2 I MODELLI ECONOMETRICI E LA LORO COSTRUZIONE

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1 Francesco Carlucci Traccia per un corso di Economeria Modulo I Concei di base I MODELLI ECONOMETRICI E LA LORO COSTRUZIONE Indice del capiolo. Analisi economica e analisi economerica...3. I modelli e le loro caraerisiche...7 Modelli saici e dinamici...7 Il breve e il lungo periodo...8 Modelli fisici e analiici...9 Le variabili logarimizzae, i assi di variazione e le elasicià....3 Il processo di specificazione...4 Specificazione eorica e specificazione economerica Tassonomia delle equazioni... Equazioni di comporameno... Equazioni isiuzionali... Equazioni ecniche... Equazioni definiorie... Idenià... Funzioni di reazione....5 Forma sruurale e forma ridoa delle equazioni...4 La sruura economica...4 Forma ridoa di un modello...5 Un modello di domanda e offera Variabili eoriche e variabili osservabili...9 Schemi di aese adaive...9 L operaore di riardo L La causalià nelle relazioni economiche...33 La causalià in un modello di domanda e offera...33 Causalià e curva di Phillips...34 L imposazione di D. Hume...35 La causalià secondo G.H. Orcu...36 L imposazione di H. Simon...37 La causalià secondo H. Wold Linearizzazione di modelli non lineari rispeo alle variabili...4 La endenza emporale come curva polinomiale deerminisica...4 Semplici forme di equazioni non lineari nelle variabili...4 Il seniero di equilibrio di lungo periodo in forma coninua...4 Il modello nei logarimi delle variabili...43 Riparamerizzazioni...43 La rasformazione delle variabili di Box-Cox...43 Il modello lineare...45 Il modello reciproco...45 Il modello semilogarimico...45 Il modello log-lineare Analisi dimensionale...46 Dimensioni fondamenali /3/3, 7.5 Edizione.

2 Modulo I Concei di base Variabili di sock e variabili di flusso...48 La soddisfazione...48 Verifiche dimensionali delle equazioni Esercizi...5. Riferimeni bibliografici...5 -

3 Modulo I Concei di base. Analisi economica e analisi economerica Per illusrare con chiarezza il significao e gli obieivi dell economeria è opporuno parire da alcuni conenui dell analisi economica per effeuarne poi un esensione in ermini di elaborazione economerica; si riesce così più facilmene a meerne in risalo le caraerisiche specifiche e ad evidenziarne le poenzialià. Un analisi economica di grande rilevanza fu faa da J.M. Kenes (936) quando formulò la relazione ra il consumo c e il reddio rappresenabile nella forma c = α + β (..) dove c ed sono variabili menre α e β sono parameri, e la caraerizzò mediane le proposizioni segueni: - la funzione è sabile nel empo; - l inercea α è posiiva e la propensione marginale al consumo β è posiiva e inferiore all unià α >, < β < (..) - la propensione β è inferiore alla propensione media. Dal puno di visa maemaico la forma (..) è lineare sia rispeo ai parameri che alle variabili. Per oenere una forma non lineare rispeo a quese è sufficiene prendere i logarimi naurali di quese ln c = α + β ln. Per ipoizzare le relazioni (..)-(..) il Kenes si basò essenzialmene su considerazioni eoriche ed il funzionameno reale del sisema economico fu da lui esaminao, a queso proposio, solano in maniera descriiva. Sempre nell ambio dell analisi economica è possibile supporre che la funzione del consumo offra una descrizione migliore della realà economica se viene sosiuio dal reddio disponibile d dove v è l imposa globale sul reddio = v (..3) ( v) c = α + β (..4) In economeria si usano solano i logarimi in base e. -3

4 Modulo I Concei di base in quano un esame anche semplificao del comporameno dei consumaori può condurre a rienere che essi basino le decisioni di spesa sulla quanià di reddio che hanno effeivamene a disposizione una vola che siano derae le impose. Equazioni quali le (..) e (..4) sono dee saiche in quano legano le variabili c, e v allo sesso empo; ma si può presumere, sempre congeurando in ermini di eoria economica, che il consumo c al empo sia piuoso funzione del reddio goduo nei periodi precedeni come nella relazione seguene c α >, < β < (..5) = α + β dove le variabili sono associae ad un indice emporale e c è funzione lineare del reddio riardao di un unià emporale, oppure nell alra c (..6) = α + β + β + β dove la variabile sussise sia al empo correne che riardao di una e due unià. La (..6) può essere uleriormene generalizzaa fino a considerare k riardi del reddio c = α + β +β β k -k ma sorge in al caso un dissidio fra gli aspei eorici e quelli empirici dell analisi, deerminao dal fao che il numero di riardi k, pur essendo relaivamene semplice da deerminare in ermini empirici, è difficile da giusificare in ermini eorici (perché k e non k+ o k-?). Quesa uleriore esensione ha quindi un aspeo di arbirarieà (il numero di riardi k) che risula difficilmene conciliabile con le esigenze di generalià dell analisi eorica. Queso dissidio può essere ricomposo se si generalizza la (..6) fino a considerare infinii riardi emporali, oenendosi lo schema a riardi disribuii infinii c = α + β + β + β + = α + β... j j (..7) j= nel quale la moivazione economica consise nel rienere che il consumo sia funzione di ua la soria passaa del reddio. Si noi che in effei è difficile poer supporre che esisano influenze significaive dalle j sulla c per riardi j molo grandi. Dal puno di visa economico, però, la (..7) ha il pregio di non imporre un riardo di roncameno k arbirario. Al conempo, nonosane in essa figurino infinii parameri, la (..7) ha una fore moivazione in ermini operaivi, daa la facilià con cui lo schema a riardi disribuii infinii può essere rasformao, maemaicamene, in modo da -4

5 Modulo I Concei di base ridurre il numero, infinio, di parameri molo parsimoniosa. Se si fanno le ipoesi β j preseni ed oenere una relazione j β j = β ρ, ρ < < (..8) che sono foremene vincolani dal puno di visa economico, sosiuendo nella (..7) si oiene c α + β + βρ + βρ... (..9) = + che, riardaa di un unià emporale, divena c α + β + βρ + βρ... (..) = 3 + Soraendo, infine, dalla (..9) la (..) moliplicaa per ρ si oiene c ( ρ) α + β ρc = (..) cioè, ponendo ( ρ) α = α', c = α +ρc ' + β (..) che mosra come lo schema (..7) con infinii parameri rasformao in un alro conenene solano α, β e ρ. β j possa essere Dunque, soo le ipoesi (..8) due modelli (..7) e (..) sono equivaleni, sebbene il secondo sia ben più parsimonioso del primo. Dal puno di visa economico, uavia, non è affao deo che le (..8) siano adereni alla realà. In alre parole, il dissidio fra aspei eorici e aspei empirici è sao ricomposo inserendo un elemeno di rigidià nel modello, cioè l ipoesi che i β j decrescano secondo una progressione geomerica. Osservazione. - La quanià c ρc è chiamaa quasi differenza della c ; se ρ = si ha una differenza della c. Passando dalla (..9) alla (..) si dice che si è operao con una quasi differenza sulla c. Osservazione. - Dal puno di visa della specificazione economica le due funzioni (..7) e (..) differiscono per il fao che nella prima il consumo è funzione del reddio riardao una, due,..., infinie vole, menre nella seconda essa è funzione del solo reddio correne e di se sesso riardao una sola vola. Osservazione.3 - Se una variabile economica è funzione di se sessa riardaa una o più vole sussise un fenomeno di inerzia emporale; nella (..) il consumo è una variabile inerziale. -5

6 Modulo I Concei di base All inerno della eoria economica, a queso puno, è difficile, per non dire impossibile, deerminare quale sia la relazione migliore, ra quelle espose, in ermini di adeguaezza alla rappresenazione del funzionameno reale del sisema economico; in paricolare, la speculazione eorica non è idonea a definire compiuamene la dinamica economica e quindi a discriminare ra le (..5), (..6) e (..) che presenano il reddio ed il consumo associai ad indici emporali diversi. Per effeuare una scela razionale, allora, è necessario esaminare la realà empirica non più solano in forma meramene descriiva, ma con un indagine più avanzaa che uilizzi convenienemene i meodi saisici per la deerminazione (araverso una sima) dei parameri e per la valuazione (ramie un crierio di oimo) di ciascuno dei modelli proposi. Dall analisi economica si passa, in al guisa, all analisi economerica. Durane le indagini empiriche accade sovene che si abbiano dei suggerimeni o delle indicazioni sul come modificare le ipoesi economiche di parenza, che quindi sono soggee ad essere nuovamene deagliae ed analizzae con la meodologia fornia dalla saisica, oppure, ancora, daa una formulazione eorica di parenza, avviene frequenemene che l uso del procedimeno economerico per convalidarla o per confronarla con alre ipoesi non ano conduca ad una sua conferma o negazione ma piuoso possa suggerire, in virù dei rirovai empirici, modificazioni o ampliameni di caraere eorico che nauralmene solano il ricercaore con adeguaa preparazione economica può sfruare inegralmene. La conseguenza di quese argomenazioni è che si sviluppa un analisi economerica composa da fasi di speculazione economica eorica e da fasi di indagine empirica non separabili bensì foremene inegrae ra di loro. 3 Dunque non è sufficiene l uso dei dai osservai, come ad esempio l asserio da Spanos (986, p.3), a disinguere l economeria dalle alre forme di sudio dei fenomeni economici. L analisi descriiva di quesi può esser effeuaa all inerno di una speculazione economica ma non è condizione sufficiene a farla denominare economerica. 3 Non ha ragion d essere, quindi, la veusa idea secondo la quale la disamina economerica è solano srumenale rispeo a quella economica. -6

7 Modulo I Concei di base. I modelli e le loro caraerisiche Modelli saici e dinamici Le relazioni (..) e (..4) ra le variabili c ed cosiuiscono dei modelli rappresenaivi di ipoesi economiche, e le disuguaglianze (..) cui sono soggei loro parameri α e β ne cosiuiscono pare inegrane. Quesi modelli sono rappresenazioni formali ed idealizzae delle caraerisiche osservae di regolarià e sabilià dei fenomeni economici soo sudio e vengono specificai in base al processo ineraivo di speculazione eorica ed indagine empirica descrio nel paragrafo precedene. 4 Tali caraerisiche sono anche chiamae fai silizzai (si veda più avani la figura.). I modelli (..) ed (..4) sono dei saici poiché vi inervengono solo variabili correni, cioè sono associae allo sesso empo ; i modelli (..5) (..6) (..7) e (..) sono dei dinamici in quano conengono variabili sia correni che riardae di una o più unià emporali. Poiché i fenomeni economici evolvono nel empo, i modelli dinamici hanno una rilevanza ben più grande degli saici, ma occorre ener presene che quesi ulimi possono sovene essere considerai come rappresenaivi dei senieri di equilibrio di lungo periodo dei modelli dinamici. Consideriamo ad esempio la relazione dinamica (..), che lega l andameno del consumo a quello del reddio. Se si suppone, per semplicià, che il reddio segua un seniero cosane = (..) allora anche il consumo enderà a seguire una raieoria cosane c. Sosiuendo, la (..) divena α β c = + ρ ρ (..) che è analogo al modello saico (..); ques ulimo, dunque, può essere viso come la relazione di equilibrio di lungo periodo ra il consumo ed il reddio nel caso in cui il modello di breve periodo sia quello dinamico (..) ed il comporameno di lungo periodo del consumo sia definio dalla (..). Osservazione.4 - Nella (..) il paramero β, che misura l effeo immediao di un incremeno del reddio sul consumo, può essere considerao come la propensione marginale al consumo di breve periodo 4 Il conceo moderno di modello può essere fao risalire i lavori di R. Frisch [935-36] e J. Tinbergen [939]. -7

8 Modulo I Concei di base menre ricaviamo dalla (..) che quella di lungo periodo vale β/(-ρ). Dao che ρ< la propensione di breve è minore di quella di lungo periodo. Ovviamene, se ρ =, cioè se la (..) divena un modello saico, le due propensioni sono uguali. Il breve e il lungo periodo La differenziazione ra il breve e il lungo periodo assume imporanza basilare non solano quando si raa la eoria economica ma anche quando si cosruisce un modello. Si ebbe un esempio di queso conceo quando fu osservao che negli anni compresi ra le due guerre mondiali negli U.S.A. la relazione ra il consumo di reddio, piuoso che essere del ipo (..), risulava ale che: - nel lungo periodo la propensione media al consumo c/ era cosane; - nel breve periodo ale rapporo oscillava Un fao silizzao: l'ipoesi di Duesenberr Ialia c/ Dlog -. Figura. Andameno del rapporo c / (propensione media al consumo) e del asso di crescia del PIL in Ialia nel periodo dal 96 al 997, dai annuali. La propensione media presena un andameno di fondo lievemene crescene (da.5 a.6) e, in accordo con l ipoesi di Duesenberr, oscilla aumenando nelle fasi di recessione dell aivià economica (diminuzione di log ) e diminuendo in quelle di espansione (aumeno di log ). In alre parole, le due serie sono inversamene correlae: il loro coefficiene di correlazione campionario è pari a Inolre fu noao che per ogni dao individuo ale rapporo diminuiva all aumenare del reddio, fao queso che J.S. Duesenberr [949] spiegò con la -8

9 Modulo I Concei di base ipoesi del reddio relaivo, secondo la quale la percenuale di reddio consumao da ogni individuo non dipendeva direamene dal suo reddio assoluo, ma dalla sua posizione, in ermini di percenili, nella disribuzione del reddio; in alre parole, dal suo reddio relaivo. Analiicamene quesa ipoesi può essere scria nella forma c = α + β, α >, < β ; = max( s ; s < ) (..3) dove è il reddio massimo goduo dall individuo nel passao; nel lungo periodo si può rienere che il reddio cresca ad un saggio cosane γ > per unià di empo ( + γ) (..4) = analogamene a quano ipoizzao nella (..) per il consumo, per cui è =, e la (..3) diviene c (..5) = α +β( + γ) con rapporo c / cosane. Nel breve periodo, d alro cano, si ha che durane le fasi di recessione è < e quindi c / aumena, menre in quelle di espansione è > ed il rapporo consumo su reddio diminuisce, come indicao dalla evidenza empirica. Nella figura. è illusrao lo schema di queso comporameno. Osservazione.4 - L ipoesi di seniero di crescia di lungo periodo (..4) per il reddio è una delle ane che si possono fare, anche se molo comune. Poiché da essa si rae, parendo dalla cosane che è il valore che assume all origine dei empi per =, che... = = ( + γ) ( + γ) = ( + γ) sosiuendo ieraivamene si oiene ( + γ) = (..6) che rappresena un alra forma, anche quesa molo adoperaa, dell ipoesi (..4). La è una condizione iniziale, al di fuori della serie sorica { } Modelli fisici e analiici I modelli sono impiegai in mole branche della scienza per aiuare a comprendere e rappresenare siuazioni complesse di vario ipo. Un modello in scala ridoa di -9

10 Modulo I Concei di base aeromobile o di auoveura posi nella galleria del veno possono essere usai per sudiare gli effei aerodinamici dell aria sul velivolo o sulla veura; i geografi usano modelli opografici per riprodurre le caraerisiche fisiche di aree di ineresse. Tui quesi sono esempi di modelli fisici. Un modello analiico è invece cosiuio da un insieme di relazioni maemaicologiche che rappresenano le caraerisiche principali di ceri fenomeni secondo una eoria od una ipoesi. Esempi ineressani sono i modelli maemaici della circolazione delle correni amosferiche e quelli che rappresenano i movimeni ellurici in aree più o meno vase della superficie erresre. Modelli di queso ipo sono uilizzai anche in economia: un esempio è cosiuio dall insieme di relazioni di domanda e di offera di un cero bene, con le quali si ricercano gli effei di sposameni della curva di domanda o di quella di offera sul prezzo e sulla quanià; in quesa analisi si rappresena sineicamene un paricolare mercao inerpreao in base ad una deerminaa eoria economica e la sua formulazione analiica fornisce un modello di domanda e offera. Osservazione.5 - In quesi anni di fore sviluppo dei calcolaori si usa simulare con essi il comporameno di oggei fisici in deerminae circosanze (ad esempio in differeni condizioni aerodinamiche). In queso caso il modello è analiico, poiché la rappresenazione dell oggeo, anche se fisico, è effeuaa con relazioni maemaiche. Le variabili logarimizzae, i assi di variazione e le elasicià Spesso è conveniene uilizzare, al poso delle variabili originali, le loro rasformae oenue con i logarimi. La convenienza può essere duplice, saisica ed economica. Generalmene le serie soriche economiche presenano una endenza (crescene o decrescene) ed in funzione di quesa modificano la loro variabilià. Di solio in una serie con endenza crescene anche la variabilià aumena, e queso può creare difficolà sia nell ispezione grafica sia, come vedremo in seguio, nel suo raameno economerico: la logarimizzazione della serie ne produce un alra con una variabilià molo più cosane, ed in queso consise la convenienza del ipo saisico. Dal puno di visa economico, d alro cano, l uso delle variabili logarimizzae nelle equazioni permee di inerpreare alcuni parameri come elasicià. Consideriamo ad esempio l equazione della domanda di monea d ( r r ) ln m = α + β ln + β ln p + β (..7) 3 -

11 Modulo I Concei di base dove il simbolo ln denoa il logarimo naurale, m è la domanda di monea nominale, è il reddio in ermini reali, p è un appropriao indice dei prezzi e d ( r r ) è il differenziale fra il asso di ineresse sulle aivià alernaive a m ed il asso di ineresse sui deposii bancari. I assi di ineresse generalmene non vanno logarimizzai poiché rappresenano già di per sé valori percenuali. Se si opera sulla (..7) con una differenza prima nel senso definio nell osservazione. si oiene, dopo avere inserio gli indici emporali, ln d d ( ln ln ) + β ( ln p p ) + β [( r r )( r r )] m ln m = β ln 3 (..8) che può essere riscria anche nella forma = β & + β p& + β3 d ( r r ) m& (..9) dove il simbolo denoa appuno una differenza prima e il puno sopra una variabile indica una differenza prima logarimica (cioè m& = ln m ). Nella (..9) compaiono quindi alcune differenze prime logarimiche, che sono approssimaivamene uguali al asso di variazione delle rispeive variabili Ad esempio, al membro di sinisra si ha 5 ( m m ) m / ln m = ln m ln m (..) che, moliplicao per, produce un asso di variazione percenuale. La specificazione della (..8) è correa nel senso che fa corrispondere a variazioni percenuali del membro a sinisra alre variazioni percenuali a desra; se si logarimizzassero i assi di ineresse verrebbe a cadere la loro dimensione di saggio di variazione. L approssimazione (..) è semplice da dimosrare: sviluppando in serie di ln + z si ha Talor la funzione ( ) 3 4 ln ( + ) = z z / + z / 3 z / z (..) e ponendo si oiene z = m / m ( m / m ) ( m m )/ m... ln = + 5 Il segno indica approssimaivamene uguale a -

12 Modulo I Concei di base cioè la (..). Si noi che l approssimazione nella (..) è ano migliore quano più piccolo è il valore (compreso ra ed ) di z : infai i ermini di secondo, erzo,... grado sono ano più piccoli quano minore è z. Osservazione.6 È degno di noa il fao che operando con una differenza prima è saa eliminaa l inercea α. Ricordiamo ora che daa la funzione = f(x) si definisce elasicià di a x il rapporo fra assi di variazione η x = (..) x x Se nella (..9) ipoizziamo che ue le variabili esplicaive ranne il reddio siano cosani, essa si riduce alla & = β & m dalla quale si ricava immediaamene che il coefficiene β approssima l elasicià della monea al reddio β ln m = ln m m m = η (..3) dove l approssimazione è deerminaa dal fao che, secondo la (..), la differenza logarimica approssima il relaivo asso di variazione. 6 In modo analogo si chiarisce che il coefficiene β è l elasicià della monea al livello dei prezzi. 7 L elasicià definia nella (..) è riferia a un incremeno discreo della variabile indipendene x. È possibile dimosrare che in effei il coefficiene β (o, in modo analogo, il β ) approssima quesa elasicià discrea perché esso misura l elasicià cosiddea punuale, ovvero riferia ad un incremeno infiniesimo della x. 8 6 Si noi che l elasicià definia dalla (..3) è un elasicià parziale, perché è calcolaa manenendo cosani le alre variabili, e quindi ignorando, ad esempio, possibili reroazioni sulla monea araverso l effeo del prodoo sui prezzi o sui assi di ineresse. 7 Il coefficiene β3 ha un diverso significao, che verrà chiario spiegando il modello semilogarimico nel paragrafo.8. 8 Per la dimosrazione rinviamo all appendice A- di Johnson (984). -

13 Modulo I Concei di base Nella figura.4 sono espose le serie soriche dei assi di variazione annuali delle due variabili della figura., i consumi finali inerni delle famiglie ( c ) ed il prodoo inerno lordo ai prezzi di mercao ( ), nonché della propensione media al consumo c / per ogni empo. Dai primi due grafici si noa che il PIL possiede maggiore variabilià dei consumi finali inerni e che sussisono chiaramene almeno quaro ciclicià: la prima che pare all inizio del campione e procede fino al 975; la seconda comprende gli anni ; la erza gli anni e la quara ineressa il reso del campione. Il confrono ra le serie dei assi di variazione del soosane grafico della propensione media al consumo permee di rilevare che i due picchi negaivi della propensione media gli inizi degli anni 974 e 977 sono dovui al fao che nei periodi precedeni (nel corso del 973 e 976), il asso di crescia del reddio è sao superiore a quello del consumo. La propensione media, d alro cano, presena una endenza crescene abbasanza persisene, con una flessione nei primi anni 8 ed una successiva ripresa. Osservazione.7 I assi di variazione annuali della figura.4 sono sai oenui con le differenze quare logarimiche ln z ln z 4 operae sui dai rimesrali esposi nella figura.. -3

14 Modulo I Concei di base.3 Il processo di specificazione Un elemenare modello analiico di caraere economico formao da due equazioni è cosiuio dal seguene sisema saico di ipo kenesiano c = α +β = c + i < α, < β < (.3.) dove la prima equazione è la funzione del consumo (..) e la seconda è un idenià ex pos ra il reddio e la somma del consumo e delle spese auonome i. Nel sisema (.3.) sono preseni delle variabili, le, c ed i, che sono quanià che assumono valori generalmene differeni in circosanze (empi, luoghi, individui, ecc.) diverse, e dei parameri, le α e β, che servono a legare le variabili in forme funzionali precise e che spesso sono soggei a vincoli, ad esempio di disuguaglianza. Per quesi moivi è spesso opporuno o necessario definire l inervallo di variazione delle variabili e dei parameri: i prezzi, per esempio, sono non negaivi, i profii possono assumere valori sia posiivi che negaivi, la propensione marginale al consumo deve essere compresa ra zero ed uno. Le variabili deerminae all inerno di un modello sono dee endogene, menre quelle definie esernamene sono dee (deerminisicamene) esogene 9. La scela di quali variabili considerare come endogene e di quali alre come esogene è generalmene effeuaa in base alla formulazione eorica di parenza; nel caso del modello (.3.) possiamo, ad esempio, definire come endogene il reddio ed il consumo c, e come esogena la variabile spesa auonoma i. La deerminazione di quali variabili inserire in un modello, di quali considerare come esogene e quali endogene, delle relazioni funzionali da usare per meerle in relazione l una con l alra, cosiuisce il processo di specificazione del modello che si basa sulla procedura ineragene di analisi eorica ed indagine empirica illusraa in precedenza. Alcuni dei concei appena inrodoi possono essere ribadii anche sfruando un modello cosiuio da una sola equazione. Al poso della (..4) possiamo specificare una funzione del consumo nella quale queso sia funzione della ricchezza w c = α + γw (.3.) 9 Quesa forma di esogenià vale per modelli deerminisici; la definizione nel caso socasico è differene, come in seguio vedremo. -4

15 Modulo I Concei di base oppure un alra nella quale compaiano sia il reddio disponibile che la ricchezza d c = α + β + γw (.3.3) Quese due variabili considerae nella singola equazione (.3.3) sono esogene, ma in un coneso pluriequazionale porebbero essere endogene (in alre equazioni, come la nella prima delle (.3.)); è allora più conveniene chiamarle esplicaive (in queso caso, del consumo c ). Dal puno di visa della eoria economica la (.3.3) non pone soverchi problemi di cosruzione se non quelli derivani dall approccio che si predilige. Da quello economerico, viceversa, i problemi da risolvere sono moleplici. In primo luogo è necessario rovare dei conenui per w: ammesso che sia saa oenua una definizione precisa di cosa rappreseni (coniene la porzione di debio pubblico deenua dai privai? coniene il parimonio immobiliare?...), per la sima dei parameri occorre rovare i dai ad essa relaivi, una pare dei quali può essere di difficile, se non di impossibile, reperimeno. In secondo luogo la ricchezza delle famiglie, daa dai loro reddii sconai, è d foremene collegaa a ; variando queso, ende a variare nella sessa direzione d anche w, per cui influisce sulla variabile non solano direamene ma anche ramie la ricchezza. Si ha, dunque, su c una ridondanza di effei che può deeriorare la capacià rappresenaiva della specificazione (.3.3), in quano può essere difficile discriminare saisicamene fra l effeo direo del reddio sul consumo (capao dal paramero β) e quello indireo, ramie la ricchezza (che confluisce nel paramero γ). Di più, la sima sessa dei parameri della (.3.3) è resa inaffidabile dalla correlazione esisene ra le variabili esplicaive, come vedremo in seguio, per cui, alla fine, la specificazione (.3.3) risula, dal puno di visa economerico, problemaica. Specificazione eorica e specificazione economerica Se la specificazione è basaa unicamene su concei eorici, spesso non si hanno elemeni sufficieni a cosruire una rappresenazione economerica adeguaa alla realà dei fenomeni economici da inerpreare. Affinché la specificazione sia buona anche dal puno di visa empirico, olre che da quello eorico, occorre che le caraerisiche di fondo delle variabili che compaiono nei membri a sinisra dei modelli siano rappresenae da caraerisiche analoghe esiseni nelle variabili dei membri a desra considerae globalmene. Nella (..), ad esempio, la endenza crescene, che è una caraerisica basilare del consumo c, è insia anche nel reddio, che quindi la rappresena in modo soddisfacene, e si oiene un modello buono sia dal puno di visa economico che economerico. Il livello crescene di, -5

16 Modulo I Concei di base dunque, spiega la endenza di c, per cui è dea variabile di livello (o di scala) della funzione del consumo (..). Osservazione.8 - La propensione media al consumo, essendo cosiuia da una variabile divisa per la sua sessa variabile di livello, genera una equazione, ad esempio la (..3), nella quale il livello è cosane (la α ). Il seniero di lungo periodo di consumo e reddio - Ialia : 974: 978: 98: 986: 99: 994: CF9 CF9FIT Y9 Y9FIT Figura. Serie soriche del prodoo inerno lordo ai prezzi di mercao (in alo) e dei consumi finali inerni delle famiglie in Ialia, dal primo rimesre del 97 al erzo del 996, inerpolai mediane curve che ne cosiuiscono i rispeivi senieri di equilibrio di lungo periodo (dai rimesrali grezzi a prezzi 99, miliardi di lire). Quesa argomenazione è illusraa nella figura. che ripora gli andameni effeivi le serie soriche dei consumi finali inerni delle famiglie c e del prodoo inerno lordo ai prezzi di mercao dal primo rimesre del 97 al erzo del 996, inerpolai ramie curve che rappresenano la loro endenza crescene; quesa può essere consideraa come il seniero (dei puni) di equilibrio di lungo periodo o sead sae. Una seconda caraerisica presene nelle due serie soriche è la sagionalià, cosiuia da una conformazione che si ripee similmene ogni anno e che deriva, nel caso delle serie rimesrali della figura., dal calo della produzione che si ha nel erzo rimesre di ogni anno. Alri caraeri delle -6

17 Modulo I Concei di base serie (ad esempio il ciclo economico) oppure alri effei di breve periodo modulano uleriormene la endenza in modo da deerminare l andameno effeivo delle variabili c ed. Osservazione.9 - L equazione che genera il seniero di equilibrio di lungo periodo per la variabile può essere presa soggeivamene del ipo (..6); la sessa equazione nel caso del consumo è c = ( + γ ) c Osservazione. Il ciclo economico ialiano, ben visibile nella figura.4, è sao commenao alla fine del par Invesimeni e asso di ineresse Ialia r i Figura.3 Il asso di ineresse a lungo ermine r e gli invesimeni privai in Ialia dal 96 al 997. La serie degli invesimeni mosra una endenza crescene (evidenziaa dalla rea raeggiaa), che la pora a riplicare nel periodo di osservazione; viceversa, quella del asso di ineresse a lungo manifesa ampie fluuazioni aorno a una media approssimaivamene pari a puni percenuali, per cui al ermine del periodo di osservazione supera di poco i valori iniziali. Se esendiamo il modello (.3.) disaggregando le spese auonome i in spesa pubblica g ed in invesimeni privai che indichiamo ancora, per semplicià, con i, e se consideriamo quesi come funzione del asso ineresse r, oeniamo il modello -7

18 Modulo I Concei di base I assi di variazione di consumo e reddio Ialia : 974: 978: 98: 986: 99: 994: CF9 Y9 Figura.4 I assi endenziali di variazione di consumo e reddio in Ialia (dai rimesrali grezzi 97:-996:3). Per asso endenziale si inende il asso di variazione periodo su periodo (in queso caso, rimesre sullo sesso rimesre dell anno precedene). I dai di origine sono quelli della figura.. Si noi come le fluuazioni del reddio siano generalmene più ampie di quelle dei consumi: quesi ulimi, cioè, hanno un andameno più liscio o, per meglio dire, livellao. Queso comporameno (visibile anche nella figura.) è coerene con l ipoesi di Duesenberr: infai, se durane le recessioni la propensione media al consumo aumena, queso significa che i consumi diminuiranno proporzionalmene meno dei reddii e quindi che il loro grafico sarà più liscio (si osservi ad esempio il comporameno delle due serie durane la recessione del ). Un discorso uguale e conrario vale durane le fasi di espansione. c = α +β i = γ + δr = c + i + g α > γ > < β < δ < (.3.4) che è coerene con la eoria economica ma insoddisfacene dal puno di visa economerico. Infai, come anche si rileva graficamene nella figura.3, nell equazione degli invesimeni privai manca una variabile nel membro a desra dell equazione che funga da supporo al livello crescene di i. È necessario, quindi, specificare la (.3.4) aggiungendo una variabile di livello nel membro di desra -8

19 Modulo I Concei di base dell equazione degli invesimeni privai: quesa può essere di nuovo il reddio, di modo che il sisema divena c = α +β i = γ + δr + ε = c + i + g α > γ > δ < < β < ε > (.3.5) Comparando il modello (.3.4), che discende direamene dalla eoria economica, con il (.3.5), la cui specificazione è necessaria per l uso economerico, si inizia a comprendere la differenza conceuale esisene ra la cosruzione di modelli validi per l analisi economica e quella di modelli uilizzabili nell analisi economerica. -9

20 Modulo I Concei di base.4 Tassonomia delle equazioni Nella specificazione delle relazioni ra variabili economiche è necessario enere nella dovua considerazione i fenomeni rappresenai dalle equazioni e spesso è uile classificare quese in funzione di ali fenomeni, ad esempio raggruppandole in equazioni: a) di comporameno, b) isiuzionali, c) ecniche, d) definiorie. A quese se ne possono aggiungere alre, più speciali, che possiamo ancora inserire nella assonomia delle equazioni economeriche, come ad esempio le e) idenià, f) funzioni di reazione. Equazioni di comporameno In mole siuazioni è necessario esprimere un ipoesi circa il comporameno di un insieme di operaori, siano quesi consumaori, produori o alri. Una funzione di domanda rappresena l ipoesi che se il prezzo di un cero bene decresce i consumaori ne chiederanno di più; quesa è una conclusione che riguarda il loro comporameno e può essere espressa mediane l equazione di domanda lineare q d = α + βp α >, β < (.4.) Un alro esempio di equazione di comporameno è cosiuio dalla funzione del consumo (..4) già esaminaa nel paragrafo., nella quale sono impiegae due ipoesi, quella che il consumo sia funzione del reddio disponibile e l alra che la funzione sia lineare. Anche l equazione della domanda di monea (..7), lineare nei logarimi delle variabili e p e nei assi di ineresse, è di comporameno. Si noi che anche se viene uilizzaa una formulazione analiica (maemaica) per rappresenare una relazione di comporameno, la forma che quesa prende ed i vincoli che sono posi sui parameri sono deerminai da considerazioni economiche. Nella funzione del consumo (..4), ad esempio, la eoria economica impone che - il consumo sia funzione crescene del reddio disponibile, per cui β > ; - l inclinazione della funzione, che indica la propensione marginale al consumo e che è definia dal coefficiene angolare β, sia compresa ra zero ed uno; - l inercea, il ermine noo dell equazione, sia maggiore di zero, α >. -

21 Modulo I Concei di base Con l ulima ipoesi si suppone che le spese per il consumo possano anche essere maggiori del reddio disponibile correne. Il comporameno definio è quindi di breve periodo in quano si riiene che i consumaori possano finanziare le loro spese ramie il risparmio. Un uleriore esempio di equazione di comporameno riguarda lo sock di capiale desiderao per il empo + che può esser fao dipendere dalla produzione programmaa per lo sesso empo; se quesa è supposa funzione dei livelli di produzione passai, dando maggior peso a quelli receni e minore a quelli lonani nel empo, si può scrivere l equazione nella sessa forma composa dalle (..7) e (..8) j + = α +β ρ j= k x β >, < ρ < j dove k è lo sock di capiale desiderao al empo, x la produzione al empo, β il coefficiene di accelerazione e ρ un faore di ponderazione. Equazioni isiuzionali Un equazione isiuzionale è una relazione nella quale sono incorporai gli effei di vincoli isiuzionali (leggi, norme d auazione, decrei, ecc.) in vigore. L imposizione fiscale, ad esempio, può essere deerminaa isiuzionalmene e quindi può rivelarsi necessario inserire nei modelli le impose sui profii, sul valore aggiuno e così via. Una equazione isiuzionale per l imposa globale sul reddio porebbe indicare che v = ζ + ε (.4.) rappresenando il fao che le impose dipendano linearmene dal reddio sesso. Sosiuendo la (.4.3) nella (..4) si oiene la c = α ζβ +β( ε) (.4.3) che consise in una misura ra un equazione di comporameno ed una isiuzionale. β può essere consideraa come un unico paramero, così come α ζβ, la relazione (.4.3) ha la sessa composizione della (..); quindi non vi è sosanziale differenza formale ra la (..) e la (..4) qualora l imposa globale sul reddio sia supposa funzione lineare di queso. Tale siuazione rivese un cero ineresse, poiché accade sovene che uno schema analiico viene criicao per la sua semplicià e siano proposi al suo poso modelli più complessi sui quali, uavia, si fanno ipoesi che li rasformano nello schema Osservazione. Poiché ( ε) -

22 Modulo I Concei di base Equazioni ecniche semplice sooposo a criiche. Non sempre, dunque, modelli apparenemene banali sono derivai da eorie alreano banali. Una equazione molo uilizzaa nella modellisica economica è quella relaiva alla funzione di produzione ( l k) x = f, (.4.4) dove x è il prodoo,l il faore lavoro e k il faore capiale. Una ale equazione non è di comporameno: si riferisce invece alla ecnologia in uso nella produzione, in quano collega due risorse (lavoro e capiale) ad un prodoo, e rappresena, perano, una equazione ecnica. Un caso paricolare della (.4.4) è offero dalla α β x = γ l k α + β = (.4.5) che rappresena il ben noo ipo di funzione di Cobb e Douglas. Equazioni definiorie Si chiamano, infine, equazioni definiorie quelle che servono semplicemene a definire una variabile per mezzo di alre; è ale ad esempio la (..3) che indica il reddio disponibile come differenza ra il reddio e le impose. In realà, quese relazioni definiorie sono idenià ex ane che semplicemene esprimono concei veri per definizione. Idenià È necessario presare aenzione a non confondere le equazioni definiorie con alre condizioni; ad esempio la relazione = c + i del modello (.3.) indica un idenià "ex pos" e non è un equazione definioria ex ane. Funzioni di reazione Un equazione che rappresena il modo di reagire di un auorià di governo a specifiche variazioni di aggregai economici è dea funzione di reazione. Tale modo di reagire può riguardare, ad esempio, il cambio, la monea offera, il asso di scono, l imposizione fiscale. Una semplice funzione di reazione sul asso di scono d r è del ipo seguene d r = α + β ln p (.4.6) -

23 Modulo I Concei di base d che indica come la variazione di r sia operaa in funzione del asso di variazione dei prezzi. Un alra, del ipo seguene r = α + β ln d (.4.7) d ln b + β ln f + β3 d indica come la variazione di r venga governaa in funzione dei assi di variazione percenuale della bilancia commerciale b (definia come rapporo ra esporazioni ed imporazioni di merci), del movimeno dei capiali f (rapporo fra flussi di capiale a breve ermine in enraa ed in uscia) e di un indicaore d dell aivià economica (ad esempio la domanda oale). Nella (.4.7) la manovra sul asso di scono è prociclica se β < 3 (ad un aumeno dell aivià economica l auorià di governo reagisce abbassando r d ), aniciclica se β > 3. -3

24 Modulo I Concei di base.5 Forma sruurale e forma ridoa delle equazioni La sruura economica Un modello economerico è rappresenaivo in generale di una sruura economica, che può essere definia, in ermini generali, come un insieme di comporameni, di possibilià ecniche di produzione, di faori isiuzionali, di convenzioni conabili, ecc., che si ipoizzano cosani per un cero periodo di empo, deo periodo di osservazione. Sul piano descriivo, alla cosanza della sruura eorica corrisponde un insieme di regolarià empiriche, i cosiddei fai silizzai, che riassumono le caraerisiche salieni manifesae dai dai nel periodo di osservazione. Le equazioni (di comporameno, ecniche, isiuzionali, ecc.) che rappresenano i diversi aspei di una daa sruura economica in base a specifiche ipoesi eoriche vengono dee sruurali, come i parameri ad esse associai durane i periodi di osservazione. Il modello composo meendo a sisema un insieme di equazioni sruurali viene deo modello sruurale. % % 8% 6% 4% % Inflazione e velocià di circolazione della monea in Ialia: % M P V. Figura.5 Il grafico rappresena le serie soriche dei assi annuali di variazione dello sock di monea M e del deflaore implicio del PIL P (scala di desra), e la velocià di circolazione della monea V (scala di sinisra). Dai annuali riferii all Ialia, Si noi l impennaa della velocià di circolazione conesuale all incremeno dell inflazione nella seconda meà degli anni 7. Talvola, in un dao periodo esise un empo nel quale cambia la sruura economica e quindi si modifica il modello economerico associao nei valori dei suoi -4

25 Modulo I Concei di base parameri o anche nella specificazione sessa delle relazioni che lo compongono: si dice, allora, che nel empo si è avuo un cambiameno sruurale. In effei, è necessaria mola cauela nel rienere cosane la sruura economica in un cero periodo: ad esempio, nella cosiddea equazione di Cambridge che mee in relazione la domanda di monea con il reddio d m = k (.5.) il coefficiene k rappresena l inverso della velocià di circolazione della monea e può essere considerao cosane perché è deerminao dall insieme dei pagameni e di inroii che a loro vola derivano da abiudini o da faori sociali ed isiuzionali che cambiano molo lenamene. Ma in periodi di inflazione sosenua la velocià di circolazione cambia in modo noevole e quindi varia anche k ; in ale caso quesa deve essere consideraa come una variabile ed indicaa con k. Quesa argomenazione è illusraa nella figura.5 che mosra i grafici dei assi annuali di variazione della quanià di monea (misuraa in ermini di M) e del deflaore implicio del PIL, nonché il grafico della velocià di circolazione della monea; queso è relaivamene cosane degli anni , s impenna negli anni di ala inflazione e riorna ad essere cosane nel periodo successivo. Anche la propensione marginale al consumo β del modello (..) può variare lenamene nel empo come osserveremo più in deaglio nel prosieguo. L assunzione di β cosane compora, perano, una approssimazione il cui coso, in ermini di adeguaezza di rappresenazione, può essere compensao o meno dalla semplicià dell equazione. In effei, se nella (..) si inroducesse β variabile il modello porebbe divenare non lineare nelle variabili, come vedremo più in deaglio nel paragrafo.8. Forma ridoa di un modello Il sisema (.3.) è scrio in forma sruurale in quano deriva direamene da ipoesi circa la sruura del sisema economico, riguardani, in paricolare, il comporameno dei consumaori e la sruura del bilancio economico nazionale (cioè il fao che nell economia rappresenaa il reddio risula dalla somma di consumi e spese auonome). Se risolviamo maemaicamene le sue due equazioni rispeo alle variabili endogene c e, oeniamo α β c = + i β β (.5.) α = + i β β -5

26 Modulo I Concei di base con < α, < β <, che cosiuisce un sisema di equazioni scrie in forma ridoa, nel quale ogni equazione definisce una variabile endogena in funzione di ue e sole le esogene (in queso caso la sola i ). Con semplici sosiuzioni possiamo scrivere la forma ridoa (.5.) come segue c = π = π + π + π i i (.5.3) dove i π ij, ovvero i parameri che legano l i-esima endogena alla j-esima esogena, sono dei parameri della forma ridoa o (per moivi che verranno chiarii in queso paragrafo) moliplicaori. Dal puno di visa maemaico la forma ridoa e quella sruurale di un sisema di equazioni sono equivaleni; in ermini economici, al conrario, le equazioni sruurali rappresenano le relazioni così come vengono formulae dalla eoria economica. Di conseguenza, i parameri sruurali rappresenano enià facilmene inerpreabili in senso economico (si ricordi il cenno all analisi sruurale nel paragrafo.). In paricolare, gli evenuali vincoli provenieni dalla eoria economica vengono di solio espressi in ermini dei parameri sruurali (si veda ad esempio la (..)). Lo sudio delle equazioni in forma ridoa, viceversa, è uile nelle previsioni e nelle simulazioni di poliica economica. Ad esempio, la prima delle (.3.), presa singolarmene, non ci consene di deerminare gli effei di un incremeno delle spese auonome sul consumo c, dao che in essa le spese auonome non figurano. Viceversa, nella forma ridoa queso effeo, che si esplica araverso la seconda delle (.3.), è espresso dal paramero π = β/(-β), che cosiuisce il moliplicaore kenesiano del modello (.3.). In generale i parameri π ij della forma ridoa sono dei moliplicaori appuno perché esprimono il coefficiene per il quale occorre moliplicare l incremeno della j-esima esogena onde oenere il corrispondene incremeno dell i-esima endogena, enuo cono di ue le inerazioni fra le varie equazioni che compongono il modello. Anche in ermini saisici le due rappresenazioni differiscono sosanzialmene in quano la forma sruurale, incorporando l informazione proveniene dalla eoria economica, è generalmene più parsimoniosa della forma ridoa, ovvero prevede un numero minore di parameri. Queso fao risula, ad esempio, dal confrono fra la (.5.3) (nella quale figurano i quaro parameri π ij ) e la (.3.) -6

27 Modulo I Concei di base (dove compaiono solo i due parameri sruurali α e β). Soo il profilo saisico ciò compora che la forma sruurale consene un uso più efficiene dell informazione saisica disponibile (i dai campionari), poiché gli sessi dai vengono uilizzai per simare un minor numero di coefficieni. Come vedremo in seguio, a queso vanaggio in ermini di sima si associano però anche alcune difficolà inereni al fao che in generale nelle equazioni sruurali alcune variabili esplicaive sono endogene, e quindi deerminae simulaneamene alla variabile dipendene. Possiamo, ora, riassumere alcuni caraeri di base di un modello economerico così com è sao illusrao finora: i) il numero di equazioni è uguale al numero delle variabile endogene; ii) iii) iv) la forma funzionale di ciascuna equazione sruurale è espliciamene specificaa insieme agli evenuali vincoli sui domini di variazione dei parameri; l insieme delle variabili esogene è incluso nel modello ed è specificaa la maniera in cui esse vi enrano; se sussisono mercai in equilibrio le condizioni relaive vanno inserie nel modello, che viene deo di equilibrio. Vedremo in seguio che il caraere i) non sempre sussise. Un modello di domanda e offera Consideriamo ora, come alro esempio, un semplice modello di domanda e offera in un mercao concorrenziale q q d s = α + βp = γ + δp α > γ < (.5.4) nel quale la prima equazione, già esposa nella (.4.), sabilisce una relazione d lineare ra la quanià domandaa per unià di empo q ed il prezzo di mercao p, menre la seconda ne sabilisce un alra ra la quanià offera per unià di empo ed ancora il prezzo di mercao. In virù di come sono sae cosruie, le equazioni (.5.4) sono in forma sruurale; esse rappresenano un modello di disequilibrio. Se il mercao è in equilibrio dobbiamo aggiungere alle (.5.4) la condizione In effei i parameri della forma ridoa sono re: sussise infai il vincolo π = π, dao che enrambi quesi parameri sono uguali a α/(-β) in virù delle (.5.). -7

28 Modulo I Concei di base q d s = q = q (.5.5) oenendosi così un modello con re equazioni sruurali (una condizione di equilibrio e due equazioni che rispecchiano il comporameno dei consumaori e dei d s produori) e re variabili endogene q, q, e p. Risolvendo il sisema rispeo a q ed a p, oeniamo α γ p =, δ β αδ βγ q =, δ β (.5.6) δ β che rappresenano la forma ridoa del modello. Sui valori dei suoi parameri la d eoria economica impone dei vincoli: poiché se il prezzo p scende q aumena e viceversa, segue che β < ; inolre se il prezzo aumena anche la quanià offera cresce per cui segue che δ >. Poiché allora è sempre δ > β e poiché p >, essendo un prezzo, si ha che α > γ dalla prima delle (.5.6) e che αδ > βγ dalla seconda. In conclusione, la specificazione del modello (.5.4)-(.5.5) include i segueni vincoli sui parameri β <, δ >, α > γ, βγ < αδ Nel modello (.5.4)-(.5.5) non compaiono variabili esogene; possiamo uavia considerare il reddio come esogena aggiuniva e cosruire il sisema q q q d s d = α +βp + ε = γ + δp = q s = q α > δ > β < ε > γ < (.5.7) specificao in modo ale che una variazione posiiva del reddio influisce posiivamene sulla quanià domandaa. La forma ridoa della (.5.7) è cosiuia dalle α γ ε αδ βγ δε p = +, q = +, δ β (.5.8) δ β δ β δ β δ β che divenano le (.5.6) per ε =. Poiché in ambedue le equazioni (.5.8) compare il reddio, è possibile deerminare come una variazione di queso influisca sia su p che su q ramie le derivae dp d = ε δ β dq δε >, = > d δ β che sono, in effei, i moliplicaori del reddio nel modello (.5.6). -8

29 Modulo I Concei di base.6 Variabili eoriche e variabili osservabili Le variabili conemplae nella eoria economica sono dee eoriche e non sempre sono misurabili empiricamene; quelle che, invece, possono assumere valori dedoi dai dai a disposizione sono chiamae osservabili. In moli casi, ovviamene, variabili eoriche e variabili osservabili non coincidono. Illusriamo quesa differenza con un esempio rao dall analisi della domanda e dell offera, che concerne la deerminazione del prezzo in regime di mercao concorrenziale. La domanda di un cero bene viene espressa mediane una funzione che mee in relazione la quanià domandaa per unià di empo con il prezzo del bene. Tuavia ale quanià domandaa si riferisce a ciò che il consumaore desidera comperare ad un cero prezzo e non a ciò che egli effeivamene compera, sebbene possa accadere in ceri casi che la quanià comperaa sul mercao coincida con la quanià domandaa. La quanià domandaa e la quanià offera per unià di empo sono variabili solano eoriche, menre la quanià effeivamene comperaa per unià di empo è una variabile osservabile. d s Allora, quando nel modello (.5.4) q e q assumono i valori deerminai dai consumaori e, rispeivamene, dai produori, le due variabili sono eoriche; quando il mercao le uguaglia a q, quesa è osservabile. Alcune serie fornie dalle saisiche ufficiali non sono osservae direamene, ma vengono ridoe, ramie paricolari procedure saisiche, ad una cadenza più veloce a parire da serie osservae ad una cadenza più lena. Queso è il caso delle serie della conabilià nazionale rimesrale, che sono derivae da serie (osservae) annuali mediane un algorimo di rimesralizzazione. In alre siuazioni di necessià, serie non osservae vengono sosiuie da serie prox, con andameni simili: ad esempio il PIL mensile, di dubbio oenimeno anche mensilizzando il prodoo annuale, può essere in aluni casi sosiuio con la produzione indusriale, che funge da prox mensile. Variabili economiche di imporanza eorica noevole ma raramene osservabili sono quelle aese: ad esempio le aspeaive di inflazione o di produzione. In ceri casi le variabili non osservabili sono generae mediane modelli cosruii apposiamene, come vedremo nei due puni segueni. Schemi di aese adaive Un semplice modello generaore delle aese di inflazione è dovuo a Cagan (956) ed ha la forma della seguene relazione di apprendimeno -9

30 Modulo I Concei di base e ( λ)( p& p& ) & & λ (.6.) e e p p = dove p& è il asso di inflazione al empo dao dalla differenza prima logarimica p& (.6.) = ln p = ln p ln p approssimaivamene uguale, come si è viso nel paragrafo., alla variazione e percenuale del livello dei prezzi p ra e ; e p& è il asso di inflazione aeso per il empo +, formulao nel empo. L equazione (.6.) indica che l operaore che esprime l opinione nel empo e confrona la sua previsione p&, faa nel empo precedene, con il valore effeivo e e e p& e formula per il empo + una aesa p& maggiore di p& se p& > p&, ed una minore nel caso conrario. È per queso comporameno che la (.6.) cosiuisce uno schema di apprendimeno dall errore e (di previsione, pari allo scaro p& p& ) ovvero di aese adaive, in quano le aspeaive si adaano all andameno del asso di inflazione effeivo, sia pure con un cero riardo. Se λ = l adaameno è inesisene; se λ = è invece p& p&, cioè il valore aeso è uguale all ulimo dao effeivo disponibile e l adaameno è immediao. e L equazione (.6.) può essere risola rispeo a p&, oenendosi e e p & = λp& + ( λ) p& (.6.3) che può essere riscria ieraivamene nel empo p& p&... e e = λp& = λp& e e ( λ) ( λ) Sosiuendo successivamene quesi valori nella (.6.3) si ha p& p& e p& e = λ p& 3 = λ p& e e 3 + λ + λ ( λ) p& + ( λ) p& = j ( λ) p& + λ( λ) p& + ( λ) p& = = ( λ) p&... j λ j= (.6.4) dove la variabile aesa è funzione solano di ui i valori passai del asso di inflazione secondo lo schema di decadimeno geomerico di ragione λ. Quesa relazione mee bene in evidenza come l aesa di inflazione sia generaa da un modello conenene solano i assi di inflazione presene e passai. In queso senso In lingua inglese: error-learning model. Tale schema di apprendimeno è uilizzao anche in alre siuazioni. -3