La parità tra i tassi di interesse: una verifica empirica

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA ECONOMIA E FINANZA Tesi di laurea La parià ra i assi di ineresse: una verifica empirica Relaore: CH.MO PROF. GUGLIELMO WEBER Correlaore: DOTT. MASSIMILIANO CAPORIN Laureando: STEFANO MANIERO Maricola: SEF Anno Accademico

2 INDICE Inroduzione...pag 4 La parià copera dei assi di ineresse...pag 5 Analisi dei dai...pag 8 Tes di radice uniaria...pag 2 La coinegrazione...pag 7 Il modello di regressione lineare dinamico...pag 9 Tes di coinegrazione...pag 22 Riparamerizzazione di un modello ADL (,)...pag 24 I modelli GARCH...pag 27 Conclusioni...pag 3 Bibliografia...pag 32 Ringraziameni...pag 33 4

3 INTRODUZIONE L oggeo di ineresse di queso lavoro è la verifica empirica della cosiddea parià copera dei assi di ineresse, relazione che secondo la eoria economica è assicuraa dallo sfruameno di ue le opporunià di arbiraggio nel mercao ed esise, quindi, solo in assenza di conrolli sui flussi di capiali e di alri impedimeni alla mobilià degli sessi. Per le analisi sono sae uilizzae le serie dei assi di ineresse per l area euro e per gli Usa rimesrali e semesrali ed inolre le serie dei assi di cambio (Euro/Dollaro) spo e forward sempre per re e sei mesi. Le serie sono sae rilevae con frequenza giornaliera ed il periodo campionario di riferimeno va dal al Inizialmene sono sai creai i ermini dell equazione di parià e analizzai graficamene. Successivamene abbiamo esao la loro sazionarieà e l evenuale presenza di coinegrazione per poer poi simare il modello che si adaasse meglio alle caraerisiche delle variabili. Il modello con meccanismo a correzione dell errore (MCE) e una riparamerizzazione del modello generale lineare dinamico sono risulai essere i più adai ai nosri scopi. Il primo, che rappresena un caso paricolare della classe dei modelli lineari dinamici (ADL), è sao scelo perché permee di sfruare direamene la relazione di coinegrazione ra le variabili per cogliere l effeo di lungo periodo, permee inolre di spiegare gli aggiusameni che si verificano nel breve periodo e incorpora quindi le proprieà di equilibrio che vogliamo verificare. Il secondo non usa nella sua specificazione la coinegrazione ra le variabili, ma permee di convalidare l esisenza della parià dei assi d ineresse ramie un es di significaivià.. Poiché i residui evidenziano eeroschedasicià, è saa aggiuna nel modello una specificazione GARCH che ha permesso di modellarla. Le variabili, in un passo successivo, si sono rivelae non coinegrae; abbiamo quindi uilizzao la riparamerizzazione di un modello ADL(,), giungendo alla conclusione che la parià copera dei assi di ineresse non è verificaa. 5

4 La parià copera dei assi di ineresse Prima di procedere con le nosre analisi, diamo alcune definizioni e spiegazioni per chiarire l origine della relazione di parià. Nell ambio del mercao dei cambi esisono due ipi di modalià di consegna della valua: la consegna a proni e la consegna a ermine. Lo scambio a proni è la modalià più noa, che prevede la consegna immediaa della valua, dove immediaa significa quaranoo ore. Esise un ordine minimo di circa 2-5 milioni di Euro per effeuare una ransazione, per queso moivo anche grandi socieà non raano direamene sul mercao a proni, a meno che non abbiano bisogno di un grande ammonare di valua. Al fine di assicurare ai propri clieni un servizio rapido, le banche commerciali manengono riserve delle varie value. Daa la endenza dei assi di cambio a muoversi rapidamene, esse sopporano un cero rischio. Queso è il moivo che le spinge a cercare coninuamene forme di coperura. Un modo di proeggersi consise semplicemene nel disfarsi della valua vendendola sul mercao a proni, un alro consise nell operare sul mercao a ermine. I conrai conclusi sul mercao a ermine prevedono che la valua venga consegnaa e pagaa a una daa fuura, ad un prezzo fissao oggi. Definiamo quindi le relazioni di parià: Parià scopera dei assi d ineresse: Se un invesiore pensa di invesire all esero, pone a confrono due opporunià di invesimeno su base annua di pari rischio e liquidià, ad esempio i ioli del esoro del paese dell invesiore e quelli del paese esero. La condizione che permee il confrono è dea condizione di parià scopera dei assi d ineresse ed è espressa come: dove: S S ( + i ) = ( + i ) * + i è il asso d ineresse dei ioli del esoro del paese dell invesiore; * i è il asso d ineresse dei ioli del esoro del paese esero; S + è il asso di cambio incero per cero con cui l invesiore si aspea di converire la monea esera ricavaa alla scadenza (+) dall invesimeno effeuao all esero (al empo ); S è il asso di cambio incero per cero al empo 6

5 Il primo membro dell equazione esprime quano l invesiore si riroverà (al empo +) per ogni unià di monea locale invesia al empo nei ioli del suo paese; il secondo membro è invece il rendimeno aeso dell invesimeno in ioli eseri espresso in monea locale. Un approssimazione spesso usaa è: i * S + S S = i + La condizione di parià scopera afferma quindi che i assi di rendimeno di ioli denominai in value diverse si uguagliano, una vola che vengono prese in considerazione le aspeaive sui assi di cambio. S S In paricolare + rappresena il asso aeso di deprezzameno della monea esera nei S confroni della monea locale. Se l obbligazione emessa dal esoro esero offre un asso inferiore * a quello del iolo locale ( i > i ), deve prevalere una aspeaiva di deprezzameno della monea locale nei confroni di quella esera. Parià copera dei assi di ineresse La sraegia di invesimeno consideraa nella parià scopera dei assi di ineresse compora un rendimeno incero per l invesiore. Il rischio di cambio può essere eliminao semplicemene usando il mercao a ermine. Per ogni unià di monea locale invesia in ioli eseri, in un anno ( * + i ) l invesiore riceverà S unià di monea esera. Egli può allora negoziare la vendia della monea esera a un anno dal momeno di invesimeno, al cambio a ermine F. Il asso di cambio a ermine è fissao al empo per consegna al empo +. ( * + i ) Il rendimeno cero sarà di F S e quindi l invesimeno esero risula oalmene copero. La condizione di parià copera dei assi di ineresse si può quindi esprimere come: + i * ( + i ) = F S Poiché i assi di ineresse usai nel nosro lavoro sono composi coninui, useremo un alra forma della condizione di parià copera: 7

6 dove: e ( ) F i usa i euro m = () iusa e i euro sono rispeivamene, nel nosro caso, il asso d ineresse per USA e quello per l area Euro; m è l unià di misura del empo con cui sono espressi i assi d ineresse rispeo all anno (nel nosro caso m = per i assi rimesrali ed 4 F è il asso di cambio a ermine (forward); S è il asso di cambio a proni (Spo). S m = per i assi semesrali); 2 D ora in avani useremo la seguene noazione per semplificare la leura di queso lavoro: exp(3) e ( i ) usa ieuro 4 exp(6) e F rap(3) S F rap(6) S ( i ) usa ieuro 2 con asso di cambio forward a 3 mesi con asso di cambio forward a 6 mesi 8

7 Analisi dei dai I dai uilizzai per le nosre analisi sono le serie soriche dei segueni assi: asso di ineresse per l area Euro (Euribor) a re e a sei mesi, asso di ineresse per USA (reasury bill) a re e a sei mesi, asso di cambio spo incero per cero (dollari Usa per un Euro), asso di cambio forward incero per cero (dollari Usa per un Euro) a re e a sei mesi. Il campione pare dal (poiché precedenemene nei paesi Europei circolavano le monee locali) e arriva al Riporiamo ora le serie soriche dei assi su cui lavoriamo asso di ineresse euro a 3 mesi asso di ineresse euro a 6 mesi asso di ineresse Usa a 3 mesi asso di ineresse Usa a 6 mesi 9

8 asso di cambio spo asso di cambio forward a 3 mesi asso di cambio forward a 6 mesi Figura : serie soriche dei assi di ineresse e di cambio Da una prima analisi grafica si può osservare come i re assi di cambio si muovono praicamene insieme; i assi d ineresse presenano più differenze anche se di piccola enià. Quesi fai si possono osservare in modo migliore cosruendo un grafico con le serie soriche da paragonare: 0

9 forward_3 forward_6 spo Figura 2: grafico delle serie soriche dei assi di cambio in_euro_3 in_usa_3 in_euro_6 in_usa_ Figura 3: grafico delle serie soriche dei assi di ineresse Nella figura 2 possiamo noare che i re assi di cambio seguono un andameno molo simile. Nella figura 3, invece, si noa come ra i assi d ineresse dell area euro e dell area Usa con la sessa scadenza, ci sia un evidene scosameno.

10 Infai nel mercao esisono minime opporunià di arbiraggio, cioè di conseguire un profio araverso il simulaneo acquiso e vendia di aivià ideniche o equivaleni. La conseguenza di queso fao è che i ioli con rischio simile raai sui mercai inernazionali dovrebbero offrire lo sesso rendimeno, cosa non vera (come dimosra la figura ) perché non sono solo i assi di ineresse nominale ad influenzare le decisioni di sposare fondi ra una valua e l alra, ma quando i ioli sono denominai in monee diverse, anche i assi di cambio enrano in gioco. Successivamene, dopo aver omogeneizzao ue le serie sulla sessa scala emporale, abbiamo creao i ermini (per i 3 e per i 6 mesi) dell equazione di parià (). Di seguio ne riporiamo i grafici: exp(3) rap(3) Figura 4: grafico dei ermini dell equazione di parià (assi a 3 mesi) 2

11 exp(6) rap(6) Figura 5: grafico dei ermini dell equazione di parià (assi a 6 mesi) Come si noa facilmene, gli andameni dei ermini sono simili, il che ci fa supporre l esisenza di una relazione ra i due. Tes di radice uniaria Il primo passo della nosra analisi è sao quello di condurre un es per verificare la sazionarieà dei ermini dell equazione cosruii in precedenza. Un processo sazionario è caraerizzao da una media marginale cosane. L assenza di una media cosane, così come un elevaa memoria messa in evidenza dalla funzione di auocorrelazione, sono indici di non sazionarieà. La presenza di una componene non sazionaria in una serie sorica compora diversi problemi; infai, condurre un analisi empirica basaa su serie di dai non sazionari compora il rischio di oenere delle regressioni spurie, cioè dei modelli che evidenziano delle relazioni ra variabili economiche che, in effei, non sussisono. Un processo socasico ( ) y si dice inegrao di ordine d, y ~ ( ) I d, se la sua differenza d-esima, d d y = L y, è sazionaria con varianza di lungo periodo finia e maggiore di zero. Un processo si dice inegrao di ordine 0, I ( 0), se esso è sazionario con varianza di lungo periodo finia e maggiore di zero. 3

12 I es di ipo Dickey-Fuller, suppongono che la dinamica di modello auoregressivo del primo ordine. y sia rappresenabile da un semplice Nel nosro caso usiamo il es ADF (Augmened Dickey Fuller), dove si suppone che la componene socasica della serie sia generaa da un processo auoregressivo di ordine p>. Si può quindi scrivere: e in noazione più compaa: y α y α y α ε = p p + α * ( L) = ( L) α ( L) * * con α ( L) polinomiale di ordine p- che ha ue le radici di ( L) uno. α = 0 in modulo maggiori di Il modello per y divena quindi con j=,,(p-). p * = + j j + j= (2) y α y α y ε Se α ( L) =0 ha una radice uniaria, allora nell equazione (2) α =. Se invece α ( L) maggiori di uno in modulo, allora α <. =0 ha soluzioni I es ADF consenono di verificare se nell equazione (2), simaa con il meodo dei minimi quadrai ordinari, α risula significaivamene diverso da uno. Il sisema d ipoesi è dao da: H : α = 0 conro H : α Essi raano il problema dell auocorrelazione degli errori aggiungendo nel modello della dinamica con l inroduzione dei ermini riardai y j in modo da pulire gli errori. Un elemeno cruciale di queso approccio è la scela del numero di riardi p da inrodurre nel modello. Occorre quindi presare mola aenzione alla scela del numero di riardi su y j * di Akaike e il es di significaivià sugli α j., uilizzando a al fine il crierio 4

13 Riporiamo ora i risulai dei es di radice uniaria: Null Hypohesis: PRIMO_TERM_3 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 6 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella : es sul ermine exp(3) Null Hypohesis: PRIMO_TERM_6 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 2: es sul ermine exp(6) Null Hypohesis: SEC_TERM_3 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella3: es sul ermine rap(3) Null Hypohesis: SEC_TERM_6 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 4: es sul ermine rap(6) Come si osserva araverso la saisica e il relaivo P-value, ui i es denoano la naura non sazionaria dei nosri ermini. Queso risulao si oiene anche analizzando le funzioni di auocorrelazione, di seguio presenae solo per exp(3) e rap(3), che evidenziano una fore memoria. 5

14 .05 auocorrelazione exp(3) lag Figura 6: auocorrelazione di exp(3).05 auocorrelazione rap(3) lag Figura 7: auocorrelazione di rap(3) 6

15 Riporiamo ora i risulai dei es di radice uniaria sulle differenze prime dei ermini: Null Hypohesis: D(PRIMO_TERM_3) has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 2 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 5: es sulla differenza prima di exp(3) Null Hypohesis: D(PRIMO_TERM_6) has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 6: es sulla differenza prima di exp(6) Null Hypohesis: D(SEC_TERM_3) has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 7: es sulla differenza prima di rap(3) Null Hypohesis: D(SEC_TERM_6) has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 8: es sulla differenza prima di rap(6) Si noa, come ci si aspeava, che dopo la differenziazione ue le variabili hanno perso la radice uniaria e sono quindi sazionarie. 7

16 La coinegrazione Tra due o più processi non sazionari possono esisere delle combinazioni lineari che risulano essere sazionarie e che possono essere inerpreae come delle relazioni di lungo periodo. Queso fenomeno è deo della coinegrazione. Sia x un veore di n serie soriche. Le componeni di x si dicono coinegrae di ordine (d,b), ( ) x ~ CI d, b, d b, se: i) ue le componeni di x hanno lo sesso ordine di inegrazione, x I ( d ) ii) esise un veore β diverso da zero ale che ξ β ' x inferiore, cioè ~ ( ) coinegrazione. ; = ha un ordine d inegrazione ξ I d b, con d b > 0. Il veore β è deo veore di Per avere coinegrazione, dunque, occorre che: ue le componeni del veore x abbiano lo sesso grado di inegrazione d; cioè ue le serie considerae divenano sazionarie dopo che sono sae filrae mediane l operaore ( L) d ; il grado di inegrazione della combinazione lineare oenua con il veore β risuli minore di quello delle componeni di x. Per quano riguarda la combinazione lineare delle variabili, si ha che: dove y e ξ = y β x x sono rispeivamene la variabile dipendene e indipendene del nosro modello. Si β ξ ricava y = x +, equazione che rappresena la cosiddea regressione di coinegrazione. Essa rappresena la relazione sruurale che lega ra loro le due variabili y e x, e può essere pensaa come la rappresenazione socasica della relazione di lungo periodo che le collega ra loro, vale a β dire y = x. Il ermine d errore ξ rappresena le deviazioni dall equilibrio, = y x, deviazioni che per la presenza di coinegrazione sono sazionarie. ξ β 8

17 Per verificare la presenza di coinegrazione ra i nosri ermini applichiamo il es di Johansen: Series: EXP_PRIMOTERM_3 SEC_TERM_3 Lags inerval (in firs differences): o Unresriced Coinegraion Rank Tes Hypohesized Trace 5 Percen Percen No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Criical Value None * A mos 9.43E *(**) denoes rejecion of he hypohesis a he 5%(%) level Trace es indicaes coinegraing equaion(s) a he 5% level Trace es indicaes no coinegraion a he % level Hypohesized Max-Eigen 5 Percen Percen No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Criical Value None * A mos 9.43E *(**) denoes rejecion of he hypohesis a he 5%(%) level Max-eigenvalue es indicaes coinegraing equaion(s) a he 5% level Max-eigenvalue es indicaes no coinegraion a he % level Tabella 9: es di Johansen sui ermini dell equazione a 3 mesi (exp(3) e rap(3)) Queso es ci indica che fra i ermini dell equazione a 3 mesi c è presenza di coinegrazione al livello 5%, ma non al livello %. Series: EXP_PRIMOTERM_6 SEC_TERM_6 Lags inerval (in firs differences): o Unresriced Coinegraion Rank Tes Hypohesized Trace 5 Percen Percen No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Criical Value None ** A mos 9.02E *(**) denoes rejecion of he hypohesis a he 5%(%) level Trace es indicaes coinegraing equaion(s) a boh 5% and % levels Hypohesized Max-Eigen 5 Percen Percen No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Criical Value None ** A mos 9.02E *(**) denoes rejecion of he hypohesis a he 5%(%) level Max-eigenvalue es indicaes coinegraing equaion(s) a boh 5% and % levels Tabella 0: es di Johansen sui ermini dell equazione a 6 mesi (exp(3) e rap(6)) Queso es indica che fra i ermini dell equazione a 6 mesi c è presenza di coinegrazione al livello 5% e al livello %. In ognuno dei due casi (assi a 3 e assi a 6 mesi) si è quindi in presenza di variabili coinegrae. Queso risulao verrà uilizzao per lo sviluppo del modello MCE per le nosre analisi, poiché esso iene in considerazione la coinegrazione ra le variabili. 9

18 Il modello di regressione lineare dinamico La complessià di un sisema economico e la naura paricolare dell aivià economica sono ali da far rienere che il processo che genera le osservazioni sulle serie emporali economiche sia un processo socasico dinamico, cioè un processo in cui il presene è influenzao, almeno in pare, dal passao. Un modello dinamico apparenene alla classe di modelli ADL (auoregressive disribued lags) di ordine (m,n), descrive in maniera più adeguaa i fenomeni analizzai quando quesi sono rappresenai da serie soriche. Un modello dinamico è caraerizzao dal fao che la variabile dipendene è funzione di un insieme di variabili esplicaive osservae in periodi diversi del empo, producendo relazioni non solo isananee ra variabili, ma anche differie nel empo. Il modello generale ADL(,) è : y = αy + β0x + βx + ε, da cui deriva (riscrivendolo in ermini di variazioni delle variabili y e x e in una nuova variabile che rappresena il cosiddeo disequilibrio (y-cx) riferio al periodo precedene) il modello usao per la nosra analisi, che permee anche di enere in considerazione la presenza di coinegrazione ra le variabili, chiamao modello con meccanismo a correzione dell errore (MCE): ( )( ) y = β x + α y cx + ε 0 In queso modello la variazione nella variabile dipendene viene spiegaa dalla variazione nella variabile esplicaiva e dallo scosameno, realizzaosi nel perido precedene, ra y ed il suo valore di equilibrio saico cx. La velocià con cui viene raggiuno queso valore di equilibrio saico è misuraa dal coefficiene ( α ) che è negaivo daa la condizione di sabilià α <. La formulazione permee di disinguere la componene di lungo periodo da quella di breve periodo, caurando la dinamica del sisema e, allo sesso empo, incorporando le proprieà di equilibrio suggerie dalla eoria economica. Nel modello l aggiusameno alle variazioni della x avviene in modo proporzionale ed è dao da β0 x. Tale componene viene anche denominaa risposa d impao, proprio per soolineare il fao che essa coglie la reazione di breve periodo del modello. La variabile ( y cx ), denominaa anche risposa differenziale esprime le deviazioni dall equilibrio saico, misurando l errore commesso dagli ageni nel periodo precedene. Alla luce 20

19 di ale disequilibrio, gli ageni correggono o rivedono le loro decisioni su y apporando l opporuna variazione. Soo la condizione di sabilià α < la componene MCE gioca un ruolo sabilizzaore imporane. Se, ad esempio, a causa di shock o perurbazioni si viene a creare un disequilibrio posiivo, nel senso che la variabile y è maggiore del suo valore di equilibrio, essendo ( α ) < 0, si ha un decremeno della crescia di y nel breve periodo, decremeno che conribuisce a riporare ques ulima nella sua posizione di equilibrio. Un comporameno opposo si ha nel caso di un disequilibrio negaivo, che, combinandosi con il coefficiene negaivo provoca una variazione posiiva su y, riporando il sisema verso l equilibrio. Il procedimeno che vogliamo seguire è il seguene: Inizialmene simiamo l equazione y = β x + ε dove β è il coefficiene di lungo periodo che indica se la parià ra i assi di ineresse è verificaa. Da ale equazione oeniamo la serie degli errori simai espressa da La sima successiva è rappresenaa da: $ ε = y x β $ 0 x 2 y = β + β + β ε + η Riporiamo ora l oupu delle sime relaive al primo puno: Dependen Variable: EXP_PRIMOTERM_3 Mehod: Leas Squares Dae: 05/27/05 Time: 4:39 Sample: 565 Included observaions: 565 EXP_PRIMOTERM_3=C()*SEC_TERM_3 Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. β E R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Tabella : sima del modello y = β x + ε con assi a 3 mesi 2

20 Residual Acual Fied Figura 8: serie dei valori reali,fiai e residui del modello sopra simao con assi a 3 mesi Dependen Variable: EXP_PRIMOTERM_6 Mehod: Leas Squares Dae: 05/27/05 Time: 4:39 Sample: 565 Included observaions: 565 EXP_PRIMOTERM_6=C()*SEC_TERM_6 Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. β E R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Tabella 2: sima del modello y = β x + ε con assi a 6 mesi 22

21 Residual Acual Fied Figura 9: serie dei valori reali,fiai e residui del modello sopra simao con assi a 6 mesi Delle due semplici regressioni appena effeuae si osserva come i due coefficieni simai siano pienamene significaivi e con valori molo prossimi a. I residui escono dalle bande di confidenza principalmene nelle prime 500 osservazioni in corrispondenza del periodo campionario Gennaio 999 Gennaio 200. Tes di coinegrazione Sin qui si è ipoizzaa l esisenza di una relazione di coinegrazione ra le variabili considerae. Dopo la sima effeuaa è ineressane verificare mediane opporuni es saisici la validià di ale ipoesi. Engle e Granger (987) hanno proposo di verificare l ipoesi di presenza di coinegrazione verificando se gli errori della relazione di coinegrazione (relazione che per quano ci riguarda è rappresenaa dal modello appena simao) presenano una radice uniaria nel loro processo generaore. L errore della relazione lineare ra le nosre variabili, che sono ue e due inegrae di ordine, è dao da: ξ = y β x 23

22 Se le variabili y e x sono ra loro coinegrae, l errore ξ è sazionario e l applicazione di un es di radice uniaria del ipo ADF dovrebbe porare al rifiuo dell ipoesi nulla. Poiché gli errori di coinegrazione non sono osservabili, essi devono essere sosiuii dalle loro sime, cosiuie dai residui dei minimi quadrai ordinari. Il es di radice uniaria va quindi applicao ai residui definii come $ ξ = y β x La saisica che andiamo a cosruire per queso es ha però una disribuzione asinoica diversa da quella di un normale es ADF. Il moivo di quesa differenza sa nel fao che qui il es di radice uniaria è applicao a una serie calcolaa, i residui, e non a una serie direamene osservaa. Riporiamo ora i es ADF effeuai sui residui dell equazione a 3 e a 6 mesi, ricordando di non considerare esai i valori criici e i p-value riporai perché non derivani dalla correa disribuzione asinoica: Null Hypohesis: RESID_REG_EXP3 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 2 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 3: es di radice uniaria sui residui del modello y = β x + ε con assi a 3 mesi Null Hypohesis: RESIDUI_REG_EXP6 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 3 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=23) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Tabella 4: es di radice uniaria sui residui del modello y = β x + ε con assi a 6 mesi Considerando che il valore criico al livello 5% della disribuzione asinoica da considerare è -2.76, in ui e due i es si accea l ipoesi nulla di presenza di radice uniaria nei residui, di conseguenza l ipoesi iniziale di coinegrazione ra le variabili viene messa in dubbio da queso risulao. Il modello MCE, che usa la coinegrazione ra le variabili nella sua specificazione non è perano il migliore per i nosri scopi. Uilizzeremo quindi una riparamerizzazione del modello generale di regressione lineare dinamico ADL(,). 24

23 Riparamerizzazione di un modello ADL(,) La relazione di parià di cui vogliamo accerare la veridicià equivale ad affermare che l elasicià di lungo periodo è uniaria. Dal puno di visa empirico, ale affermazione corrisponde al vincolo lineare β0 + β + α = in un modello ADL(,) così specificao: y = α y + β x + β x + ε 0 Un modo per sooporre a verifica ale resrizione consise nel riparamerizzare il modello generale ADL(,), in modo che nella nuova formulazione appaia espliciamene un coefficiene, che incorpori le deviazioni dalla resrizione. L ADL(,), con l aggiuna di una cosane, divena quindi: ( ) y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε Sooponendo a verifica l ipoesi H0 : γ 3 = 0 conro H : γ 3 0 con un semplice es di significaivià, si verifica l ipoesi di elasicià di lungo periodo uniaria. Riporiamo quindi le sime di queso modello: Dependen Variable: D(EXP_PRIMOTERM_3) Mehod: Leas Squares Dae: 06/2/05 Time: 5:53 Sample(adjused): Included observaions: 564 afer adjusing endpoins D(EXP_PRIMOTERM_3)=C()+C(2)*D(SEC_TERM_3)+C(3) *(EXP_PRIMOTERM_3(-)-SEC_TERM_3(-))+C(4) *SEC_TERM_3(-) Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. γ γ γ γ R-squared Mean dependen var -9.03E-07 Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 2.04E-05 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 3 mesi Tabella 5: sima del modello ( )

24 Residual Acual Fied Figura 0: serie dei valori reali,fiai e residui del modello sopra simao Dependen Variable: D(EXP_PRIMOTERM_6) Mehod: Leas Squares Dae: 06/2/05 Time: 6:24 Sample(adjused): Included observaions: 564 afer adjusing endpoins D(EXP_PRIMOTERM_6)=C()+C(2)*D(SEC_TERM_6)+C(3) *(EXP_PRIMOTERM_6(-)-SEC_TERM_6(-))+C(4) *SEC_TERM_6(-) Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. γ γ γ γ R-squared Mean dependen var -9.42E-07 Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 5.80E-05 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 6 mesi Tabella 6: sima del modello ( )

25 Residual Acual Fied Figura : serie dei valori reali,fiai e residui del modello MCE sopra simao Dalle sime, la prima cosa da dire è che il es di significaivià sul coefficiene γ 3 rifiua in ognuno dei due casi (equazioni a 3 e a 6 mesi) l ipoesi di uguaglianza a zero. Non esise perciò un elasicià di lungo periodo pari a. Si osserva poi dai grafici come il modello spiega sufficienemene bene le serie dei dai reali e come esisano nei residui dei cluser di volailià. Per avere una sima direa del coefficiene di elasicià possiamo applicare ai nosri dai un modello MCE come ( ) y = β + β x + β y β x + ε Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. β β β β Tabella 6: sima del modello y x ( y x ) = β + β + β β + ε con assi a 3 mesi

26 Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. β β β β Tabella 6: sima del modello y x ( y x ) = β + β + β β + ε con assi a 6 mesi Come ci aspeavamo il coefficiene di elasicià ( β 3 ) non è uguale ad (circa 0.83) in ognuna delle due sime. I modelli GARCH Fino a queso puno abbiamo fao analisi che si basavano sullo sudio delle dinamiche nelle medie, ma è imporane considerare anche la dinamica in varianza. Abbiamo quindi inrodoo nel nosro modello la specificazione del modello GARCH (,), che viene così espressa: y = σ ε σ = α + α y + β σ ε e con i segueni vincoli: α 0 > 0, α 0, β 0 e α + β < con ~ iid ( 0,) L ulimo vincolo in paricolare serve affinché la y sia sazionaria. Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. γ γ γ γ Variance Equaion α 4.6E E α β Tabella 7: sima del modello ( ) y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 3 mesi e specificazione GARCH (,) y = σ ε e σ = α + α y + β σ 0 28

27 Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. γ γ γ γ Variance Equaion α 7.88E-09.47E α β y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 6 mesi e Tabella 8: sima del modello ( ) specificazione GARCH (,): y = σ ε e σ = α + α y + β σ 0 Preseniamo ora i grafici delle volailià simae: 3.50E E-07 volailià exp(3) 2.50E E-07.50E-07.00E E E Figura 3: volailià di exp(3) 29

28 5.00E E E-07 volailià exp(6) 3.50E E E E-07.50E-07.00E E E Figura 5: volailià di exp(6) Si noano diversi picchi di volailià in diversi momeni, ma in special modo nella prima meà del periodo campionario. Risimiamo allora i nosri modelli uilizzando un campione più risreo di dai, con lo scopo di capire se la volailià ha effei negaivi sul correo calcolo dei coefficieni: Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. γ γ γ γ Variance Equaion α.6e-09.80e α β Tabella 9: sima del modello ( ) y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 3 mesi, specificazione GARCH(,): y = σ ε e σ = α0 + αy + βσ e periodo campionario che pare dal e arriva al

29 Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. γ γ γ γ Variance Equaion α 5.09E-09.27E α β Tabella 20: sima del modello ( ) y = γ + γ x + γ y x + γ x + ε con assi a 6 mesi, specificazione GARCH(,): y = σ ε e σ = α0 + αy + βσ e con periodo campionario che pare dal e arriva al I coefficieni variano di poco da quelli del modello con periodo campionario oale, in paricolare il coefficieneγ 4, in ognuna delle due analisi, risula significaivamene diverso da zero. La parià copera dei assi di ineresse coninua quindi a non essere verificaa. 3

30 Conclusioni In queso lavoro abbiamo effeuao diverse analisi e es sulle nosre variabili cosiuie dai ermini dell equazione di parià. Per capire con che ipo di dai si lavorava e che ipo di modello si dovesse usare abbiamo innanziuo elaborao dei es di radice uniaria e es di Johansen che valuano il grado di inegrazione e di coinegrazione delle variabili in esame. E sao quindi simao un primo modello molo semplice che sarebbe servio a calcolare la relazione di lungo periodo da inserire poi in un modello MCE. Dopo aver esao i residui di quesa sima siamo arrivai alla conclusione che l ipoesi iniziale in cui si pensava che le variabili usae in queso lavoro fossero coinegrae era falsa, siamo perciò ornai sui nosri passi per cercare un modello adao a verificare la parià dei assi d ineresse. Queso è sao rovao in una riparamerizzazione del modello lineare dinamico generale (ADL), che offre ramie un semplice es di significaivià su uno dei coefficieni la possibilià di convalidare l ipoesi della eoria economica. Successivamene abbiamo aggiuno la specificazione dei modelli GARCH, così da considerare la presenza di eeroschedasicià all inerno delle variabili e, uilizzando un periodo campionario risreo, abbiamo risimao il modello per cogliere evenuali differenze dovue alla volailià. Dalle nosre analisi si comprende come la condizione di parià copera dei assi di ineresse non sia verificaa, anche se bisogna menzionare che le sime sono sae effeuae su di un periodo campionario lungo (più di 5 anni), che include al suo inerno eveni imporani come la cadua delle orri gemelle ( ), la guerra in Afghanisan, la guerra in Iraq, che possono avere condizionao foremene i risulai di queso lavoro. Un proseguimeno di quesa analisi porebbe consisere nel esare la presenza di cambiameni sruurali del modello araverso il es di Chow, verifica che lascio a ricerche fuure. 32

31 Bibliografia Bollerslev, T. (986), Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics 3, Burda Michael e Wyplosz Charles, Macroeconomia, Il Mulino. Cappuccio Nunzio e Orsi Renzo (2005), Economeria, Il Mulino-Srumeni. Davidson, J. E. H., D. F. Hendry, F. Srba e S. Yeo (978), Economeric modelling of he aggregae ime-series relaionship beween consumers, Economic Journal 88, Dickey, D. A. e W. A. Fuller (979), Disribuion of he esimaors for auoregressive ime series wih a uni roo, Journal of he American Saisical Associaion 74, Engle, R. F. e C. W. J. Granger (987), Co-inegraion and error correcion: Represenaion, esimaion and esing, Economerica 55, Granger, C. W. J. e P. Newbold (974), Spurious regressions in economerics, Journal of Economerics 2, -20. Hendry, D. F., A. R. Pagan e J. D. Sargan (984), Dynamic specificaion, in Z. Griliches e M. Inriligaor, a cura di, Handbook of Economerics, Vol. 2, Norh Holland, Amserdam, charer 8. Hendry, D. F. (995), Dynamic Economerics, Oxford Universiy Press, Oxford. Phillips, P. C. B. (987), Time series regression wih a uni roo, Economerica 55, Phillips, P. C. B. e P. Perron (988), Tesing for a uni roo in ime series regression, Biomerika 75, Phillips, P. C. B. (99), Opimal inference in coinegraed sysems, Economerica 59, Richard T. Baillie e Parick C. McMalon, The foreign exchange marke. 33

32 Ringraziameni Vorrei innanziuo ringraziare il professor Guglielmo Weber e il door Massimiliano Caporin, rispeivamene mio relaore e correlaore, che mi hanno seguio con mola pazienza nelle varie fasi del lavoro e che mi hanno permesso di effeuare lo sage presso GRETA. Ringrazio la mia famiglia che mi è saa vicina, mi ha sopporao, spronao e manenuo per ui quesi anni. Ringrazio i miei compagni di facolà, con cui ho passao momeni bellissimi, ra cui noi alcoliche e noi di sudio pazzo e disperaissimo. Ringrazio i miei amici perché senza di loro non avrei avuo la carica per finire quesi re anni di universià, in paricolare Angela, Manza, Yargo, Benry, Paride, Miki, Nicola. Ringrazio in special modo la mia ragazza Giulia che mi ha sosenuo e aiuao durane quesi mesi di sage e di esi, rendendomeli più leggeri. 34