Sviluppi recenti nell analisi empirica della Politica Fiscale

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2 Sommario Nuove esensioni dell analisi VAR Inroduzione Serie soriche e processi socasici I processi VAR e sazionarieà Sima dei VAR Uso dei VAR Analisi Causale Analisi dinamica ed il problema dell idenificazione La previsione nei modelli VAR I Favar Modellazione grafica Inroduzione Serie soriche mulivariae Conclusioni Idenificazione in Modelli SVAR Moneari Uilizzando la Teoria dei Grafi Inroduzione Analisi della poliica monearia nei modelli SVAR e idenificazione: una breve panoramica Modellazione Grafica e SVAR Specificazione del modello e dai Risulai empirici Conclusioni Bibliografia Gli effei di uno shock di poliica fiscale: is i all in he iming? Inroduzione La Leeraura Meodologia Empirica Sruura del FAVAR Sima ed Idenificazione Dai Risulai Conclusioni Bibliografia

3 A mio mario e ai miei figli Michele e Alberico Maria Desidero esprimere la mia sincera graiudine al Professor Sergio Desefanis per i preziosi insegnameni, per la disponibilià e coresia dimosraemi. Ringrazio seniamene il Do. Maeo Fragea sempre prono a dirimere i miei dubbi durane la sesura di queso lavoro. 3

4 Nuove esensioni dell analisi VAR Nel passao un numero elevao di lavori empirici ha uilizzao la meodologia VAR per analizzare l effeo quaniaivo e il iming di shock moneari sull economia. Sebbene i modelli VAR siano ampiamene uilizzai per racciare l'effeo di innovazioni di poliica monearia sull'economia, le informazioni conenue in quesi modelli empirici porano ad almeno due poenziali problemi noi come overfiing e price puzzle. Scopo di quesa pare di lavoro è quello uilizzare due meodologie in grado di arginare i limii del modello VAR avvalendoci sia della Teoria dei Grafi, che basandosi sulle correlazioni parziali ra i valori correni e riardai delle variabili nel modello, rappresena una valida soluzione al problema di imporre resrizioni per idenificare un VAR, che delle ecniche sviluppaesi di recene nell ambio dell analisi faoriale in ambio mulivariao. 4

5 1- Inroduzione La ricerca economica è pervasa dalle domande su cause ed effei. Sono domande apparenemene eerogenee, ma ue richiedono una cera conoscenza del processo causale araverso il quale le variabili assumono i valori che osserviamo. Un approccio radizionale per affronare ali quesioni è l'uso di priors basae sulla eoria economica. La piera di paragone di queso approccio è rappresenao dal lavoro di Haavelmo (1944), che ha ispirao il programma di ricerca successivamene perseguio da pare della Cowles Commission (Koopmans, 1950; Hood e Koopmans, 1953). Qui, il processo causale è formalizzao per mezzo di un modello di equazioni sruurali, cioè un sisema di equazioni con variabili endogene, variabili esogene, e ermini d'errore, sviluppao da Wrigh (1921). Queso approccio è sao foremene criicao nel 1970 per essere inefficace, sia nella poliica di valuazione che nella previsione. Lucas (1976) ha soolineao che la eoria economica conenua nei SEM non riesce a considerare le moivazioni e le aspeaive degli ageni economici che secondo Lucas, sono in grado di anicipare l'inerveno poliico e agire in conraso con la previsione derivaa dal modello di equazioni sruurali, poiché il modello di solio ignora ali anicipazioni. L approccio della Cowles Commission nel considerare la eoria economica, rischia di cadere in un circolo vizioso: se le informazioni causali possono essere derivae esclusivamene dalla eoria di fondo, risula difficile giusificarle empiricamene. Un approccio alernaivo è sao perseguio da Wiener (1956) e Granger (1969). Esso mirava a inferire relazioni causali direamene dalla proprieà saisiche dei dai basae solo in misura minima sulla conoscenza di fondo della eoria economica. Granger (1980) propone un conceo probabilisico di causalià, simile a Suppes (1970). Granger definisce la causalià in ermini di prevedibilià (ad orizzone uno) di una variabile, dai i valori passai e preseni. I VAR Sruurali cosiuiscono una via di mezzo ra l approccio Cowles Commission e l approccio della causalià di Granger. I modelli SVAR mirano a recuperare il conceo di causalià sruurale, ma eviano al empo sesso il fore apriorismo dell approccio Cowles Commission. L'idea è, come per l approccio Cowles, di aricolare un modello sruurale, formalizzao come modello dinamico: ad ogni unià di empo, il sisema è influenzao da innovazione inosservae, con le quali, una vola filrae dal modello, le variabili vengono a prendere i valori che osserviamo. Ma, diversamene dell approccio Cowles Commission e similmene al modello VAR-Granger, il processo generaore dei dai è abbasanza aricolao in modo che le variabili delle serie 5

6 emporali non sono disinguibili a priori ra esogene ed endogene. Un modello SVAR lineare è in linea di principio un modello VAR aumenao dalla sruura delle conemporanee. La logica di fondo è quella di espliciare la sruura di correlazioni isananee ra le variabili, nascosa nella marice di varianza/covarianza dei ermini di disurbo del VAR, organizzando ali correlazioni secondo uno schema sruurale e imprimendo ad esse una direzione di causalià. In sosanza si cerca di "idenificare" un insieme di shock indipendeni e di analizzare la reazione nel empo di ue le variabili del sisema rispeo a ali shock. Il modello VAR, proposo da Chris Sims, pone l'acceno maggiormene sulle proprieà saisiche del modello e su ques ulimo uavia, si ambisce a creare un modello inerpreabile economicamene e che permea di idenificare una relazione di lungo periodo che coinvolga ue le variabili considerae. I VAR nella sua formulazione generale, saranno di seguio illusrai, meendone in luce gli aspei generali ed il maggior uilizzo che ne è sao fao, mosrando però allo sesso empo alcuni dei problemi a cui si va inconro nell uilizzare ale modello empirico. Una possibile soluzione proposa in leeraura verrà poi illusraa in relazione al problema dell idenificazione e dell eccessiva paramerizzazione. 2- Serie soriche e processi socasici Una serie sorica è rappresenaa da una serie di osservazioni prorae nel empo su di una deerminaa grandezza. Lo srumeno che uilizziamo per far frone all esigenza di rovare una meafora probabilisica per le serie soriche osservae è il processo socasico. Una serie sorica rappresena una sequenza ordinaa nel empo di variabili casuali, che non vanno vise come realizzazioni disine, bensì come un unica realizzazione di un processo socasico, la cui memoria o persisenza è rappresenaa dal grado di connessione ra le variabili che lo compongono. Per poer fare inferenza, un processo socasico deve presenare due caraerisiche: 1. Sazionarieà 2. Ergodicià. 6

7 In leeraura sono sae inrodoe due diverse nozioni di sazionarieà, ossia sazionarieà fore e sazionarieà debole. Nel primo caso, le caraerisiche disribuzionali di ue le marginali rimangono cosane nel empo: F [Y ( 1 ), Y ( 2 ),..., Y ( n )]= F [Y ( 1 + k), Y ( 2 + k),..., Y ( n + k)] per ogni e per ogni k.. Tui i momeni esiseni del processo sono cosani e, perano, la funzioni di densià congiuna sono indipendeni dal empo. Un processo socasico si dice sazionario in senso debole se solo i momeni primi e secondi sono cosani nel empo, menre i momeni superiori al secondo possono dipendere dall ampiezza emporale. In alri ermini un processo è sazionario in senso debole se: - il valore medio è cosane nel empo - la varianza è finia e cosane nel empo: omoschedasicià; - l auocovarianza fra X e X+k dipende solano dallo sfasameno emporale. Un processo socasico è ergodico quando la sua memoria è limiaa, presenando dunque una persisenza limiaa, condizione necessaria per poer fare inferenza sulle caraerisiche disribuive del processo. L ergodicià viene spesso sineizzaa con la seguene proprieà: lim n 1 n Cov x, x k 0 n k 1 Il processo socasico più semplice è il cosiddeo rumore bianco (whie noise). Esso è cosiuio da una sequenza di variabili casuali incorrelae a media nulla e varianza cosane 2 spesso indicao con WN (0, ). Un processo whie noise non presena momeni superiori al secondo ed ha media e varianza cosani nel empo dove le variabili casuali non conferiscono al processo alcune memoria di sé. Sulla base del eorema di Wold, qualsiasi processo socasico y che sia almeno debolmene sazionario può essere scrio come la somma di due processi non correlai d e x, dove d è un processo deerminisico che può essere previso sulla base del suo passao, e x è un processo che ammee una rappresenazione a media mobile di ordine infinio: y = d + x con x i 0 i i 7

8 Dea espressione garanisce che qualsiasi processo debolmene sazionario ammee rappresenazione Moving Average al limie infinia. 3- I processi VAR e sazionarieà Sia dao un veore y di dimensioni (nx1), la sua rappresenazione auoregressiva veoriale di ordine finio 1 può essere così descria: y Ay 1 (1) oppure A( L) y con A( L) I AL Nella relazione (1) si assume che il comporameno di ogni componene del veore y è spiegao dal passao della variabile sessa e dal passao di ue le alre variabili considerae nel modello e dove per semplicià non si è consideraa la pare deerminisica.. Inolre non viene espliciamene modellaa alcuna forma di legame isananeo ra le variabili endogene. Tuavia, i legami simulanei ra le endogene esisono e sono nascosi nella marice di varianza/covarianza dei ermini di errore. Il passaggio dalla forma ridoa alla forma sruurale, come vedremo in seguio, richiederà la definizione delle relazioni conemporanee Per ciò che riguarda la sazionarieà, se vale la relazione (1), allora sarà pure vero che : sosiuendo nella prima oeniamo: ripeendo n vole: y 1 Ay y A y 2 A 1 y A n 1 y n 1 n A... A 1 n Al crescere di n il primo addendo scompare se A n ende a 0 al endere di n all infinio e si può dimosrare che ciò è vero se gli auovalori λ di A, ali per cui vale la relazione A I 0 covarianza., sono minori di uno in valore assoluo e quindi il processo è sazionario in 8

9 Se il processo è sazionario esise la sua rappresenazione veoriale a media mobile di ordine infinio [VMA( )] che si oiene inverendo la componene auoregressiva: y [ A( L) 1 ] ( L) 4- Sima dei VAR Il modello auoregressivo veoriale (VAR), è un sisema di equazioni nel quale viene rappresenaa l'inera sruura delle correlazioni dinamiche ra le variabili economiche di ineresse, dove ue le varabili assumono naura endogena i cui legami simulanei sono "nascosi" nella marice di varianza/covarianza dei ermini di errore, che è, in generale, una marice non diagonale. I parameri di un VAR si possono simare in modo consisene per mezzo dei minimi quadrai ordinari (OLS). Lo simaore OLS coincide con lo simaore di massima verosimiglianza (ipoizzando la normalià dei residui ) e con lo simaore SUR. In presenza di variabili coinegrae, il sisema può essere simao ramie il meodo di massima verosimiglianza imponendo o meno il vincolo di rango ridoo implicao dalla presenza di coinegrazione. Lo simaore OLS, equazione per equazione, produce sime consiseni e asinoicamene normali di ui i coefficieni. La sima della marice di covarianza per mezzo dei minimi quadrai ordinari OLS fra i residui è uno simaore consisene della marice di varianza -covarianze degli errori. Le sime risulani sono consiseni e il modello VAR simao può essere uilizzao a fini previsivi e per simulazioni dinamiche. 5-Uso dei VAR L affermazione dei modelli VAR avviene inorno agli anni 80 in seguio alla profonda crisi che sava araversando la modellisica economica radizionale basaa sui modelli simulanei sruurali di elevaa dimensione e complessià che presenavano problemi in fase di cosruzione, sima e simulazione e che avevano mosrao inolre scarse performance previsive. Il modello auoregressivo veoriale è un sisema di equazioni nel quale viene rappresenaa l'inera sruura delle correlazioni dinamiche ra le variabili economiche di ineresse 9

10 meendo in relazione i valori correni di un dao insieme di variabili economiche con i valori passai. In ale ipologia di modelli e, diversamene dai sisemi di equazioni simulanee, ue le variabili assumono naura endogena, menre sono considerai esogeni solo gli shock eserni al sisema. Da un puno di visa conceuale i modelli VAR sono modelli di serie soriche ad equazioni muliple di ipo dinamico in cui ogni variabile è posa in relazione con ue le alre variabili, riardae di un cero numero di periodi compresi i riardi di se sessa che non richiedono a priori alcuna imposizione di vincoli per la specificazione dei parameri. I VAR possono essere uilizzai per diversi fini. Di seguio ci soffermeremo su re aspei, che rappresenano probabilmene gli uilizzi più rilevani di modelli empirici in macroeconomeria e cioè l analisi causale, l analisi dinamica a cui è legao il problema dell idenificazione e la previsione. 5.1 Analisi Causale Le relazioni di causa-effeo sono molo complesse da sabilire in un analisi empirica di dai economici. Se osserviamo una correlazione fra due variabili X e Y, si può affermare che esisee una elevaa correlazione ra le due variabili, ma in assenza di alre informazioni non possiamo dire nulla sui nessi causali che le collegano. Porebbe darsi che X sia la causa di Y, che Y sia la causa di X o addiriura che ci sia una erza variabile (non osservaa o non consideraa) che sia la causa comune di enrambe. A vole è la eoria economica a venirci in aiuo. Tuavia, come in mole circosanze, la eoria non offre indicazioni univoche: in ali casi, esise una definizione di causalià che offre la possibilià di deerminare il senso del nesso causa-effeo su basi puramene saisiche, ed è basaa sul principio che la causa precede sempre l effeo: se un eveno X si verifica prima di un alro Y, è ragionevole pensare che sia sao l'eveno X a deerminare l eveno Y. I valori passai della variabile X causano i valori di un'alra variabile Y se il loro verificarsi aiua a spiegare il comporameno correne di ques'ulima. Viceversa, se X non causasse Y, variazioni in X non dovrebbero produrre variazioni sisemaiche nei valori fuuri di Y. Queso conceo fornisce la cosiddea causalià nel senso di Granger, dal nome dell'economisa Granger che può essere definia nel seguene modo: X GC Y E(y y 1,y 2,..., x 1, x 2,...) = E(y y 1,y 2,...) 10

11 ossia che le osservazioni sul passao di X sono uili nel predire Y. La semplicià della sua applicazione ha fao sì che la Granger-causalià è saa impiegaa nella macroeconomia empirica. In realà, il conceo di Granger-causalià è roppo meccanico per rispecchiare il conceo di causalià ineso dagli economisi ano che sono sae sollevae delle obiezioni sia di naura saisica, basae sul fao che una variabile X può essere Granger-causale per un alra variabile Y o meno a seconda di quali alre variabili siano preseni nel sisema, che conceuale, ovvero, il conceo logico di causa-effeo prescinde da ciò che accade nel empo fisico. In paricolare, è possibile che la causa si manifesi solo dopo l effeo, quando queso è influenzao dalle aspeaive. 5.2 Analisi dinamica ed il problema dell idenificazione Nella meodica VAR la eoria economica non enra in gioco ma si procede con i meodi ipici della economeria delle serie soriche; moivo queso per cui ale approccio è sao spesso definio come "aeorico". Essenziale divena quindi una selezione delle variabili a priori che debbono essere inrodoe nel sisema rendendo quindi necessaria una conoscenza economica a priori del fenomeno da analizzare che conraddice quella a-eoricià normalmene aribuia al meodo VAR. In queso modo si inserisce nel modello VAR non vincolao una sruura, di origine eorica, e l inserimeno di ali vincoli corrisponde alla sruuralizzazione del modello VAR. Supponiamo di avere un se di n variabili economiche capaci di cogliere il processo generaore dei dai. Una vola simao il modello di riferimeno, rappresenae da un veore y di processi socasici, ui sazionari in covarianza, che possiedono una rappresenazione auoregressiva di ordine finio (p). y = A 1 y 1 + A 2 y A p y p + u sfruando l operaore riardo il VAR si può riscrivere nel modo seguene: A( L ) y u dove p è un inero posiivo e dove le u sono indipendeni con disribuzione normale mulivariaa di media zero, ovvero: 11

12 u ~ N(0, ) E(u u ) = [0] se il polinomio caraerisico è inveribile C(L)=A-1(L) per il eorema di Wold avremo Y C( L ) u rappresenazione veoriale a media mobile (VMA) : cioè il modello può essere scrio nella y u C u 1 1 C2u 2.. inolre moliplicando la (1) per A 0 si ha : A 0 y = A 0 A 1 y 1 + A 0 A 2 y A 0 A p y p + ε ε = A 0 u ovvero gli i residui sono una combinazione lineare degli shocks. Per calcolare le rispose ad impulso sruurali poniamo: + Per cui IRF(i,j,n) la risposa di impulso allo shock sruurale ci permeerebbe di valuare come rispondono nel empo le quanià osservabili rispeo ad uno shock che impaa su una relazione comporamenale e per queso vien deo sruurale. La marice A non è noa per cui va simaa considerando la marice di varianze-covarianze di, cioè Σ poiché è l unica saisica osservabile che può servire da base per la sima. Normalizziamo gli shock sruurali avremo:. I disurbi rappresenano l errore che si commee effeuando la previsione all isane successivo. In generale ogni elemeno di è il risulao dell inerazione di ui gli shock fondamenali preseni nell economia, cosa che si può inuire dalla sruura della marice di varianze-covarianze, che non essendo diagonale, prevede una inerazione conemporanea ra i diversi errori cioè non è possibile, disinguere gli effei su y provenieni da uno shock cui è soggea una variabile. Per far sì che ogni errore possa essere inerpreao come shock 12

13 fondamenale, è necessario eliminare ogni ipo di componene sisemaica, prima fra ue la correlazione ra di essi e ciò dà luogo al problema dell idenificazione. Sims risolse il problema orogonalizzando (marice dei residui) araverso la rasformazione: A 0 u = ed imponendo che la marice di varianze e covarianze abbia una sruura diagonale, cioè sia E( ) = D, dove D = diag. In assenza di vincoli, il sisema sarà in generale indeerminao essendo composo da n 2 incognie, gli elemeni della marice A 0, e da n(n+1)/2 equazioni, poiché è una marice simmerica nxn. Per oenere l idenificazione del modello ed avere esaa idenificazione, è necessario imporre e giusificare n(n 1)/2 vincoli. In leeraura una delle ipoesi maggiormene uilizzaa per oenere l idenificazione è quella ricorsiva proposa da Sims (1980). La proposa originale consiseva, come già deo, nell arrivare all orogonalià degli errori ramie lo schema riangolare dao dal faore di Choleski della marice. La marice A 0 è riangolare inferiore e i valori della sua diagonale principale sono ui uguali ad 1. Ciò equivale a modellare le relazioni conemporanee ra le variabili di ineresse in modo ricorsivo, ossia imporre che gli shock orogonali u hanno effei simulanei sugli elemeni di y in base allo schema riangolare dao dal faore di Choleski. In paricolare uno SVAR ricorsivo è un VAR nel quale la prima variabile del veore y non è conemporaneamene causaa da alcun alra variabile, la seconda variabile del veore è conemporaneamene causaa solo dalla prima, la erza conemporaneamene causaa solo dalle prime due, e così via. Dunque, la prima variabile del veore è la più esogena dell insieme ed è causaa solo dai suoi riardi e dai riardi delle alre variabili inserie in y, menre l ulima variabile del veore è la più endogena ed è causaa dai sui riardi, dai riardi delle alre variabili del VAR, e dalle realizzazioni conemporanee di ue le alre variabili. Implemenaa quesa imposizione, il sisema si ramua in jus idenified, quindi è possibile sfruare gli elemeni della marice di varianza-covarianza al fine di calcolare quelli della marice A 0. La riangolarià di A 0 implica che il primo errore di previsione sia funzione solo del primo shock sruurale, il secondo errore di previsione sia funzione dei primi due e così via. L ordinameno degli elemeni all inerno del veore Y non è arbirario, ma segue una precisa logica: la prima variabile del VAR viene perurbaa solo dal primo shock sruurale, ossia, il primo shock sruurale coincide con l errore di previsione della prima variabile; il secondo shock sruurale, invece, risula idenificao per differenza: viso che sulla seconda variabile impaano solo i primi due shock sruurali, il secondo shock u2 sruurale risula definio come il secondo errore di previsione u2 al neo di u1 o di ε1. Da quano deo 13

14 emerge che la scela dell ordinameno delle variabili è assoluamene cruciale nell inerpreazione dei risulai di un VAR riangolarizzao. Quesa ipoesi ha imporani implicazioni sia da un puno di visa economico, poiché si assume che l economia abbia una sruura ricorsiva, che saisico in quano si rendono le funzioni di risposa ad impulso di scomposizione della varianza dipendeni dall ordinameno delle variabili del VAR. Schemi alernaive all idenificazione Cholesky si basano sia sull'uso di resrizioni a priori basae sulla eoria economica, di breve e/o lungo periodo. La prima soluzione consise nell imporre vincoli economicamene plausibili sull inerazioni conemporanee ra le variabili (Blanchard e Wason, 1986; Bernanke, 1986). La seconda soluzione si basa sull ipoesi che alcune degli shock hanno un effeo di lungo periodo sulle alre variabili (vedi Shapiro e Wason, 1988; Blanchard e Quah, 1989; King e al., 1991). 5.3 La previsione nei modelli VAR La rappresenazione del processo n-dimensionale y rappresenare la realizzazione del medesimo processo al empo +s: può essere uilizzaa al fine di y s s s 1 s 1 2 s 2... s 1 1 F1,1 ( y ) F1,2 ( y 1 )... F1, k ( y k ) s s dove la generica marice è uguale al blocco cosiuio dalle prime n righe delle prime n colonne della marice oenua come la poenza j-esima di F, può essere oenua araverso sosiuzioni successive nella: y s )... ( y ) 1( y ) ( y s 1 2 s 2 k s k s Supposi noi i parameri del modello, la migliore previsione lineare nella espressione di cui sopra è oenua per mezzo della regola a caena della previsione: al primo sadio si prevede y +1 sulla base dei valori assuni dal processo ra -k+1 e. ~ y y ) ( y )... ( y ) 1 1( 2 1 k k 1 14

15 Tale previsione è oenua ponendo E(ε +1 )=0 ; l errore di previsione un passo in avani è pari ε +1 e ha marice di varianza/covarianza pari a Σ ε. Nel secondo sadio si prevede y +2 sulla base di ~ y 1 e dei valori sorici del processo ra (-k+2) e. Ierando il meccanismo e ponendo E( ) 0, s 0: s Si oiene ~ y ( ~ ) ( ~ )... ( ~ s 1 y 2 y s 2 k y s k ) s 1 Un risulao equivalene si oiene applicando lo sesso schema alla (1.25) y~ F y ) F ( y )... F ( y ) s s s s 1,1 ( 1,2 1 1, k k Alla luce di quano su esposo, la previsione del VAR s passi in avani è funzione lineare dei valori sorici preseni e passai di y. Per s=1 essa è inolre funzione lineare dei parameri del VAR, menre è funzione non lineare di quesi ulimi per s>1, il problema della non linearià può essere superao impiegando la regola a caena della previsione. L errore di previsione è: s 1 0 ~ con 0 In s 1 In sinesi: l errore di previsione descrive un processo VMA(s-1); esso è sazionario, ergodico e a media nulla, le previsioni sono non disore; perano, la marice di varianza/covarianza dell errore di previsione è: MSE s 1 ~ 0 i ' i e i suoi elemeni diagonali possono essere uilizzai per la cosruzioni di inervalli di confidenza inorno alla previsioni delle singole componeni del processo y. 15

16 L incerezza delle previsioni di ciascuna delle n componeni del VAR cresce al crescere dell orizzone previsivo. La sazionarieà del processo garanisce che essa sia limiaa; infai se, s, y~ e la marice di varianza/covarianza delle previsioni converge alla s marice di varianza/covarianza non condizionaa di y. Se i coefficieni del modello non sono noi, ma simai, non è più rispeaa la proprieà di non disorsione delle previsioni s passi in avani, per s>1. Per semplificare si può considerare un processo AR di ordine 1 del ipo valore aeso delle previsioni 2 passi in avani nel caso di coefficieni simai è: y 1 : il y ~ 2 E( y ) ( ˆ 2 y 2 E 2) y E( 1) E( 2), che è uguale a zero. Inolre, poiché le previsioni sono disore la loro varianza non coincide con il MSE. Le espressioni che descrivono le previsioni punuali e la loro varianza sono oenibili sosiuendo ai valori veri dei parameri una loro sima. Tuavia, poiché non è noa la disribuzione esaa dei parameri simai appare chiaro che nulla può essere deo circa la disribuzione esaa delle previsioni. Per quano riguarda la sruura dell errore di previsione, esisono due foni di errore: una erraa specificazione del modello e l errore dì sima. Quindi l errore di previsione è pari: s ( y s ~ y s ) ( ~ y s yˆ s s 1 ) i i 0 s i ( ~ y s yˆ s ) dove i ermini ŷi descrivono i valori prodoi dalla sima del VAR. Se vale l ipoesi che i ermini di errore del processo siano errori bianchi e indipendeni, le due componeni dell errore di previsione della (1.32) non sono correlae. Perano, la marice di varianza/covarianza della differenza ra le previsioni risula dalla somma di ~ e dalla marice di varianza/covarianza della differenza ra le previsioni basae sul modello vero e quelle basae sul modello simao. La definizione della forma esaa di ques ulima marice richiederebbe la conoscenza della disribuzione per campioni finii della sima di un VAR, che sappiamo essere non noa. È possibile ricavare un approssimazione asinoica di ale 16

17 marice : ~ y s ' Sviluppi receni nell analisi empirica della Poliica Fiscale ~ y s Q poiché le sime del VAR sazionario raccole nel veore ˆ [ ] ˆ sono consiseni e asinoicamene normali. In conclusione, la varianza complessiva dell errore di previsione dipende da una prima componene ~, che è crescene al crescere dell orizzone previsivo, e da una seconda componene che è funzione ˆ. La rilevanza della seconda componene è ano più ridoa quano più asinoicamene efficiene è la ecnica con cui vengono simai i parameri del modello. Nel caso di un orizzone previsivo di un solo periodo il conribuo dao dall errore di sima alla varianza complessiva dell errore di previsione dipende posiivamene dalla dimensione e dall ordine del VAR e negaivamene dall ampiezza campionaria. Le considerazione appena riporae evidenziano che la sovraparamerizzazione che affligge i VAR di dimensioni medio-grandi, con effei negaivi in ermini di efficienza delle sime, ha ripercussioni anche sul piano della previsione. 6- I Favar I meodi VAR sono uilizzai quando il numero di variabili nel modello è relaivamene piccolo (re o quaro e raramene più di dieci). Tuavia, nella maggior pare delle economie moderne, il macroeconomisa vuole includere più informazioni possibili, e può essere desiderabile, perano, lavorare con il maggior numero di variabili possibile. Queso può porare a modelli con un gran numero di variabili e ad una proliferazione dei parameri da simare. La maggior sfida per i ricercaori dunque, è quella di cosruire modelli che siano abbasanza flessibili ed empiricamene rilevani, e che caurino le caraerisiche delle variabili fondamenali dell economia ma che al empo sesso, manengano il modello parsimonioso. I modelli faoriali a parire da Geweke (1977), dove l informazione in ceninaia di variabili viene disillaa in alcuni faori, è sao il modo più comune per raggiungere ale obieivo. Applicazioni come Forni e Reichlin (1998), Sock e Wason (1999, 2002), Bernanke e Boivin (2003), hanno reso popolare il meodo a faori. Sebbene i modelli SVAR siano ampiamene uilizzai per racciare ad esempio l'effeo di innovazioni di poliica monearia sull'economia, le informazioni conenue in quesi modelli empirici porano ad almeno due poenziali problemi. In primo luogo, le informazioni di cui le banche cenrali e il seore privao dispongono non sono ineramene caurae nel coneso 17

18 VAR, perano la misurazione delle innovazioni di poliica monearia rischiano di non rispecchiare la realà. Un secondo problema derivane dall'uso dei VAR nell analisi della poliica monearia, è che una risposa d'impulso può essere osservaa solo per le variabili incluse, che generalmene cosiuiscono solo un piccolo sooinsieme delle variabili su cui i ricercaori e i policy maker vogliono inferire. Una soluzione al problema delle informazioni limiae è cosiuia dall uilizzo di una meodologia che combina l analisi VAR con l analisi faoriale: veori auoregressivi aumenaa dei faori (FAVAR). Ques approccio uilizza ecniche di esrazione dei faori da un vaso insieme di serie soriche al fine di oenere un insieme relaivamene piccolo di sequenze in grado di sineizzare un gran quaniaivo di informazioni. Le informazioni che ale meodologia uilizza garaniscono con maggior precisione la correa idenificazione del meccanismo di rasmissione monearia. Sia un veore Mx1 di variabili economiche osservabili. Seguendo l'approccio sandard, si porebbe procedere uilizzando un VAR sruurale, o alri modelli di serie soriche mulivariaa uilizzando i dai per le sole Y. Tuavia, in mole applicazioni, poenziali informazioni economiche aggiunive non sono compleamene caurae dalle Y, ma piuoso possono essere riassuni in un veore K x 1 di faori inosservai,, dove K è relaivamene "piccolo". I faori inosservai porebbero essere l aivià economica o le condizioni di credio che non possono essere rappresenai da uno o due serie, ma necessiano di un gran numero di serie soriche. Consideriamo la dinamica congiuna di (, espressa dalla seguene equazione di ransizione: [ ] ( [ ] dove ( è un polinomio di ordine finio d, che porebbe conenere delle resrizioni a priori. L espressione di cui sopra non può essere simaa direamene in quano i faori, non sono osservabili. Perano, si considera un veore di dimensioni Nx1 di serie soriche. Il numero di serie soriche informaive N può essere molo grande ed in paricolare, N può essere maggiore di T, dove T rappresena la lunghezza emporale del campione. 18

19 Una frequene assunzione, presena le serie soriche X legae ai faori non osservabili alle variabili osservabili nel seguene modo: e dove è una marice di dimensioni di pesi faoriali, è una marice e il ermini d errore è un veore con media zero che si può assumere debolmene correlao. L'equazione di osservazione coglie l'idea che sia che in generale, possono guidare le dinamiche delle. Bernanke, Boivin e Eliasz (2003) considerano un approccio a due sadi. La procedura a due fasi è analoga a quella uilizzaa da Sock e Wason [2002] per verificare le performance previsive dei modelli aumenai dei faori. Nella prima fase, lo spazio araversao dal faori è simao uilizzando componeni principali di, che indichiamo con (,. Si noi che la sima del primo passo non considera che sia osservao. Tuavia, come mosrao in Sock e Wason [2002], quando N è grande e il numero delle componeni principali uilizzai è grande almeno quano il vero numero di faori, fa si che le componeni principali recuperino anche lo spazio araversao da. Nella seconda fase, l'equazione di ransizione, è simaa uilizzando meodi sandard, sosiuendo con. Quesa procedura ha il vanaggio di essere compuazionalmene semplice e facile da implemenare. Tuavia l approccio a due fasi compora la presenza di regressori generai nel secondo passaggio, che viene risolo facendo uso delle ecniche di boosrap. 7- Modellazione grafica 7.1 Inroduzione La modellazione grafica (GM) è un approccio saisico relaivamene nuovo, proposo nei primi anni seana, e poi sviluppaa negli anni oana. L'arazione principale del meodo è il modo in cui presena le relazioni ra le variabili casuali in un coneso mulivariao. La fase iniziale dell approccio è rappresenaa dal calcolo delle correlazioni parziali ra le variabili nel sisema. I risulai sono presenai in un grafico, dove le variabili casuali sono rappresenae da nodi e una significaiva correlazione parziale ra due variabili casuali è conrassegnaa da una linea che li collega chiamaa bordo. Se le variabili nel grafico sono congiunamene disribuie come una disribuzione gaussiana mulivariaa una significaiva 19

20 correlazione parziale implica la presenza di dipendenza condizionale. Per queso moivo il grafico è chiamao grafico d indipendenza condizionale (CIG). Una rappresenazione grafica che fornisce maggiori informazioni nell ambio dei GM è il grafico direo aciclico (DAG). Queso è un grafico direo, rappresenao nella figura soosane, dove le frecce collegano i nodi e in cui la disribuzione congiuna delle variabili può essere espressa come una sequenza di disribuzioni marginali condizionae la cui funzione di densià congiuna può essere definia come f (a,b,c) = f (a b,c), f (b) f (c). B A C Figura1 :DAG Anche se il DAG e il CIG rappresenano una diversa definizione della probabilià, vi è una corrispondenza ra i due rappresenaa dalla regola di moralizzazione. Dao queso risulao, si può oenere il CIG dal DAG rasformando le frecce in linee e collegando i geniori con il bordo morale. A A C C B B 1A 1B Figura 2: Moralizzazione di un DAG Menre il CIG rappresena le associazioni ra le variabili, sia in ermini di dipendenza condizionale o di correlazione parziale se la disribuzione non è gaussiana, il DAG ha un'inerpreazione naurale in ermini di causalià. Il DAG è molo araene per le sue implicazioni causali, ma in praica uo ciò che possiamo osservare, è il CIG. Al fine di oenere il DAG dal CIG dobbiamo applicare la regola inversa della moralizzazione, ovvero 20

21 la regola della demoralizzazione. Tuavia menre la rasformazione di un DAG in un CIG è unico, l'operazione inversa di idenificazione e rimozione dei bordi morali non è unica. 7.2 Serie soriche mulivariae La sruura delle correlazioni dinamiche ra le variabili economiche può essere rappresenaa da un veore auoregressivo VAR (k) dove sono veori di osservazioni, sono i coefficieni, è la cosane è il veore dell errore, che si presume sia iid. Se la marice di covarianza dell errore non è diagonale, i rappori ra le componeni di sono conenui nella marice di varianza-covarianza dell errore. Per evidenziare ali rappori, è possibile rappresenare il VAR(k) nella seguene forma sruurale (SVAR): Dove per e con marice di covarianza Un veore auoregressivo sruurale è definio sauro quando le variabili correni al empo, ad esempio, dipendono dalle variabili passae, ovvero se non ci sono zeri nei veori dei coefficieni. Tuavia spesso alcune variabili non svolgono alcun ruolo significaivo nello spiegare le variabili correni,, perano il valore del coefficiene corrispondene è zero e quindi lo SVAR è definio sparso: X 1, X 2, X 3, X 1,-1 X 2,-1 X 3,-1 Rappresenazione di un VAR sauro L esempio di un SVAR sparso è mosrao dalla seguene figura: 21

22 . X 1, X 2, X 3, X 1,-1 X 2,-1 X 3,-1 Rappresenazione di un VAR sparso Queso diagramma che rappresena lo SVAR, è un esempio di un grafo orienao aciclico (DAG) dove le variabili sono i nodi, e la dipendenza causale è indicaa dalle frecce che collegano i nodi. L'insieme di nodi (o loro variabili associae) che causano un alro nodo sono noi come geniori di quel nodo, e ques ulimo, come loro figlio. L'idenificazione è fondamenale per oenere la versione sruurale. L approccio della modellazione grafica all idenificazione dei modelli VAR è empirico, ed uilizza saisiche appropriae ese all idenificazione del modello. 8- Conclusioni Il modello auoregressivo veoriale (VAR), è uno srumeno che consene di rappresenare l'inera sruura delle correlazioni dinamiche ra le variabili economiche. Il più grande problema che si inconra nelle applicazioni dei VAR è connesso alla loro inefficiene paramerizzazione, che sembra precludere la possibilià di analizzare sisemi di medie e grandi dimensioni. Tuavia, i modelli SVAR, richiedono in generale l'imposizione di una serie di resrizioni, che porebbero essere basae su ipoesi discuibili. Sebbene i modelli SVAR siano ampiamene uilizzai per racciar e ad esempio l'effeo di innovazioni di poliica monearia sull'economia, le informazioni conenue in quesi modelli empirici porano ad almeno due poenziali problemi. In primo luogo, le informazioni di cui le banche cenrali e il seore privao dispongono non sono ineramene caurae nel coneso VAR, perano la misurazione delle innovazioni di poliica monearia rischiano di non rispecchiare la realà. Tale problema può essere in pare risolo 22

23 alla luce delle ecniche sviluppaesi di recene nell ambio dell analisi faoriale in ambio mulivariao. Un approccio alernaivo all idenificazione di Cholesky e all uso di resrizioni a priori basae sulla eoria economica, fa uso della eoria del Graphical Modelling che basandosi sulle correlazioni parziali ra i valori correni e riardai delle variabili nel modello, rappresena una valida soluzione al problema di imporre resrizioni per idenificare un SVAR. Nel seguio del lavoro illusrerò due applicazioni empiriche, dove in un caso verrà uilizzao il Graphical Modelling al fine di idenificare il modello, nell alro uilizzerò un modello VAR aumenao dei faori. Tali soluzioni propose, rappresenano, a giudizio di chi scrive, dei migliorameni sosanziali nell ambio dell approccio macroeconomerico. 23

24 Idenificazione in Modelli SVAR Moneari Uilizzando la Teoria dei Grafi Nella leeraura SVAR che uilizza le resrizioni emporali su variabili conemporanee al fine di idenificare shock di poliica monearia non vi è ancora unanime consenso. La eoria dei grafi sfrua proprieà saisiche dei dai al fine di idenificare i modelli SVAR e può far luce sul dibaio esisene in leeraura. effeueremo una comparazione inernazionale considerando l Unione Monearia Europea (EMU), il Giappone e gli Sai Unii. L informaion se delle auorià monearie, la cui definizione è essenziale al fine di idenificare gli shock di poliica monearia, sembra essere cosiuio da dai ad ala frequenza. Inolre, non è ancora sao sabilio in leeraura se l EMU debba essere consideraa un economia chiusa o apera. I nosri risulai indicano che il asso ufficiale EMU sembra dipendere dal Federal Funds rae degli Sai Unii. 24

25 1-Inroduzione Dopo la criica di Lucas (1976), le possibili opzioni di poliica economica vengono valuae facendo uso dei modelli d equilibrio generale dinamico di ipo socasico (DSGE). I Veori Auoregressivi (VAR) sono invece voli ad illusrare come empiricamene le variabili macroeconomiche rispondono agli shock di poliica economica, al fine di discriminare ra diversi modelli eorici. Sims (1980), nel fornire il nuovo paradigma VAR, ha proposo la decomposizione di Cholesky sulla marice delle relazioni conemporanee al fine di oenere l idenificazione, oenendo una marice riangolare inferiore o superiore. Tale paricolare ordinameno è spesso non supporao da crieri economici e saisici. Inolre, quando vi è correlazione ra i residui della forma ridoa, le funzioni di risposa ad impulso dipendono dalle ipoesi idenificaive. Pare della leeraura di poliica monearia uilizzaa nei modelli VAR, illusraa da Chrisiano, Eichenbaum e Evans (1999), non è esene da ali considerazioni. Essi hanno uilizzao una sruura riangolare a blocco, basao sulla decomposizione di Cholesky sulla marice delle relazioni conemporanee al fine di oenere l'idenificazione del modello. Essi hanno anche supposo che il se informaivo delle auorià monearie comprendesse osservazioni su oupu e relaivi componeni e prezzi, ossia, che il asso di ineresse, il quale rappresena lo srumeno principe della poliica monearia, sia endogeno al valore conemporaneo di ali variabili. Menre con i dai mensili, ciò implica una resrizione minima, per ciò che riguarda gli effei della poliica monearia sulle variabili macroeconomiche, con dai rimesrali, il problema è più soile. Inolre, è ben noo che le auorià monearie oengono misure rimesrali del PIL e del deflaore del PIL, solo con un cero riardo. Una prospeiva diversa, ad esempio, è offera da Kim e Roubini (2000), ra gli alri. Essi sosengono che le informazioni in possesso delle auorià monearie dipendono dalla disponibilià di dai in ermini di frequenza in relazione allo srumeno di poliica monearia. Adoano inolre un veore auoregressivo sruurale (SVAR), dove la marice delle relazioni conemporanee derivaa per oenere l'idenificazione è sparsa. Il Graphical Modelling (GM) è uno srumeno relaivamene recene, che permee, ra le alre cose, di oenere l'idenificazione nei VAR, Oxley e al. (2009). GM è un meodo di ipo 25

26 preamene saisico, basao sull'analisi delle correlazioni parziali ra le variabili. Esso dà luogo al cosiddeo grafico di indipendenza condizionaa (CIG). In una fase successiva, ue le informazioni conenue nei rappori ra le variabili casuali del sisema vengono uilizzae in modo sisemaico al fine di oenere l'idenificazione. Quesa procedura permee di ridurre in modo sensibile il numero dei poenziali SVAR che possono aver luogo da una generica forma ridoa. Conciliare idenificazione saisica con assunzioni a priori di naura economica è molo difficile. Uno dei pochi esempi è offero da Garra e al. (2003), che hanno imposo e saisicamene esao le assunzioni economiche di lungo periodo adoae nel loro modello saisico. In un coneso di minimi quadrai ordinari, GM permee di fare affidameno per l'idenificazione di uno SVAR, su proprieà saisiche di dai basai sul conceo di prevedibilià lineare. Lo scopo del lavoro è quello di fornire una prospeiva di ipo più preamene saisico, per ciò che riguarda l idenificazione nei modelli SVAR moneari. A al fine, si prenderanno in considerazione re diverse economie appareneni al G-7: gli Sai Unii, la Germania fino alla fine del 1998 per poi considerare l Unione monearia europea (UEM) ed il Giappone. Gli Sai Unii rappresenano indubbiamene un economia chiusa, menre il Giappone un'economia apera. Per l'uem, saremo agnosici, poenzialmene considerandola come un economia apera. Per gli Sai Unii, con il nosro approccio idenificaivo sarà possibile far luce sul dibaio esisene nella vasa leeraura, per ciò che riguarda le varie ipoesi idenificaive esiseni basae su priors di ipo economico. Analizzeremo poi, anche Giappone e UEM, per le quali, nonosane le diversi poenziali sraegie di policy messe in ao, porebbero emergere alcune caraerisiche simili agli Sai Unii, al fine di poer rafforzare i risulai derivani dall analisi condoa. Inolre per l'uem, che nel nosro modello possono poenzialmene dipendere dagli Sai Unii, il nosro approccio permeerà anche di sabilire se essa possa o no, essere consideraa un economia chiusa. Il lavoro è organizzao come segue. La sezione 2 descrive una breve panoramica sulle sraegie di idenificazione adoae in leeraura per ciò che concerne i modelli VAR. Nella sezione 3 illusreremo la meodologia economerica adoaa in queso lavoro. La sezione 4 ha ad oggeo la descrizione dei modelli e dunque variabili uilizzae per i vari paesi, menre nella sezione 5 illusreremo e discueremo i risulai empirici. La Sezione 6 è dedicaa alle conclusioni. 26

27 2 - Analisi della poliica monearia nei modelli SVAR e idenificazione: una breve panoramica Il VAR è una sruura piuoso semplice, che fornisce un modo sisemaico di caurare ricche caraerisiche dinamiche riguardani le serie soriche in un coneso mulivariao. Presena re diverse forme: ridoa, ricorsiva e sruurale. Il modello veoriale auoregressivo di ordine p, ad m dimensioni mosra la seguene forma ridoa: x c A x 1 1 A2 x 2... A p x p e Dove c fa si che x possa avere media diversa da zero e dove la generica x dipende dai propri valori passai, i valori passai di ue le alre variabili ed un emine di errore, che si assume serialmene incorrelao e la cui marice di varianza-covarianza V è generalmene non diagonale. L'ordine p del VAR, può essere deerminao con la minimizzazione di un crierio d informazione, come l indice Akaike (AIC), l Hannan e Quinn (HIQ) e lo Schwarz (SIC). Il VAR ricorsivo può essere espresso come: B 0 x d B x 1 1 B2 x 2... B p x p u dove B i =B 0 A i, per i=1,, p, d= B 0 c e u = B 0 e con marice di covarianza B 0 VB 0 =D che si assume essere diagonale. Le ipoesi di idenificazione, in genere moivae da opinioni soggeive sulle dinamiche macroeconomiche, sono in genere espresse con riferimeno alla marice delle relazioni conemporanee B 0 in modo ricorsivo, così come sperimenao per la prima vola da Sims nel Daa la correlazione ra i residui nella forma ridoa, i risulai dipendono dall'ordinameno delle variabili e ci sono m! VAR ricorsivi che rappresenano ui i possibili ordinameni. Il VAR sruurale, inrodoo da Blanchard e Wason (1986), Bernanke (1986) e Sims (1986), fa un uso maggiore della eoria economica al fine di idenificare il modello. Esso è volo a specificare una singola equazione, in modo che un singolo nesso di causalià venga espresso al fine di idenificare il modello fino ad arrivare all uilizzo di diverse relazioni 27

28 conemporanee in ermini di nessi causali. In queso ipo di VAR, la marice B 0 delle relazioni conemporanee derivaa per oenere l'idenificazione è sparsa. Blanchard e Quah (1989), hanno uilizzao un approccio differene alla idenificazione, con riferimeno a proprieà degli shocks nel lungo periodo, menre Uhlig (2005), ra gli alri, ha adoao una idenificazione basaa su prior sui segni che le ripose all impulso debbono avere, in genere per ciò che concerne l impao degli shock di ineresse sulle variabili del modello. L'imposizione di resrizioni di breve periodo per oenere l'idenificazione è un aspeo complesso e conroverso, soprauo per ciò che riguarda i modelli che analizzano la poliica monearia. Come documenao da Chrisiano, Eichenbaum ed Evans (1999), non vi è un opinione unanime sulle relazioni conemporanee al fine di individuare gli effei di uno shock esogeno di poliica monearia. Essi si basano in genere su ciò che si rienga possa rappresenare congruamene le procedure operaive adoae dal decision-maker. La leeraura che ha uilizzao i VAR ha prevalenemene focalizzao la sua aenzione su uno schema idenificaivo che consene al ricercaore di simare una inerpreabile regola di poliica monearia, che sia chiaramene connessa allo sao dell'economia e che implica una divisione delle variabili in re diversi insiemi: 1. X 1 : il se informaivo: il blocco delle variabili di cui è noo il valore quando la poliica economica è decisa e che quindi cosiuiscono le variabili osservae dalle auorià monearie nel decidere come fissare il proprio srumeno operaivo. 2. Lo srumeno di policy 3.X 2 : Il blocco di variabili il cui valore è noo solo quando la decisione di policy è saa già inrapresa. Esso è in genere cosiuia da una sruura ricorsiva a blocchi che fa uso della decomposizione di Cholesky, dove si assume che lo srumeno operaivo non abbia un impao immediao sul primo blocco di variabili X 1, menre ha un effeo conemporaneo sul blocco di variabili X 2. Dopo il lavoro di Bernanke e Blinder (1992), nella leeraura VAR, si assume che lo srumeno uilizzao dalle auorià monearie per impaare sull economia, sia cosiuio dal asso di ineresse ufficiale della Banca Cenrale. In ale seing, Chrisiano e al. (2005), ra gli alri, assumono che olre ai valori riardai delle variabili preseni nel 28

29 modello, il se informaivo della banca cenrale sia cosiuio dal valore conemporaneo di variabili preseni nel mercao dei beni, quali ad esempio, inflazione e prodoo inerno lordo. Un opinione diversa è emersa in leeraura riguardo l'imposizione di resrizioni sulle relazioni conemporanee dei SVAR, dove si assume che il se informaivo dell'auorià monearia possa essere cosiuio solo da dai che vengano prodoi a più ala frequenza rispeo allo srumeno di policy, vedi Kim e Roubini, (2000). 3- Modellazione Grafica e SVAR In quesa sezione verranno illusrae le idee generali che soendono l'approccio GM per poi descrivere la sua applicazione ai modelli VAR. La modellazione grafica è un approccio saisico relaivamene recene che mira a rivelare i rappori di causalià di ipo saisico sulla base delle correlazioni parziali osservae nei dai. I primi conribui alla meodologia sono dovui a Dempser (1972) e Darroch, Laurizen e Speed (1980). Il primo passo della procedura consise nel calcolare le correlazione parziali ra le varie possibili coppie di variabili, correlazioni condizionae su ue le alre variabili preseni nel modello, che possono poi essere esae uilizzando degli appropriai es saisici. In al modo si dà luogo al primo oggeo di cui è cosiuio il GM, ossia il grafico di indipendenza condizionale (CIG), così come illusrao in figura 1A, dove le variabili casuali sono rappresenai da nodi e una correlazione parziale significaiva dal puno di visa saisico da una linea chiamaa bordo. In queso caso, per esempio, il bordo che collega i nodi A e B, rappresena una correlazione parziale significaiva ra A e B condizionaa su C. A C A C B 1A 1B B Figura 1: CIG ed un poenziale DAG corrispondene Una correlazione parziale significaiva implica dipendenza condizionale se le variabili sono congiunamene disribuie come una mulivariaa gaussiana. Da ciò il nome di grafico di indipendenza condizionale (CIG). L'oggeo successivo del GM è il grafico direo aciclico 29

30 (DAG). Nel coneso dei minimi quadrai lineari, le variabili incluse in un CIG possono essere caraerizzae da relazioni in ermini di prevedibilià lineare, così oenendo un DAG, che è quindi più informaivo del CIG. Nel DAG nella figura 1b, ad esempio, A ha poere prediivo su B. Ciò che si può direamene osservare è il CIG, dove ogni bordo può assumere due possibili direzioni, quindi il numero poenziale di DAG è pari a 2 n, dove n è il numero di bordi. Ci sono due regole saisiche, che permeono di ridurre il numero dei poenziali DAG derivani da un CIG. In primo luogo, la regola della moralizzazione, secondo la quale, considerando ad esempio il CIG nella figura 1A, consene di escludere il DAG nella figura 1B, in cui A e C hanno poere prediivo su B, dao che, saisicamene, una correlazione parziale significaiva ra A e C dovrebbe essere osservaa nel CIG nella figura 1A. Un esempio dovrebbe fornire una comprensione più inuiiva della regola della moralizzazione: ho un amico che non vedo da molo empo e che oggi è un giocaore di calcio. Supponiamo che per essere un giocaore di calcio (P), un individuo deve avere buone capacià (S) e/o deve lavorare duro (W). Quindi S e W hanno poere prediivo su P. Ciò che io so è che lui è un giocaore di calcio e so anche che lui non aveva buone capacià (S). L'unica cosa che possiamo dedurre è che ha lavorao duro (W). In praica, conoscendo P ed S siamo sai in grado di dedurre W e queso è sao possibile solo sulla base della correlazione ra W ed S. In secondo luogo, qualsiasi DAG deve soddisfare il principio di aciclicià, poiché queso permee di deerminare compleamene la disribuzione congiuna di un insieme di variabili. La Figura 2 mosra un CIG con corrispondene DAG che può essere escluso daa la sua ciclicià. A C A C B B 2A 2B Figura 2: Un CIG con corrispondene DAG ciclico. L aciclicià di un DAG implica un ordinameno ricorsivo delle variabili, dando luogo ad una marice riangolare che nella maggior pare dei casi sarà sparsa: ogni elemeno dipenderà da nessuno, uno o più elemeni. 30