x... n M n Esempio. Dati i seguenti cinque numeri (n = 5): x 1 = 10; x 2 = 13; x 3 = 9; x 4 = 7; x 5 = 12 la loro media aritmetica sarà uguale a: 1 5

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1 Idici STATISTICI Nell ricerc scietific e tecologic, così come elle scieze ecoomiche, socili e politiche, è importte misurre l rele efficci di iterveti sul sistem oggetto di studio. Ciò sigific vlutre gli effetti complessivi idotti d u cus ot, pur ell mutevolezz ed istbilità dei risultti idividuli. A tl rigurdo, l Sttistic h proposto umerosi idici sttistici, veti qule obiettivo proprio l misurzioe di due compoeti del feomeo oggetto di studio e di iteresse scietifico: l cosistez dell sistemticità, cioè l cetrlità, ovvero l ttitudie che ho i feomei d ssumere tedezilmete u cert dimesioe ll osservzioe, e l vribilità o mutbilità, cioè l dispersioe, ovvero l ttitudie che ho i feomei d ssumere dimesioi e tedeze diverse ll osservzioe, el tempo e ello spzio. L cosistez dell sistemticità, ovvero l cetrlità, è misurt di cosiddetti idici di posizioe (o idici di tedez cetrle o idictori di posizioe o misure di tedez cetrle), o medie sttistiche o cor più semplicemete medie, i grdo di esprimere e sitetizzre l posizioe di u distribuzioe di frequez medite u vlore rele rppresettivo dell globlità del feomeo, rissumedoe gli spetti riteuti più importti. Tli idici si possoo ricvre effettudo operzioi che coivolgoo: - tutti i termii dell serie (i tl cso gli idici di posizioe mggiormete usti, deomiti medie litiche o di clcolo, soo l medi ritmetic, l medi geometric, l medi rmoic e l medi qudrtic); - solo lcui termii dell serie, che si differezio dgli ltri per prticolri crtteristiche (i tl cso gli idici di posizioe mggiormete usti, deomiti medie posizioli o di posizioe, soo l medi, l mod, i qutili). Noostte il cocetto di medi si primitivo e percepito co immeditezz d ogi perso, l su misur risult rbitrri, dl mometo che il criterio di sitesi che si utilizz dipede strettmete dlle iformzioi riteute più rilevti e, quidi, dgli obiettivi per i quli l stess medi viee clcolt. Soo stte itrodotte, pertto, umerose defiizioi di medi delle quli, però, verro di seguito riportte solo le più sigifictive: u medi secodo Cuchy di u vribile X è u quluque vlore rele itermedio tr il miimo mi(x) ed il mssimo mx(x) di u distribuzioe di frequez, cioè tle che: mi(x) mx(x) requisito questo che prede il ome di criterio di iterlità;

2 u medi secodo Chisii di u vribile X è u quluque vlore rele itermedio, tr il miimo mi(x) ed il mssimo mx(x), il qule, rispetto d u fuzioe sitetic delle osservzioi, e lsci ilterto il vlore, cioè tle che: f(x, x,, x ) = f(,,, ) Il seso di tle defiizioe deriv dl tettivo di trovre u uico vlore che, sostituito ciscu modlità di u uità sttistic, o cmbi l predett fuzioe. Affiché, però, tle requisito, detto criterio di rppresettività, diveti opertivo, occorre specificre f i fuzioe dell tur (dditiv, moltiplictiv, ivers, ) dell vribile e dell su trsferibilità: è d ciò, iftti, che derivo le molteplici tipologie di medie delle quli verro riportte, el seguito, le più utili e quelle mggiormete diffuse. L medi ritmetic, deomit semplicemete medi ed idict co, ust per rissumere co u solo umero u isieme di dti reltivi d u feomeo misurbile, ovvero i presez di vribili qutittive qulor l differez tr u dto ed il precedete risulti costte, è otteut dividedo l somm di tutti gli vlori per il umero di osservzioi; i formule è dt d: x x... x xi i L medi ritmetic di umeri, duque, è quel umero che, sostituito ciscuo di essi, lsci ivrit l somm totle e o può essere mggiore del vlore più grde é miore del vlore più piccolo. Essedo, ioltre, l medi sttistic per eccellez, cosete u ottim correzioe degli errori ccidetli commessi i u rilevzioe sttistic, risultdo così utile, oostte l su scrsissim resistez i vlori eccezioli, i tutti i cmpi dell sciez e dell tecic i cui vegoo effettute misurzioi di quluque geere. L medi ritmetic, duque, rppreset il bricetro dei dti e quidi propoe u vlore che equiriprtisce il feomeo tr le uità sttistiche, perveedo così decisioi elle quli coto, prità umeric, gli estremi molto più dei vlori cetrli: l medi ritmetic, iftti, costituisce u idice di equilibrio geerle. Dti i segueti cique umeri ( = ): x = 0; x = 3; x 3 = 9; x = 7; x = l loro medi ritmetic srà ugule : x i i ,

3 Si osservi che, sostituedo ciscu x i (i =,, ) il vlore dell medi e sommdo i risultti, si ottiee: 0, 0, 0, 0, 0, 0, che è proprio l somm degli x i : = L medi ritmetic podert P, ust soprttutto per evidezire l importz, ovvero il peso, dei diversi vlori di u crttere qutittivo, è otteut dividedo l somm dei prodotti dei umeri per i loro pesi o egtivi, cioè per le frequeze dei sigoli vlori, per l somm dei pesi stessi; i formule è dt d: P i p i i x p x p... x p xi pi p p... p Si osservi, tl rigurdo, che ell defiizioe di medi ritmetic le modlità, e quidi le uità sttistiche, cocorroo ll pri ell determizioe dell medi: ciscu modlità, iftti, cot per / ell somm dei prodotti che defiisce l medi. Tuttvi, esistoo umerose situzioi reli elle quli tle pproccio o risult corretto perché le uità sttistiche possiedoo importz, esperiez o credibilità differeti tr loro (d esempio, dopo l riform uiversitri che h itrodotto il sistem dei crediti per misurre l impego richiesto per ciscu isegmeto, è giusto vlutre l crrier uiversitri compiut d uo studete poderdo i sigoli voti co i crediti cquisiti el corrispodete esme; i tl modo si forisce mggiore rilevz i risultti coseguiti elle mterie che ho richiesto u mggiore impego di tempo). Per ogi tipo di medi, duque, srà possibile poderre i dti, ssegdo ciscuo di essi u peso diverso: che se per semplificre il discorso, iftti, è sembrto opportuo soffermrsi solo sull medi ritmetic podert, o si deve fftto pesre che quest si il solo tipo di medi podert esistete. U idustri costruisce tre diversi tipi di copertoi per utomobili: A, B, C. Il tempo ecessrio per costruire i copertoi è riportto ell seguete tbell: TIPO TEPO (miuti) PEZZI PRODOTTI A 00 B 00 C 00

4 Utilizzdo solo l secod colo dell tbell, risult possibile clcolre il tempo medio ecessrio per costruire u geerico copertoe: 7 6 miuti 3 3 Gurddo che l terz colo dell tbell, però, si può osservre che l idustri produce molti copertoi di tipo B e pochi di tipo A, motivo per cui se si vuol clcolre u tempo medio di produzioe che teg coto dei copertoi effettivmete prodotti, occorre poderre i tre diversi tempi co dei pesi corrispodeti l umero di pezzi prodotti. Il tempo medio di produzioe divet, quidi: P,7 miuti Ne segue, duque, che l medi podert rppreset u vlore più relistico rispetto quell ritmetic. L medi geometric, ust qudo le vribili qutittive risulto o lieri m otteute d u prodotto o d u rpporto di vlori lieri o egtivi e diversi d zero, si ottiee estredo l rdice -esim del prodotto degli termii; i formule è dt d: g i x i x x... x L medi geometric, cosidert come quel vlore che sostituito ciscuo degli dti e lsci ilterto il prodotto, è ust soprttutto qudo i dti o soo umerosi, i termii dell distribuzioe preseto vlori molto differeti tr loro ed il rpporto tr u dto ed il precedete risult costte (d esempio, l determizioe del tsso di iteresse medio equivlete ll sequez dei tssi vribili, el regime di cpitlizzzioe compost). Dti i segueti cique umeri ( = ): x = 0; x = 3; x 3 = 9; x = 7; x = l loro medi geometric srà ugule : g x i i ,97 L medi rmoic, ust ello studio di vribili qutittive tr loro iversmete proporzioli, ovvero qudo si deve trovre il vlore medio, o del feomeo cosiderto, m di u feomeo che è l iverso del primo (d esempio, prezzo di u bee e potere d cquisto dell

5 moet, iteresse effettivo che cresce l decrescere del costo del titolo, ), è pri l reciproco dell medi ritmetic dei reciproci dei termii; i formule è dt d: h i x i x... x x L medi rmoic, duque, è quel vlore tle che il suo reciproco, sostituito i dti, che devoo essere tutti positivi, f rimere ivrit l somm dei reciproci dei dti stessi: viee ust, iftti, per medire rpporti di tempo. Dti i segueti cique umeri ( = ): l loro medi rmoic srà ugule : h x i i x = 0; x = 3; x 3 = 9; x = 7; x = ,7 3 L medi qudrtic si ottiee estredo l rdice qudrt dell medi ritmetic dei qudrti degli termii; i formule è dt d: p p p, i i p p p x x,..., x x x x... x Tle medi, deomit che medi di precisioe, ust tutte le volte che lle differeze tr i termii ed il vlore medio si dà il sigificto di devizioe o errore del vlore estto, ovvero ei csi i cui lcui termii cosiderti risulto egtivi e si desider quidi elimire l loro ifluez, trov ppliczioe soprttutto ell mbito dell teori degli errori. p Dti i segueti dieci umeri ( = 0): x = ; x = ; x 3 = ; x = ; x = 3; x 6 = 3; x 7 = ; x = ; x 9 = ; x 0 = l loro medi qudrtic srà ugule : 0 x, x,..., x0 x i i

6 0 0 3,3 Tr le vrie medie sopr descritte, duque, sussiste l seguete relzioe: h g p L medi è quell idice di posizioe che, u volt ordite i seso crescete le osservzioi di u feomeo, divide l distribuzioe i due gruppi di ugule umerosità: l primo gruppo, iftti, pprtegoo le osservzioi uguli o iferiori ll medi; l secodo gruppo, ivece, quelle superiori o uguli ll medi. L medi, duque, è l modlità dell uità sttistic che occup il posto cetrle ell distribuzioe ordit delle osservzioi. Dto cioè u isieme costituito d itesità, x, x,, x, l determizioe dell medi è divers secod che si pri o dispri, precismete: - se è pri, l medi è dt dll semisomm delle itesità idividute di segueti due posti cetrli, cioè dll medi ritmetic dei due vlori cetrli, ovvero: C x C C, C x e - se è dispri, l medi è dt dll itesità idividut dl posto cetrle ell distribuzioe, ovvero: e x L medi, pertto, si può clcolre per tutte quelle vribili le cui modlità possoo essere ordite, ovvero per le vribili qulittive ordili, e per tutte le vribili qutittive: risult, iftti, più coveiete usrl qulor si vogli esprimere il vlore cetrle di distribuzioi di crtteri che o possoo essere misurti esttmete (d esempio, i crtteri psicologici grdubili) oppure qulor o si poss fr riferimeto ll distribuzioe ormle, proprio grzie ll su cpcità di essere rppresettiv dell posizioe dell distribuzioe che i presez di vlori estremi otevolmete di versi d tutti gli ltri. L medi, duque, miimizz i costi complessivi ed è soprttutto resistete i vlori estremi: rppreset, iftti, u idice per decisioi che implico costi elevti ei csi estremi. Dte le segueti itesità ( = 7, umero dispri): 3; ; 9; ; 6; ; l loro medi si ottiee ordido dpprim le itesità i ordie crescete, ovvero:

7 x = ; x = 3; x 3 = ; x = 6; x = 9; x 6 = ; x 7 = e poi cosiderdo l itesità che occup il posto cetrle, cioè e = x = 6. Del resto, dll formul: e x x7 x x si può cocludere logmete che l medi è dt proprio dll itesità che occup il qurto posto, ovvero e = x = 6. 6 Dte le segueti itesità ( =, umero pri): 7; 6; ; 3; 9; ; ; l loro medi si ottiee ordido dpprim le itesità i ordie crescete, ovvero: x = ; x = 3; x 3 = ; x = 7; x = 9; x 6 = ; x 7 = ; x = 6 e poi cosiderdo l semisomm delle itesità che occupo i due posti cetrli, cioè: Del resto, dlle formule: e x = 7; x = C x x x 7, C x x x x 9 si può cocludere logmete che l medi è dt proprio dll semisomm delle itesità che occupo il qurto (x = 7) ed il quito posto (x = 9), ovvero: e L mod o orm dell distribuzioe di frequez X, idict co il simbolo 0 e clcolbile per crtteri si qutittivi si qulittivi, o risetedo dei vlori estremi, rppreset l modlità, o clsse di modlità, crtterizzt dll mssim frequez (ssolut o reltiv), ovvero il vlore umerico che, ell distribuzioe di frequez, è mggiormete presete rispetto gli ltri. A tl rigurdo occorre evidezire che l mod è u modlità, o u frequez. Se si rppreset, pertto, l distribuzioe di frequez i termii grfici, si può ffermre che l mod corrispode l picco dell distribuzioe che, di coseguez, risulterà zeromodle se o mmette lcu vlore modle ovvero essu picco, uimodle se e mmette uo solo (i tl cso l mod h sigificto di sitesi), bimodle se e mmette due, trimodle se e mmette tre, Per poter determire,

8 quidi, l clsse modle risult opportuo ricorrere ll istogrmm, idividudo l itervllo di ltezz mssim, ovvero il puto di mssimo dell curv; l clsse co l mggiore desità medi, corrispodete proprio ll ltezz dell istogrmm, srà quell modle. L mod, duque, miimizz gli scoteti ed è utilizzt i tutte quelle situzioi ove il coseso ed il umero delle sigole uità h sigificto per l decisioe: l mod, iftti, è u idice utile per idividure l modlità più rppresettiv. Dt l seguete successioe di termii ( = 3): x = 3; x = ; x 3 = 9; x = 3; x = ; x 6 = 7; x 7 = 3; x = ; x 9 = 9; x 0 = 3; x = ; x = 3; x 3 = 6 l loro mod è dt dl termie che compre co mggiore frequez, ovvero è 0 = 3 perché compre volte. Dt l vribile X = umero di esmi sosteuti d sei studeti ed osservti i segueti vlori: STUDENTI Nicol ry Eleoor Betrice Dvide Christi ESAI si può cocludere che l vribile X o h mod, ovvero è zero modle, essedo l mod defiit come l modlità più frequete: o esiste, iftti, essu modlità (umero di esmi) ripetut più delle ltre e tutte le modlità ho l stess frequez ssolut pri d uo studete. Qul è l modlità più lt? 30 Qul è l modlità più frequete? Nessu i quto tutte ho l stess frequez pri d. Per idividure l mod di u vribile, duque, bisog chiedersi i primo luogo qul è l vribile e poi quli soo le modlità e qul è l modlità co l frequez più lt. I qutili soo le itesità che dividoo, dopo ver ordito i dti, u distribuzioe di frequez i u certo umero di prti uguli (d esempio, l medi è quel vlore che divide i due prti uguli l isieme delle uità ordite per grdezz, ovvero l distribuzioe è divis, rispetto tle vlore, i due prti ogu coteete il 0% delle uità). Se si divide l distribuzioe i due prti si prl di terzili (il primo terzile è quello che lsci ll su siistr u terzo delle osservzioi e ll su destr i rimeti due terzi; il secodo terzile è quello che lsci ll su siistr i due terzi e ll su destr u terzo rimete). Se si divide l distribuzioe i tre prti si prl di qurtili (il primo qurtile Q lsci ll su siistr il % dei csi e ll su destr il rimete 7%; il secodo qurtile Q, che coicide co l medi, lsci ll su siistr il 0% dei csi e ll su

9 destr il rimete 0%; il terzo qurtile Q 3 lsci ll su siistr il 7% dei csi e ll su destr il rimete %). Se si divide l distribuzioe i ove prti si prl di decili,, i ovtove prti si prl di cetili, i ceto prti si prl di percetili. Pertto, se X è u crttere co modlità ordite x, x,, x (x x x ), per il clcolo dei qurtili si procede i mier log quto visto i precedez per l medi: - se è pri: - se è dispri: x x Q Q x I qutili, duque, si possoo clcolre per tutte quelle vribili per le quli risult possibile ordire le modlità, ovvero per vribili qulittive ordili, oltre che per tutte le vribili qutittive. Dte le segueti itesità ( = 7, umero dispri): 0; 6; ; 0; 37; ; 3 il loro qurtile Q si ottiee ordido dpprim le itesità i ordie crescete, ovvero: x = ; x = 3; x 3 = 0; x = ; x = 0; x 6 = 37; x 7 = 6 7 e poi cosiderdo l itesità che occup il posto prtedo dll prim osservzioe, ovvero Q = x = 3. Alogmete il terzo qurtile Q 3 si ottiee cosiderdo l itesità che occup sempre il secodo posto prtedo, però, dll ultim osservzioe, ovvero Q 3 = x 6 = 37. Dte le segueti itesità ( =, umero pri): 0; 6; 3; 0; 37; ; 3; il loro qurtile Q si ottiee ordido dpprim le itesità i ordie crescete, ovvero: x = ; x = 3; x 3 = 0; x = ; x = 0; x 6 = 37; x 7 = 6; x = 3

10 e poi cosiderdo come primo qurtile Q le itesità idetificte dlle posizioi, 3, precismete x = 3; x 3 = 0; effettudo ifie l semisomm tr tli umeri, si ottiee: 30 3 Q Per determire poi il terzo qurtile Q 3 bisog effetture l semisomm tr le itesità che occupo sempre l secod e l terz posizioe, prtedo però d siistr, ovvero: Q , L vribilità o mutbilità, ovvero l dispersioe, è misurt, ivece, di cosiddetti idici di vribilità, i grdo di discrimire tr situzioi tr loro molto differezite, cos quest per l qule l utilizzo dei soli idici di posizioe potrebbe risultre, o solo o sufficiete, m ddirittur fuorvite. L vribilità di u feomeo, ovvero l su ttitudie d ssumere differeti modlità, e di coseguez diversi vlori qutittivi i u certo periodo di tempo o i seguito ll ifluez di u ltro feomeo, è crtterizzt di segueti due spetti: - dispersioe: poe i rilievo di quto le vrie itesità o osservzioi differisco d u medi prestbilit ovvero si ddesio itoro d u determit medi; - disugugliz o vribilità reciproc: evidezi l diversità delle vrie itesità o osservzioi tr loro. Gli idici di vribilità si distiguoo i: - ssoluti: soo espressi ell stess uità di misur del feomeo di cui clcolo l dispersioe o l disugugliz oppure i fuzioe di suddett uità di misur (cmpo di vrizioe, scrto semplice medio, vriz, scrto qudrtico medio o devizioe stdrd); - reltivi: prescidoo dll uità di misur del feomeo e si ottegoo rpportdo due misure ssolute oppure u idice ssoluto l suo mssimo; soo pertto dtti per effetture cofroti tr feomei diversi (coefficiete di vrizioe). Il cmpo di vrizioe o rge, R(X), di u sequez di umeri è l idice ssoluto di vribilità più semplice d clcolrsi: è otteuto, iftti, dll differez tr il vlore mssimo e quello miimo; i formule è dto d:

11 R(X) = mx(x i ) mi(x i ) Se si cosidero le segueti vlutzioi delle tre prove degli esmi di stto riportte d quttro studeti: STUDENTI Nicol ry Eleoor Gicomo PRIA PROVA 3 9 SECONDA PROVA 7 TERZA PROVA llor i rge delle tre prove soo dti rispettivmete d: R (X) = 9 3 = 6 R (X) = = 6 R 3 (X) = 7 6 = metre le rispettive medie ritmetiche soo dte d: 3 9 6, 7 6, , 3 Si può osservre, quidi, che ell prim e terz prov il rge, pri 6, è superiore rispetto quello dell secod prov, i dti soo più dispersi ed i risultti più eterogeei; ell secod prov, i cui il rge è pri d, ivece, i dti soo più cocetrti ed i risultti più omogeei. L distribuzioe dell prim prov, ioltre, risult divers d quell dell secod prov, oostte etrmbe le prove presetio lo stesso rge. Duque: - più R è piccolo più i dti soo cocetrti, più R è grde più i dti soo dispersi; - R è espresso ell stess uità di misur dei dti; - R tiee coto solo dei dti estremi dell distribuzioe e o di tutti i dti: distribuzioi diverse m co gli stessi vlori estremi, cioè, ho ugule rge. Lo scrto semplice medio S( ) di u sequez di umeri x, x,, x è l medi ritmetic dei vlori ssoluti degli scrti dei umeri stessi dll loro medi ritmetic ; i formule è dto d:

12 S x x... x Si osservi che occorre cosiderre gli scrti i vlore ssoluto poiché ciò che iteress è lo scostmeto di ogi dto dll medi e o se il dto è miore o mggiore del vlore medio stesso. Del resto, com è fcile verificre, l medi ritmetic degli scrti, o cosiderti i vlore ssoluto, vle sempre zero. Se si cosidero le segueti vlutzioi delle tre prove degli esmi di stto riportte d quttro studeti: STUDENTI Nicol ry Eleoor Gicomo PRIA PROVA 3 9 SECONDA PROVA 7 TERZA PROVA llor, essedo: 6, 3 gli scrti medi delle tre prove soo dti rispettivmete d: 3 6, 6, 6, 9 6, 3,,,7,7 S, 6, 7 6, 6, 6,, 0,7,7,7 S, 6 6, 7 6, 6 6, 6 6, 0, 0,7 0, 0, S 0, 37 3 Si può osservre, quidi, che ell prim prov lo scrto, pri, (ovvero i vlori dell sequez si discosto medimete di, dll medi), è superiore rispetto quello dell terz prov, i dti soo più dispersi ed i risultti più eterogeei; ell terz prov, i cui lo scrto è pri 0,37, ivece, i dti soo più cocetrti ed i risultti più omogeei. L distribuzioe dell prim prov, ioltre, risult divers d quell dell secod prov. 9,, Duque: - più S( ) è piccolo più i dti soo cocetrti, più S( ) è grde più i dti soo dispersi; - S( ) è espresso ell stess uità di misur dei dti; - S( ) tiee coto di tutti i dti dell distribuzioe.

13 L vriz di u sequez di umeri x, x,, x è l medi ritmetic dei qudrti degli scrti dei umeri stessi dll loro medi ritmetic ; i formule è dt d: x x x... dove Dev x x x..., ovvero il umertore dell vriz, è dett deviz. D u puto di vist sostzile, però, l vriz preset u otevole icoveiete, ovvero o è direttmete cofrotbile co l medi o co ltri vlori dell distribuzioe proprio perché espress ell uità di misur del feomeo elevt l qudrto. Lo scrto qudrtico medio o devizioe stdrd di u sequez di umeri x, x,, x, più sesibile dello scrto semplice medio, e per questo utilizzto si per piccole vrizioi ell distribuzioe dei dti itoro ll medi si per ovvire l problem dell vriz sopr illustrto, è l rdice qudrt dell vriz; i formule è dto d: x x x... Si osservi che tr lo scrto semplice medio e lo scrto qudrtico medio vle l seguete disegugliz: S Se si cosider l seguete sequez di otto vlori: l cui medi ritmetic è: si ottiee l vriz pri : x =, x = 7, x 3 = 9, x = 3, x =, x 6 =, x 7 =, x = e lo scrto qudrtico medio pri :

14 63 79, Il coefficiete di vrizioe CV, idice di vribilità reltivo mggiormete usto, è defiito dl rpporto tr l devizioe stdrd ed l medi ritmetic; i formule è dto d: CV Si osservi che il coefficiete di vrizioe, espresso i geere i termii percetuli moltiplicdo CV per 00, è idipedete dll uità di misur, ovvero è u umero puro utilizzto, si per misurre l vrizioe medi del feomeo i rpporto ll su medi ritmetic, si per cofrotre l vribilità reltiv di u feomeo i circostze differeti (d esempio, l vribilità dell distribuzioe per Età tr le vrie regioi, l distribuzioe dei Redditi per zioi e per o, l vribilità del Peso rispetto l sesso, ). Il coefficiete di vrizioe, ioltre, è ecessrio tutte le volte che si itede cofrotre l vribilità di due feomei espressi i uità di misure o cofrotbili (d esempio, l vribilità del Peso rispetto quell dell Altezz, l vribilità dei Cosumi di crburte rispetto ll vribilità dell Usur dei peumtici per u determit mrc di utovetture, ).