1.1 Funzioni fondamentali Funzioni inverse Teoremi dei triangoli rettangoli Somma di due vettori...5

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1 Memic e Fisic Srumei memici di se Srumei memici di se ppeerr m eem icc ee fif issi icc i i eerr Idiice LE FUNZIONI GONIOMETRICHE... Fuioi fodmeli. Fuioi iverse... Teoremi dei rigoli regoli4 I VETTORI..5. Somm di due veori..5. Differe di due veori6. Prodoo di u veore per uo sclre.6.4 Comiioe liere di veori6.5 Prodoo sclre di due veori..6.6 Prodoo veorile di due veori.7 LE MTRICI8. Operioi co le mrici.8.. Somm e differe di mrici dello sesso ipo.8.. Prodoo di u mrice per uo sclre.9 pplicioe i veori 9.. Prodoo di mrici..... Prodoo sclre di veori... Deermii.. Prodoo veorile di veori. re di u prllelogrmm el pio. re di u rigolo el pio.. 4 Codiioe di lliemeo di pui. 5 Volume del eredro... Mrice ivers.. Mrici e rsformioi geomeriche.. Isomerie.. L rioe è sieic. Prevede l iroduioe i clsse. I prgrfi co * soo più complessi e si possoo slre. Su Mrici e rsformioi geomeriche soo si seguii i suggerimei dell prof. Deorh Bichi. Trieio se. G pg.

2 Memic e Fisic Srumei memici di se.. Trslioi.... Isomerie co l origie ui * L codiioe di isomeri.4... Simmerie ssili.5... Simmeri cerle Simmeri rispeo Roioe: l geeric isomeri dire * Simmeri rispeo m: l geeric isomeri ivers.6..4 Composiioe di rsformioi Roorslioi.7..5 * Similiudii Omoeie Similiudii co l origie ui8..6 * ffiià co l origie ui Trsformioi di Glileo Trsformioi di Lore...4 Mrici e sisemi lieri...4. Regol di Crmer. 4 LE DERIVTE E GLI INTEGRLI 4. Limii e derive Limie di f(). 4.. Rpporo icremele di f() Deriv di f().4 4. Iegrli Iegrle defiio di f()..5 Trieio se. G pg.

3 Memic e Fisic Srumei memici di se LE FUNZIONI GONIOMETRICHE.. FUNZZIIONII FONDMENTTLLII Circofere "goiomeric" Γ: ²². golo θ: prire dll origie degli rchi (goli), i seso iorrio. Idividu su Γ il puo P. Seo di θ: ordi del puo P Coseo di θ: sciss del puo P Tgee di θ: seθ P(ρcosθ,ρseθ) gθ : ρseθ cosθ ρ Le defiiioi o dipedoo dl rggio uirio dell crf goiomeric, m solo θ dll golo θ. O(,) ρcosθ (ρ,) Soo ue misure di u golo. d esempio, l gee è l clssic "pede" II qudre III qudre (coefficiee golre m dell re). Si verific fcilmee l relioe fodmele dell goiomeri: se² cos² L clcolrice scieific d i vlori di seo (si), coseo (cos) e gee () di u golo. seθ O(,) θ I qudre P(cosθ,seθ) cosθ (,) IV qudre Eserciio: Co l clcolrice rov seo, coseo e gee dell golo di 48. Dell golo α del II qudre si s che seα/. Trov coseo e gee. Qul è il coefficiee golre di u re che form u golo di 7 co il semisse egivo delle?.. FUNZZIIONII IINVERSSE Per ogi fuioe esise l ivers (co opporue resriioi che icoreremo). L golo il cui seo è è do dll fuioe rcoseo, rse(). L golo il cui coseo è è do dll fuioe rcocoseo, rcos(). L golo l cui gee è è do dll fuioe rcogee, rg(). L clcolrice scieific dà i vlori delle fuioi iverse. rse() si oiee di solio co i si iv si, o d si, o si -. rcos() si oiee di solio co i si iv cos, o d cos, o cos -. rg() si oiee di solio co i si iv, o d, o -. L oioe us qui è quell del uo liro di eso. Gli lri liri più frequeemee uso rcse, rccos, rcg. Nei riqudri di quesi ppui roveri vole l gee omi, ivece di g, cus dell coveioe di Equio Edior di Word, che roveri che i Ecel e ei pricipli liguggi di progrmmioe, olre che, proilmee sull u clcolrice. Eserciio: Co l clcolrice rov l golo formo co il semisse posiivo delle dll re.5 Quli goli ho il coseo ugule.? Trieio se. G pg.

4 Memic e Fisic Srumei memici di se.. TEOREMII DEII TTRIINGOLLII RETTTTNGOLLII I u rigolo BC, regolo i, β e γ soo gli goli cui di verici B e C, è l ipoeus, e c soo i cei opposi i verici B e C. Per le defiiioi delle fuioi goiomeriche e per l similiudie dei rigoli, vle: seβ c cosβ β c seγ cosγ c γ c seβ seγ c cosβ cosγ c β γ ( I eorem rigoli regoli) ( I eorem rigoli regoli) ( II eorem rigoli regoli) C γ Memori così (d qui ricvi le iverse): B β c ceo ipoeus se (golo opposo) ceo ipoeus cos (golo dicee) ceo ceo gee (golo opposo ceo ) Eserciio. Comple l ell co riferimeo ll figur sopr e usdo l clcolrice. golo β Ipoeus Ceo Ceo c golo γ Comple l ell se usre l clcolrice. golo β golo γ seβ cosβ gβ Ipoeus Ceo Ceo c l 6 l h h 45 d 45 l 45 l Trieio se. G pg. 4

5 Memic e Fisic Srumei memici di se I VETTORI U veore è u coppi (modulo ρ, rgomeo θ) e rpprese u segmeo orieo ello spio (o el pio, l qule ci limieremo qui per semplicià): (ρ, θ) (form polre) Nello spio deve essere defii u uià di misur liere e u direioe di origie degli goli (semisse posiivo ). Il veore può essere ssego per compoei cresie: (, ) (form cresi) U compoee egiv idic che, i quell direioe, il verso dell compoee è opposo quello dell sse. È fcile dimosrre che le rsformioi d form cresi polre e vicevers soo de di sisemi direo e iverso: ρ cosϑ ρ ρ seϑ ϑ rcg Eserciio. Do il veore i form polre (, ), scrivi l su form cresi. Do il veore (,5), scrivi l su form polre. θ ρ θ ρ.. SOMM DII DUE VETTTTORII Sio (, ), (, ). Il veore somm c è do d: c (, ) Si dimosr fcilmee che l defiiioe coduce i seguei due procedimei grfici. Meodo del prllelogrmm Meodo pu-cod Eserciio. Somm i veori di i form cresi (,-) e (-,4). Che golo form il risulo co il semisse posiivo delle? Somm i veori di i form polre (, ) e (5,4 ). Trieio se. G pg. 5

6 Memic e Fisic Srumei memici di se.. DIIFFERENZZ DII DUE VETTTTORII Il veore opposo di (ρ, θ) (, ) è il veore: - (ρ, -θ) (-, - ). L differe di due veori è il veore che sommo l secodo dà il primo: c - ( -, - ) - L figur e ricord l cosruioe (dll pu di verso quell di ). Eserciio. Sori il veore (.-) dl veore (-,4)... PRODOTTTTO DII UN VETTTTORE PPER UNO SSCLLRE Si oiee, se modificre l rgomeo, moliplicdo il modulo del veore per lo sclre. k Se (, ), duque: k k (k, k ) Se k<, il veore k h il verso opposo di...4 COMBIINZZIIONE LLIINERE DII VETTTTORII Si può defiire l comiioe liere di due veori e secodo le cosi λ e µ: λ µ Se i e j rppreseo i versori degli ssi del pio (veori di modulo uirio, co direioe e verso dell sse), ogi veore del pio può essere scrio come comiioe liere dei versori secodo le sue compoei cresie: i j Eserciio. Di i veori (,5) e (-,-6), rov il veore comiioe liere di coefficiei rispeivmee e. Scrivi il veore, do i form polre, (,5 ) uilido i versori...5 PRODOTTTTO SSCLLRE DII DUE VETTTTORII È lo sclre (grde o veorile) oeuo moliplicdo il modulo del primo veore per il modulo dell compoee del secodo sull re del primo. c Si dimosr fcilmee che il prodoo sclre è commuivo: c Si dimosr iolre che, se α è l golo formo d e : c cosα Ifi, per il I eorem dei rigoli regoli: cosα o che: cosα α Se //, llor Eserciio. Trov il prodoo sclre dei veori (,) e (,6). Trieio se. G pg. 6

7 Memic e Fisic Srumei memici di se..6 PRODOTTTTO VETTTTORIILLE DII DUE VETTTTORII Il prodoo veorile c dei veori e è il veore che h: direioe perpedicolre l pio formo d e ; verso defiio dll regol dell mo desr; modulo ugule l prodoo dei moduli per il seo dell golo formo d e. c c seα (re del prllelogrmm formo d e ) L regol del verso impedisce l commuivià del prodoo veorile: Se //, llor Trieio se. G pg. 7

8 Memic e Fisic Srumei memici di se LE MTRICI Mrice umeric di ipo m è u ell ordi di m righe e coloe. m, [ ik ] m m m Mrici dello sesso ipo ho lo sesso umero di righe e lo sesso umero di coloe. Mrici uguli ho ui gli elemei ordimee uguli. Mrice rspos T dell mrice, quell per cui: Mrice qudr di ordie qudo m ik ki i,k Digole priciple di mrice qudr, gli elemei,, Digole secodri di mrice qudr, gli elemei,,-, -,, Mrice simmeric di mrice qudr, l mrice qudr co ik ki Mrice ideic I di ordie, l mrice qudr co ik, se i k, e ik, se ik i,k Ecel U mrice i Ecel è u se regolre di vlori che viee evideio e deomio uilido l cell NOME Negli esempi di Ecel che seguoo co le leere, B, C, si iedero mrici già deomie... OPPERZZIIONII CON LLE MTTRIICII.... SSoomm ee ddi iffffeerree ddi i mrri icci i ddeel lloo sseessssoo i ippoo m, [ ik ], B m, [ ik ] C m, m, B m, [c ik ] [ ik ik ] Commuiv, ssociiv, do di elemeo euro (l mrice ull, compos solo d eri) e di elemeo iverso (l mrice oppos, form dgli sessi elemei cmii di sego) Eserciio. Somm le mrici e B. Osserv che l loro differe è l somm di co l mrice oppos di B. Ecel L somm e differe r mrici si esegue co i simoli e -. Le mrici devoo essere dello sesso ipo. L formul deve essere iseri i uo spio dell dimesioe es del risulo eso. Seleiore il regolo di celle dove si vuole l soluioe e digire: B <CrlShifEer> Trieio se. G pg. 8

9 Memic e Fisic Srumei memici di se Trieio se. G pg Prrooddoooo ddi i uu mrri iccee ppeerr uuoo ssccl lrree m, [ ik ], k R, C m, k m, [c ik ] [k ik ] Eserciio. Trov l mrice comiioe liere di 4 e B 5 4 secodo i coefficiei e -. Ecel Il prodoo di uo sclre per u mrice si esegue co il simolo *. L formul deve essere iseri i uo spio dell dimesioe es del risulo eso. Seleiore il regolo di celle dove si vuole l soluioe e digire: k*b <CrlShifEer> Si oiee lo sesso risulo co: B*k <CrlShifEer> I Ecel si può eseguire i modo logo l divisioe r u umero e u mrice o vicevers: B/k <CrlShifEer> k/b <CrlShifEer> U fuioe impleme i Ecel è MTR.SOMM.PRODOTTO che esegue l somm dei prodoi dei ermii dell medesim posiioe di due mrici regolri dello sesso ipo. È uile, d esempio, per eseguire medie pese. Se è l mrice (veore) dei vlori e P quell dei pesi, l medi pes è d d: MTR.SOMM.PRODOTTO(;P)/SOMM(P) pplicioe i veori I veori del pio soo mrici. Somm e differe: ± ± ± c Prodoo per uo sclre: k k k c R k Comiioe liere: µ λ µ λ µ λ µ λ Cso pricolre j i j i Si dice che i e j soo u se del pio (che è u ipo di spio veorile ) poiché co u loro comiioe liere si possoo scrivere ui i veori del pio. Nello spio ridimesiole u se è d di veori: k j i

10 Memic e Fisic Srumei memici di se.... Prrooddoooo ddi i mrri icci i Mrici coformili m, e B p,q, qudo p (umero di righe dell secod umero coloe dell prim) Il prodoo r mrici si può eseguire solo se soo coformili e viee chimo che prodoo righe per coloe. L mrice prodoo m, B,q h m righe e q coloe: C m,q m, B,q Ogi posiioe i,k è oeu sommdo i prodoi degli elemei dell i-sim rig di per i corrispodei elemei dell k-sim colo di B. j ci, k i, j j, k i, k Il prodoo r mrici è ssociivo, o commuivo, o doo di elemeo euro. Per le mrici qudre l elemeo euro esise: è l mrice ideic I I :,, I I,, I Vle l proprieà: L mrice rspos di u mrice prodoo è il prodoo delle mrici rspose effeuo i ordie iverso: ( B) T B T T Eserciio. Moliplic le mrici 4 e B 4 5. Moliplic le loro rspose e verific l proprieà. Ecel Il prodoo r le mrici m e B p si esegue co l fuioe: MTR.PRODOTTO(;B) <CrlShifEer>... Prodoo sclre di veori c B [ ] come si può provre eseguedo il prodoo co l uilio delle mrici dei versori i, j Trieio se. G pg.

11 Memic e Fisic Srumei memici di se.. DETTERMIINNTTII Si defiisce solo per mrici qudre. Il deermie de di u mrice qudr è defiio come l uico elemeo se l mrice è di ordie, o come l differe dei prodoi degli elemei dell digole priciple e degli elemei dell digole secodri se l mrice è di ordie : de I geerle il deermie è defiio per ricorre. D u mrice qudr, defiimo: Miore complemere M ik dell elemeo ik il deermie dell mrice che si oiee elimido l rig i e l colo k Complemeo lgerico ik dell elemeo ik il suo miore complemere co il sego posiivo se ik è pri, co il sego egivo, se ik è dispri: ik ( ) ik M ik Il deermie di u mrice qudr di ordie è l somm dei prodoi degli elemei di u qulsisi rig (o colo) moliplici per i corrispodei complemei lgerici: k de eseguio co u qulsisi vlore prefisso di i. Proprieà: ik ik k ki ki Se l mrice qudr h u colo mulipl di u lr, o u rig mulipl di u lr, llor de de( B) de deb de T de Mrice sigolre è u mrice qudr co de. Soomrice qudr è u mrice qudr oeu scrdo u qulsisi umero di righe e coloe che o cosecuive di u mrice (che regolre). Rgo è il mssimo ordie di u soomrice qudr o sigolre (si pplic che mrici regolri) Eserciio. Trov il deermie delle mrici 4 e B 6 4. Ecel Il deermie di u mrice qudr si clcol co l fuioe: MTR.DETERM() Prodoo veorile di veori c ) i ( ) j ( ) k i j k ( re di u prllelogrmm el pio S Se soo di due pui e il ero è l origie: B C D Trieio se. G pg.

12 Memic e Fisic Srumei memici di se S re di u rigolo el pio S Se soo di due pui e il ero è l origie: S Eserciio. Trov l re del rigolo di verici (,), B(,4) e C(6,). B C 4 Codiioe di lliemeo di pui Eserciio. Verific che i pui (-6,-), (-,-) e (,4) soo lliei (clcol il deermie usdo l III colo). F E 5 Volume del eredro G D S Il eredro BCD è /6 del prism BCHGDEF..... Mrri iccee ivveerrss i H B C Se per le mrici qudre esise l elemeo euro rispeo l prodoo ( I : I I ), esise l elemeo iverso di u mrice qudr rispeo l prodoo? - : - I? Deve rispere l codiioe: de ( - ) de - de dei e quidi: de, per cui deve essere de, che duque è de codiioe ecessri per l esise dell mrice ivers: - de Mrice *, dei complemei lgerici di, è l mrice qudr i cui elemei soo i complemei lgerici degli elemei di : * [ ik ] Mrice -, ivers di, è il rpporo r l mrice rspos dell mrice * dei complemei lgerici e de: T ( *) de Eserciio. Trov l mrice ivers di Ecel 4. L mrice ivers di u mrice qudr si clcol co l fuioe: MTR.INVERS() <CrlShifEer> Trieio se. G pg.

13 Memic e Fisic Srumei memici di se.. MTTRIICII E TTRSSFORMZZIIONII GEOMETTRIICHE Mrici e veori soo di oevole usilio ello sudio delle rsformioi geomeriche. Qui ci limieremo lle isomerie el pio co qulche ceo lle similiudii..... IIssoomeerri iee Risul più gevole cosiderre dpprim il sooisieme delle rslioi u el pio che sposo l origie meedo direioe e verso degli ssi cresii, e poi il sooisieme delle isomerie el pio che lscio O ivrie (ui) l origie O degli ssi. pplicdo u isomeri co O uio e u rslioe si oiee u isomeri geeric..... Trrssl li iooi i P u P Voglimo rslre u puo geerico P di u veore v di compoei (,) e rovre il puo rsformo P (, ). Dl grfico si osserv che le coordie (, ) del puo rsformo P si oegoo sommdo le compoei di v lle coordie di P: Cosiderimo i pui del pio P (,) come veori colo u. P Il puo rsformo P corrispoderà l veore u, il veore dell - P u rslioe v l veore colo v e il sisem può essere scrio u come somm di veori colo: u u v O - I form di sisem liere I form mricile Eserciio. Trsl il puo P(;-) co veore dell rslioe [-,5]. Per rovre il veore origirio u dl veore rsformo u, si pplic l operioe ivers u u v I form di sisem liere I form mricile Si oi che l operioe ivers coicide co l pplicioe dell rslioe ivers di veore -v (-,-) l veore u : u u (-v ) Qudo si rsl u luogo geomerico di cui è d l equioe cresi occorre uilire l rslioe ivers. Esercii. Verific che u prol geeric co sse vericle c si può oeere rsldo l prol e scrivi il veore dell rslioe. Verific che l circofere geeric c si può oeere rsldo l circofere r. Scrivi il veore dell rslioe e rov r. Trieio se. G pg.

14 Memic e Fisic Srumei memici di se.... IIssoomeerri iee ccoo l oorri l iggi iee uui i L geeric isomeri rsform i pui del pio secodo u sisem del ipo: c d co opporue codiioi sui coefficiei. Il sisem può essere scrio come u prodoo di mrici e veori. L mrice è l mrice dell rsformioe e si h u u c d I form di sisem liere I form mricile c d c d Uilido l mrice ivers - è possiile oeere, dl veore rsformo, il veore origirio: u - u L mrice ivers -, per queso moivo, è che l mrice dell rsformioe ivers (es.: roioe oppos, cioè di golo opposo; ecc.): u - u L codiioe di isomeri è d d (giusificioe el prossimo prgrfo): T I c d D ques codiioe discede che (per,, c, d reli):. d -c oppure -d c. (de) e quidi de ± Se de, l isomeri è dire (è u roorslioe); Se de - l isomeri è ivers (es.: simmeri ssile). c d c d c d c d L mrice di u isomeri co O uio si può quidi scrivere i u di quese due forme: cosϑ seϑ cosϑ seϑ seϑ cosϑ seϑ cosϑ co θ qulsisi. è l geeric isomeri dire (de ), ed è u roioe di cero O e golo θ. è l geeric isomeri ivers (de ), ed è u simmeri ssile rispeo ll re m, co mg(θ/).... * L codiioe di isomeri Le due coloe dell mrice dell isomeri soo i rsformi i e j dei versori i e j degli ssi cresii: c i d c c d d j. Or, u isomeri deve coservre le lughee, quidi i e duque i, che h origie i O, è oeiile co u roioe di golo α del versore i. I uo queso prgrfo cosiderimo solo le isomerie co O uio: quidi l geeric isomeri s per l geeric isomeri co O uio. Trieio se. G pg. 4

15 Memic e Fisic Srumei memici di se Queso cosee suio di scrivere e c, e e d, come sei e cosei di due goli: c cosα, c seα d cosβ, d seβ... Simmerie ssili Simmeri rispeo :. Iolre u isomeri deve coservre gli goli e duque, poiché j è perpedicolre i, che j deve essere perpedicolre i. Vi soo solo due possiilià: β α9, grficmee j form u golo α9 co i: l isomeri è u roioe di golo α; β α 9, grficmee j form u golo 9 α co i: l isomeri è u simmeri rispeo ll re m co pede mg(α/) I form di sisem liere I form mricile P P u u O È u isomeri ivers: de -. Eserciio. Scrivi l mrice e il sisem dell simmeri rispeo ll sse. Scrivi l equioe dell re simmeric di - rispeo. E rispeo.... Simmeri cerle I form di sisem liere I form mricile u u P È u isomeri dire: de. Eserciio. Scrivi l equioe dell prol simmeric rispeo O di. P O Trieio se. G pg. 5

16 Memic e Fisic Srumei memici di se...4 Simmeri rispeo I form di sisem liere u u È u isomeri ivers: de -. I form mricile P O m P Eserciio. Scrivi l equioe dell prol simmeric rispeo di. Scrivi l mrice e il sisem dell simmeri rispeo ll iserice del II e IV qudre....5 Roioe: l geeric isomeri dire Dll figur si ricv che: ρ cos( α β ) ρ cosα cosβ ρ seα seβ cosα seα ρ se( α β ) ρ seα cosβ ρ cosα seβ seα cosα ρcos(αβ) P I form di sisem liere cosα seα seα cosα I form mricile cosα seα seα cosα O ρse(αβ) ρcosβ P α ρ ρseβ β u u cosα seα seα cosα È l geeric isomeri dire (de ) co O uio. L simmeri cerle vis sopr è il cso pricolre α π. Eserciio. Verific che de Osserv che l roioe oppos h l mrice ivers - di quell dell roioe. Osserv che l circofere r è ui ell roioe di u golo quluque. Ruo l prol di * Simmeri rispeo m: l geeric isomeri ivers Poso, come i figur, α l golo formo dll sse dell simmeri co il semisse posiivo delle (m gα), il puo P(,) si rsform el puo P (, ) le che: P ρ cos(α β ) ρ cos α cosβ ρ se α seβ cos α se α m ρ se(α β ) ρ se α cosβ ρ cos α seβ se α cos α Poedo θ α: I form di sisem liere cosϑ seϑ seϑ cosϑ I form mricile cosϑ seϑ seϑ cosϑ α β O α -β P Trieio se. G pg. 6

17 Memic e Fisic Srumei memici di se u u cosϑ seϑ seϑ cosϑ È l geeric isomeri ivers (de -) co O uio. Le simmerie ssili vise sopr soo csi pricolri: Simmeri rispeo : θ π Simmeri rispeo : θ Simmeri rispeo : θ π/ Simmeri rispeo -: θ π/ Eserciio. Scrivi l equioe dell prol simmeric di rispeo Coomppoossi ii iooee ddi i rrssffoorrmi iooi i L composiioe di due rsformioi T e T si idic co T o T. L composiioe di rsformioi o è i geerle commuiv, così come il prodoo di mrici. Nel cso di due rsformioi co O uio si può verificre che: L secod mrice del prodoo è quell dell rsformioe esegui per prim. Così, se è l mrice dell prim rsformioe che si esegue (T ) e quell dell secod (T ), llor è l mrice dell rsformioe T o T. u u ( ) ( ) Eserciio: Dimosr che l simmeri cerle è il prodoo delle simmerie ssili rispeo i due ssi cresii. * Verific che u rslioe è l composiioe di due simmerie ssili d ssi prlleli e disii...4. Roorslioi che l composiioe r u isomeri co O uio e u rslioe o è commuiv. È il cso dell composiioe di u roioe co u rslioe, che rpprese l più geerle isomeri dire. Nel cso che segue, imo T o R : l roioe viee esegui per prim. I form di sisem liere cosϑ seϑ seϑ cosϑ I form mricile cosϑ seϑ seϑ cosϑ u u v L su ivers è: cosϑ seϑ seϑ cosϑ I form di sisem liere ( )cosϑ ( )seϑ ( )seϑ ( )cosϑ I form mricile cosϑ seϑ seϑ cosϑ u - (u - v) cosϑ seϑ seϑ cosϑ Nelle leggi di composiioe l secod rsformioe è quell che si esegue per prim: ciò rduce il liguggio prlo. d esempio si dice: rdice qudr del coseo di u umero per: cos, mere: coseo dell rdice di u umero s per: cos. Trieio se. G pg. 7

18 Memic e Fisic Srumei memici di se Esercii. Verific che il prodoo di due rsformioi o è commuivo. Perché? Fi u grfico. Ruo l prol di co cero dell roioe i C(,). I coclusioe, ell isieme delle isomerie: L più geerle isomeri dire è l roorslioe. L più geerle isomeri ivers è u roorslioe compos co u simmeri ssile. Co le sole simmerie ssili si possoo oeere ue le isomerie. È il vggio del fo che l isieme delle isomerie iverse o form gruppo (o è chiuso rispeo ll composiioe) ** SSi imiliuuddi ii i..5. Omoeie U omoei di cero O e rpporo k è descri d: k k k O k I k P u O u k I u P e corrispode u vriioe di scl. O..5. Similiudii co l origie ui L più geerle similiudie co O uio è sempre l composiioe di u isomeri co O uio co u omoei di cero O ed è descri d: I form di sisem liere c d I form mricile c d u u S c d L codiioe sui coefficiei di S è d d: S S T k²i (co k R ) c c d k c d d c d c d k D ques codiioe discede che:. d -c oppure -d c Ques codiioe d sol creri le mrici delle similiudii co O uio. 4. k, rele posiivo, è il rpporo di similiudie.. (des) k 4 e quidi des ± k Se des k l similiudie è dire; 4 Nelle isomerie co O uio, è ecessrio icludere l codiioe de ±. Trieio se. G pg. 8

19 Memic e Fisic Srumei memici di se Se des k l similiudie è ivers. Ne discede che l mrice di u isomeri co O uio h u di quese due forme (co θ qulsisi): k cosϑ k seϑ S dire S ivers k seϑ k cosϑ k cosϑ k seϑ k seϑ k cosϑ L geeric isomeri dire (des k ), ed è u omoei compos co u roioe di cero O e golo θ. L geeric isomeri ivers (des k ), ed è u omoei compos co u simmeri ssile rispeo ll re m, co mg(θ/). Eserciio. Verific che il prodoo di due similiudii h come risulo u similiudie. Verific che il rpporo di similiudie di u composiioe di due similiudii è il prodoo dei rispeivi rppori ** ffffi ii iàà ccoo l oorri l iggi iee uui i L pplicioe di u rsformioe liere qulsisi del pio, che chimimo ffiià, co l sol codiioe che lsci fiss l origie e rsformi ree prllele i ree prllele 5, è descri d u mrice di ordie. I form di sisem liere c d I veori colo, soo i c d rsformi dei versori e idividuo due uovi ssi cresii, i geerle o orogoli, e u uovo reicolo losg. Ogi puo rsformo h le sue coordie leggiili el uovo reicolo, come i figur dove i veori lu soo i uovi versori di ssi cresii o orogoli. I form mricile c d Le ffiià, come del reso le similiudii, o coservo le ree delle figure: si dice che l re o è u ivrie ffie. d esempio, l re uiri form di due versori origiri, i e j, e, si rsform ell re del prllelogrmm i grigio formo di uovi versori, che pero dive il uovo elemeo modulre del pio. Si dimosr che l re del prllelogrmm è ugule l vlore ssoluo del deermie dell mrice dell ffiià, de d c. Nel cso i figur l re del prllelogrmm vle: ( )(cd) c d d c Proieivià ffiià Similiudii 5 eioe! No: ree i ree prllele. Isomerie Trieio se. G pg. 9

20 Memic e Fisic Srumei memici di se Trieio se. G pg...6. Trsformioi di Glileo Soo le rsformioi (i pricolre, soo ffiià co l origie ui, m o similiudii) che correlo le posiioi e i empi r osservori i moo reilieo uiforme lugo l sse ell fisic clssic glilei 6. Il veore u è il veore eveo spio emporle e h 4 dimesioi. I form di sisem liere I form mricile v v u u v L rsformioe ivers è: I form di sisem liere I form mricile v v u - u v e permee di pssre dlle coordie di O quelle di O...6. Trsformioi di Lore Soo ffiià co l origie ui, m o similiudii, che correlo le posiioi e i empi r osservori i moo reilieo uiforme lugo l sse ell fisic relivisic di Eisei 7. Il veore u è il veore eveo spio emporle e h 4 dimesioi. I form di sisem liere I form mricile v c v ) ( ) ( γ γ c c γ βγ βγ γ 6 Nel grfico, vgθ solo se gli ssi ho le uià di e rppresee co l sess lughe. Comuque v esprime l pede. 7 Nel grfico, vgθ solo se gli ssi ho le uià di e rppresee co l sess lughe. Comuque v esprime l pede. θ OO P vgθ c θ OO P vgθ

21 Memic e Fisic Srumei memici di se Trieio se. G pg. γ βγ βγ γ u u L rsformioe ivers permee di pssre dlle coordie di O quelle di O: I form di sisem liere I form mricile ) ( ) ( v c v γ γ c c γ βγ βγ γ γ βγ βγ γ u u..4 MTTRIICII E SSIISSTTEMII LLIINERII U sisem liere di m equioi i icogie: m m m m può essere scrio come u equioe mricile: m m m m Chimimo [] l mrice icomple del sisem: [] m m m e [, ] l mrice comple del sisem: [, ] m m m m Teorem di Rouché-Cpelli: u sisem liere h soluioi sse [] e [, ] ho lo sesso rgo r.

22 Memic e Fisic Srumei memici di se Procedur per l soluioe di u sisem Trovo r. Se r < m: escludo le m-r equioi i più (soo comiioi lieri delle lre) e rimgoo r equioi: Se r, il sisem è deermio; Se r <, il sisem è ideermio, cioè h -r soluioi. Cosiderimo solo i csi co m. Il sisem si può scrivere co M llor: - - e duque: - Occorre duque rovre - e il sisem si risolve co il prodoo. M rovre - può essere lugo. Eserciio. Risolvi il sisem 4 4 Risolvi co Ecel il sisem Reeggool l ddi i Crrmeerr Teorem di Crmer: u sisem liere i icogie e equioi co de h u e u sol soluioe. Regol di Crmer Chimimo i l mrice che si oiee sosiuedo i l i-sim colo co il veore. i i i Eserciio. Risolvi co il meodo di Crmer il sisem 4 Trieio se. G pg.

23 Memic e Fisic Srumei memici di se 4 LE DERIVTE E GLI INTEGRLI 4.. LIIMIITTII E DERIIVTTE Dll legge delle posiioi ll velocià: ss() v Sull se del moo reilieo uiforme defiisco s s s v : s s θ s Esise, e cos è, l velocià ise i? (cfr. il prdosso di Zeoe) v el moo uiforme è l pede dell lie che rpprese il moo el grfico (,s). v è il coefficiee golre dell re del moo el grfico (,s). Per esesioe, v dovree essere l pede dell curv l empo el grfico. Noi imo già l ide di gee u curv. È lo sesso prolem dell esise dell gee ll curv: Esise, e cos è, l pede u curv i? s s θ s Doimo immgire u operioe coiu i cui l sece ede ll gee: cerchimo ciò cui ede qudo ede ero: s v : lim (si legge: limie, per che ede ero, di s diviso ) v è l pede dell gee i. v è il coefficiee golre dell gee i. s Limiee ddi i ff(()) I geerle, d u fuioe f() e u suo puo (, ), l scriur lim f ( ) l si chim limie di f() ell ioro di e idic l ordi che l fuioe ede d ssumere vvicidosi idefiimee. E o h iee che vedere co il compormeo dell fuioe i, dove l f() può che o esisere. Es.: 7 6 lim lim lim 5 π / Rppppoorroo iccrreemeel i lee ddi i ff(()) D u fuioe f() e u suo puo (, ), l scriur f ( ) f ( ) si chim rpporo icremele di f() ell ioro di e rpprese l velocià medi di cresci dell f() ioro. Trieio se. G pg.

24 Memic e Fisic Srumei memici di se Deerri ivv ddi i ff(()) D u fuioe f() e u suo puo (, ), l scriur f ( ) f ( ) d f ( ) lim d si chim deriv dell f() i e rpprese l velocià di cresci dell f() i. D u fuioe f(), l scriur d f ( h) f ( ) f ( ) lim d h h si chim fuioe deriv dell f() e rpprese l fuioe delle velocià di cresci dell f(). pede m Eserciio. Uilido i cocei di limie e deriv, defiisci l gee u curv i u suo puo (, ). pede ull pede ull pede egiv pede egiv Tue le vole che si deve clcolre il rpporo («rpporo icremele») r gli icremei e, di due grdee e - i cui vri l vrire di, cioè f() -, qudo le rpporo deve essere clcolo i corrispode di u preciso vlore di (rpporo icremele «iseo»), le rpporo codurree u divisioe di due eri, m è ideificile grficmee co il vlore del coefficiee golre (l «pede») dell re gee ll curv f() el puo di sciss e duque ll deriv di f(). 4.. IINTTEGRLLII Dll legge delle velocià llo spio percorso: vv() s Sull se del moo reilieo uiforme si h: s v s el moo uiforme è l re S soo l lie dell velocià el grfico (,v) v S s Come clcolre lo spio percorso d u puo P i u moo o uiforme? Per esesioe, s è l re S soo l lie dell velocià di P el grfico (,v)? v Iscrivimo u isieme di regoli dicei, ui co l sess le, ell re curv color, che chimeremo scloide, dividedo il ro - i iervllii uguli /. S s? L re dello scloide è lo spio percorso d u osservore P che diversmee d P si muove co moo uiforme, m cmi periodicmee (ogi /) e i u ise l su velocià per degurl quell del moo vrio di P. v L re dello scloide (spio percorso d P ) risul essere: Trieio se. G pg. 4

25 Memic e Fisic Srumei memici di se S scloide i vi È immedio iuire che se operimo co il limie per riuscimo coprire l ier re curvilie color, cioè P segue sempre meglio il moo vrio di P, fio riprodurlo esmee. L re S dell regioe curvilie, che srà che lo spio percorso d P e d P è: S lim vi i si idic: S lim vi v d i e si legge iegrle defiio r e dell velocià v el empo (oppure: di v i d) IIeeggrrl lee ddeeffi ii ioo ddi i ff(()) D u fuioe f() e u suo iervllo di defiiioe (, ), l scriur f ( ) d lim i f ( ) i i si chim iegrle defiio dell f() r e e rpprese l re soo l curv dell f() r e. L iegrle defiio corrispode ll somm di ifiii icremei ifiiesimi di u vriile. Tue le vole che si deve clcolre il prodoo r u grde e l icremeo,, di u grde - qudo vri l vrire di, cioè f() -, quel prodoo è ideificile grficmee co il vlore dell re dell pre di pio compres r l curv dell vriioe di, f(), e l sse delle e duque corrispode ll iegrle defiio. Esempi dll fisic di er s, v, L, p, F, S ds v s d dv v d dl P L d dp F d p df p F ds v( ) d S ( ) d P( ) d F( ) d S p( S) ds L velocià è l deriv dell posiioe rispeo l empo L ccelerioe è l deriv dell velocià rispeo l empo L poe è l deriv del lvoro rispeo l empo L for è l deriv dell quià di moo rispeo l empo L pressioe è l deriv dell for rispeo ll superficie Trieio se. G pg. 5