Cinematica I. 1) Definizione di moto

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1 Cineic I L cineic i occup dell decrizione del oo. Affronereo queo rgoeno nell coidde pproizione di puno erile: i corpi rnno conideri enz dienione oero equileni dei puni eici. Ciò equile dire che le dienioni dei corpi ono rcurbili ripeo l fenoeno in udio. Ad eepio un ellie può eere conidero un puno erile nel uo oo inorno ll err. ) Definizione di oo Un puno erile P è indiiduo ripeo ll origine di un ie di riferieno d un eore poizione r deo nche rggio eore. Se il puno P (edi fig. ) i uoe d un poizione A d un poizione B, il uo eore poizione r cbi con il epo r r( ) oero il puno P è in oo. P in oo r r( ) S S A P B r () r () Fig. Dll fig. è eidene, che in un ie di riferieno S, diero d S, il puno P è indiiduo d un eore r ' (diero d r ) e quindi l equzione del oo dll poizione A ll poizione B nel ie S rà r' r' ( ) (diero d r r( ) nel ie S) oero lo eo oo h un decrizione dier: l decrizione del oo dipende dl ie di riferieno. // Lezioni di Fiic per CTF - MdP

2 Menre il puno P i uoe, eo p rero un ucceione di puni dello pzio; l iniee dei puni (line) i i occupi dl puno P durne il oo prende il noe di rieori. Speo il ipo di rieori è uo per crerizzre il oo. l rieori è un re oo reilineo l rieori è un cur pin oo curilineo pino l rieori è un circonferenz oo circolre l rieori è un ellie oo elliico, ecc,ecc ) Il odo in un dienione: elocià ed ccelerzione. Il oo di un puno erile lungo un re può eere decrio cegliendo l e del ie di riferieno (l e d eepio) coincidene con l re lungo l qule iene il oo. L poizione (edi fig. ) del puno è indiidu dll coordin e il oo decrio dll relzione = () (oo unidienionle). P () () P Fig. Fig. b In effei nche il oo lungo un cur può eere conidero d un dienione e i u l coordin curiline, con cur coincidene con l rieori (fig. b). L coordin curiline i inende l poizione iur lungo l cur (oero eguendone l for, coe è poibile fre con un ero d r). Il oo è decrio dll relzione = () (oo unidienionle). Supponio che il puno P i in oo e i ( ) l poizione pzile ll ine di epo e ( ) l poizione pzile un ine di epo ucceio ( > ). In corripondenz dell inerllo di epo di oerzione = riconrio un rizione di poizione = ( = ) (fig. 3). // Lezioni di Fiic per CTF - MdP

3 A B Fig. 3 Fig. 3b erzioni: ) l rizione di poizione () non è d confondere con il cino percoro dl puno P nel epo infi i h lo eo () i e, nell inerllo, il puno P direene d ( ) ( ) i e, d eepio, rggiunge un puno di coordin > ( > ) e poi orn indiero l puno ( ). ) () può eere ggiore, inore (o ugule) di zero e ciò dipende dll orienzione dell e di riferieno ripeo l oo. Se il oo iene dl puno A l puno B, con l e orieno coe in fig 3, bbio () > e orienio l e coe in fig. 4, () <. A B Fig. 4 Fig. 4b Coninuereo d or in poi riferendoci ll ol coordin, i ooline che ue le grndezze che inrodurreo rnno generlizzbili ll coordin curiline e rnno lo eo ignifico. L rizione di poizione reli ll l inerllo di epo, peree ci crerizzre il oo inroducendo l grndezz elocià edi.. Δ ( unià di iur = Δ ) // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 3

4 In un oo con ggiore di un lro i rà un ggiore rizione dell poizione, nello eo inerllo di epo di oerzione. ero che > epre, per quno deo nell oerzione, egue che può eere i poii che negi (e oiene nche null) in relzione l ie di riferieno celo. Ciò è chirio nell fig. 5. oo = = 5 = = oo = = 5 = = Δ Δ 5 3/ oo concorde con il ero poiio dell e > Δ Δ 5 3/ oo dicorde con il ero poiio dell e < Fig. 5 Per lo eo oo fiico, rà poii e il ero celo coe poiio per l e è concorde con il oo; rà negi e il ero celo coe poiio per l e è dicorde con il oo. (Si er già deo che l decrizione del oo dipende dl ie di riferieno). Supponio di effeure piedi un percoro urbno, pondoci di un in un oero con un =/. Generlene il oo non è unifore: per un cero epo poio er coro, per un cero epo poio eere i feri, per un cero epo er cino lenene ecc L definizione di non iene cono di uo queo e, conidero nche quno deo nell oerzione, poio concludere che l. fornice un non cople crerizzzione dello o di oo. Si è generlene inerei l elocià un d un puno erile in un ben deerino ine; dl puno di i operio, è ipoibile clcolre l elocià d un ine di epo in quno e è defini reliene d un inerllo di epo. L unic co che poio eenulene fre è clcolre undo inerlli inorno, piccoli quno i ogli icurene non nulli. // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 4

5 Definio quindi l elocià d un ine di epo oero l elocià inne coe l elocià edi del puno erile reli d un inerllo di epo piccoliio inorno, l liie endene zero. Dl puno di i forle: i Δ Δ ( ) ( ) per oero i li ( ) ( ) d li d. d i d i l elocià inne di un puno è l rpidià di rizione dell poizione occup dl puno con il epo, oero l deri pri ripeo l epo dell poizione pzile (). Di eguio qundo direo elocià inendereo riferirci ll i ( i ). r per il puno P in oo d d poio definire l elocià ll ine di epo e l elocià ll ine di epo. In generle dobbio perci che i = () cioè e quindi in corripondenz dell inerllo di epo di oerzione = riconrio un rizione di elocià =. L rizione reli ll inerllo di epo, peree un uleriore crerizzzione del oo inroducendo l grndezz ccelerzione edi..3 Δ ( unià di iur = Δ ) In un oo con ggiore di un lro i rà un ggiore rizione dell elocià nello eo inerllo di epo di oerzione. ero che > e che V può eere i poii che negi (e oiene nche null) egue che nche può eere i poii che negi (e oiene nche null). Il egno di non è direene correlo l ero dell e di riferieno, è deerino dll ueno o diinuzione dell, coe i ede in fig 6. // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 5

6 = 3 / = oo =5/ = oo = 3 / = = / = Δ Δ 53 / / oo nel ero poiio di con elocià in ueno > Δ Δ 3 / / oo nel ero poiio di con elocià in diinuzione < Fig. 6 E fcile renderi cono che nche coì coe è defini rie l.3 non iene cono dei degli del oo ll inerno dell inerllo e quindi fornice un non cople crerizzzione dello o di oo. Si è generlene inerei ll ccelerzione un dl un puno erile in un ben deerino ine ; coe nel co dell elocià l unic co che poio eenulene fre è clcolre undo inerlli inorno, piccoli quno i ogli icurene non nulli. Definio quindi l ccelerzione d un ine di epo oero l ccelerzione inne coe l ccelerzione edi del puno erile reli d un inerllo di epo piccoliio inorno, l liie endene zero. Dl puno di i forle: i Δ ( ) ( ) per oero Δ i ( ) ( ) li li d d.4 d i d i l ccelerzione inne di un puno è l rpidià di rizione dell elocià del puno con il epo, oero l deri pri ripeo l epo dell elocià (). Di eguio qundo direo ccelerzione inendereo riferirci ll i ( i ). // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 6

7 Il oo reilineo di un puno erile è quindi crerizzo dll u elocià e dll u ccelerzione ; in pricolre e = () il oo è deo reilineo rio, e = co il oo è deo reilineo uniforeene ccelero e in pricolre e =co = il oo è deo reilineo unifore. Lo copo dello udio del oo è quello di ricre le equzioni orrie oi le equzioni () e (), no, che pereono di decriere il oo in ogni ine di epo. Se = (), le equzioni orrie dipendono epliciene d () e non è poibile ricre un epreione generle; ciò è inece poibile e = co. 3) Equzioni orrie del oo reilineo Nel eguio freo coincidere l'ine di epo inizile con il epo zero: = e quindi = =. Co = : oo reilineo unifore o D l generlià dell ine, le precedeni epreioni lgono per un qulii ine di epo quindi in un oo reilineo unifore i h: 3. () = co = 3. () = + I grfici delle relzioni 3. e 3. ono di in fig. 7. pendenz = Fig 7 // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 7

8 // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 8 Co = co : oo reilineo uniforeene ccelero. D l generlià dell ine, l precedene epreione le per un qulii ine di epo () = +. Poiché () ri linerene con il epo il uo lore edio può eere clcolo coe: che dee coincide con quello clcolo rie l definizione di elocià edi: ) ( undo l relzione precedene per egue: ) ( D l generlià dell ine, l precedene epreione le per un qulii ine di epo quindi in un oo reilineo uniforeene ccelero i h: 3.3 () = ) ( Le 3.3 e 3.4 ono le equzioni orrie del oo reilineo uniforeene ccelero ed includono per = quelle del oo reilineo unifore (3. e 3.) eendo queo un co pricolre di = co. I grfici delle relzioni 3.3 e 3.4 ono di in fig. 8 doe riul eidene l ndeno prbolico di (). pendenz = Fig 8

9 Le relzione 3.3 e 3.4 orno inolre che il proble del oo è copleene riolo olo e i conocono le condizioni inizili oi i lori di e ll ne inizile. Può eere uile nell rioluzione di problei nuerici ere un epreione che leghi direene, ed. ( ) Dll 3.3 egue: che oiuio nell 3.4 d: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.5 ( ) ( ) 4) Il oo di cdu liber. L ipornz delle equzioni del oo nel co olo pricolre del oo reilineo uniforeene ccelero riiede nel fo che perienlene i oer che un qulii oggeo in proiià dell uperficie errere, rcurndo l reienz dell ri, ene un ccelerzione cone g, de ccelerzione di gri, dire econdo l ericle e ero l uperficie errere con g =9,8 /. Deo y l e ericle di un ie di riferieno (fig. 9) in cui le lezze h ono y h > oo Fig. 9 // Lezioni di Fiic per CTF - MdP 9

10 poiie, (quindi orieno ero l lo), i oer che il oo di cdu liber (che per definizione è il oo di un oggeo lcio fero e libero di cdere oero lcio con = =), iene ero il bo: eo h quindi un () negi. Ciò, in be ll 3.3, richiede che debb eere negi. Ponendo il uffio y per indicre che il oo iene lungo l e ericle y, le equzioni del oo di cdu liber in le ie di riferieno ono: y g 4. g y y 4. y y oy g Con quee equzioni, noe le condizioni inizili, poio riolere qulii co di oo di cdu liber. Eepio ): Voglio clcolre, per un corpo lcio con y = = d lezz y = h, il epo ipiego per giungere il uolo e l elocià con cui i giunge. Giungere l uolo equile dire che d un ine di epo = i rà y( ) = con c = ( ). Undo le 4. e 4. ed iponendo le condizioni inizili h g g h g gh Eepio ): Coniderio un corpo lncio ericlene ero l lo con elocià y = dl uolo (y = ), e oglio clcolre ) il epo M ipiego per rggiungere l i lezz, erio che il corpo inizilene le ( poii) e poi cende ( negi), riul oio che l i lezz h M è rggiun in un ine di epo M qundo ( M ) =. Undo l 4. e iponendo le condizioni inizili M y g M g oy // Lezioni di Fiic per CTF - MdP

11 b) l i lezz h M E rà l poizione rggiun nel epo M oi h M = y( M ). Undo l prededene e l 4., iponendo le condizioni inizili oy oy oy hm ym oym gm hm oy g g g g c) il epo per giungere l uolo. Ricordndo che giungere l uolo equile dire che d un ine di epo i rà y( ) =, uio l 4. e iponendo le condizioni inizili y oy g ', ' ' g Si hnno due oluzioni perché effeiene il corpo è per due ole nel puno y = ; il oeno inizile e qundo riocc il uolo. Si noi che è pri h M e cioè il corpo ipieg lo eo epo i lire che cendere. oy d) l elocià con giunge l uolo. E rà l elocià rggiun nel epo oi = ( ). Undo l precedene e l 4., iponendo le condizioni inizili oy oy g hm oy g oy g oi è ugule ed oppo ll elocià inizile e) l ine di epo in cui il corpo i ro in un d poizione y d. Dobbio ure l 4.,iponendo le condizioni inizili y yd oy g,, oi i hnno due ini di epo (oluzioni) perché il corpo occup due ole l poizione y d ; enre le e enre cende con oiene >. // Lezioni di Fiic per CTF - MdP