo il grico dell lr uzioe

7 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol si cos ricorddo l simmeri r le due sopr evidezi. Domiio: cos,,, ; Iersezioe sse delle scisse: o esisoo viso ce si > R ; Iersezioe sse delle ordie: ; Eveuli simmerie: l uzioe o prese simmerie, o è é pri é dispri; Vlori ssui gli esremi: ± Posiivià: sioi vericli: si cos si cos ; si > cos >, cos ;,, si cos si cos Quidi le ree ± soo due sioi vericli; sioi orizzoli ed obliqui: o ce e soo; Crescez e decrescez: L deriv prim è: si 5 > si >, cos,, cos ' L deriv secod è: si si ' '. Tle deriv o si ull mi per cui l cos uzioe si cos o lessi. Iolre si si 5 si si '', '' > per cos cos 5 cui il puo, è u miimo relivo mere 5, è di mssimo relivo. Il grico è soo preseo: 7

8 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol Il grico di si cos ricorddo l simmeri è: Meimo su uo sesso sisem di rierimeo i due grici ed oeimo: 8

9 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol 9

10 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol QUETIONRIO Clcolre l mpiezz dell golo diedro ormo d due cce cosecuive di u oedro regolre, espress i grdi sessgesimli e pprossim l secodo. Dimosrre ce, se due pii soo perpedicolri, ogi re perpedicolre uo di essi è prllel ll lro o è coeu i esso. i può cocludere ce ogi re prllel uo dei due pii è perpedicolre ll lro? Forire u esuriee spiegzioe dell rispos. Deermire il domiio dell uzioe l. Il ie di g per edee : è ; B è ; C o esise; D esise m o si riesce clcolre U sol rispos è corre: idividurl e orire u spiegzioe esuriee dell scel oper. 5 Dimosrre il seguee eorem: «Codizioe suiciee m o ecessri icé l uzioe rele di vribile rele si coiu el puo è ce si derivbile i». Uilizzdo il clcolo iegrle, dimosrre l ormul ce orisce il volume di u ser di rggio ssego. 7 Idic co l somm di ermii i progressioe geomeric, di primo ermie e rgioe, clcolre. 8 Clcolre il vlore dell seguee somm: K. 9 I u clsse di 5 lui bisog esrrre sore u rppresez di elemei. Clcolre que soo le possibili ere di rppresei. ll ile dei m pii precipo 8 lei, r i quli iguro i osri mici oio e Piero. Clcolre il umero dei possibili ordii di rrivo ce regisrio i osri due mici r i primi re clssiici.

11 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol oluzioe i cosideri l oedro soo rppreseo. Esso è cosiuio d u qudro di bse di lo l e d cce ce soo rigoli equileri. i O l re perpedicolre codo d l qudro di bse BEDC. Per cosruzioe e simmeri OH l, mere H, essedo l lezz del rigolo equilero EC di l lo l srà H. Or il rigolo OH è regolo per cui OH OH H cos α cos α d cui, essedo cosα cos α si H α rccos 9 8'' '. L igur seguee rpprese l quesioe geomeric del quesio:

12 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol L iersezioe r i due pii α, β è l re r. Predimo u puo P ppreee β e d esso coducimo l re s perpedicolre d α. L re s pprerrà ovvimee l pio β percé i cso corrio coducedo d P l perpedicolre ll re r ess srebbe perpedicolre pure l pio α, per cui d uo sesso puo P srebbe possibile codurre due perpedicolri llo sesso pio, cos ques ssurd. Per cui s o può o ppreere l pio β. logmee codo d u puo R o ppreee l pio β u re perpedicolre l pio α, le re srà prllel ll re s dl momeo ce ermbe perpedicolre d uo sesso pio; i l cso llor l re srà prllel l pio β. Quidi è so provo ce,se due pii soo perpedicolri, ogi re perpedicolre uo di essi è prllel ll lro o è coeu i esso. e, ivece predimo u re prllel d uo dei due pii, o è deo ce ess si perpedicolre ll lro: ii l re, psse per R e prllel ll re r risul essere prllel d ermbi i pii. Il domiio dell uzioe l è. > Risolvimo l disequzioe irrziole > >. Le soluzioi di le disequzioe soo l uioe delle soluzioi dei due sisemi seguei: Risolvedoli si : >

13 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol mere 5 > Quidi >. Per cui il domiio srà: Per clcolre il ie suddeo bs ricordre l eori delle successioi. Ii se per ogi successioe le ce si l llor si deduce ce l. Predimo l proposio due successioi α α,,, co, α si ovvimee,, m, α α α α α per cui essedo i due ii dierei si deduce l o esisez del ie ricieso, per cui l rispos corre è l C. 5 U izioe è derivbile i se esise iio il ie '. Or si cosideri l seguee ideià * ; pssdo l ie si : * ' * Quidi ; or se eeuimo l sosiuzioe si : e cioè dll derivbilià i è s dimosr l coiuià i.

14 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol Ovvimee se u uzioe è coiu i o è deo ce ess si derivbile i ; come coroesempi si possoo predere lcue uzioi, come, g ce soo coiue i dl momeo ce, g g derive o esisoo. Ii ', g' per cui ' ', g' g' I coclusioe l derivbilià i ecessri., m i le è codizioe suiciee per l coiuià i e o L ser può essere pes come il solido oeuo dll rozioe di u semicercio ioro l suo dimero come rppreseo ell igur soose. Cosidero u sisem di rierimeo OXY, u semicercio di dimero r, cero coicidee co l origie, del sisem di rierimeo e posizioo ei qudri d ordi posiiv, equzioe r, equzioe ce scurisce dll equzioe dell circoerez r ce per può essere espress come r. Or ricorddo il eorem di uldio per i solidi di rozioe si : V ser r r d r r r r r d r r r r r r r 7 Per come ricieso si iziuo:

15 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol 5 Or dobbimo clcolre. Poicé e si di coseguez. 8 L somm ricies può essere espress el modo seguee:. Or ricordimo ce per iduzioe si può dimosrre ce ; ii * *, per cui poso ce è ver, dobbimo r vedere ce. l proposio scrivimo i primi ermii dell successioe, si : M M Per cui [ ] [ ] [ ] c.v.d Per cui

16 essioe srordiri L_ORD oluzioe di De Ros Nicol Ricorddo il clcolo combiorio le possibili combizioi soo: 5 * * 5 C 5, * * 5 * Il umero di combizioi possibili delle posizioi dei primi re clssiici è ovvimee! ** ; or oio e Piero si rovo r i primi re, per cui il erzo le può essere uo dei sei lei 8- rimei, per cui il umero di combizioi ce vedoo oio e Piero r i primi re clssiici soo N *! *.