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Agata Sacco
5 anni fa
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1 Pg. 1/5 Sessione ordinri 2018 I043 ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE Indirizzi: LI02, EA02 SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE LI15 - SCIENTIFICO - SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO (Testo vlevole nche per l corrispondenti sperimentzioni qudriennli) Tem di: MATEMATICA Il cndidto risolv uno dei due problemi e rispond 5 quesiti del questionrio. PROBLEMA 1 Devi progrmmre il funzionmento di un mcchin che viene dopert nell produzione industrile di mttonelle per pvimenti. Le mttonelle sono di form qudrt di lto 1 (in un opportun unità di misur) e le fsi di lvoro sono le seguenti: si sceglie un funzione y f ( definit e continu nell intervllo [0,1], che soddisfi le condizioni: ) f ( 0) 1; b) f ( 1) 0; c) 0 f ( 1 per 0 x 1. L mcchin trcci il grfico dell funzione y f ( e i grfici simmetrici di rispetto ll sse y, ll sse x e ll origine O, ottenendo in questo modo un curv chius, pssnte per i punti (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), simmetric rispetto gli ssi crtesini e ll origine, contenut nel qudrto Q di vertici (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). L mcchin costruisce l mttonell colorndo di grigio l interno dell curv chius e lscindo binc l prte restnte del qudrto Q; vengono quindi mostrte sul disply lcune mttonelle ffincte, per dre un ide dell spetto del pvimento. Il mnule d uso riport un esempio del processo relizztivo di un mttonell semplice:

2 Pg. 2/5 Sessione ordinri 2018 L pvimentzione risultnte è riportt di seguito: 1. Con riferimento ll esempio, determin l espressione dell funzione y f ( e l equzione dell curv, così d poter effetture un prov e verificre il funzionmento dell mcchin. Ti viene richiesto di costruire un mttonell con un disegno più elborto che, oltre rispettre le condizioni ), b) e c) descritte in precedenz, bbi f '(0) 0 e l re dell prte colort pri l 55% dell re dell inter mttonell. A tle scopo, prendi in considerzione funzioni polinomili di secondo grdo e di terzo grdo. 2. Dopo ver verificto che non è possibile relizzre qunto richiesto doperndo un funzione polinomile di secondo grdo, determin i coefficienti, b, c, d dell funzione f ( polinomile di terzo grdo che soddisf le condizioni poste. Rppresent infine in un pino crtesino l mttonell risultnte. Vengono proposti un cliente due tipi diversi di disegno, derivnti rispettivmente dlle funzioni n n ( 1 x e bn 1 x n (, considerte per x0,1, con n intero positivo. 3. Verific che l vrire di n tutte queste funzioni rispettno le condizioni ), b) e c). Dette A (n) e B (n) le ree delle prti colorte delle mttonelle ottenute prtire d tli funzioni n e b n, clcol lim A( n) e lim B( n) ed interpret i risultti in termini geometrici. n n Il cliente decide di ordinre mttonelle con il disegno derivto d 2 ( e con quello derivto d b 2(. L vernicitur viene effettut d un brccio meccnico che, dopo ver depositto il colore, torn ll posizione inizile sorvolndo l mttonell lungo l digonle. A cus di un mlfunzionmento, durnte l produzione delle mttonelle si verific con un probbilità del 20% che il brccio meccnico lsci cdere un gocci di colore in un punto cso lungo l digonle, mcchindo così l mttonell ppen prodott. 4. Fornisci un stim motivt del numero di mttonelle che, vendo un mcchi nell prte non colort, risulternno dnneggite l termine del ciclo di produzione.

3 Pg. 3/5 Sessione ordinri 2018 PROBLEMA 2 Considerimo l funzione con k Z. fk : così definit: f k ( x 3 kx 9 1. Detto k il grfico dell funzione, verific che per qulsisi vlore del prmetro k l rett r k, tngente k nel punto di sciss 0 e l rett s k, tngente k nel punto di sciss 1, si incontrno in un punto M di sciss Dopo ver verificto che k 1 è il mssimo intero positivo per cui l ordint del punto M è minore di 10, studi l ndmento dell funzione f 1(, determinndone i punti stzionri e di flesso e trccindone il grfico. 3. Detto T il tringolo delimitto dlle rette r 1, s 1 e dll sse delle scisse, determin l probbilità che, preso cso un punto P( x p, y p ) ll interno di T, questo si trovi l di sopr di 1 (cioè che si bbi y p f 1 ( per tle punto P). 4. Nell figur è evidenzito un punto N 1 e un trtto del grfico 1. L rett normle 1 in N (vle dire l perpendicolre ll rett tngente 1 in quel punto) pss per l origine degli ssi O. Il grfico 1 possiede tre punti con quest proprietà. Dimostr, più in generle, che il grfico di un qulsisi polinomio di grdo n 0 non può possedere più di 2n 1 punti nei quli l rett normle l grfico pss per l origine.

4 Pg. 4/5 Sessione ordinri 2018 QUESTIONARIO 1. Dimostrre che il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore dell metà del volume del cono. 2. Si dispone di due ddi uguli non bilnciti form di tetredro regolre con le fcce numerte d 1 4. Lncindo ciscuno dei due ddi, l probbilità che esc 1 è il doppio dell probbilità che esc 2, che su volt è il doppio dell probbilità che esc 3, che su volt è il doppio dell probbilità che esc 4. Se si lncino i due ddi contempornemente, qul è l probbilità che escno due numeri uguli tr loro? 3. Determinre i vlori di k tli che l rett di equzione y 4x k si tngente ll curv di equzione y x x 5. sen x 3x e 4. Considert l funzione f ( x, determinre, se esistono, i vlori di 5 e cos x lim f (, lim f (, giustificndo degutmente le risposte fornite. x x 5. Con un stcciont lung 2 metri si vuole recintre un superficie vente l form di un rettngolo sormontto d un semicirconferenz, come in figur: Determinre le dimensioni dei lti del rettngolo che consentono di recintre l superficie di re mssim. 6. Determinre l equzione dell superficie sferic S, con centro sull rett r: tngente l pino : 3x y 2z 14 0 nel punto T(-4,0,1). x t y t t R z t 7. Determinre in modo che 1 (3x 2 3) dx si ugule 10.

5 Pg. 5/5 Sessione ordinri In un gioco due gioctori, ogni prtit vint frutt 1 punto e vince chi per primo rggiunge 10 punti. Due gioctori che in ciscun prtit hnno l stess probbilità di vincere si sfidno. Qul è l probbilità che uno dei due gioctori vinc in un numero di prtite minore o ugule 12? 9. Sono dti, nello spzio tridimensionle, i punti A( 3,1,0), B(3, 1,2), C(1,1,2 ). Dopo ver verificto che ABC è un tringolo equiltero e che è contenuto nel pino α di equzione x y z 4 0, stbilire quli sono i punti P tli che ABCP si un tetredro regolre. 10. Determinre quli sono i vlori del prmetro k per cui l funzione soluzione dell equzione differenzile y '' 2y' 3y 0. y( 2e kx2 è Durt mssim dell prov: 6 ore. È consentito l uso di clcoltrici scientifiche e/o grfiche purché non sino dotte di cpcità di clcolo simbolico (O.M. n. 350 Art. 18 comm 8). È consentito l uso del dizionrio bilingue (itlino-lingu del pese di provenienz) per i cndidti di mdrelingu non itlin. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse 3 ore dll detttur del tem.

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