Simulazione di II prova di Matematica Classe V

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1 Liceo Scientifico Pritrio R. Bruni Pdov, loc. Ponte di Brent, 3/5/28 Simulzione di II prov di Mtemtic Clsse V Studente/ss Risolvi uno dei due problemi.. Il tsso lcolemico T misur l concentrzione di lcol nel sngue, espress in g l, e può essere clcolto con l seguente formul: T = m C m p, dove m rppresent l mss di lcol ingerit in grmmi, m p è l mss corpore dell person in chilogrmmi e C è un coefficiente che viene stimto in,68l kg per gli uomini e,55l kg per le donne. L grdzione lcolic di un bevnd, espress in percentule, esprime l quntità di lcol in millilitri contenut in un litro di bevnd: per esempio, se un vino h un grdzione lcolic del 5%, signific che un litro contiene 5 ml di lcol, cioè circ 2 grmmi (l densità dell lcol è,8 g cm 3 ). i. Scrivi un formul che permett di clcolre m se si conoscono l grdzione lcolic G dell bevnd e il volume V di bevnd ssunto in millilitri. Applic l relzione ppen trovt per clcolre il tsso lcolemico per un uomo di 68 kg e un donn di 52 kg che hnno bevuto un bicchiere di vino ( V = 5 ml ) che h grdzione G = 5%. L vrizione nel tempo del tsso lcolemico è pprossimtivmente descritt d un funzione del tipo: ( t)= A t e kt, dove A è un costnte positiv misurt in g misurt in h. T ( l h) e k è un ltr costnte positiv ii. Supponendo che il tsso si mssimo dopo un or dll ssunzione dell bevnd, determin il vlore dell costnte k. di 5

2 iii. Supponi in seguito che i tssi clcolti l punto i. corrispondno l mssimo dell funzione precedente e stbilisci se il grfico in figur corrisponde ll uomo o ll donn. Disegn in seguito il grfico corrispondente ll ltro dei due individui. Qunto vle il coefficiente A per ciscuno di essi? Il tsso lcolemico, per i non neoptentti, non deve superre il re,5 g l qundo si è ll guid per non incorrere in snzioni. iv. In quli intervlli di tempo, dopo ver bevuto, possono guidre l uomo e l donn, senz essere pssibili di snzioni? Verific che l velocità di vrizione del tsso lcolemico present un minimo e un mssimo. In quli istnti? Qunto vlgono il minimo e il mssimo per l uomo e per l donn? [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Risoluzione. i. Scrivi un formul che permett di clcolre m se si conoscono l grdzione lcolic G dell bevnd e il volume V di bevnd ssunto in millilitri. Applic l relzione ppen trovt per clcolre il tsso lcolemico per un uomo di 68 kg e un donn di 52 kg che hnno bevuto un bicchiere di vino ( V = 5 ml ) che h grdzione G = 5%. m = δ V, dove δ =,8 g cm 3 =,8 g ml indic l densità dell lcol e V il volume di lcol ssunto (espresso in ml ). M V = G V, quindi m = δ G V (G in percentule, V espresso in ml ). Poiché C u =,68l kg, il tsso lcolemico dell uomo è T u = T u =,8 g ml ( 5 ) 5ml T u,68l kg 68kg ",389 g l. Poiché C d =,55 l kg, il tsso lcolemico dell donn è T d = T d =,8 ( 5 ) 5 T d,55 52!,629 g l. m C u m T u = δ GV u C u m u m C d m T d = δ GV d C d m d ii. Supponendo che il tsso si mssimo dopo un or dll ssunzione dell bevnd, determin il vlore dell costnte k. L condizione dt indic che T = ; m T ( t)= A( kt)e kt, quindi A( k)e k = k = (A e e k sono quntità positive). Verifico che per tle vlore di k ottengo proprio un mssimo reltivo per t = : T ( t) A( t)e t t, ovvero l funzione è crescente per t <, decrescente per t > e, perciò, mmette un mssimo reltivo M( ; A e). Quindi k = h. iii. Supponi in seguito che i tssi clcolti l punto i. corrispondno l mssimo dell funzione precedente e stbilisci se il grfico in figur corrisponde ll uomo o ll 2 di 5

3 donn. Disegn in seguito il grfico corrispondente ll ltro dei due individui. Qunto vle il coefficiente A per ciscuno di essi? Poiché il mssimo rppresentto è di poco inferiore llo,4 g l, il grfico dto rppresent l ndmento lcolemico dell uomo. Dl punto i. T u = , mentre dl punto ii. T u = A u e ; confrontndo i due risultti trovo che A u = e. Dl punto i. T d = 9 43, mentre dl punto ii. T d = A d e ; confrontndo i due risultti trovo che A d = 9 43 e. Rimne d studire l funzione T d ( t)= A d t e t T d ( t)= 9 43 t e t, con t. dominio: D = { t t! t }. prità: T d ( t) T d ( t) T d ( t). segno di T d ( t): T d ( t)> per t ; + ; T d ( t)= per t =. 9t + 9 limiti significtivi ed sintoti: lim T d t t + = lim = t + t 43e + :=H lim = ; l funzione mmette un sintoto orizzontle di equzione y = t + t 43e. segno di T d ( t) : T d ( t) 9 43 ( t)e t t ; l funzione è crescente in ;, decrescente in ; + e mmette un mssimo (ssoluto) M( ; 9 43)! ( ;,63 ). segno di T d ( t) : T d ( t) 9 43 ( t 2)e t t 2 ; l funzione è convess in 2; +, concv in ; 2 e mmette un flesso tngente obliqu F ( 2; 8 ( 43e ))!!( 2;,46). grfico qulittivo di T d ( t): iv. In quli intervlli di tempo, dopo ver bevuto, possono guidre l uomo e l donn, senz essere pssibili di snzioni? Verific che l velocità di vrizione del tsso l- 3 di 5

4 colemico present un minimo e un mssimo. In quli istnti? Qunto vlgono il minimo e il mssimo per l uomo e per l donn? Il problem chiede di determinre i vlori di t tli che T u ( t),t d ( t),5 : T u ( t),5 t! T d ( t), t e t t et. L disequzione non è risolvibile per vi lgebric, tuttvi, osservndo il grfico determinto nel punto precedente, sicurmente esistono due vlori di t tli che T d ( t)=,5 : α ; e β ; 2. Volendo un precisione mggiore, posso pplicre in modo iterto il Teorem di esistenz degli zeri ll funzione f ( t)= T d ( t),5 : f (,5)!,2 > α ;,5 f (,5 )!,7 > β,5; 2 f (,45)!,9 < α,45;,5 f (,8 )!,9 > β,8; 2 f (,85)!,2 < β,8;,85 L velocità di vrizione del tsso lcolemico è T ( t) (definizione di derivt). Per determinrne mssimi e minimi, bst studire il segno di T ( t) : uomo: T u ( t) ( t 2) e t t 2, cioè T u t M ; e 225 e un minimo (ssoluto) m 2; 578 e. donn: T d ( t) 9 43 ( t 2) e t t 2, cioè T d t M ; 9 43 e 9 e un minimo (ssoluto) m 2; 43 e. mmette un mssimo (ssoluto) mmette un mssimo (ssoluto) 4 di 5

5 2. In figur sono riportti il grfico di un funzione f, definit e derivbile su tutto!, le rette tngenti l grfico nei punti in cui esso intersec l sse e l sintoto orizzontle del grfico. i. Consider l funzione F= f ( t)dt, 2; 6. Quli sono gli interi più vicini l vlore F( 4) che si possono trovre con le informzioni disposizione? Studi F (prità, segno e zeri, mssimi e minimi reltivi e ssoluti, concvità ed eventuli punti di flesso) e trccine un grfico qulittivo. ii. iii. iv. Consider or l funzione G= f ( t)dt,!. Utilizz i risultti del punto precedente per lo studio di G, discutendo in prticolre il comportmento dell funzione ll infinito. Verific che un possibile espressione per l funzione rppresentt in figur è f = d,,b,c,d!, b 2 + c e determin i vlori dei prmetri, b, c e d deducendo le informzioni necessrie dl grfico. Determin l espressione nlitic di G e verific se il suo comportmento è in ccordo con qunto hi previsto nel punto ii.. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Risoluzione. i. Consider l funzione F= f ( t)dt, 2; 6. F( 4) Quli sono gli interi più vicini l vlore che si possono trovre con le informzioni disposizione? Studi F (prità, segno e zeri, mssimi e minimi reltivi e ssoluti, concvità ed eventuli punti di flesso) e trccine un grfico qulittivo. 5 di 5

6 rppresent l re del trpezoide delimitto dl grfico di f e l sse per ; 4 F 4. Il vlore di tle re si può stimre per difetto clcolndo l re del tringolo OMZ: A OMZ = OZ MH 2 = 2 ; L stim per eccesso può essere ftt clcolndo l re del tringolo ONZ, con N( 2; 3 2) : A ONZ = OZ NH 2 = 3. Quindi 2 < F( 4)< 3. N M H Z Studio l funzione F : dominio: D = 2; 6. prità: F F( ) F (il dominio non è simmetrico rispetto = ). segno di F : per 2; ho che F ( )= f ( t)dt = f ( t)dt ; m f ( t)dt rppresent un re orientt quindi ssume segno negtivo. Ne consegue che F per 2;. Per ; 4 bnlmente F ( ). Per 4; 6 ho ncor F in qunto l re negtiv del trpezoide in 4; 6 è sicurmente minore dell re del trpezoide in ; 4 (bst fre un stim come quell ftt per F( 4) ). In definitiv: F> per 2; ; 6 ; F ( )= per =. segno di F : F = f per il Teorem di Torricelli-Brrow. f è negtiv in 2; 4; 6, quindi in tli intervlli F srà decrescente. f è positiv in ; 4, quindi in tle intervllo F srà crescente. Ne consegue che F mmette un minimo (ssoluto) per = e un mssimo (ssoluto, F( 2)< per un stim come in i.) per = 4. segno di F : F = f. f è crescente in 2; 2 e decrescente in 2; 6, quindi F è convess in 2; 2 e concv in 2; 6. Ne consegue che F mmette un flesso tngente obliqu per = 2. grfico qulittivo di F : 6 di 5

7 ii. Consider or l funzione G= f ( t)dt,!. Utilizz i risultti del punto precedente per lo studio di G prticolre il comportmento dell funzione ll infinito., discutendo in Per le considerzioni ftte l punto precedente: in ; 2 G è positiv, decrescente e convess; in prticolre lim G ( )= + ; esiste z 6; + tle che G( z)=, quindi in 6; z G è positiv mentre in z; + G è negtiv. In 6; + G è decrescente e concv, in prticolre lim G ( )=. + L funzione potrebbe perciò mmettere sintoti obliqui. iii. Verific che un possibile espressione per l funzione rppresentt in figur è f = d,,b,c,d!, b 2 + c e determin i vlori dei prmetri, b, c e d deducendo le informzioni necessrie dl grfico. Ho bisogno di quttro informzioni, tnte qunti sono i prmetri d determinre. Le informzioni che posso trrre dl grfico sono le seguenti: f = = f ( 4), f ( 2)= e f ( 2)=. Mettendo le quttro condizioni sistem e sostituendo i vlori nell espressione nlitic di f suggerit, posso determinre i vlori dei prmetri reli, b, c e d: b 2 + c d = ( 4 b) 2 = b 2 f = f ( ( 4 b) 2 + c d = ( 4 b) 2 + c d = b = 2 b = 2 4)= f ( 2)= ( 2 b) 2 + c d = ( 2 b) 2 + c d = 4 + c d = d = 4 + c f ( 2)= 2 2 b 2 2 b (( 2 b) 2 + c) = c d = c 4 + c = 2 (( 2 b) 2 + c) = = = 2 b = 2 d = c 4, = c + c 2 4 = dove nel secondo pssggio si sono confrontte le prime due equzioni e nel qurto pssggio l second e l terz. Purtroppo nel terzo pssggio un equzione è risultt indetermint. Utilizzo quindi un ulteriore informzione: lim f ( )= d = + d =, quindi c = 4 e = 8 ; perciò: 8 f = di 5

8 iv. Determin l espressione nlitic di G e verific se il suo comportmento è in ccordo con qunto hi previsto nel punto ii.. 8 G= f ( t)dt = ( t 2) dt 2 = 4 + ( t 2 ) dt dt = 2 = 4rctn t 2 t = 4rctn 2 + π. Dl seguente studio dell funzione G, verifico l ccordo con qunto scritto in ii.. dominio: D =!. prità: G G( ) G. limiti significtivi ed sintoti: lim G ( )=. Verifico l esistenz di eventuli sintoti ± G obliqui: lim ± = ± :=H lim G ± = lim f ± = e lim ( G+ )= = lim 4rctn 2 + π = π, lim G+ = lim 4rctn π = 3π. L funzione G mmette un sintoto obliquo di equzione y = π e un sintoto obliquo + di equzione y = + 3π. segno di G : coincide con il segno di f, perciò G è crescente per ; 4, decrescente per ; 4; + ed mmette un minimo reltivo m( ; ) e un mssimo reltivo M( 4; 2π 4)! ( 4; 2,3). segno di G : coincide con il segno di f = 6 ( 2 ) (( 2) 2 + 4) 2, perciò G è convess per ; 2, concv per 2; + ed mmette un flesso tngente obliqu F( 2; π 2)! ( 2;,4). segno di G : non è possibile determinre il segno per vi lgebric. Noto che G= e che l funzione mmette sicurmente un ltro zero per vi dello studio ftto. Effettivmente, pplicndo il Teorem degli zeri ll funzione continu G in 8; 9, poiché G( 8) G ( 9)<, posso concludere che esiste z 8; 9 tle che G( z)=. Inoltre, G è positiv per ; z \ { } ed è negtiv per z; +. grfico qulittivo di G : 8 di 5

9 Risolvi cinque dei dieci quesiti.. In figur è rppresentto il grfico dell funzione f = e l regione di pino esso sottes nell intervllo ;. Trov per qule vlore del prmetro rele k l rett di equzione = k divide tle regione di pino in due prti equivlenti. In seguito trov il vlore pprossimto ll prim cifr decimle del prmetro rele q per cui l rett di equzione y = q divide l stess regione di pino in due prti equivlenti. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. I metodo. Considero mezzo segmento prbolico, rcchiuso dll sse, l rett = k (che intersec il grfico di f in ( k; k )) e il grfico dell funzione: esso h re A = 3 ( k ) k. Considero mezzo segmento prbolico, rcchiuso dll sse, l rett = (che intersec il grfico di f in ; 3 ) e il grfico dell funzione: esso h re A + A 2 = 9. L prim re dev essere l metà dell second ( A = A 2 ), ovvero 3 ( k ) k = 9 2 2( k ) k = 27 4( k ) 3 3 = 729 k = k! 6,7. II metodo. Bst risolvere l equzione A = A 2 d = d k ( ) k! 6,7. ( )3 2 k == 2 3 ( k ) 3 2 = 27 ( k ) 3 2 ( k ) 3 2 = 27 2 k = k k 9 di 5

10 Per il secondo punto, si Q( q 2 +; q) il punto di intersezione dell rett y = q con il grfico dell funzione. P V A D B C È richiesto che A VDA + A ABCD = A ABP, dove A ABP = A ADCP A ABCD. Quindi q 2 + d + q 2 ( ( +) )q = d ( ( q 2 +) )q, d cui ricvo che: q 2 + q 2 + d q 2 q = d 2 q ( ) ( 9 q 2 )q = 2 3 ( )3 2 q 2 + q 3 + 3( 9 q 2 )q = 27 q 3 q 3 27q+ 27 = ; per risolvere l equzione pplico il Teorem di esistenz degli zeri ll funzione continu f ( q)= q 3 27q+ 27 in ; 2 : poiché f f ( 2)= ( 9)<, l funzione mmette uno zero ll interno di tle intervllo. Poiché f (,)<, tle zero si trov in ;,. Ciò signific che il vlore pprossimto ll prim cifr decimle di q cercto è,. q Consider le due funzioni f = 3 + b 2 e g= 2 + b, dove,b!,. Determin i possibili vlori del prmetro b, eventulmente in funzione del prmetro, ffinché i grfici di f e di g sino tngenti fr loro in un punto. Rppresent un situzione scelt tr le soluzioni trovte. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. Si T h; k il punto di tngenz dei due grfici, h,k!. Allor i grfici di f e di g srnno = k = g( h) e f ( h)= g ( h). tngenti ll stess rett t nello stesso punto T, ovvero f h Quindi: h 3 + bh 2 = k ( h 2 + bh)h = k kh = k k( h )= h 2 + bh = k h 2 + bh = k h 2 + bh = k h 2 + bh = k 3h 2 + 2bh = 2h+ b 3h 2 + 2bh = 2h+ b 3h 2 + 2bh = 2h+ b 3h 2 + 2bh = 2h+ b k = h = k = h = k = k = h 2 + bh = + b = k ( h+ b)h = + b = k h+ b = h = 3h 2 + 2bh = 2h+ b + b = h 2 = 2h+ b + b = h( h )= b = di 5

11 h = k = h = k = h = k =. + b = b = b = Ho due possibilità: e b =, per i quli ottengo T ;, t : y =, f e b =, per i quli ottengo T( ; ), t : y = ( ), f Rppresento l situzione con = : = 3 e g= 2 ; = 3 2 e g= 2. I possibilità II possibilità 3. Determin tipo, crttere ed eventule somm dell serie +. [inventto] n 2 + 3n+ 2 n= Rispost. Poiché n 2 + 3n+ 2 = ( n+) ( n+ 2) = n+, l serie dt è un serie telescopic, n+ 2 + quindi = lim =, ovvero l serie è convergente ed h somm. n 2 + 3n+ 2 n + n+ 2 n= 4. Sino f e g funzioni continue in ; b e derivbili nel suo interno. Verific che l funzione h= ( g( b) g ) f ( f ( b) f ) g ( f g( b) f ( b)g ) soddisf le ipotesi del Teorem di Rolle in ; b. Clcol poi h deve soddisfre c? nel punto c di cui il teorem grntisce l esistenz: qule condizione di 5 [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. L funzione h è continu in ; b e derivbile l suo interno perché somm di funzioni continue in ; b e derivbili l suo interno. h= = h( b). Le ipotesi del Teorem di Rolle sono soddisftte, quindi esiste c ; b tle che h ( c)=.

12 ( ) f Poiché h ( c)= g( b) g f c g c = f ( b) f b g( b) g ( ) ( c) f ( b) f g ( c), posto g ( c), = f b g b f c g c f g ovvero c dev essere tle che il rpporto dell vrizione istntne b di f e di g si ugule l rpporto dell vrizione medi di f e g. Tle risultto è noto come l tesi del Teorem di Cuchy. 5. In un gioco d tvolo occorre lncire due ddi contempornemente e, se su entrmbi compre lo stesso numero, il punteggio rddoppi. Clcol l probbilità che su lnci: i. rddoppi il punteggio esttmente 3 volte; ii. rddoppi il punteggio lmeno tre volte. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. Si trtt di un VA discret X: numero di volte che il punteggio rddoppi che si distribuisce secondo Bernoulli con n = e p = 6 : P( X = )= i. P( X = 3)= = 4 58! 5,55%; ii. P( X 3)= P( X < 3)= ( P( X = )+ P( X = )+ P( X = 2) )= = ! 22,477%. 6. Consider un oggetto tridimensionle l cui bse è un semicerchio di dimetro 28 cm. Se ogni sezione trsversle dell oggetto ottenut intersecndo l oggetto con un pino ortogonle l suo dimetro è su volt un semicerchio, qul è il volume dell oggetto? [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. Considero l equzione di un circonferenz di rggio 4 cm centrt nell origine: 2 + y 2 = 4 2. D quest trovo l espressione nlitic dell funzione il cui grfico è rppresentto d un semicirconferenz, d esempio f = (semicirconferenz superiore. Le sezioni ortogonli ll sse sono dei semicerchi di dimetro f queste sezioni, con spessore infinitesimo d, h volume π ( f 2 ) Ognun di d = π 8 f 2 d. Quindi il volume dell oggetto è V = π f 2 d 8 V = π 4 4 V = π 4 ( )d 4 V = π V = π cm3 V! 437 cm 3. 4 f 2 d 2 di 5

13 7. Consider le rette = r : + y = y = λ, λ!, ed s :. z = z = λ 2 i. Verific che le rette r ed s sono sghembe; ii. Determin, se esiste, un equzione prmetric dell rett t pssnte per P 2; ; e incidente r ed s. [inventto] Rispost. i. Per verificre che sono sghembe bst verificre che non sino complnri, ovvero né prllele né incidenti. = µ Verifico che non sono prllele: scrivo un equzione prmetric di s: y = µ, z = + µ µ! ; poiché r! ; ; ed s! ( ; ; ) non sono prlleli, le rette non sono prllele. Verifico che non sono incidenti: un generico punto di r è R( ; λ; λ 2) e vedo per qule vlore del prmetro rele λ è nche un punto di s; m +λ = λ =, ssurdo, quindi le rette non sono incidenti. ( λ 2)= 3 = ii. Un generico punto di s è S µ; µ; + µ e impongo che P, R ed S sino lline- ti, ovvero che rk R P y R y P z R z P S P y S y P z S z P = rk λ λ 2 µ 2 µ µ + =, cioè che tutti i determinnti delle sottomtrici 2 2 sino nulli. Quindi µ ( λ ) ( µ 2)= I λµ 2λ 2µ + 2 = µ ( λ 2) ( µ 2)= II λµ 2λ µ + 5 = ( λ ) ( µ +)+ µ ( λ 2)= III 2λµ +λ 3µ = I λµ 2λ 2µ + 2 = λ = 8 5 II I µ = 3 µ = 3 λ = 8 5. III 2λµ +λ 3µ = µ = 3 λ = 8 5 L rett t quindi pss per i punti P( 2; ; ) ed S( 3; 4; 2), quindi! t ( 5; 3; 2) e = 2 + 5σ t : y = 3σ, σ!. z = 2σ 3 di 5

14 8. Scrivi le equzioni delle superfici sferiche tngenti ll rett nel punto P( ; ; 2) Rispost. Si α 2y = r : y z = 2 pssnti per Q ; ; 2 e di rggio 2 3. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] 2 + ( y β) 2 + ( z γ) 2 = ρ 2 l equzione di un generic superficie sferic di centro e rggio ρ. C α; β; γ Poiché r! ( 2; ; ) è tngente ll superficie sferic in P, dovrà essere che CP!!" r ", ovvero, utilizzndo l condizione di perpendicolrità, 2( α) β 2 γ = 2α+ β + γ =. Poiché le superfici sferiche devono pssre per P ed hnno rggio 2 3, si h che ( α) 2 + β 2 + ( 2 γ) 2 = 2. Poiché le superfici sferiche devono pssre per Q ed hnno rggio 2 3, si h che ( α) 2 + β 2 + ( 2 γ) 2 = 2. Metto le tre condizioni sistem: 2α+ β + γ = I I 2α+ β + γ = II ( α) 2 + β 2 + ( 2 + γ) 2 = 2 II III ( 2 + γ) 2 2 γ III ( α) 2 + β 2 + ( 2 γ) 2 III = 2 α β = 2α β = 2α α = α = 7 5 γ = γ = β = 2 β = 4 5. ( α) 2 + 4α 2 = 8 5α 2 2α 7 = γ = γ = Trovo due superfici sferiche: S : + 2 = 2 + β 2 + ( 2 γ) 2 = ( y 2) 2 + z 2 = 2 e S 2 :( 5 7) 2 + ( 5y +4) 2 + ( 5z) 2 = Discuti il vlore di verità dell seguente ffermzione: tr tutti i prllelepipedi rettngoli di volume unitrio bse qudrt, il cubo è quello che h superficie totle di re mssim. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] Rispost. Considero un prllelepipedo rettngolo di bse qudrt di lto l e ltezz h, di volume unitrio. L superficie totle h re di misur A = 2l 2 + 4lh. Poiché il volume V = l 2 h è unitrio, l 2 h = h = l 2. L superficie totle h quindi re espress dll funzione A( l)= 2l l. Determino come vri l re l vrire di l: A ( l)= 4l 4 l 2 A ( l)= 4( l 3 ) l 2 e A ( l) l, quindi per l = ottengo il minimo vlore dell re. Per l = ottengo h =, ovvero il prllelepipedo rettngolo di bse qudrt con volume unitrio d vere superficie totle di re minim è il cubo. Signific che il vlore di verità dell ffermzione è flso. 4 di 5

15 . Qundo un pll di neve (suppost sferic) si scioglie, il suo rggio diminuisce con un velocità direttmente proporzionle ll superficie dell pll. All inizio l pll h rggio pri 6 cm e dopo 6 minuti il rggio si riduce di 2 cm. Qunto tempo ci vuole, dll inizio dello scioglimento, ffinché l pll dimezzi il suo volume? [inventto] Rispost. Il suo rggio r, espresso in centimetri, diminuisce con un velocità direttmente proporzionle ll superficie S, espress in cm 2, dell pll: r ( t)= k S( t), k! e t espresso in minuti. Inoltre r= 6 cm e r( 6)= 4 cm. È richiesto l istnte di tempo t nel qule V( t )= V 2, dove V indic il volume dell pll, in cm 3. Poiché S t = 4πr 2 t, il quesito richiede di risolvere il seguente problem di Cuchy: r = 4πkr 2 r= 6. r( 6)= 4 Si h che r ( t)= 4πkr 2 ( t) r dr = 4πk dt 2 r = 4πkt + c r( t)=. L condizione inizile mi permette di determinre il prmetro rele c: 4πkt + c r= 6 c = 6 c = 6. L second condizione mi permette di determinre l costnte di proporzionlità: r( 6)= 4 24πk + c Quindi il rggio vri secondo l legge r( t)= t. Or, V( t)= 4 ( 3 πr3 t), quindi V t = π 2 +t ( 2 + t ) 3 = t = ( 2 )2 t! 3 minuti. = 4 k = + 4c 96π 3. V t = V c= 6 k = 288π π ( 2 + t ) = 288π 3 2 NOTE: i. È mmesso l uso del clcoltore elettronico o di tvole numeriche; ii. Punteggio mssimo 5 p.ti. Per l sufficienz è necessrio rggiungere il punteggio di p.ti. 5 di 5