CAPITOLO 5 Le L g e gi d el e m o m to e e t rai a et e torie

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1 CPITOLO 5 Leggi del moo e rieorie

2 Leggi del moo L decrizione del moo di un corpo è comple qundo i conoce l poizione del corpo ogni ine, cioè qundo è no l relzione che leg e. Occorre innnziuo enere preene che, in ogni co, lo pomeno e l elocià di un elemeno in funzione del empo debbno ere un ndmeno coninuo; ciò in quno, oimene, neun elemeno può fiicmene eguire un legge del moo che preed diconinuià negli pomeni o nelle elocià. Olre ll'ndmeno dell'ccelerzione, un lro prmero che fornice informzioni uili è quello del jerk o deri dell ccelerzione. 54

3 Leggi del moo Trieorie L rieori decri d un elemeno ( d eempio l pinz o dll orgno erminle di un robo) può eere egn o emplicemene rmie il puno inizile e quello finle oppure, molo più frequenemene, rmie un erie di puni egni; in enrmbi i ci l cur che unice due puni conecuii iene "bili" dl iem di conrollo e dll legge del moo che eo do. Non eie un unico crierio in be l qule i poibile cegliere l rieori migliore, eiono ui lcuni pei d ener preene per compiere di ol in ol cele opporune; i principli pei ono i egueni: -Creriiche del ciclo di loro, -Limii dell ruur meccnic, -Limii meccnici ed elerici degli uori, -Limii delle rmiioni, -Limii del conrollo. Nell mggiornz dei ci, l cel di un rieori piuoo che un'lr è b principlmene ull'eigenz di conenere, per quno poibile, l elocià, l coppi e l poenz mim fornie di eromoori. E' d oerre che, pri loro, l coppi inne richie gli uori è funzione 55 principlmene delle forze d'inerzi (e dei loro momeni), cioè delle ccelerzioni.

4 Leggi del moo iemidunologrdodiliberà Leggi del moo elemenri Le leggi del moo e b ono chirmene enrmbe inccebili per quno precedenemene deo. Quell c è inece ccebile, ebbene il jerk end d infinio. L legge del moo d è oenu umendo un ccelerzione che ri linermene; ripeo ll precedene, e preen il nggio che il jerk non ende ll infinio m richiede lori mimi dell ccelerzione più grndi (doppi) prià di elocià medi. Infine, e è un legge del moo oenu coniderndo un ndmeno inuoidle dell ccelerzione. L legge del moo più uilizz per emplicià è quell reli ll legge c. Tle legge iene de legged, per l ndmeno dello pomeno, oppure legge rpezio, per l ndmeno dell elocià. 56

5 Leggi del moo i frà riferimeno d un legge del moo d con empo T di zionmeno noo, ccelerzione e decelerzione D, uguli in lore oluo che inereno ripeimene il primo e l'ulimo inerllo ; è d oerre che, ffinché riuli ( f )0, con D, dee eere 3. Crieri di cel dell rieori D V V V + + T T T T

6 Leggi del moo Crieri di cel dell rieori Oimizzimo ripeo l prmeroγ /T Coefficiene di ccelerzione C Γ ( Γ) / T T Γ C ( Γ) T Γ T Coefficiene di elocià V Γ / T Γ ( Γ) Tli coefficieni indicno quliimene quno i lori mimi, ripeimene dell'ccelerzione e dell elocià, i dicoino di lori medi. C V C Coniderndo forze e me ridoe ll'e dello pomeno, l forz (o l coppi) che il eromoore dee eercire per relizzre l ccelerzione richie, upponendo che l m (o il momeno di inerzi di m) i cone, è proporzionle ll'ccelerzione; l poenz è quindi proporzionle l prodoo dell ccelerzione per l elocià. Nel co in eme l elocià e l'ccelerzione riulno mime enrmbe in uno eo ine T T 58

7 Leggi del moo Crieri di cel dell rieori P V 3 T Γ ( Γ) T 3 C p Coefficiene di poenz C p Γ ( Γ) C è crecene conγ, menre C preen un minimo per Γ 0,5 e C p è minimo per Γ 0,33. E' quindi opporuno fre in modo che Γ bbi un lore proimo 0,33, lore per il qule l poenz è minim e elocià ed ccelerzioni ono conenue. 59

8 Tempo minimo di zionmeno Il empo minimo necerio d effeure un deermino pomeno prende il nome di empo minimo di zionmeno. Eo, nurlmene, dipenderà dl lore mimo dell ccelerzione (e dell decelerzione) che è poibile relizzre e quindi rà lego ll mim forz (o coppi) che l'zionmeno può fornire. Velocià mim D 3 pzio percoro D + D D T Tempo di minimo zionmeno ndmeno linere in + + D D 60

9 Tempo minimo di zionmeno Lo pzio d percorrere può eere no piccolo che l frenur debb inizire prim che i o rggiuno quel lore. pzio percoro D + 3 Tempo di minimo zionmeno T D + D + D ndmeno prbolico in 6

10 Tempo minimo di zionmeno Il co limie per enrmbe le iuzioni emine è rppreeno d quello per il qule il iem rggiunge quel lore di m non ppen lo h rggiuno inizi decelerre. pzio percoro * + D D Tempo minimo di zionmeno * T ndmeno del empo minimo di zionmeno ripeo 6

11 clur delle leggi del moo L'operzione medine l qule l legge del moo iene modific rindo olo lo pzio percoro oppure olo il empo impiego percorrerlo (empo di zionmeno), lcindo quindi immu l "form" dell cur (). Operndo in queo modo è eidene che riernno i lori dell elocià e dell ccelerzione menre i coefficieni di elocià e di ccelerzione reernno immui. Vrizione del empo il empo di zionmeno iene moliplico per un fore k Vrizione dell mpiezz lo pzio percoro nel medeimo empo iene diio per un fore k 63

12 clur delle leggi del moo Vrizione del empo Il empo di zionmeno iene moliplico per un fore k ( ) ( / k, ) d ( ), ( ) d k ( / k, d ( ), ( ) d k ( / k, e uno eo pomeno iene compiuo in un empo k ole più grnde (più piccolo) i lori mimi di elocià ed ccelerzione riulernno più piccoli (più grndi) k ole e k² ole ripeimene. ) ) 64

13 clur delle leggi del moo Lo pzio percoro nel medeimo empo iene moliplico per un fore k. Vrizione dell mpiezz ) ( ) (, k 65 ) ( ) ( ) (,,, k d d ) ( ) ( ) (,,, k d d umenndo (diminuendo) lo pzio percoro nel medeimo empo, elocià ed ccelerzione umenno (diminuicono) k ole.

14 clur delle leggi del moo L m ; L m Poizione inizile : x.000 ; y0.000 Poizione finle : x-0.04 ; y.393 θ,4rd ; θ-.6rd Giuno : V, 0,6 rd/ ; D 0,3 rd/ Giuno : V, rd/ ; D 0,4 rd/ Giuno V rd < θ 0,3 *, 0, 36, Giuno V rd > θ 0,4 *,, 5 T V V,4 0,6 + 0,6 0,3, min, +, 6 ϑ,6 min, 4 0,4 T 66

15 clur delle leggi del moo Poiché i due uori non compleno i loro moimeni nello eo ine, è opporuno clre degumene l legge del moo θ () in modo che riuli TT clur in mpiezz k θ / θ /3 V,,cl /3V, /3 0,6 0,4 rd/,cl /3 /3 0,3 0, rd/ V rd < θ *,, cl 0,4 0, 8, cl 0, T V +,6 0,4,, cl min,, cl + 6 V,, cl, cl 0,4 0,

16 clur delle leggi del moo clur nel empo k T /T 3/ V,,cl /3V, /3 0,8 0,5333 rd/,cl (/3) (/3) 0,3 0,777 rd/ V' rd θ *,, cl 0,5333, 6 ', cl 0,777 T' V' + ',6 0,5333,, cl min,, cl + 6 V',, cl, cl 0,5333 0,

17 clur delle leggi del moo D 0,5 rd/ V rd/ 6 rd V * rd < 0,5 V 6 Tmin V 0,5 clur le che T clur nel empo k T /T min 3/ d, ( ), ( ) ( / k) d k d /k, ( 3), (3) () 0,667rd / d 3, 0,5 0,rd / k 3 clur nell mpiezz Non eendoci clur nel empo, l elocià mim dell legge cl in mpiezz iene rggiun nello eo empo impiego con l legge del moo non cl.,, T + T V V + T,,,, 0,6rd / d, ( ) 0,6 ) ( ) ( ) 0, 6 d k k ( ), (,, 0,60,5 0,3rd / k 69

18 Trieori di un iem più grdi di liberà Il moo dell eremo di un iem più grdi di liberà che dee porri d un poizione P, crerizz dlle coordine e dll'eo dell elemeno, ll poizione P può enire eguendo rieorie che engono relizze in dieri modi. - Trieori liber, - Trieori defini. 70

19 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori liber egni i due eori poizione dei due eremi dell rieori il iem è "libero di eguire" un rieori r le due poizioni che iene elbor dl iem di conrollo. Occorrerà quindi innnziuo riolere il problem cinemico inero, oenendo i eori {Q } e {Q } che rppreenno le coordine (rozioni e rlzioni) che gli uori del iem deono rggiungere per porre l eremo nelle poizioni P e P ripeimene; d li eori i oiene: { Q}{Q }-{Q } che fornice le rozioni e rlzioni che gli uori deono compiere per porre l elemeno dll poizione P ll poizione P. Medine il eore { Q} i può clcolre, per cicuno degli zionmeni, il empo minimo di zionmeno i e quindi il empo minimo di zionmeno per l'inero iem T che riul eere, nurlmene, il più grnde dei dieri i. comndre cicun moore in modo che i muo relizzndo le elocià ed ccelerzioni mime poibili comndre cicun moore in modo che ui compleino i loro moi conempornemene 7

20 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori defini Qundo occorre compiere delle lorzioni in moimeno è necerio che l'uenile egu un rieori predefini con un cer preciione, quindi occorre clcolre l legge del moo d egnre cicuno degli zionmeni ffinché l'uenile egu un rieori predefini. Un modo di procedere conie nell egnre, olre lle poizioni ereme, un cero numero di puni inermedi per i quli rnire. Per ognundelle poizionip i i clcolno le coordinedei giuniriolendoil problem cinemico inero, i bilice il empo necerio d P i P i+ i inerpolnoi puni dei digrmmi q i () i clcolno le equzioniq i () per ogni ro dell cur. i egnno i puni eremi P ep, i riole il problem cinemico inero,i clcol il empo di zionmeno i ceglie un legge del moo () e i diide il empo di zionmeno in inerlli i clcolno q i, q & eq & per ogni giuno riolendo l cinemic iner e i lori di q & eq i& i i i ono uperi in qulche ro i effeu un clur delle leggi del moo Con i lori di q i () i deermin l rieori che l uenile eguirà effeimene e e i dico d quell deider i 7 ggiungono puni.

21 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori egn medine poizione e elocià dei giuni Per cicuno dei puni dell rieori i clcolno i lori di q i riolendo il problem cinemico inero Poiché per ogni puno dell rieori è egno il eore elocià V in modulo, direzione e ero (ngene ll rieori), ono fcilmene clcolbili i lori delle elocià dei giuni per cicuno dei puni dell rieori. Q& J P& J V P { } [ ] { } [ ] [ ] { } i i oiene coì un inieme di lori di poizioni e elocià per cicuno dei giuni del mnipolore che engono fornii l iem di conrollo. In l modo, cicuno dei eromoori eguirà un legge del moo, ribile ine per ine, le d fr in modo che l orgno erminle rnii per cicuno dei puni prei ull rieori con l elocià egn in modulo direzione e ero. i i 73

22 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori egn medine poizione e elocià dei giuni Tle modo di procedere conene di oenere rieorie più precie di quelle oenue con i meodi medine i quli l rieori è coiui d un inieme di puni collegi d pomeni dei giuni che i muoono eguendo un legge del moo fi un ol per ue, enz l poibilià di imporre l direzione dell elocià (ngene ll rieori). Nel co in cui i egn nche il eore elocià d un deermin rieori, l effei rieori egui dll end-effecor non porà dicori ignificimene d quell deider. L legge dell elocià di ogni giuno dee eere opporunmene corui per grnire i differeni lori di pggio per ogni puno. In pricolre i può dore un profilo di elocià che, dopo er rggiuno il lore cone, perme di pre l lore di elocià ucceio. 74

23 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori egn medine poizione e elocià dei giuni 75

24 Trieori di un iem più grdi di liberà Trieori egn medine poizione e elocià dei giuni 76

25 Trieori di un iem più grdi di liberà.c..r.. P : x500 mm ; P : x30. mm ; y-00 mm y-576 mm Legge del moo θ()c per 0<<T/ θ()-c(-t) + c (T/) per T/<<T c (θ fin. -θ iniz. )/T T3 c 4,96, per θ () c 7,59, per θ () L rieori i dico enibilmene d un egmeno di re, riulndo eere piuoo imile d un rco di cerchio. Per queo moio, i può penre di "correggere" l rieori effei egnndo un lro puno, compreo r gli eremi P e P 77