UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA Facolà di Scienze Saisiche Corso di Laurea Specialisica in Scienze Saisiche Economiche Finanziarie e Aziendali Il Realized Range: proprieà dinamiche e previsione della volailià di serie soriche finanziarie Relaore : Prof. Massimiliano Caporin Laureando : Alessandro Milia Anno Accademico 2009/200

2 2 Indice Inroduzione 3 Analisi della volailià 5. Modelli Garch 5.2 Dai ad ala frequenza e realized variance 8.3 Microsruura dei mercai e disorsioni 2.4 Realized Range e sue correzioni 3 2 Base dai 6 2. Analisi descriive e frequenza di campionameno Analisi della disorsione degli simaori Efficienza degli simaori Componeni Principali 2 3 Modellare la realized volailià Modelli ARFIMA Modelli HAR Memoria lunga e eeroschedasicià Sima dei modelli HAR-GARCH Variabili dummy e jump Variabili esogene Disribuzione -Suden e GED Modellare la realized volailià in periodi di elevaa volailià 33 4 Previsioni 36 Conclusione 4 Apendice 43 Bibliografia 6

3 3 Inroduzione La sima della volailià dei prezzi azionari è una componene fondamenale in moleplici aree della finanza. Malgrado le evidenze empiriche sabiliscano che la volailià sia variabile nel empo e abbia caraerisiche di persisenza, fino a non roppo empo fa gli sudi accademici si basavano su modelli che consideravano la volailià cosane nel empo (Black and Scholes, 973). La scopera dei modelli ARCH (Engle, 982) offrì un modello paramerico compaibile con le evidenze empiriche di variabilià nel empo e di persisenza della volailià. Negli ulimi quindici anni ha preso sempre maggior peso un filone alernaivo che propone di raare la volailià con meodi non-paramerici basai sui dai ad ala frequenza. L idea più rilevane per analizzare la volailià con dai ad ala frequenza è quella del realized variance sviluppaa in paricolare da Andersen e al. (200b) o Barndorff-Nielsen and Shephard (2002). La realized variance è la sommaoria del quadrao dei rendimeni inragiornalieri. In eoria, la realized variance è uno simaore non disoro e alamene efficiene, e converge al vero valore della inegraed variance quando la lunghezza degli inervalli inragiornalieri osservai si avvicina allo zero. Nella praica però la consisenza della realized variance viene meno nel momeno in cui aumena la frequenza dei dai. Infai gli effei dovui alla microsruura dei mercai conaminano i prezzi degli asse regisrai ad ala frequenza; queso fenomeno invalida la eoria asinoica e rende inconsisene lo simaore. Tali fenomeni disorsivi implicano delle limiazioni nella scela della frequenza dei dai. Delle scele popolari nelle applicazioni empiriche sono inervalli di 5 e 30 minui, che dovrebbero inerpreare un bilanciameno ra l incremeno della precisione dovuo a frequenze più ale, e gli effei delle frizioni dovue alla microsruura dei mercai (Andersen-Bollerslev 998; Andersen 200a, 2003; Fleming 2003). Un modo alernaivo di misurare la volailià è basao sulla differenza ra il prezzo massimo e il minimo, osservao in un cero periodo (high-low range). Parkinson (980) dimosra che il log high-low range giornaliero, opporunamene scalao, è uno simaore non disoro della volailià giornaliera ed è cinque vole più efficiene del quadrao dei rendimeni giornalieri. Inolre il realized range risula non disoro anche se la media del moo generaore dei prezzi risula diversa da zero. Come nel caso del realized variance,

4 4 la consisenza del realized range viene meno nel momeno in cui aumena la frequenza dei dai, a causa degli effei dovui alla microsruura dei mercai. Il mio lavoro si aricola in re pari fondamenali: nella prima sudieremo, con analisi descriive e grafiche, l efficienza e la correezza dei due simaori realized variance e realized range; valueremo alresì delle correzioni al realized range, propose in leeraura, per migliorare l efficienza dello simaore e per ovviare al problema delle disorsioni dovue alla microsruura dei mercai. Nella seconda pare del lavoro ci concenreremo sul realized range e in paricolare sulla modellazione della serie sorica giornaliera dello simaore. Incenreremo la nosra aenzione sulla classe di modelli HAR heerogeneous auoregressive, suggeria da Corsi nel 2004, che dovrebbero essere capaci di riprodurre la memoria lunga e il decadimeno iperbolico della funzione di auocorrelazione della serie sorica del realized range. Ci serviremo della specificazione GARCH per la modellazione del momeno secondo della serie; inseriremo inolre nell equazione della media del processo e, in seguio, nell equazione della varianza alcune variabili esplicaive esogene, e ci aendiamo che la volailià del iolo non dipenda esclusivamene dal suo passao, ma dipenda in modo significaivo anche dall andameno del mercao. Nell ulima sezione della esi ci porremmo il problema della previsione della volailià. Servendoci di opporuni es saisici e indicaori, valueremo le capacià previsive dei diversi modelli proposi nel capiolo precedene e sceglieremo la specificazione che garanisce le migliori previsioni.

5 5 Analisi della volailià Misurare e prevedere la volailià dei rendimeni degli asse finanziari è imporane per la gesione del porafoglio, la gesione del rischio e il prezzaggio delle opzioni. Al conceo di volailià si fa corrispondere una misura saisica di variabilià: quella più immediaa è lo scaro quadraico medio dei rendimeni su un periodo sorico. Tuavia l osservazione che la variabilià dei rendimeni non sia cosane nel empo è saa più vole risconraa in ambio finanziario. Per inerpreare ale fenomeno Mandelbro(963) usa delle varianze ricorsive, menre Klein(977) lavora sui prezzi degli aivi, calcolandone dei rend locali simai come medie mobili a dieci ermini, e derivando come sima della volailià una varianza mobile a cinque ermini calcolaa sugli scari.. Queso modo di calcolare la varianza dei rendimeni non permee di formulare ipoesi sul comporameno fuuro della volailià, che invece ha caraerisiche di prevedibilià che possono essere analizzae con opporuni modelli saisici.. Modelli GARCH Il lavoro di Engle (982) ha apero il campo ad un filone di leeraura molo ampio su modelli a eeroschedasicià condizionaa auoregressiva (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy - ARCH) per lo sudio della varianza dei rendimeni condizionaa ad un cero insieme informaivo. Una vola specificao un modello per la media dei rendimeni r, secondo Engle le innovazioni ε seguono un processo del ipo : r = µ + ε () ε = h u (2) Dove h è la varianza condizionaa e u, condizionaamene all insieme informaivo disponibile al empo -, si disribuisce come una variabile casuale normale sandardizzaa; in simboli : u Ω : N(0,)

6 6 Di conseguenza oeniamo che l innovazione ε, condizionaamene all insieme delle informazioni disponibili in -, è una variabile casuale normale con media 0 e varianza che dipende dal empo. Ω : N(0, h ) ε Il modello ARCH(q) prevede che la varianza condizionaa al empo sia una combinazione lineare di p riardi dei residui al quadrao, ricavai dall equazione della media condizionaa. q 2 j j j= h = ω+ α ε (3) L ipoesi di normalià è imporane perché permee di faciliare il meodo di sima della massima verosimiglianza, che consene di simare congiunamene i parameri della media e della varianza individuando quei valori dei parameri che rendono massima la funzione di verosimiglianza. Bollerslev(986) propone una generalizzazione dei modelli proposi da Engle; il modello GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) è un modello in cui la varianza condizionaa al empo è una combinazione lineare di p riardi dei residui al quadrao, ricavai dall equazione della media condizionaa, e di q riardi della varianza condizionaa. In sinesi, il modello GARCH(p,q) può essere espresso come : h q p 2 = ω+ α jε j+ β jh j j= j= (4) La condizione sufficiene affinché il processo GARCH(p,q) sia sazionario è che : q p α + β < j j= j= j

7 7 I modelli GARCH sono compaibili con le evidenze empiriche che si risconrano nell analisi dei rendimeni azionari, come la presenza di auocorrelazione in rasformazioni posiive dei rendimeni, in paricolare il quadrao e il valore assoluo. Consenono inolre di inerpreare la persisenza della volailià. Dopo l inroduzione dei modelli GARCH, la loro specificazione è saa esesa e generalizzaa in diverse direzioni con la finalià di rendere il modello originale più flessibile. Mole esensioni dei modelli GARCH sono sae pensae per inerpreare l asimmeria nelle rispose agli shocks dei rendimeni, vanno in quesa direzione i GJR-GARCH proposi da Glosen, Jagannahan e Runkle (993); i modelli GARCH asimmerici di Engle and g (993) e i GARCH quadraici QGARCH di Senana (995). Hagerud (997), Gonzalez-Rivera (998) e Anderson, Nam, Vahid (999) hanno specificao una versione non lineare dei GJR-GARCH, smooh ransiion GARCH (STGARCH), pensaa sempre per modellare le rispose asimmeriche agli shocks. La forma sandard dei modelli GARCH conduce spesso al problema di sovrasimare la persisenza nella volailià. Per rimediare a ale inconveniene Lanne e Saikkonen (2005) hanno proposo una paramerizzazione definia smooh ransiion GARCH che allevia il problema della persisenza. I modelli Threshold GARCH, descrii da Zakoian (994), si conrappongono ai GJR-GARCH perché assumono quale quanià da modellare la deviazione sandard condizionaa, e non la varianza condizionaa. Una versione non lineare dei T- GARCH, definie Double Threshold ARCH (DTARCH), prevedono che sia la media auoregressiva condizionaa sia la varianza condizionaa abbiano una sruura riconducibile a quella hreshold. Diverse specificazione di ali modelli sono sai descrii da Li and Li (996), Andriuno and Buhlmann (200). È sao inolre dimosrao in leeraura, vedi Mikosch e Sarica (2004), che nelle applicazioni dei modelli GARCH l ipoesi di parameri cosani nel empo non sia appropriaa nel momeno in cui la serie da modellare è molo lunga. Una possibilià per ovviare a ale problema è quella di assumere che i parameri cambino in deerminai isani di empo; dunque si può dividere la serie originaria e simare diversi modelli GARCH nelle subserie. Dei es per verificare ale ipoesi sui modelli ime-varying (TVGARCH) sono sai sviluppai da Chu (995). I modelli Markov-swiching cosiuiscono un alra classe di modelli non lineari per la volailià. Hamilon e Susmel (994) dimosrano che degli shocks grandi

8 8 possono avere delle conseguenze sulla volailià fuura molo diverse dagli effei dovui a piccoli shocks. I modelli Markov-swiching GARCH (MSGARCH) sono in grado di inerpreare queso fenomeno, e delle specificazioni alernaive degli sessi modelli sono sae inrodoe da Haas e al nel Abbiamo in precedenza definio la condizione sufficiene affinché il processo GARCH(p,q) sia sazionario. Nei modelli IGARCH il processo che governa l evoluzione della varianza possiede almeno una radice uniaria, e l equazione GARCH(p,q) viene scria in forma ARIMA(p,d,q). Baillie, Bollerslev e Mikkelsen(996) inroducono i modelli FIGARCH dove si assume che il paramero d sia un operaore frazionario, in modo ale da spiegare il decadimeno leno nella funzione di auocorrelazione del quadrao dei rendimeni giornalieri. Un approccio semiparamerico viene adoao nel momeno in cui è sconosciua la disribuzione dei residui. Dei modelli ARCH semi e non-paramerici sono sai considerai nel deaglio da Linon (2007). Infine i modelli Exponenial GARCH (EGARCH), inrodoi da Nelson (99), consenono di eviare che la varianza condizionaa sia negaiva, senza la necessià di imporre alcuna resrizione sui parameri. Delle specificazioni alernaive dei modelli EGARCH sono sae sperimenae da He (2000), Terasvira e Malmsen (2002)..2 Dai ad ala frequenza e realized variance La volailià dei rendimeni azionari è ipicamene modellaa con modelli GARCH che raano la volailià come una variabile laene. Negli ulimi quindici anni ha preso sempre maggior peso un filone alernaivo che propone di raare la volailià con meodi non-paramerici basai sui dai ad ala frequenza. I dai ad ala frequenza dovrebbero essere il primo oggeo di ricerca per chi è ineressao a capire la dinamica dei mercai finanziari, specialmene perché gli operaori finanziari deerminano le loro decisioni osservando i dai ad ala frequenza o i dai ick-by-ick. Però il più delle pubblicazioni finanziarie in leeraura raano dai a bassa frequenza equispaziai nel empo. Queso innanziuo perché è più difficile e cososo reperire e manipolare dai ad ala

9 9 frequenza; inolre perché gli srumeni saisici classici sono validi per serie soriche equispaziae nel empo. La forma originaria dei prezzi azionari sono i dai ick-by-ick: dove ogni ick rappresena un'unica informazione logica, come un prezzo o una quoa di scambio. Quesi dai non sono equispaziai nel empo e il numero di osservazioni in un singolo giorno è molo elevao (equivalene al numero di dai giornalieri in ren anni). In finanza dai equispaziai nel empo non sono dai originali, ma sono arefai e derivano dagli originari prezzi di mercao. Negli ulimi anni, con l evoluzione delle ecnologie informaiche, la disponibilià dei dai ad ala frequenza è divenaa sempre più agevole, ano da farli divenare la base sperimenale per capire la microsruura dei mercai, e più genericamene per analizzare i mercai finanziari. L idea più rilevane per analizzare la volailià con dai ad ala frequenza è quella del realized volailiy (RV) sviluppaa in paricolare da Andersen e al. (200b) o Barndorff-Nielsen and Shephard (2002). Immaginiamo di scindere ogni singolo giorno in I inervalli di ampiezza, con i=,2,,i. Per ogni inervallo noi osserviamo l ulimo prezzo C,i e calcoliamo il rendimeno logarimico : r = (log C log C ) (5) + i,, i, i La realized volailiy al empo è definia come : RV I r + i, I i= p p = (6) I parameri preseni nell equazione dovranno essere discussi e sceli opporunamene. Un esponene p molo elevao dà maggior peso alle code della disribuzione. Il paramero p dovrebbe assumere un valore inferiore dell indice della coda della disribuzione, che è simao empiricamene inorno a 3.5 per i dai ad ala frequenza. In moli lavori la realized volailiy è calcolaa sui rendimeni al

10 0 quadrao, ma in praica l indice p dovrebbe essere limiao alla meà dell indice della coda della disribuzione. Anche la scela di I e sono imporani; daa una dimensione del campione cosane Andersen e al. (200) consiglia una scela di il più piccolo possibile; queso implica un numero I elevao di osservazioni sui rendimeni e una precisione superiore dello simaore. La scela migliore per è compresa ra quindici minui e due ore, e ale scela dipende dal ipo di mercao e dal ipo di dai. Corsi a al. (200) propone una correzione del realized volailiy con un pari a cinque minui in modo da manenere una elevaa precisione dovua ad un elevao numero di rendimeni. Moli auori preferiscono scalare la realized volailiy in modo da faciliarne l inerpreazione. Se consideriamo inervalli inragiornalieri, la volailià aesa può essere calcolaa in base ad una alro inervallo emporale scale secondo la seguene equazione : RV scaled = scaled RV (7) La scela più popolare per scale è scale = anno, in modo ale da oenere una forma annualizzaa della realized volailiy. Una definizione alernaiva della realized volailiy è : I I RV = r + i, r + k, I i= I k= p p (8) Se consideriamo p=2 ques ulima specificazione rappresena la deviazione sandard dei rendimeni aorno alla media del campione. Tale definizione viene uilizzaa nell analisi di porafoglio dove il rischio è misurao in ermini di deviazioni dei rendimeni dalla media. Michael Dacorogna, Ramazan Gençay (200), An Inroducion o high-frequency daa

11 Specifichiamo a queso puno il conceo di inegraed variance (IV), che rappresena la volailià del processo socasico dei prezzi azionari lungo un deerminao periodo di empo. L inegraed variance può essere definia come : IV b = σ 2 ( ) d (9) a Dove a e b rappresenano l inizio e la fine del periodo di osservazione, nel nosro caso un giorno di rading. Se consideriamo p=2, e assumiamo che la media del processo generaore dei rendimeni azionari sia pari a zero, possiamo definire la realized volailiy come realized variance. r = (log C log C ) (0) i,, i, i RV = () I 2 r + i, i= Dae alcune deboli condizioni di regolarià il realized variance è uno simaore non disoro, alamene efficiene, che converge al vero valore della inegraed variance (IV) quando la lunghezza degli inervalli inragiornalieri ende a zero (Barndorff- Nielsen-Shephard 2002). RV p IV Se non consideriamo dai ad ala frequenza (ad esempio dai giornalieri) la classe di modelli GARCH fornisce delle sime della volailià migliori rispeo a quelle della realized volailiy. Ma se consideriamo dai ad ala frequenza la realized volailiy offre delle sime migliori; infai dai inragiornalieri non possono essere approssimai da modelli GARCH a causa della sagionalià e dell eerogeneià dei mercai, come è sao mosrao da Guillaume e al.(994) e Gençay e al (200c, 2002).

12 2.3 Microsrusruura dei mercai e disorsioni Teoricamene il realized variance è uno simaore non disoro, alamene efficiene, che converge al vero valore della inegrae variance (IV). Nella praica però la consisenza della realized variance viene meno nel momeno in cui aumena la frequenza dei dai. Infai gli effei dovui alla microsruura dei mercai conaminano i prezzi degli asse regisrai ad ala frequenza e inducono delle auocorrelazioni nelle serie soriche osservae dei rendimeni azionari; queso fenomeno invalida la eoria asinoica e rende inconsisene lo simaore. Rendimeni a frequenza molo ala dunque sono disori e rendono la realized variance disora e inconsisene (Bandi-Russel 2005,2006 ; Ai-Sahalia 2005 ; Hansen-Lunde 2006). I fenomeni disorsivi dovui alla microsruura dei mercai sono sai sudiai inensamene negli ulimi anni e in paricolare sono causai dal cosiddeo bid-ask bounce, che possiamo definire come il differenziale esisene ra il prezzo al quale un inermediario si impegna a vendere i ioli (ask) e il prezzo al quale egli si impegna ad acquisarli (bid). Nel caso in cui i prezzi fossero osservai nel coninuo, il prezzo alo sarebbe il prezzo di offera, menre il prezzo basso sarebbe quello della domanda. Se indichiamo con j l indice della serie sorica originaria, specifichiamo il bid-ask bounce come : s( ) = log p ( ) log p ( ) (2) j ask j bid j Il bid-ask bounce rappresena i cosi di ransazione e il rischio dell isiuzione che quoa i prezzi; ale differenza dunque può essere consideraa come una buona misura delle frizioni esiseni nel mercao, quindi una misura dell efficienza del mercao sesso. Il realized variance risula disoro verso l alo in presenza di bid-ask bounce. I fenomeni disorsivi dovui alla microsruura dei mercai implicano delle limiazioni nella scela della frequenza osservaa. Delle scele popolari nelle applicazioni empiriche sono inervalli di 5 e 30 minui, che dovrebbero inerpreare un bilanciameno ra l incremeno della precisione dovuo a frequenze più ale, e gli effei delle frizioni dovue alla microsruura dei mercai (Andersen-Bollerslev 998 ; Andersen 200a, 2003 ; Fleming 2003).

13 3.4 Realized Range e sue correzioni Un modo alernaivo di misurare la volailià è basao sulla differenza ra il prezzo massimo e il minimo, osservao in un cero periodo (high-low range). Immaginiamo di scindere ogni singolo giorno in I inervalli di ampiezza, con i=,2,,i. Per ogni inervallo noi osserviamo il prezzo più alo H,i e il prezzo più basso L,i : H, i = sup( i ) < j< i P + j L, i = inf( i ) < j< i P + j Parkinson(980) propone uno simaore high-low range per la varianza : (log H log L ), i, i 2 che risula non disoro anche se la madia del moo generaore dei prezzi risula diversa da zero. Se noi siamo ineressai a calcolare la volailià giornaliera, possiamo aggregare gli high-low range per ogni inervallo inragiornaliero, e oeniamo il realized range RR : I 2 = (log, i log, i ) (3) i= RR H L Parkinson propone uno simaore per la varianza cosruio con un inervallo highlow scalao per una cosane: RRk H L I 2 = (log, i log, i ) (4) 4log 2 i= e mosra che il (log) high-low range, opporunamene scalao, è uno simaore non disoro della volailià giornaliera ed è cinque vole più efficiene del rendimeno al quadrao close-o-close giornaliero. Gli simaori basai sull inervallo infai conengono maggiori informazioni rispeo ai semplici rendimeni, perché gli esremi sono formai dall inero processo dei prezzi.

14 4 Come nel caso del realized variance, la consisenza del realized range viene meno nel momeno in cui aumena la frequenza dei dai. Abbiamo definio il bid-ask bounce come il differenziale esisene ra il prezzo al quale un inermediario si impegna a vendere i ioli (ask) e il prezzo al quale egli si impegna ad acquisarli (bid). L inervallo di prezzo osservao è disoro verso l alo esaamene per lo spread ra domanda e offera. Noi ci concenreremo sullo simaore realized range giornaliero, calcolao per diversi inervalli di empo inragiornalieri; valueremo alresì delle correzioni, propose in leeraura, per migliorare l efficienza dello simaore e per ovviare al problema della disorsione dovua alla microsruura dei mercai. German e Klass suggeriscono di migliorare l efficienza dello simaore uilizzando, olre al massimo e minimo dell i-esimo inervallo, anche il prezzo di chiusura. Queso simaore è una semplice combinazione lineare dell inervallo high-low e il quadrao del rendimeno close-o-close. RRgk H L C C (5) I 2 2 = (log, i log, i ) (2 log 2 )(log, i log, i ) 2 i= Tale simaore è eoricamene 7.4 vole più efficiene dei rendimeni logarimici al quadrao in (). Nel coneso di inervalli giornalieri Brown (990) e Alizadeh e al. (2002) sconsigliano l uilizzo del prezzo di chiusura e aperura, perché quesi sono foremene conaminai dagli effei dovui alla microsruura dei mercai. L assunzione che il processo generaore dei prezzi abbia un drif pari a zero è fondamenale per la correezza e la consisenza dello simaore. In precedenza abbiamo osservao che gli effei dovui alla microsruura dei mercai conaminano i prezzi degli asse regisrai ad ala frequenza. Queso fenomeno invalida la eoria asinoica e rende inconsisene il realized range. Il daily range è più robuso rispeo al realized variance relaivamene a ali effei disorsivi (Alizadeh 2002; Brand-Diebold 2006). Marens e van Dijk (2006) propongono un aggiusameno per lo simaore realized range, che prevede di scalare lo simaore con il rapporo ra il livello medio del daily range e il livello medio del realized range nei q giorni precedeni. Quesa correzione si basa

15 5 sull idea che il daily range è (quasi) non conaminao dalla microsruura dei mercai, e fornisce un buon indicaore del vero livello della volailià. RRq q RR l l= = q RR l l= RR (6) Le simulazioni svole da Marens e van Dijk dimosrano che scalare il realized range per il daily range non elimina compleamene le disorsioni; queso è dovuo al fao che il daily range è comunque disoro verso il basso a causa delle conraazioni infrequeni. La scela del numero q di rading day considerai è imporane per calcolare la correzione dello simaore. Soo le assunzioni che l inensià delle conraazioni e lo spread siano cosani nel empo, q dovrebbe essere il più elevao possibile per migliorare l accuraezza della correzione. Noi considereremo q pari a ceno.

16 6 2 Base dai Le nosre applicazioni empiriche si basano sui prezzi, minuo per minuo, del iolo J.P.Morgan; la fone dei dai è TickDaa, Inc. Il campione comprende il periodo dal 3 gennaio 2003 al 3 dicembre 2008 ; ossia 564 giorni di conraazioni, e osservazioni. Per ogni minuo abbiamo a disposizione il prezzo di chiusura (CLOSE), il prezzo di aperura (OPEN), il prezzo più alo (HIGH) e il più basso(low). Nella serie sorica abbiamo cinque giorni di conraazione a seimana; olre al sabao e la domenica, dalla serie sorica sono sai omessi i giorni fesivi. Nella abella seguene riporiamo i primi veni minui della base dai. DATE TIME OPEN HIGH LOW CLOSE 0/03/ ,46 25,5 25,46 25,48 0/03/ ,48 25,49 25,46 25,48 0/03/ ,49 25,64 25,48 25,55 0/03/ ,58 25,59 25,5 25,52 0/03/ ,53 25,59 25,5 25,55 0/03/ ,5 25,57 25,5 25,52 0/03/ ,5 25,5 25,49 25,5 0/03/ ,49 25,55 25,48 25,5 0/03/ ,55 25,55 25,5 25,54 0/03/ ,54 25,55 25,5 25,55 0/03/ ,5 25,55 25,47 25,49 0/03/ ,48 25,49 25,46 25,48 0/03/ ,47 25,48 25,43 25,45 0/03/ ,43 25,49 25,43 25,48 0/03/ ,45 25,48 25,44 25,45 0/03/ ,45 25,45 25,43 25,44 0/03/ ,43 25,43 25,25 25,3 0/03/ ,3 25,35 25,2 25,26 0/03/ ,27 25,28 25,2 25,25 0/03/ ,24 25,28 25,2 25,28 Tabella I. Prezzi del iolo J.P.Morgan minuo per minuo. Sono riporai il valore di aperura, il valore più basso, il più alo, e il prezzo di chiusura. L orizzone emporale che inercorre ra il 3 gennaio 2003 e il 3 dicembre 2008 comprende il periodo della grave crisi crediizia e finanziaria che ha coinvolo l economia mondiale, e in paricolare quella sauniense. A parire dalla seconda

17 7 meà del 2007 infai gli Sai Unii sono enrai in una grave crisi crediizia e ipoecaria che si è sviluppaa a seguio della fore bolla speculaiva immobiliare e del valore del dollaro molo basso rispeo all'euro e ad alre value. Dopo diversi mesi di debolezza e perdia di impieghi, il fenomeno è collassao ra il 2007 e il 2008 causando il fallimeno di banche ed enià finanziarie, deerminando una fore riduzione dei valori borsisici e un aumeno esponenziale della volailià dei mercai. A seembre 2008, i problemi si sono aggravai con la bancaroa di diverse socieà legae al credio ed alla finanza immobiliare, come la banca di invesimeni Lehman Brohers, le socieà di muui Fannie Mae e Freddie Mac o la socieà di assicurazioni AIG. REALIZEDRANGE Figura I. Serie sorica del Realized Range correo per Marens e van Dijk, specificao in equazione (6), calcolao sul iolo J.P.Morgan. La figura sovrasane rappresena l andameno della serie sorica del realized range durane l orizzone emporale considerao. È evidene che la volailià del iolo J.P.Morgan comincia a aumenare visosamene dalla seconda meà del 2007, per poi raggiungere dei picchi molo ali alla fine del Analisi descriive e frequenza di campionameno Abbiamo calcolao la realized variance giornaliero e il realized range giornaliero definii rispeivamene nelle equazioni () e (3), al variare degli inervalli di empo inragiornalieri. Abbiamo inolre calcolao delle saisiche descriive sulle

18 8 diverse serie, al variare della frequenza, in modo ale da comprendere come varia la disribuzione dello simaore. In apendice la figura 2a mosra graficamene la media della realized variance al variare della frequenza; gli inervalli inragiornalieri considerai variano da a 30 minui. La logica è quella di individuare la frequenza in cui gli effei dovui alla microsruura dei mercai inducono una disorsione nelle sime. ABDL (2000) suggerisce di scegliere la frequenza più ala che non compora una disorsione nelle sime. La figura 2a mosra che la media rimane cosane alle frequenze più ale, successivamene diminuisce se consideriamo inervalli maggiori o uguali a cinque minui. La figura 2b evidenzia l andameno della varianza del realized variance. Possiamo osservare che la varianza rimane sosanzialmene cosane se varia la frequenza di campionameno. Preseniamo infine nella figura 2d e 2c la curosi e l indice di asimmeria del realized variance al variare della frequenza. La disribuzione dello simaore evidenzia code pesani e asimmeria. La curosi e l indice di asimmeria mosrano un andameno simile. In paricolare aumenano leggermene nel passaggio da inervalli di un minuo a 5 minui, per poi diminuire fino alle frequenze più ale. Possiamo però evidenziare che l asimmeria della disribuzione non varia significaivamene alle frequenze più ale. In apendice la figura 3 mosra graficamene l andameno delle saisiche descriive del realized range al variare della frequenza. Osserviamo che il valore della media del realized range assume lo sesso valore se calcolao per inervalli inragiornalieri di un minuo che per 30 minui; quindi all aumenare della frequenza di campionameno non si osserva una disorsione significaiva dello simaore. La varianza del realized range mosra un andameno lievemene crescene all aumenare della frequenza; menre l asimmeria e la curosi della disribuzione rimangono cosani. 2.2 Analisi della disorsione degli simaori Nel paragrafo.3 abbiamo descrio come gli effei dovui alla microsruura dei mercai, in paricolare il bid-ask bounce e le conraazioni infrequeni, conaminino

19 9 i prezzi degli asse regisrai ad ala frequenza, invalidando la eoria asinoica relaiva alla consisenza della realized volailiy. Nel paragrafo precedene abbiamo confronao realized range e realized variance rispeo alle diverse frequenze di campionameno, e abbiamo verificao che il realized range è meno sensibile a ali effei disorsivi rispeo al realized variance, infai è molo più evidene una disorsione verso l alo del realized variance calcolao alle frequenze più elevae; menre è meno chiaro un cambiameno nella disribuzione del realized range. In queso paragrafo vogliamo verificare, in ermini quaniaivi e grafici, se i fenomeni disorsivi incidono sul realized variance e sul realized range, e verificare se la correzione del realized range per il rapporo ra il livello medio del daily range e il livello medio del realized range, descria nell equazione (6), riesce a ridurre la disorsione dello simaore. In apendice la Tabella indica le saisiche descriive di ui gli indicaori considerai per inervalli inragiornalieri di, 5, 0, 30 minui. La media degli simaori cambia al variare dell inervallo scelo; possiamo evidenziare che il Realized Range correo per il rapporo ra il livello medio del daily range e il livello medio del realized range è l unico simaore che assume la sessa media per frequenze diverse. Allo sesso empo, la mediana calcolaa sullo simaore RRq è più sabile, al variare della frequenza, rispeo al Realized Range e al Realized Variance. In apendice la figura 4 rappresena i diagrammi a dispersione dei cinque simaori considerai, in modo da meere in relazione le diverse serie derivae dallo sesso simaore, a inervalli inragiornalieri differeni. Osserviamo che, per ui gli simaori, lo scaer plo assume una dispersione maggiore nel grafico che mee in relazione lo simaore con inervalli inragiornalieri di minuo e di 30 minui. Infai lo simaore calcolao con inervalli di minuo subisce maggiormene le disorsioni, rispeo agli simaori calcolai a frequenze meno elevae. Evidenziamo graficamene una dispersione inferiore negli scaer plo relaivi allo simaore in equazione (6) RRq, rispeo agli alri simaori. Nella abella 2 sono riporae le marici di correlazione degli simaori calcolai a diversa frequenza. Se si osservano il realized variance e il realized range senza correzioni, ci accorgiamo che le serie calcolae con inervalli di minuo, 5 minui e 0 minui sono più correlae ra loro, rispeo a quano lo sia quella a 30 minui;

20 20 queso perché ques ulima serie è più robusa rispeo agli effei disorsivi causai dalla microsruura dei mercai. In paricolare ale differenza nel valore delle correlazioni e meno evidene nel caso del realized range rispeo al realized variance. Abbiamo infine messo in relazione le diverse serie derivae dallo sesso simaore, ma a frequenza differene, con una regressione lineare. Valueremo il modello lineare in ermini di indice R quadro e dei coefficieni simai: inercea e coefficiene angolare. Abbiamo calcolao le regressioni lineari per il realized variance, realized range e realized range correo per il rapporo ra il livello medio del daily range e il livello medio del realized range; i risulai oenui sono riporai in apendice nella abella 3. L R quadro ci informa sul grado di adaameno ai dai del modello; ale indice divena sempre più piccolo nel momeno in cui aumena la differenza nella frequenza delle serie considerae. Possiamo noare che gli indici più bassi si risconrano per lo simaore realized variance, in paricolare nella regressione ra la serie a minuo e quella a 30 minui. Di conseguenza possiamo presumere che il realized range sia più robuso del realized variance e subisce meno le disorsioni dovue alla microsruura dei mercai. Per i re simaori il coefficiene β risula sempre significaivo e assume dei valori prossimi ad uno. Risula difficile inerpreare il coefficiene α. 2.3 Efficienza degli simaori Ci proponiamo ora di confronare i diversi simaori in ermini di efficienza; valueremo graficamene la dispersione con il box plo, e la variabilià dello simaore con la varianza osservaa. Dall analisi delle saisiche descriive riporae in apendice nella abella possiamo noare che il realized range, senza alcuna correzione, ha una varianza superiore a quella del realized variance; possiamo arrivare alla sessa conclusione se osserviamo i primi box plo in figura 3. I box plo mosrano che lo simaore proposo da German & Klass, descrio nell equazione (5), migliora l efficienza del realized range: consene di avere una varianza almeno 2 vole inferiore a quella del realized range.

21 2 Lo simaore che presena la varianza inferiore è il realized range correo per Pakinson con la cosane 4log 2 ; lo simaore RRk (4) infai migliora sensibilmene l efficienza e consene di avere una varianza inferiore a quella del realized variance per qualsiasi inervallo inragiornaliero considerao 2.4 Componeni Principali Al fine di confronare il conenuo informaivo dei diversi simaori calcolai, uilizziamo la ecnica delle componeni principali. L'analisi in componeni principali è una ecnica per la semplificazione dei dai uilizzaa nell ambio della saisica mulivariaa. Insieme all'analisi delle corrispondenze muliple, appariene all'analisi faoriale. Lo scopo primario di quesa ecnica è la riduzione di un numero più o meno elevao di variabili in alcune variabili laeni. Ciò avviene ramie una rasformazione lineare delle variabili che proiea quelle originarie in un nuovo sisema caresiano nel quale la nuova variabile con la maggiore varianza viene proieaa sul primo asse, la seconda nuova variabile, per dimensione della varianza, sul secondo asse e così via. La riduzione della complessià avviene limiandosi ad analizzare i primi assi faoriali che sineizzano la variabilià presene nella base dai originaria, dunque ne semplificano l analisi. Il calcolo degli assi faoriali si basa sulla marice di covarianze delle variabili iniziali. Trovando l'auovalore e l'auoveore della marice di covarianza, si oiene che l'auoveore con il maggiore auovalore corrisponde alla dimensione che ha la maggiore correlazione con l'insieme di dai. La grandezza relaiva degli auovalori rispeo agli alri ci dice la percenuale di varianza spiegaa da ogni variabile laene. I dai originali sono infine proieai nel nuovo spazio veoriale ridoo. Noi uilizzeremo l analisi delle Componeni Principali per confronare i diversi indicaori di realized range e la realized variance. Scegliamo di uilizzare gli indicaori calcolai con inervalli inragiornalieri di 5 minui, ale scela garanisce un buon bilanciameno ra correezza e efficienza dello simaore. - RV : realized variance () - RR : realized range (3) - RRq : realized range con correzione per il daily range (4)

22 22 - RRgk : realized range con correzione di German & Klass (5) - RRk : il realized range correo da Pakinson per la cosane 4log 2 (6) La abella seguene mosra gli auovalori e la percenuale di varianza spiegaa da ogni asse faoriale. Auovalore % Varianza CP 4,7960 0,94393 CP 2 0, ,05326 CP 3 0,023 0,00225 CP 4 0, ,00056 CP 5 5,97773E-08,9556E-08 Tabella II. Risulai dell analisi in componeni principali. Auovalori e la percenuale di varianza spiegaa da ciascun asse faoriale. Possiamo noare che la prima componene principale spiega il 94% della variabilià oale; menre la seconda componene spiega poco più del 5%. Se analizziamo il cerchio delle correlazioni in apendice, figura 4, possiamo noare che ui gli indicaori sono molo correlai con il primo asse faoriale. Sono correlae con la seconda componene principale solo le variabili calcolae con il range, menre la realized variance è incorrelaa col secondo asse. Possiamo quindi affermare che i quaro indicaori misurano univocamene la volailià giornaliera, e sono paricolarmene correlai ra loro gli simaori calcolai con il range, menre la realized variance si discosa dal realized range e dalle sue correzioni.

23 23 3 Modellare la Realized Volailiy Nella figura dell apendice vengono riporae la serie sorica, la funzione di auocorrelazione e auocorrelazione parziale dei 5 indicaori, per inervalli inragiornalieri di 5 minui. I grafici evidenziano una fore auocorrelazione delle serie soriche, infai le funzioni di auocorrelazione hanno un decadimeno iperbolico ipico dei processi a memoria lunga. Dai grafici delle serie soriche di ui gli simaori considerai, possiamo noare che la volailià varia nel empo ed è evidene un fenomeno di volailiy clusering. I modelli che preseneremo nei successivi paragrafi sono sai simai sul sofware EVIEWS. 3. Modelli ARFIMA La modellazione della volailià ha un ruolo fondamenale in finanza e nella gesione del rischio. Con la disponibilià dei dai ad ala frequenza la leeraura si è sviluppaa in diverse direzioni, una delle quali si è focalizzaa sulla modellazione e sulla previsione della realized volailiy. Per inerpreare la memoria lunga nella realized volailiy, Andersen e al. (2003) specificano un modello ARFIMA(p,d,q) auoregressive fracionally inegraed moving average. d φ ( L)( L) ( RR µ ) = ψ ( L) u dove d denoa il paramero di inegrazione frazionaria, e φ( L) φ L... φ L p = p ψ ( L) = + ψ L ψ L indicano gli usuali polinomi nell operaore riardo L, di ordine p e q, rispeivamene con radici eserne al cerchio uniario e privi di faori comuni. Il processo risula sazionario e inveribile se 0.5< d < 0.5 ; inolre, per 0< d < 0.5 esso è caraerizzao da effei di memoria lunga. Menre u si assume sia un processo Whie Noise gaussiano. Dae ali assunzioni, moli lavori hanno adoao ed eseso queso modello; i risulai oenui in leeraura per diversi mercai e daa se mosrano un q q significaivo migliorameno nelle previsioni della volailià, rispeo all uilizzo degli usuali modelli GARCH.

24 Modelli HAR Un alernaiva ai modelli ARFIMA è saa suggeria da Corsi (2004) con i modelli HAR heerogeneous auoregressive. In ali modelli viene definia una componene di k periodi di realized volailiy, daa dalla somma di singoli periodi di realized volailiy. RR k + k: RR j k j= = (7) I modelli HAR includono un componene giornaliera, seimanale e mensile di realized volailiy. RR = α + α RR + α RR + α RR + u (8) u 0 d w 5: m 22: Ω : N(0,) In Corsi (2004) u si assume sia un processo whie noise gaussiano, come nei modelli ARFIMA. Le simulazioni effeuae da Corsi (2004) mosrano che i modelli HAR sono capaci di riprodurre il decadimeno iperbolico della funzione di auocorrelazione della realized volailiy. Inolre le performance previsive nei modelli HAR sono ano buone quano quelle dei modelli ARFIMA. I risulai empirici mosrano che i modelli HAR e ARFIMA sono simili in ermini di adaameno ai dai e di erraa specificazione, e ci aspeiamo che l esensione dei modelli ARFIMA e HAR siano compaibili. Noi incenreremo la nosra analisi sui modelli HAR, e sulla loro esensione, in modo ale da analizzare la dipendenza della volailià rispeo all andameno dell economia, e per la modellazione del momeno secondo della serie. La base dai sulla quale calcoliamo lo simaore si basa sulla serie sorica del iolo J.P.Morgan nel periodo che inercorre ra il 3 gennaio 2003 e il 3 dicembre Tale orizzone emporale comprende il periodo della grave crisi crediizia e finanziaria che ha coinvolo l economia mondiale, e in paricolare quella sauniense. Al fine di ener cono di queso coneso economico-finanziario, per la modellazione della serie, considereremo inizialmene l orizzone emporale inercorrene ra l gennaio 2003 e il 29 giugno 2007, in modo da valuare le performance del modello HAR in condizioni di relaiva sabilià dei mercai.

25 25 Successivamene allargheremo la base dai sino al giugno 2008 e sabiliremo se il modello si adaa adeguaamene ai dai. La serie sorica che prenderemo in considerazione sarà il realized range correo per il rapporo ra il livello medio del daily range e il livello medio del realized range, descrio nell equazione (6), calcolao ad inervalli inragiornalieri di 5 minui. In apendice, figura 7, è riporaa l analisi dei residui del Modello. che si basa sulla specificazione del modello HAR descria nell equazione (8), applicao al periodo campionario dal gennaio 2003 e il 29 giugno Dalle sime oenue, riporae in apendice, abella 4, si può noare che la componene mensile è quella che assume un peso maggiore, rispeo a quella giornaliera e seimanale. Il Tes di Ljung-Box rifiua l ipoesi nulla di assenza di auocorrelazione dei residui fino al riardo 3, dal lag4 in poi il es accea l ipoesi che le prime auocorrelazioni siano nulle, ad un livello α=0,05. Dunque non esise una evidenza esplicia che i residui siano incorrelai. L ARCH es evidenzia una fore eeroschedasicià auoregressiva condizionaa e risula significaivo solo il primo riardo dei residui al quadrao. Inolre il qq-plo e il es di normalià indica l inadeguaezza dell assunzione di normalià dei residui. I parameri di Asimmeria e Curosi dei residui HAR sono 6,23 e 79, Memoria lunga e eeroschedasicià Per ener cono della volailiy clusering osservaa nella realized volailiy, esendiamo il modello HAR includendo una componene GARCH, e cosruiamo un modello HAR-GARCH(p,q) RR = α + α RR + α RR + α RR + h u (9) 0 d w 5: m 22: q p 2 = ω+ α j j+ β j j j= j= h u h u Ω : N(0,) Il ermine di errore h u avrà una disribuzione condizionaa con la varianza che varia nel empo. Combinando il modello HAR e la specificazione GARCH,

26 26 oeniamo un processo a memoria lunga che dovrebbe essere in grado di inerpreare l eeroschedasicià condizionale del processo. Le sime di massima verosimiglianza per le diverse specificazioni di modelli HAR sono riporae nella abella 4 dell apendice. Dalle sime oenue si può evidenziare che l esensione HAR-GARCH Modello.2 migliora la bonà dell adaameno ai dai, come mosrano i crieri di Akaike e Schwarz; enrambe i crieri e il es ARCH-LM suggeriscono una specificazione HAR-GARCH(,). In apendice, figura 8, viene riporaa l analisi dei residui del Modello.2; si può noare che il Tes di Ljung-Box accea l ipoesi nulla di assenza di auocorrelazione dei residui fin dal primo riardo, e con una evidenza crescene all aumeare dei riardi congiuni considerai. Se raffroniamo le sime oenue sul Modello. e sul Modello.2 si può osservare un incremeno nella componene di volailià mensile e giornaliera, e un decremeno della cosane e della componene seimanale quando includiamo la specificazione GARCH. Il es di Jarque-Bera rifiua l ipoesi nulla di normalià dei residui; infai l indice di asimmeria dei residui assume il valore di 8,7 menre l indice di curosi 26, Sima di modelli HAR-GARCH La sima dei parameri avviene con procedure basae sulla massima verosimiglianza. Se, per comodià, chiamiamo Y la serie sorica giornaliera del realized range, la funzione di verosimiglianza del campione y, y 2,, y 564 coincide con la funzione di densià di probabilià congiuna L( θ ) = f (y, y 2,, y 564 θ ) Se le y non sono indipendeni si oiene un prodoo di funzioni di densià di una variabile casuale in un cero isane condizionaa ai valori assuni dalle variabili casuali precedeni, e dalla funzione di probabilià congiuna di un cero numero p di variabili casuali riferie ai periodi iniziali; la densià congiuna dell inero campione può essere faorizzaa sequenzialmene come : f (y, y,, y θ ) = f (y y,, y θ ) f (y y,, y θ ) n n n n 2 f (y y, y,, y θ ) f (y, y,, y θ ) p+ p p p p

27 27 La verosimiglianza, per T=564 divena : L( θ ) = f (y, y,, y θ ) = f (y, y,, y θ ) f (y I ; θ ) p p = p+ T La log-verosimiglianza è : T l( θ ) = log f (y, y,, y θ ) + log f (y I ; θ ) p p = p+ Possiamo noare che T=564 è un campione sufficienemene grande, quindi si può rascurare il primo addendo della funzione di log-verosimiglianza, e concenrarci solo sul secondo. Il modello HAR-GARCH(,) ha la seguene specificazione : y = α + α y + α y + α y + ε ε GARCH (,) 0 d w 5: m 22: k + k y j k j= dove y : =. Di conseguenza il veore dei parameri da simare sarà : θ = ( α, α, α, α, ω, α, β ) 0 d w m La disribuzione condizionaa di una HAR-GARCH(,) nel caso gaussiano sarà : ( ) 2 y I : N α0 αd y α w y 5: αm y 22: ; σ ( ) 2 2 y I : N α0+ αd y + α w y 5: + αm y 22: ;( ω+ αε + βσ ) dove ε = ( y α α y α y α y ) d 2 w 6: 2 m 23: 2 Dunque la funzione di log-verosimiglianza sarà la seguene :

28 28 l( θ, y) = log f (y, y,, y θ ) + log f ( y I ; θ ) = 24 l( θ y, y,, y ) log f ( y I ; θ ) = 24 T l( θ y, y,, y ) log 2 π ( ω+ αε + βσ ) + T T = 24 ( α α α α ) 2 T y + y + y + y 2 ( ω+ αε + βσ ) 0 d w 5: m 22: 2 2 = 24 Noi supponiamo che all inerno della famiglia di disribuzioni di probabilià uilizzaa come modello paramerico sia conenuo il modello vero, che ha generao le osservazioni del campione a disposizione. Tuavia, è possibile che il modello da noi uilizzao non sia il vero modello generaore dei dai. Per queso moivo uilizzeremo il crierio della Quasi Massima Verosimiglianza (Halber Whie) al fine di oenere delle sime consiseni dei parameri. Il crierio della Quasi Massima Verosimiglianza si basa sul crierio di informazione di Kullback-Leibler ( KLIC ), che rappresena una misura della discrepanza ra la vera (e ignoa) disribuzione G( y ) e la famiglia di funzioni di riparizione uilizzaa F( y, θ ). g( Y ) KLIC( g : f ) = Eg log = Eg log g( Y ) Eg log f ( Y ) f ( Y θ ) [ ] [ θ ] Per minimizzare il crierio di informazione di Kullback-Leibler è necessario rovare quel valore * θ, che rende massimo Eg[ log ( )] f Y θ. Dunque * θ è il valore di θ che rende minima la discrepanza ra il vero modello e quello usao. Uno simaore di E [ log ( )] g specificao. f Y θ è la funzione di log-verosimiglianza del modello erroneamene n l( θ, y) = log f ( Y θ ) n = Quindi lo simaore di quasi massima verosimiglianza sarà: ˆ θn = arg max l( θ, y)

29 29 La condizione di correa specificazione del modello saisico è condizione sufficiene, ma non necessaria per la consisenza dello simaore ˆn θ. Imponendo alcune condizioni di regolarià è possibile dimosrare che lo simaore di quasi massima verosimiglianza ha disribuzione asinoica normale. Si supponga che esisano il gradiene e l Hessiana di f ( Y θ ) rispeo a θ, e si definiscano le segueni marici : An ( θ ) = n Bn ( θ ) = n n = n = 2 log f ( Y θ ) i θ θ log f ( Y θ ) log f ( Y θ ) i θ θ Si supponga inolre che esisano i valori aesi necessari al calcolo delle segueni marici : n 2 log f ( Y θ ) A( θ ) = E i = θ θ n log f ( Y θ ) log f ( Y θ ) B( θ ) = E i = θ θ Se esisano le inverse di Aθ ( ) e A ( θ ) e siano n ( ) ( ) C θ = A ( θ ) B ( θ ) A ( θ ) n n n n C θ = A( θ ) B( θ ) A( θ ) Allora per n n ˆ N C * inolre p C ( θ ) = C θ * d * ( θn θ ) (0, ( θ )) lim ˆ ( ) n n n Dunque la marice C θ è uno simaore consisene della marice di covarianza * n( n ) ignoa * C( θ ). 3.5 Variabili dummy e jump La classe di modelli HAR-GARCH riesce ad inerpreare la memoria lunga e l eeroschedasicià condizionale del processo. Abbiamo però verificao che l assunzione di normalià dei residui viene rigeaa con mola evidenza. Se si osserva la serie sorica dei residui nel Modello.2 sono evideni dei jump occasionali che sono presumibilmene legai a delle news macroeconomiche o a

30 30 degli eveni specifici relaivi alla socieà. In paricolare, nell arco dei sei anni del campione, osserviamo re periodi in cui la volailià del iolo raggiunge dei picchi che il modello non riesce ad inerpreare. Tale fenomeno induce degli oulier nella serie dei residui che provocano a loro vola un aumeno dell indice di curosi e asimmeria e un rilevane allonanameno dall ipoesi di normalià. Nel Modello.3 abbiamo cercao di considerare i jump inserendo una variabile dummy per ogni singolo giorno in cui il realized range raggiunge un picco non inerpreabile dal modello. Possiamo considerare la scela di inrodurre delle variabili dummy come una semplificazione del problema; inquano la leeraura include degli approcci che permeono da un lao di separare la componene di jump da quella di volailià (ale approccio è principalmene legaa alla realized variance), oppure di modellizzare il realized range con un modello che include una componene di jump. Abbiamo considerao nell equazione della media del Modello.3 sei variabili dummy. Possiamo noare che il es sul rapporo di verosimiglianza accea il Modello.3; l inserimeno delle variabili dummy migliora significaivamene l adaameno ai dai. Nella figura 9 dell apendice viene riporaa l analisi dei residui del Modello.3; si può noare che il Tes di Ljung-Box accea l ipoesi nulla di assenza di auocorrelazione dei residui fin dal primo riardo. Se raffroniamo le sime oenue sul Modello.2 e sul Modello.3 si può osservare un incremeno nella componene di volailià seimanale, e un decremeno della componene giornaliera e mensile quando includiamo le variabili dummy. Il es di Jarque-Bera rifiua l ipoesi nulla di normalià dei residui, ma in modo meno evidene rispeo al Modello.2; infai l indice di asimmeria dei residui assume il valore di,79 menre l indice di curosi 9,68. Dunque ci avviciniamo all ipoesi di normalià della disribuzione dei residui. 3.6 Variabili Esogene Cerchiamo ora di esendere il Modello.3 HAR-GARCH, inserendo nell equazione della media del processo e, in seguio, nell equazione della varianza alcune variabili esplicaive esogene quali : - Tasso di cambio Euro/Dollaro (EU)

31 3 - Prezzo del perolio (OP) - Tasso di ineresse a breve ermine (RB) - Tasso di ineresse a lungo ermine (RL) - Sandard & Poors 500 (SP) Ci aendiamo che la volailià del iolo J.P.Morgan non dipenda esclusivamene dal suo passao, ma dipenda in modo significaivo anche dall andameno del mercao, e quindi da una o più delle variabili precedeni. Noi analizzeremo il rendimeno logarimico di ogni singola esogena, riardaa di un solo lag. In apendice, figura 8, sono riporai i grafici della serie sorica delle cinque nuove variabili e il relaivo rendimeno logarimico. Simiamo inizialmene il Modello.4, dove abbiamo una specificazione HAR per la media del processo in cui inseriamo la differenza logarimica delle variabili esogene; e una specificazione GARCH per il momeno secondo. Le sime oenue sono riporae in abella 4, e osserviamo che l unica esogena significaiva, ad un livello del 5%, è l indice Sandard & Poors 500 (SP); dunque indicando : dlsp = (log SP log SP ) il Modello.4 ha la seguene specificazione : RR = α + α RR + α RR + α RR + δ dlsp + h u (20) 0 d w 5: m 22: u Ω : N(0,) h = ω+ α u + β h 2 Se confroniamo il Modello.4 con quello precedene ci accorgiamo che l inserimeno della variabile esogena nell equazione della media del processo ha migliorao l adaameno ai dai. Si può noare che il Tes di Ljung-Box accea l ipoesi nulla di assenza di auocorrelazione dei residui fino al riardo 30. Il coefficiene dell indice Sandard & Poors assume un valore negaivo -0,00676; dunque all aumenare dell indice diminuisce la volailià del iolo. Nel Modello.5 abbiamo inserio le esogene nell equazione del momeno secondo del processo; consideriamo l esponenziale del rendimeno logarimico di ogni variabile che enra nell equazione della varianza, al fine di imporre il vincolo di posiivià della sessa varianza condizionaa.