BONUS MALUS AND NO CLAIM DISCOUNT SYSTEMS: EFFECTS ON THE SOLVENCY OF A NON LIFE INSURANCE COMPANY ROCCO ROBERTO CERCHIARA

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1 BONUS MALUS AND NO CLAIM DISCOUNT SYSTEMS: EFFECTS ON THE SOLVENCY OF A NON LIFE INSURANCE COMPANY ROCCO ROBERTO CERCHIARA Doorando in Scienze Auariali Universià di Roma La Sapienza - ITALY rocco.cerchiara@uniroma1.i ABSTRACT The paper presens a sochasic model wih he goal o compare Bonus-Malus and No Claim Discoun Sysems in Third Pary Moor Liabiliy insurance (TPML), wih special reference o he insured disribuion in he classes of BM and o he effecs on solvency of a non life insurance company, wih run off and going concern approaches on a long ime horizon. The model has based on he classical Risk Theory framework and he applicaions have been developed in he case of a variable claim frequency for each class of BM by Monecarlo mehod. KEYWORDS Third Pary Moor Liabiliy insurance, Bonus Malus Sysem, No Claim Discoun, Risk Riserve, Monecarlo Simulaion

2 1 Inroduzione La personalizzazione a poseriori del premio avviene in genere mediane sisemi coneneni un effeo solidarisico ra polizze. Quesi sisemi sineizzano la soria della sinisrosià dell assicurao con l apparenenza ad una classe di merio : il premio P al empo +1 viene deerminao in base alla coppia di valori ( Y, k ), avendo indicao, rispeivamene con Y la classe di merio e con k il numero di sinisri causai in. Essi vanno soo il nome di sisemi Bonus-Malus (BM), di cui una sooclasse molo imporane è cosiuia dai sisemi No Claim Discoun (NCD). Ques ulimo sisema, uilizzao soprauo nel mercao inglese, svedese e finlandese, prevede un numero ridoo di classi (in genere M=7) e la classe di ingresso (s=6 o 7) è immediaamene seguene a quella di massimo malus (se s=6) o quella di massimo malus (se s=7). Le regole evoluive prevedono che senza sinisri si migliora ogni anno di una classe, menre nel caso di sinisri gli assicurai in classe prima o seconda (classi di massimo scono) peggiorano di 3 classi, menre nelle classi più ale il peggiorameno è di due, consenendo perano un rapido riposizionameno degli assicurai con sinisri nelle classi di merio che prevedono il pagameno di un premio più elevao. Nell ambio di queso paper è sao considerao il sisema NCD uilizzao in Svezia (M=7 e s=7) conraddisino dalle segueni regole evoluive e successione dei coefficieni di premio: NCD ( Y 1,1 ) max k = 0 NCD Y = + (1) 1 NCD min( 7, Y + 2k ) k = 1,2,3,... Classe Coefficieni di premio 0,25 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 1,00 Tale sisema verrà poso a confrono con i sisemi BM uilizzai in Ialia (M=18 e s=14), e in Svizzera (M=22 e s=10), con regole evoluive rappresenae, rispeivamene, nell equazioni (2) e (3) e descrii in [1], dove sono sai già posi a confrono considerando delle frequenze sinisri sia cosane che variabile per classe di apparenenza ed analizzando la dinamica evoluiva della disribuzione degli assicurai, l andameno dei premi di equilibrio e l effeo di quesi due sisemi sul capiale proprio di una Compagnia Danni. In queso paper la comparazione ra i re sisemi è riferia al caso di una compagnia che si rova in una fase di sar-up del suo business (brevemene denominaa new company ) e che quindi deve decidere, a frone di un 2

3 porafoglio di polizze omogenee per caraerisiche a priori e alla sinisrosià osservaa nel mercao ialiano nel 2001, quale sisema deve adoare ai fini della di personalizzazione a poseriori di ipo BM. IT ( Y 1,1 ) max k = 0 IT Y = + (2) 1 IT min ( 18, Y + 3k 1) k = 1,2,3,... Classe Coefficieni 0,50 0,53 0,56 0,59 0,62 0,66 0,70 0,74 0,78 di premio Classe Coefficieni 0,82 0,88 0,94 1,00 1,15 1,30 1,50 1,75 2,00 di premio Y CH + 1 max = min CH ( Y 1,1 ) + 1 CH ( 22, Y + 4k ) + 1 k = 0 k = 1,2,3,... (3) Classe Coefficieni 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,90 1,00 1,10 di premio Classe Coefficieni 1,20 1,30 1,40 1,55 1,70 1,85 2,00 2,15 2,30 2,50 2,70 di premio L analisi della dinamica evoluiva di una colleivià di assicurai e il raggiungimeno della sazionarieà è saa condoa in leeraura sia ramie l applicazione della eoria delle caene di Markov ai sisemi BM (Lemaire in [4]), sia araverso procedimeni ricorsivi, i quali non impongono la modellizzazione del sisema come caena di Markov (si veda ad esempio Dufresne F. [1988] e Picech e al. [1996]). L approccio seguio nell ambio di queso paper è simulaivo di ipo individuale ed è sao implemenao uilizzando una frequenza sinisri variabile per classe di apparenenza. A al fine si è provveduo a cosruire re curve di sinisrosià, 3

4 Figura 1. Tre possibili curve di perequazione della sinisrosià osservaa in Ialia nel 2001 (fone Ania) per ciascuno dei due sisemi BM e per il NCD considerai (si veda la Figura 1 e la Tabella 1), araverso la perequazione della frequenza sinisri osservaa nell anno 2001 in Ialia (fone ANIA). Tali curve sono sae cosruie inroducendo diversi vincoli, in paricolare si è cercao di creare una dominanza della curva ialiana su quelle del BM Svizzero e del NCD per le classi iniziali e viceversa per le classi successive, calibrando i parameri delle re curve in modo ale che: le percenuali di veicoli anno per classe del sisema BM Svizzero siano pari a quelle del sisema BM ialiano, menre per il sisema NCD sono sae opporunamene riallocae le percenuali osservae nel mercao ialiano enendo cono del fao che si raa di un sisema con un numero minore di classi e quindi caraerizzao da concenrazioni maggiori, in paricolare nella prima; la frequenza sinisri oale, pari alla media ponderaa delle singole frequenze sinisri di ciascuna classe con pesi dai dal corrispondene numero di veicoli anno del mercao ialiano, per le prime 18 classi per il sisema svizzero e per il oale delle 7 classi del sisema NCD svedese, corrisponda a quella individuaa dalla saisica ANIA succiaa (9,22%); nel caso di un porafoglio apero, i nuovi ingressi nella classe iniziale di ciascun sisema siano conraddisini dalla sessa frequenza sinisri (circa il 13,8%). Tale scela è basaa sull ipoesi che il sisemi BM svizzero e NCD svedese realizzino una migliore discriminazione ra buoni e caivi assicurai (come dimosrao ampiamene in [4]), a frone della quale dovrebbe corrispondere una minore sinisrosià, rispeo al sisema ialiano, nelle prime classi (di merio) e maggiore 4

5 invece nelle classi successive (di malus). Nelle ulime re colonne della Tabella 1 sono riporai i valori delle frequenze perequae uilizzae nelle simulazioni. Sono sae indicae in grasseo le frequenze sinisri della classe iniziale di ciascuno dei re sisemi. Classe Veicoli Disribuzione Disribuzione Frequenza Frequenza Frequenza Frequenza BM Anno Veicoli BM Veicoli NCD Sinisri Perequaa Perequaa Perequaa Ialia e Svizzera (in %) Svezia (in %) Osservaa (in %) BM Ialia (in %) BM Svizzera (in %) NCD (in %) ,81 51,62 5,56 7,35 4, ,73 8,70 9,54 7,71 5, ,08 8,58 9,34 8,10 6, ,03 8,53 10,71 8,50 6, ,67 7,53 8,22 8,92 7, ,68 8,80 8,81 9,37 8, ,90 6,24 10,07 9,83 9, ,28 9,36 10,32 11, ,25 10,35 10,83 12, ,71 11,63 11,37 13, ,82 10,65 11,94 15, ,17 10,87 12,53 17, ,63 11,97 13,15 19, ,48 27,01 13,81 21, ,45 16,97 14,49 24, ,20 18,02 15,22 27, ,05 18,26 15,97 30, ,06 24,26 16,77 34, , , , ,65 Toale ,00 100,00 9,22 9,22 9,22 9,22 Tabella 1. Veicoli e frequenze sinisri osservai nel mercao ialiano riparii per classi di BM (Dai Ania 2001) e Frequenze Sinisri perequae per i re sisemi di personalizzazione considerai 5

6 2 La dinamica evoluiva della colleivià assicuraa in funzione del sisema di personalizzazione adoao A frone di un porafoglio polizze RCA omogeneo a priori, il modello uilizzao è basao sull approccio colleivo della eoria del rischio, ipoizzando che la variabile aleaoria numero di sinisri k si disribuisca seconda la Poisson con paramero cero ν, menre il coso del singolo sinisro è supposo cero e pari a euro (fone Ania 2001). Non sono considerai gli effei derivani dall auoliquidazione dei sinisri, del moral hazard o dell effeo della diversa severià delle scale dei coefficieni di merio. Le valuazioni sono sae fae inserendo, all epoca 0 nella classe di ingresso di ciascun sisema (s i =14, s ch =10, s ncd =7) un numero di assicurai pari a 100 nel caso di un porafoglio chiuso e il 3% e il 6% del popolazione assicuraa all inizio di ciascun anno nel caso di un porafoglio apero. L elemeno considerao per il confrono ra i re sisemi é saa l evoluzione della riparizione degli assicurai nelle classi di merio sia in ermini di porafoglio chiuso che apero a frone di simulazioni effeuae su un orizzone emporale di 60 anni. Nel caso del porafoglio apero le due diverse percenuali di nuovi ingressi, 3% e 6%, deerminano in T = 60 anni un numero di assicurai pari a, rispeivamene, 589 e Percenuale degli assicurai in classe 1 T = 30 Coll. Chiusa Coll. Apera (3%) Coll. Apera (6%) BM Ialia 78% 47% 29% BM Svizzera 63% 44% 32% NCD Svezia 84% 67% 54% T = 60 Coll. Chiusa Coll. Apera (3%) Coll. Apera (6%) BM Ialia 83% 49% 30% BM Svizzera 66% 45% 32% NCD Svezia 84% 67% 54% Tabella 2. La riparizione percenuale degli assicurai nella classe 1 in T = 30 e T= 60 anni a frone di 1000 simulazioni sia nel caso di un porafoglio chiuso che apero a nuovi ingressi (3% e 6%). Nella Tabella 2 si può noare la fore concenrazione di assicurai nella classe migliore nel caso di una colleivià chiusa rispeo al porafoglio apero a nuovi ingressi. Infai l evoluzione di una colleivià di assicurai segue rimi diversi a seconda che si rai di una colleivià chiusa o apera, poiché ques ulima raggiungerà il livello sazionario (quando il porafoglio dei rischi é caraerizzao da una disribuzione nelle classi di merio cosane nel empo) molo più lenamene di 6

7 quano accada per un porafoglio senza nuovi ingressi (cfr. [3]). A al fine è ineressane richiamare il conceo di Toal Variaion (di seguio TV) fornio da Lemaire in [4] come misura del grado di convergenza del sisema BM verso la disribuzione sazionaria: M ( TV ) = p ν n j= 1 n ij ( ν ) a ( ). (4) j n Nella (4) ( ν ) p ij è la probabilià di ransizione (della Caena di Markov associaa a ciascun sisema BM) di ransiare dalla classe i alla classe j esaamene in n a ν é la disribuzione sazionaria per j = 1,.., n. ransizioni e ( ) j L andameno della TV negli anni mosra delle velocià di convergenza diverse per sisemi BM più o meno sofisicai: l influenza delle regole evoluive sul asso di convergenza e molo scarsa, menre grande valenza ha la classe di ingresso: a parià di regole evoluive, al diminuire della classe di ingresso aumena la velocià di convergenza e quindi la TV converge in maniera più rapida verso lo zero. Analoghi risulai sono sai oenui con le simulazioni effeuae. Infai se si guarda alla Figura 2, dove viene rappresenao l andameno della sinisrosià media della popolazione nei diversi anni di sviluppo (di seguio indicaa Figura 2. L andameno della sinisrosià media nel caso di porafogli chiusi e aperi (6% di nuovi ingressi) 7

8 con ν ), emerge un andameno molo simile a quello evidenziao da Lemaire per la TV. Il sisema NCD è caraerizzao da una convergenza rapidissima verso i valori sazionari della sinisrosià, menre i sisemi BM ialiano e svizzero sono più leni. I due grafici evidenziano come il empo necessario per il sisema NCD affinché la sinisrosià media si aesi ad un valore cosane è pressoché idenico sia che il porafoglio sia apero o chiuso (T = 14), menre per i sisemi BM si evidenzia una maggiore rapidià nel caso di un porafoglio apero. Invece i valori limie a cui si aesa il ν dei re sisemi considerai sono influenzai dalla presenza o meno di nuovi ingressi: logicamene i valori ν 60 sono più elevai nel caso dei porafogli aperi, in quano i nuovi ingressi conribuiscono ad elevare la sinisrosià media del gruppo. Nella Tabella 3 sono riporai i valori di ν 0 e di ν 60. Sinisrosià Media della colleivià Sisema di personalizzazione T=0 T = 60 Coll. Chiusa T = 60 Coll. Apera (3%) T = 60 Coll. Apera (6%) BM Ialia (s = 14) 13,8% 7.5% 9.1% 10.1% BM Svizzera (s = 10) 13,8% 10.8% 12.0% 12.5% NCD Svezia (s = 7) 13,8% 7.4% 8.4% 9.2% Tabella 3. I valori della sinisrosià media nel caso di porafogli chiuso e aperi (3% e 6% di nuovi ingressi) Tali valori consenono una migliore comprensione dei risulai oenui in relazione alla disribuzione percenuale degli assicurai a seconda del ipo di sisema di personalizzazione adoao (Tabella 2), in paricolar modo per il NCD. E imporane evidenziare che nel caso di un porafoglio apero con percenuale di nuovi ingressi pari al 6% la percenuale di assicurai in classe migliore del BM Svizzera in T=60 è pari al 32% e maggiore del corrispondene valore (30%) del BM ialiano: la causa è da individuare nella più veloce convergenza del sisema svizzero alla sua disribuzione sazionaria. Tale fenomeno non accade nel caso del 3% di nuovi ingressi, manifesando un comporameno analogo al caso del porafoglio chiuso. Evidenemene sull orizzone emporale prescelo e nell ambio di una sinisrosià variabile per classe di BM, considerando percenuali di crescia della popolazione superiore al 3% il processo di convergenza rallena in maniera consisene ed è ale da necessiare un allungameno dell orizzone emporale di osservazione per oenere comporameni analoghi a quello del porafoglio chiuso. A supporo dei risulai é necessario soolineare che non è sao considerao l effeo dell auoliquidazione dei sinisri, cioè il sopporare in proprio da pare dell assicurao il coso del danno valuando ciò vanaggioso di frone a fuuri aumeni di premio. Infai un qualsiasi meccanismo BM cosiuisce un incenivo all auoliquidazione. Tale effeo incenivane agisce in modo più efficace quano più 8

9 il meccanismo penalizzi chi denuncia sinisri. Il fao che non ui i sinisri vengano denunciai, fa aumenare la percenuale di assicurai nelle classi di bonus. Ai fini di un analisi più complea sarebbe quindi uile considerare anche gli effei di ale fenomeno, essendo i sisemi BM conraddisini da diverse soglie di auoliquidazione (si veda [4]). E necessario evidenziare anche l uilià dell analisi dei premi di equilibrio che cosiuiscono un valido indicaore ai fini della valuazione di un sisema BM in quano engono cono olre che della riparizione degli assicurai nelle classi, anche degli esborsi e dei premi aesi. L analisi dell evoluzione dei premi di equilibrio permee di valuare gli incremeni di premio di riferimeno richiesi per manenere la sabilià finanziaria del sisema (cfr. [4] e si veda anche [1] e [5]) 3 Gli effei sulla solvibilià del sisema di personalizzazione a poseriori adoao Ai fini delle applicazioni realizzae in queso lavoro, sarà analizzaa la variabile aleaoria u (solvency raio), che esprime la riserva di rischio U in ermini percenuali rispeo alla massa dei premi di ariffa B. L equazione della riserva di rischio è U = (5) ( 1 + j) U + [ B X E ] ( j) 1/ avendo indicao con X la v.a. danno aggregao e con E le spese generali e di acquisizione, menre j è il asso annuo di rendimeno nell ipoesi che i flussi in enraa ed in uscia si realizzino a meà periodo. Nel modello non sono considerai la possibilià di disribuzione di dividendi, la assazione, la riassicurazione e il rischio di run off delle riserve sinisri. Il premio di ariffa è dao dalla somma del premio di rischio P =E ( X ), del caricameno di sicurezza espresso come percenuale cosane del premio di rischio λ*p (richiamando il principio di calcolo basao sul crierio del valore aeso) e del caricameno per spese c * B : B = P + λ P + c B (6) Nel prosieguo si ipoizzerà che il valore auale delle spese é pari all ammonare del caricameno per spese ( E = c B ), in modo che la formula (5) diviene: 9

10 1/ 2 [(1 + ) P X ] (1 j U = λ (7) (1 + j) U ) In base a quano evidenziao nel paragrafo precedene e nella Figura 2, la sinisrosià media nell ambio di un sisema di ipo BM o NCD è soggea ad un rend decrescene, dovuo alla convergenza degli assicurai nelle classi migliori (a cui corrisponde una frequenza sinisri meno elevaa), che ne modifica l andameno aeso nel empo. Nel modello considerao al empo 0 si avrà, assumendo che la popolazione assicuraa in =0 è pari a N 0 e che la sinisrosià media della popolazione in 0 è ν 0 : E M ( k 0 ) = 0 N 0 = ν v N (8) i= 1 dove ν 0,i e N 0,i indicano, rispeivamene la frequenza sinisri e il numero di assicurai nella classe i-esima di ciascun sisema BM o NCD. Allora il numero aeso di sinisri nell anno sarà: E BM BM ( k ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ν o α = 1 N 1+ g = E k0 1+ g 1 α 0, i 0, i 0 (9) dove g è il asso di crescia della popolazione assicuraa ale che N = N ( 1+ g) 0, menre (1-α BM ) è un faore annuo di riduzione della sinisrosià media dipendene dal ipo di sisema BM o NCD considerao, in cui, come si evince dalla Figura 2, α BM risulerà essere una successione di valori decresceni fino ad un cero valore soglia di, dipendene dal ipo di sisema uilizzao, e successivamene cosani. In base alla (9) il valore aeso del danno aggregao, nell ipoesi di indipendenza ra le variabili aleaorie numero sinisri k e coso del singolo sinisri Z, è dao dalla formula seguene: E BM ( X ) = E( k ) E( Z ) = E( X ) ( 1+ g) ( 1+ i) ( 1 α ) 0 (10) nell ipoesi che il coso del singolo sinisro sia inflazionao araverso il asso annuo i cosane, menre varianza e skewness del danno aggregao sono: σ BM ( X ) = σ ( X ) ( 1+ g) ( 1+ i) ( 1 α ) 0 (11) 10

11 e γ ( X ) = γ ( X ) 1 0 (12) BM ( 1+ g) ( 1 α ) Il premio di ariffa cresce araverso il asso di inflazione i cosane sull orizzone emporale considerao e il asso di crescia della popolazione assicuraa g: = ( 1+ i) (1 + g) B 1 B (13) Il solvency raio è quindi dao dalla: u U = / B (14) I parameri uilizzai nelle 1000 simulazioni (100 assicurai) del solvency raio sono: Riserva di rischio iniziale: U 0 =100% B 0 ; Tasso di rendimeno: j = 4% annuo cosane; Tasso inflazione: i = 5% annuo cosane; Coefficiene di caricameno di sicurezza: λ = 5%. In [2] e [5] la formula della deviazione sandard del solvency raio é funzione inversa della radice del numero aeso di sinisri n e del asso di crescia g. Nel modello uilizzao sussise però una direa proporzionalià con la percenuale α BM dipendene, come deo in precedenza dal ipo di sisema BM uilizzao e dal empo. Nell ambio del modello considerao quesa relazione è di fondamenale imporanza, in quano la riduzione della frequenza sinisri della popolazione al crescere di compora un incremeno della variabilià del processo analizzao e quindi un peggiorameno della rischiosià della compagnia. Nella Figura 4 sono indicai i valori simulai della deviazione sandard del solvency raio per ciascun sisema adoao: nel caso del porafoglio chiuso al crescere del empo (g=0) emerge una endenza a valori divergeni, menre nel caso di g=6% lo scaro quadraico medio ende a crescere fino ad un massimo, che viene raggiuno in valori di diversi, di cui quello relaivo al NCD è il minore, e che evidenemene risula dipendene dal momeno in cui la sinisrosià della colleivià diviene cosane (si veda la Figura 2), e successivamene ende a decrescere fornendo valori convergeni ra i 3 sisemi verso lo zero. Nel caso del porafoglio chiuso i valori derivani dall applicazione del BM Svizzero sono neamene inferiori rispeo a quelli osservai per gli alri due sisemi in paricolare ra i 10 e 40 anni. 11

12 Figura 4. La deviazione sandard dei valori simulai del solvency raio Nelle figure 5 e 6 viene rappresenaa la probabilià di rovina (con barriera fissaa per u =0) oenua nelle simulazioni derivane dall applicazione dei re sisemi considerai, a seconda che si consideri, rispeivamene, un porafoglio chiuso o apero. Nel caso del porafoglio chiuso il sisema BM svizzero è conraddisino da un livello minore, all aumenare del empo, della frequenza simulaa di rovina rispeo agli alri due sisemi (il 2,8% in T=60 conro circa 6% nel caso dei sisemi ialiano e svedese). Tali risulai sono dovui al fao che il sisema BM Svizzero é conraddisino da una variabilià del solvency raio limiaa e sicuramene minore rispeo agli alri due sisemi di personalizzazione adoai (Figura 4). Le differenze sono meno accenuae nel caso di un porafoglio apero a causa dell effeo dei nuovi ingressi che apporano un incremeno alla frequenza sinisri della popolazione (si veda anche la Figura 2) e quindi una corrispondene riduzione della deviazione sandard di u. Il sisema Svizzero è da rienersi quello preferibile in quesa analisi semplificaa della solvibilià di una compagnia danni. 12

13 Figura 5. La probabilià di rovina nel caso di un porafoglio chiuso Figura 6. La probabilià di rovina nel caso di un porafoglio apero 4 Conclusioni Il presene lavoro fornisce alcuni uili spuni di riflessione in merio alla scela di un sisema di personalizzazione a poseriori alla luce degli effei sulla sabilià della compagnia. In base ai dai osservai sul mercao ialiano nel 2001 il sisema BM svizzero risula essere preferibile non solo rispeo al BM ialiano, ma anche al sisema NCD adoao in Svezia. Ques ulimo è conraddisino da una maggiore velocià di convergenza verso la disribuzione sazionaria, a cui corrisponde a regime una consisene riduzione della sinisrosià media che compora nella modellizzazione proposa e secondo le ipoesi adoae valori della deviazione sandard dell indice di solvibilià superiori al caso del sisema svizzero. Tale risulao si raduce in ermini di 13

14 sabilià della compagnia. Infai l eveno rovina, nelle simulazioni considerae, ha una frequenza assolua neamene inferiore uilizzando il sisema BM svizzero sull inero orizzone emporale considerao (60 anni), ma comunque anche inferiore al caso del BM ialiano. Tali risulai sono confermai anche in ermini di porafoglio apero a nuovi ingressi. Si soolinea come ale preferibilià nasce da una visione parziale nel problema della scela di un sisema di personalizzazione a poseriori, che è quella della solvibilià. Alri elemeni devono essere inrodoi al fine di fornire un giudizio complessivo: in primis l auoliquidazione (essendo i sisemi BM molo sensibili agli effei di ale fenomeno), ma anche l efficienza, la rasparenza, la concorrenza, il moral hazard, ec. Tale approccio rimane comunque un uile srumeno in relazione all analisi dei requisii di capiale anche alla luce dei fuuri sviluppi delle normaive in ema di solvibilià. Alcuni possibili puni di sviluppo del presene lavoro sono individuabili nell inroduzione dei segueni faori: raggiungere un numero superiore di simulazioni, in modo da limiare e rendere rascurabili evenuali errori di processo; uilizzo di una disribuzione della v.a. numero sinisri che possa rappresenarne in modo più reale il comporameno (Binomiale negaiva, Poisson Gaussiana Inversa, GPD, ec.); fluuazioni a breve ermine per il numero sinisri. Bibliografia [1] CERCHIARA, R. R Un primo approccio verso la definizione della relazione ra pricing e solvibilià del ramo RCA. Rappori Scienifici AMASES (in corso di sampa) [2] DAYKIN C. D., PENTIKAINEN T., PESONEN M Pracical risk heory for acuaries. London. Chapman and Hall. [3] GIGANTE P., PICECH L., SIGALOTTI L. (2001), A model o evaluae bonusmalus sysems by recursive procedures, Giornale dell Isiuo Ialiano degli Auari, LXIV (1-2), [4] LEMAIRE J Bonus-Malus Sysems in Auomobile Insurance. Kluwer Academic Publishers [5] SAVELLI N A Risk Theoreical Model For Assessing The Solvency Profile of a General Insurer. Ai del XXXIV ASTIN Colloquium, Berlin. 14