Pagina 1 di 11 Versione 03/12/99. Figura 1

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1 Pagina 1 di 11 Verione 3/1/99 Accelleraziione I oi reilinei unifori ono oi epliciii in naura, a ono alreano iprobabili. La iuazione più frequene è quella di elocià che uano enre l oggeo i uoe. Vogliao decriere i cabiaeni di elocià. Ciò che dobbiao fare però è iile a ciò che è già ao fao: ricordiao che dalla decrizione di poizioni che cabiano nel epo iao paai alla decrizione delle elocià con cui quelle poizioni cabiano. ra dobbiao decriere la elocià con cui cabia la elocià nel epo e ci aiuereo ancora con il piano careiano (, ). Poizione Velocià Decriere il cabiaeno di poizioni nel epo Decriere il cabiaeno di elocià nel epo Velocià : / Accelerazione a:/ Figura 1 L ACCELERAZINE NEI GRAFICI (T, V) Due auo diere con la edeia elocià aia poono ipiegare epi dieri per raggiungerla: la rapidià con cui crece la elocià è diera. Per queo ra i dai ecnici di un auo, olre alla elocià aia, i è il epo per raggiungere, parendo da feri, una elocià preabilia, di olio 1 k/h. Nella figura ono riporai i alori delle elocià, nei prii 1 econdi di cora, di due auo che parono da fere. A fianco ono rappreenai i grafici relaii nel piano careiano (, ). Velocià in k/h Tepo, Auo 1 Auo Velocià, k/h Tepi, Abbiao io che nei grafici (, ) la pendenza delle linee indica la elocià dell oggeo (rapidià con cui cabia la poizione nel epo) poiché iura lo pazio percoro per unià di epo. Allo eo odo in grafici (, ), coe quelli di figura, la pendenza indica l aueno di elocià per unià di epo, cioè la rapidià con cui cabia la elocià nel epo, che chiaiao accelerazione a. In quei grafici infai i caei ericali iurano ariazioni di elocià, enre quelli orizzonali iurano ineralli di epo, e il loro rapporo (pendenza) iura l accelerazione dell oggeo: figura

2 Pagina di 11 Verione 3/1/99 a : pendenza Nei grafici (,) l accelerazione è la pendenza dei egeni. Se è la elocià iniziale al epo e la elocià finale al epo, l accelerazione ale: a Equazione 1 La Figura 3 ora il grafico (, ) di un oo in cui l accelerazione (pendenza) è coane, a la elocià iniziale è diera da zero. B(,) A(, ) - - Figura 3 L accelerazione iura di quani eri al econdo auena la elocià per ciacun econdo, e dunque l unià di iura è: Un corpo ha un accelerazione di 1 - quando la ua elocià auena di 1-1 in ogni econdo. Nella figura i rilea che l accelerazione della pria auo è di: 4 k h enre quella della econda è: 1 k h.8.8 Il conceo di accelerazione i applica anche ai cai di diinuzione di elocià, coe quello di un auo che frena. Un auo che in 1 paa da 6 k/h (16.7 /) allo ao di quiee ( /) con riduzione unifore della elocià, ubice un accelerazione pari a:

3 Pagina 3 di 11 Verione 3/1/99 - < Figura 4 Se la elocià finale è inore della elocià iniziale (Figura 4), l oggeo è, nel linguaggio coune, decelerao, enre noi direo che ha un accelerazione negaia. Quano deo ale e l accelerazione è coane nel epo. Se ciò non accade, la forula opra definice il alore edio di accelerazione nel epo coniderao. Eepi L auo Alfa 156 paa da a 1 k/h in 8.6. Qual è l accelerazione edia (l accelerazione non è coane nel percoro)? (1 ) k/h (1/3.6) / 8 / a / 8/ La oo BMW K11 paa da 6 a 14 k/h in 1.5 (Figura 5). La ua accelerazione edia è aggiore o inore di quella dell Alfa 156 ra e 1 k/h? (14 6) k/h (8/3.6) / / a / / Nauralene l accelerazione di un oore è aggiore ra e 1 k/h che ra 6 e 14 k/h, dunque il confrono non è ignificaio k/h Figura 5 Se l accelerazione non è coane nel epo nel grafico (, ) non i ha più una linea rea (pendenza coane), a una linea cura. Nauralene il cao di un accelerazione coane (oo uniforeene accelerao) è il più eplice e i dedichereo una paricolare aenzione.

4 Pagina 4 di 11 Verione 3/1/99 LA LEGGE DEL MT RETTILINE UNIFRMEMENTE ACCELERAT Il oo uniforeene accelerao è il oo di un oggeo che ubice ariazioni di elocià uguali in epi uguali. Ciò ignifica che nel piano (, ) la pendenza del grafico è coane e dunque che il grafico è una rea. Ma ignifica anche che la ariazione di elocià è direaene proporzionale al epo racoro: k e il rapporo ra ariazione di elocià e epo racoro, l accelerazione, è coane: k a, / Figura L iporanza del oo uniforeene accelerao a nel fao che è il oo con cui ui i corpi cadono ero erra in aenza di aria (i parla per queo di cadua libera). Una caraeriica iporane della cadua libera è che, nello eo luogo, l accelerazione, coane, è la ea con cui cadono ui i corpi e al uolo ale circa ed è chiaaa accelerazione di graià g. La Figura 6 ora il grafico (, ) della cadua libera di un corpo qualiai., In praica, nei cai di cadua reale in preenza di aria, occorre ener preene che il alore di accelerazione diinuice al crecere della elocià in relazione con la fora e con la aa dell oggeo, e dunque poiao coniderare che i alori roai adano bene per i prii econdi di cadua quando la elocià non è olo grande, e la fora dell oggeo è ufficieneene aerodinaica - ad eepio ferica - e la ua aa non roppo piccola. APPRFNDIMENT L accelerazione di graià non è uguale per ui L accelerazione di graià aria con è la ea ounque. Varia con la laiudine, l aliudine e la conforazione geologica del erreno e dunque non è eaaene la ea in uo il erriorio nazionale. Al fine della araura di bilance di preciione, in Ialia un decreo inieriale, il DM 19/5/99, ha fiao i alori dell accelerazione di graià nei capoluoghi di proincia. Ecco alcuni alori, eprei in / : Milano: Roa: Triee: (aio) Enna: (inio) Queo ignifica, ad eepio, che i corpi cadono più eloceene a Triee che a Enna. Eepio. Un oggeo cade nel uoo da fero. Quano ale la ua elocià nel epo?

5 Pagina 5 di 11 Verione 3/1/99 L accelerazione è 9.8 (quai 1) /² e dunque ad ogni econdo la ua elocià crece di 9.8 (quai 1) /. In figura 7 ono riporai i alori di elocià nei prii 1 di cadua libera ed è rappreenao il grafico (, ) corripondene. Tepo, Velocià, / Velocià, / Tepi, La legge aeaica che dà i alori di elocià nel epo di un oo uniforeene accelerao, coe quello di figura 7, i ricaa dalla Equazione 1. Se l iane iniziale è zero coe quando i ua un cronoero, i ha: figura 7 a a + Equazione Quea è la legge della elocià in un oo reilineo uniforeene accelerao e ere per calcolare la elocià di un oo ad un iane aegnao. Ma la legge della elocià non ci dà le poizioni dell oggeo nel epo. Per queo occorre roare la legge oraria, cioè la legge (). Per oenerla procedereo in odo grafico. Abbiao già iparao che (Figura XXX del paragrafo precedene): Per qualiai ipo di oo lo pazio percoro è pari all area ooane la linea delle elocià nel grafico (,). Calcoliao lo pazio percoro nei prii 5 econdi di cadua libera dell oggeo di figura 7. Tale pazio è l area del riangolo riporao in Figura 8. La bae del riangolo è pari al epo racoro. L alezza è la elocià finale e per la Equazione è pari a a. Lo pazio percoro dal epo zero al epo è l area S del riangolo: 1 a Equazione 3 Quea è la legge oraria del oo uniforeene accelerao e il oo ha inizio al epo zero con elocià iniziale nulla. Dalla legge oraria è poibile ricaare il epo racoro e è noo lo pazio percoro : a

6 Pagina 6 di 11 Verione 3/1/99 Equazione 4 a 1 S a B(,) a - Figura 8 STRIA DELLE IDEE La legge di cadua libera La legge del oo uniforeene accelerao era già noa nella cuola edioeale dei Calculaore, profeori al Meron College di xford nel XIV ecolo. Nel XVII ecolo Galileo riconoce con definiia chiarezza che è anche la legge della cadua libera e la erifica con l eperieno. I problei di erifica che Galileo doee affronare ono legai alla capacià di iurare elocià di un corpo enre cade e epi olo brei. Il eodo che Galileo eguì, in linguaggio oderno è il eguene. 1. Dappria ipoizzò che nella cadua dei grai la ariazione della elocià nel epo foe coane ( k).. Non diponendo di iuraori di elocià ufficieneene precii, non poè erificare direaene coe ariaero le elocià nel epo. 3. Dalla proporzionalià ra e dedue, coe fao da noi, la proporzionalià direa ra e. 4. Verificò perienalene la proporzionalià ra e e in al odo riulò erificaa l idea della coanza dell accelerazione nella cadua libera. Eepio. Calcolare lo pazio percoro e la elocià finale nei prii 5 di cadua libera dell oggeo di figura 7. Poiché la elocià iniziale è nulla, lo pazio è dao da: La elocià finale è daa da: 1 1 a k a ( 176 h ) Eepio. Calcolare il epo di cadua e la elocià finale in un corpo in cadua libera dal erzo piano di una caa (circa1 dal uolo). Il epo di cadua ale: La elocià di cadua è: a 9.8 k a ( 49.4 h ) Più in generale, e il oo uniforeene accelerao inizia al epo zero con elocià, lo pazio percoro al epo è l area del rapezio reangolo oo la linea di Figura 9:

7 Pagina 7 di 11 Verione 3/1/99 1 a + che rappreena la legge generale del oo uniforeene accelerao. Equazione 5 1 S a + B(,) A(, ) a+ - Figura elocià, / epi, Pare da fero Pare da 3 / Figura 1 La Figura 1 ora, nel piano (, ), i grafici della cadua libera di un corpo che cade da fero e di uno che cade parendo dalla elocià iniziale di 3 /, per i prii 5. Le aree oo le due cure, ripeiaene un riangolo e un rapezio reangolo, danno gli pazi percori. Eepio. Abbiao io in un eepio precedene che la oo BMW K11 paa da 6 a 14 k/h in 1.5. La ua accelerazione edia è aa calcolaa in.1 -. Calcolare lo pazio percoro dalla oo durane la proa di accelerazione. Lo pazio è dao da: a Il eguene iea coniene le due equazioni principali per la decrizione del oo uniforeene accelerao: 1 a + a + Eo iene perano chiaao iea del oo uniforeene accelerao.

8 Pagina 8 di 11 Verione 3/1/99 Nel cao di un corpo in cadua libera cauaa dalla forza di graià, può capiare che la elocià iniziale ia direa ero l alo, enre l accelerazione è direa ero il bao. In queo cao, auendo coe poiia la elocià riola ero l alo, l accelerazione ha egno oppoo e ale: a -g Il iea della cadua libera di un corpo lanciao ericalene diiene: 1 g + g + Eepio. Un corpo iene lanciao da erra ero l alo con elocià iniziale di k/h. Calcolare l alezza aia raggiuna, il epo di olo e la elocià finale quando riorna a erra upponendo racurabile l ario dell aria (cadua libera). Anziuo dobbiao raforare la elocià da k/h in /: 5.5 / Applichiao il iea in cui g 9.8 / e 5.5 / Rioliao il iea per il puno più alo raggiuno, che corriponde al oeno in cui. Il iea diiene: la cui oluzione è: Rioliao il iea per il puno di ricadua, che corriponde al oeno in cui. Il iea diiene: la cui oluzione è: / Quea oluzione decrie la ieria del oo: la elocià finale(-5.5 /) è uguale a quella iniziale con egno conrario poiché riola ero il bao. Il epo di olo (1.1 ) è doppio di quello per la ola alia (.56 ), e dunque il epo di alia e quello di dicea ono uguali.

9 Pagina 9 di 11 Verione 3/1/99 A(, ) C( 1,) - -g+ B(,) Figura 11 La Figura 11 ora coe aria la elocià nel lancio ero l alo di un oggeo in aenza di arii. Il puno A è lo ao iniziale, il puno B è lo ao finale, nella ea poizione di A. Il puno C è lo ao di aia alezza della raieoria, doe la elocià è nulla. Se i prea aenzione alla poizione più ala raggiuna da un oggeo lanciao ero l alo, i oera che in quel puno la elocià è nulla: a cabiando da poiia (riola ero l alo), a negaia (riola ero il bao); a proprio per queo l accelerazione riane epre coaneene uguale a -9.8 /. In alre parole, il proceo di aueno della elocià ero il bao, che l ha pria rallenao fino a ferarlo per poi accelerare il uo oo ero il bao, coninua coaneene. Nella poizione più ala dunque l oggeo è fero (elocià nulla) e coneporaneaene accelerao (accelerazione non nulla). Quea iuazione oolinea la differenza ra i concei di elocià e di accelerazione. APPRFNDIMENT La legge del oo uniforeene accelerao nei grafici (,) Se rappreeniao in un grafico careiano (,) le leggi del oo uniforeene accelerao ½a e ½a +, ripeiaene per un oggeo che pare da fero e per uno che pare con elocià enrabi aniai da un accelerazione a, oeniao due cure iili. Si raa di parabole, due cure paricolari che ono decrie dalle leggi (equazioni) di grado del oo. È eidene, dalla crecia della pendenza nel epo, l aueno di elocià: noi appiao che la elocià crece in odo direaene proporzionale al epo. ½a²+ ½a²

10 Pagina 1 di 11 Verione 3/1/99 L ACCELERAZINE ISTANTANEA Quando il oo reilineo non è uniforeene accelerao, l accelerazione cabia nel epo e il grafico (, ), coe i è io, non è più una linea rea. Quano ale l accelerazione in queo cao? La iuazione è del uo analoga a quella della elocià iananea. Q D P D Figura 1 Conideriao una iuazione reale: un auoobile a auenando la ua elocià in odo non unifore e dunque il uo grafico (, ) non è una rea, a porebbe eere rappreenao dal grafico di Figura 1. L accelerazione cabia coninuaene e noi iao inereai al uo alore in un iane di epo precio, l accelerazione iananea. L accelerazione edia dell auo ra lo ao P e lo ao Q è daa dal rapporo ra e il epo racoro, e perano è la pendenza del egeno PQ. Se l accelerazione edia è la pendenza della corda nel grafico (, ), l accelerazione nello ao P (iane ) è la pendenza della cura in P, che, coe appiao già, è la pendenza della angene alla cura in P. D D P Figura 13 L accelerazione iananea è la pendenza della angene in alla cura nel piano (, ). Per roare l accelerazione iananea in diegnao la angene in P(, )e coruiao un qualiai riangolo reangolo con i caei paralleli ai due ai e con l ipoenua ulla angene (Figura 13). L accelerazione iananea è il rapporo ra il caeo ericale e quello orizzonale. Se dobbiao roare perienalene l accelerazione iananea, iurereo l accelerazione edia dell oggeo obile ra l iane e un iane, ucceio o precedene, a abbaanza icino a

11 Pagina 11 di 11 Verione 3/1/99 (Figura 14). Troereo coì la pendenza di una corda della cura, che e è cela abbaanza piccola è ufficieneene icina al alore iananeo dell accelerazione. L accelerazione iananea i può roare coe accelerazione edia in un inerallo di epi ufficieneene piccolo inorno a. Q P D D Figura 14 Riauendo Con l accelerazione iuriao coe aria la elocià nel epo. Nel piano (, ) l accelerazione rappreena la pendenza del grafico. Se il grafico è lineare l accelerazione è coane e il oo i chiaa uniforeene accelerao. Se il grafico non è lineare, l accelerazione iananea è la pendenza della angene alla cura (, ). Il oo reilineo uniforeene accelerao è decrio dal iea: 1 a + a +