CINEMATICA. t B - t A = t' A - t B. (851)

Transcript

1 CINEMATICA La prima, quesione he iene affronaa è la definizione di onemporaneià o simulaneià. Cosa si dee inendere per eeni simulanei? Sembrerebbe di poer rispondere: eeni he aengono nello sesso isane. Si, ma he signifia nello sesso isane? Per rispondere a quesa domanda Einsein si osruise una serie di srumeni oneuali ali he gli permeano di arriare ad una definizione operaia delle grandezze fisihe empo (mediane orologi) e lunghezza (mediane regoli rigidi). (849) Seguiamo il suo ragionameno. Egli inizia on linrodurre un sisema inerziale he, per sempliià disorsia, onsidera in quiee. Se si uole definire la posizione di un puno maeriale in queso sisema, lo si può fare misurando, on dei regoli rigidi, le disanze di queso puno dai re assi aresiani oordinai. Se si uole definire il moo di queso puno maeriale si possono dare le oordinae del puno in funzione del empo. Ora, quando si parla di empo, oorre fare aenzione. Infai, parlare di empo è ome parlare di aenimeni simulanei e queso perhé se, ad esempio, noi diiamo he il reno arria alle 7, inendiamo dire he il reno arria simulaneamene a quando le lanee del nosro orologio segnano le 7. Si può allora sosiuire la definizione di empo on le posizioni delle lanee dellorologio? Queso a bene solo nel aso in ui si debba definire il empo per il luogo doe si roa lorologio; ma se si ogliono dare i empi per "aenimeni he si solgono in luoghi differeni", allora sorge la neessià di sapere osa diena quella simulaneià ui i riferiamo prima. Noi poremmo eramene aluare il empo in ui si produe un deerminao fenomeno nello spazio a parire da un unio osseraore, munio di orologio, he si roi nellorigine delle oordinae del nosro sisema inerziale: si produe laenimeno; esso iene segnalao allorigine delle oordinae on un segnale luminoso; quando il segnale luminoso arria, losseraore a a edere he empo segna il suo orologio. Queso meodo però, ossera Einsein, "ha linoneniene di non essere indipendene dalla posizione dellosseraore munio di orologio"; infai, a posizioni dierse dellosseraore, daa la osanza di (e qui non sere assumere la osanza di per ui i sisemi inerziali ma solo quella per un sisema in quiee), orrispondono empi diersi per uno sesso fenomeno he aiene in un puno fissao dello spazio. (850) Einsein suggerise quindi "una più praia deerminazione [per] aenimeni he si solgono in luoghi differeni". Supponiamo di prendere in onsiderazione due puni A e B dello spazio, nei quali si roino due osseraori munii di due orologi idenii. Losseraore A porà dare i empi di A e delle immediae iinanze; losseraore B porà dare i empi di B e delle immediae iinanze. Se però non si fa qualhe alra onenzione "non è possibile... paragonare emporalmene un aenimeno in A on un aenimeno in B; noi [infai] abbiamo finora definio un empo A e un empo B, ma nessun empo omune ad A e B." Luleriore onenzione he mana per definire quesulimo empo è "he il empo he la lue impiega per giungere da A a B è uguale al empo he essa impiega per giungere da B ad A." Daa quesa definizione è allora possibile sinronizzare due orologi disani mediane un segnale luminoso he, pario da A, dopo la riflessione su B, ripori ad A linformazione sul empo di B. Chiamiamo on A lisane (il empo) in ui un raggio di lue pare da A, on B lisane in ui queso raggio iene riflesso da B per ornare erso A e on A lisane in ui il raggio arria di nuoo in A. La definizione daa i permee di dire he i due orologi funzionano in modo sinrono quando: B - A A - B. (85) Con quesa definizione non i è luogo a onraddizioni e non solo per i puni A e B, ma per qualsiasi alro puno dello spazio, di modo he algono le segueni ondizioni: ".Quando lorologio in B ammina sinrono on lorologio in A, lorologio in A ammina sinrono on lorologio in B..Quando lorologio in A ammina sinrono on lorologio in B quano anhe on lorologio in C, amminano pure sinroni gli orologi in B e in C relaiamene luno allalro." In queso modo, aiuandosi on esperienze menali, Einsein fornise una definizione di empo e di simulaneià. In pariolare, seondo Einsein,

2 "il empo di un aenimeno è lindiazione onemporanea allaenimeno di un orologio in quiee, he si roa nel luogo dellaenimeno, il quale proede sinrono on un deerminao orologio in quiee, e preisamene per ue le deerminazioni di empo, on lo sesso orologio." Come onseguenza di quano deo ed in aordo on il Prinipio della osanza della eloià della lue, si ha: ( AB)/( A - A ) ioè: la eloià della lue, ome osane uniersale, è daa dal rapporo ra linero ragio, andaa e riorno, ra A e B ed il empo oale impiegao a perorrere queso ragio. Come si riorderà quesi due puni, A e B, erano presi in un sisema in quiee, per ui "il empo ora definio, a agione di quesa apparenenza al sisema in quiee, lo diremo il empo del sisema in quiee." (85) A queso puno si può ominiare a parlare di relaiià di lunghezze e empi inroduendo nelle nosre disussioni e il Prinipio di relaiià e quello della osanza della eloià della lue he engono ora espliiamene enuniai nel modo seguene: ") Le leggi seondo le quali si modifiano gli sai dei sisemi fisii sono indipendeni dal fao he quesi e ambiameni di sao engano riferii alluno o allalro di due sisemi di oordinae he si roino in relaia reiproa raslazione uniforme. ) Ogni raggio di lue si muoe nel sisema di oordinae in quiee on la deerminaa eloià, indipendene dal fao he quel raggio di lue sia emesso da un orpo in quiee o da un orpo in moimeno." Supponiamo di aere, nel definio sisema in quiee, unasa rigida di lunghezza h (misuraa nello sesso sisema in quiee on un regolo rigido). Quesasa si roi poggiaa sullasse delle e, ad un dao isane, omini a muoersi on eloià nel erso delle reseni. Ci si hiede qual è la lunghezza di quesa asa in due eenualià: a) losseraore (853) è in moo on lasa alla sua sessa eloià ed esegue la misura in queso sisema mediane un regolo rigido (il uo a ome se osseraore, asa da misurare, regolo di misura si roassero in quiee); b) losseraore è sul sisema in quiee; egli, mediane orologi (in quiee) sinronizzai on quelli (in moo) he si roano sullasa da misurare, "dedue... in quali puni del sisema in quiee si roino il prinipio e la fine dellasa da misurare, in un deerminao empo "; a queso puno si passa a misurare la disanza di quesi due puni, mediane un regolo rigido nel sisema in quiee. Anhe quesa dorà essere onsideraa ome lunghezza dellasa. Il prinipio di relaiià i die subio he uilizzando il sisema di misura (a), "la lunghezza dellasa in moo nel sisema in moo dee essere uguale alla lunghezza h dellasa in quiee"; e iò uol dire he la misura he noi roiamo per lasa è la sessa sia quando noi, sando in quiee, misuriamo lasa in quiee nel sisema in quiee; sia quando noi, sando in moo, misuriamo lasa in moo nel sisema in moo. (854) Vediamo ora di alolari mediane (b) "la lunghezza dellasa in moo nel sisema in quiee" e, ome Einsein aniipa, roeremo he essa è differene dalla preedene lunghezza h, e iò in onraso on quano la inemaia ordinaria generalmene ammee. Supponiamo di aere alle esremià A e B dellasa due orologi sinronizzai on gli orologi del sisema in quiee; e iò uol dire he i empi indiai dagli orologi he si roano in A e B orrispondono, isane per isane, al "empo del sisema in quiee"; e iò uol dire anora he gli orologi he si roano in A e B sono "sinronizzai nel sisema in quiee". (855) Vi sia poi un osseraore iino allorologio A ed un osseraore iino allorologio B, di modo he i due osseraori si muoano on gli orologi. Quesi osseraori doranno sinronizzare gli orologi mediane il sisema di sinronizzazione dao preedenemene e ioè mediane un segnale luminoso. Allora, "al empo A [del sisema in quiee] (856) para [da A] un raggio luminoso, enga riflesso al empo B in B e riorni al empo A in A". Queso segnale impiegherà un empo B - A per perorrere la disanza AB ed un empo A - B per perorrere la disanza BA. Ora, a seguio del prinipio della osanza della eloià della lue, il segnale luminoso he iaggia on eloià : quando da A a erso B, dorà rinorrere lesremo B he gli si allonana on eloià ; quando da B orna erso lesremo A, si roerà

3 quesulimo he gli a inonro on eloià. In definiia, se on r AB denoiamo la lunghezza dellasa misuraa nel sisema in quiee, si ha: (857) B - A r AB /( - ) e A - B r AB /( ) Quano riaao uol dire he "osseraori in moo on lasa in moo roerebbero i due orologi non proedeni sinroniamene, menre osseraori nel sisema in quiee dihiarerebbero, sinroni quegli orologi". (858) E queso perhé, menre aeamo iso he per il sisema in quiee i due orologi siuai in A e B erano sinroni on la onseguenza he per il sisema in quiee doea risulare: B - A A - B ora, per il sisema in moo, risula: B - A A - B. Einsein può allora onludere: " Vediamo dunque he al oneo di simulaneià non possiamo aribuire alun signifiao assoluo, ma he inee due aenimeni he, onsiderai da un sisema di oordinae, sono simulanei, onsiderai da un sisema mosso relaiamene ad esso, non sono più da onsiderare ome aenimeni simulanei." In definiia, il oneo di simulaneià, dao per eidene nella inemaia lassia, iene a perdere il suo alore assoluo, dienando relaio. Inolre si sambiano i ruoli preesiseni: menre prima la definizione di empo i permeea di parlare di eeni simulanei, ora la definizione di eeni simulanei i permee una misura del empo. Abbiamo ora in mano ue le premesse neessarie per osruiri le equazioni di rasformazione, quelle ioè he i permeono di passare da un sisema supposo in quiee ad un alro in moo raslaorio uniforme rispeo al primo (e ieersa). Quesa pare iene raaa da Einsein nel paragrafo 3 della sua memoria. Io, per ragioni di sempliià oneuale ed esposiia, (859) preferiso seguire un modo dierso per riaare le sesse equazioni di rasformazione. Quesa raazione è saa elaboraa dallo sesso Einsein in unepoa suessia (96). (860) Supponiamo allora di aere due sisemi di oordinae: luno, S (di oordinae,y,z), supposo in quiee; lalro, S (di oordinae, y, z), in moo reilineo uniforme a eloià rispeo al primo. Per sempliià i due sisemi sono presi in modo ale he i loro assi ed oinidono, menre gli assi y e z del primo sono rispeiamene paralleli agli assi y e z dellalro (si eda la figura 43). (86) Die Einsein: (86 bis) "II nosro problema può enir formulao on esaezza nel modo seguene.

4 Quano algono le,y, z e di un eeno rispeo ad S, quando sono dae le grandezze, y, z,, dello sesso eeno rispeo ad S? Ora, un qualunque eeno, he si produa sull asse del sisema S, è rappresenao rispeo al sisema di oordinae S dallasissa e dal empo, e rispeo al sisema S dallasissa e dal empo. Dobbiamo roare e quando siano dai e. (86) Riferendoi alla figura 43, supponiamo he all isane in ui inizia a prodursi leeno da sudiare le origini O ed O di S ed S oinidano. In queso isane un segnale luminoso (leeno) enga emesso dallorigine O di S e si propaghi lungo lasse, nel erso delle reseni. Nel sisema S, dopo un empo O, il segnale arà raggiuno il puno di asissa ; e poihé ale il prinipio di osanza della eloià della lue, anhe nel sisema S dorà risulare. (863) In definiia, nei due sisemi algono rispeiamene le due equazioni: e ioè: Ciasuna di quese due equazioni orrisponde alla misura dello sesso eeno sul rispeio sisema di riferimeno. Di onseguenza le due equazioni doranno essere ra loro dipendeni. In pariolare lannullarsi delluna dorà impliare lannullarsi dellalra. E queso uol dire he le due equazioni doranno essere uguali a meno di una osane molipliaia; ioè: ( - ) λ ( - ) doe λ e appuno la osane he dorà essere deerminaa. Ripeendo lo sesso ragionameno per un segnale luminoso he, pario da O, si propaghi in erso onrario (erso delle dereseni), roiamo: ( ) ν( ) doe ν e anora una osane da deerminarsi. Ed allora, per roare le equazioni di rasformazione dal sisema S a quello S ( e ieersa ) oorrerà deerminare le due osani λ e ν, ominiando on il risolere il sisema: ( - ) λ( - ) ( ) ν( ) Sommando e soraendo le due equazioni si roa:

5 ( - ) ( ) λ( - ) ν( ) ( - ) - ( ) λ( - ) - ν( ) da ui, di seguio: λ - λ ν ν - λ - λ - ν - ν ½ (λ ν) - ½ (λ ν) ½ (λ ν) - ½ (λ ν) Chiamando per sempliià: a ½ (λ ν) e b ½ (λ ν) si ha: a b () a - b ed il problema diena quello di deerminare le due osani a e b. Per farlo oorrono due ondizioni fisihe he disendono da onsiderazioni elemenari. Innanziuo si può osserare he sul sisema S in moo, lorigine O ha per asissa 0 (e queso è sempre ero). Ponendo queso alore nella prima delle () si ha; 0 a - b -> (b/a) Ora, poihé abbiamo hiamao on / la eloià on ui l origine O di S si muoe rispeo ad S, dallulima relazione sria disende: e ioè: / (b/a)

6 (b/a) -> b a(/) () ed anora: / b/a. (864) (3) Inolre il prinipio di relaiià i insegna he, giudiaa da S, la lunghezza di un singolo regolo-ampione he sia in quiee rispeo ad S dee essere esaamene idenia alla lunghezza, giudiaa da S, di un singolo regolo-ampione he sia in quiee relaiamene ad S. Per edere ome appaiono i puni dellasse S isi da S, dobbiamo solano prendere una isananea di S da S; iò signifia he dobbiamo assegnare a (empo di S) un alore pariolare, ad esempio 0." (865) Al empo 0 una daa lunghezza di S arrà se aluaa da S. Vogliamo riaari onosendo il suo alore in S. Sosiuendo 0 nella prima delle () si roa: e iò uol dire he: a a Se quindi la lunghezza misuraa in S ale, ad esempio,, nella isananea presa da S essa arrà: a > /a. (866) (4) Faiamo ora unalra isananea, quesa ola da S, al regolo-ampione s in quiee su S. Anhe adesso dobbiamo assegnare a (empo di S ) un alore pariolare, ad esempio, 0. Il problema è lo sesso del preedene. Ora, dao he al empo 0 una daa lunghezza s di S arrà se aluaa da S, si raa di riaare onosendo il suo alore in S. Sosiuendo 0 nella seonda delle (), si roa: a - b 0. Da quesa espressione oorre eliminare la e per farlo la si può meere a sisema on la prima delle (): a - b 0 a - b Dalla prima si riaa subio : (b/a)(/)

7 he può essere subio sosiuio nella seonda; a b (b/a)(/) Risolendo si roa: a - ab(b/a )(/) -> a - a(b /a ) -> a ( b /a ). Riordando la (3), quesa espressione diena: a(l / ) E iò uol dire he: a(l / ). Se quindi la lunghezza misuraa in S ale, ad esempio,, nella isananea presa da S essa arrà: a( / ). (5) Ma, per il prinipio di relaiià, quesa e lalra isananea doranno essere idenihe; l espressione (4) dorà ioè essere uguale all espressione (5): -> /a a( / ) -> a /( / ) -> (6) Abbiamo osì riaao una delle osani he i oorreano. Per roare lalra sosiuiamo la (6) nella (): b (7) Sosiuendo nelle () i alori (6) e (7) delle due osani osì roae, si hanno le equazioni di rasformazione erae:

8 . -> Per ompleare basa osserare he sugli assi y, y, z e z non si ha moo relaio, quindi risula: y y z z In definiia il gruppo delle rasformazioni he roa Einsein è: y y (8) z z

9 Quese rasformazioni i permeono di sabilire quano algono le, y, z,, di un eeno rispeo ad S, quando sono dae le grandezze, y, z,, dello sesso eeno rispeo ad S. Ora, anhe se Einsein non lo fa espliiamene, è uile riaare le rasformazioni inerse he rispondono alla domanda: quano algono le, y, z, di un eeno rispeo ad S, quando sono dae le grandezze, y, z,, dello sesso eeno rispeo ad S? Quano deo orrisponde a siuare losseraore in S e, dao il prinipio di relaiià, supporre S in quiee menre il sisema S si muoe on eloià - rispeo ad esso. Per rispondere alla domanda he i siamo posi, osserando he già abbiamo oiamene y y e z z, baserà risolere rispeo ad e il sisema formao dalla prima e dalla quara delle (8). Risolendo di seguio e, per sempliià, hiamando β /( / ) ½, si roa, suessiamene: β( ) β ( ) β β β β β β β β β

10 β β β β β β β β β β β β

11 β β β β ) ( β β ed in definiia si hanno le equazioni di rasformazioni erae: y y (9) z z

12 E di grande imporanza osserare he le (9) si oengono dalle (8) sempliemene sosiuendo a he ompare in quese ulime la quanià -. E iò proprio in irù del fao he le rasformazioni he roa Einsein godono della proprieà di gruppo (la rasformazione inersa di una daa rasformazione dee essere la rasformazione idenia). (868) Come si riorderà iò non alea per le equazioni di rasformazione di Lorenz, prima dellinereno di Poinaré. Ma, ornando ad Einsein, egli, dopo essersi riaae le equazioni di rasformazione (8) (he, inidenalmene e onseguenemene on quano deo nel paragrafo, egli anora non hiama rasformazioni di Lorenz), passa a dimosrare he "ogni raggio di lue, misurao nel sisema in moo, si propaga on la eloià e, purhé iò, ome abbiamo ammesso, aada nel sisema in quiee, poihé non abbiamo anora dao la dimosrazione he il prinipio della osanza della eloià della lue sia ompaibile on il prinipio di relaiià. Supponiamo allora di onsiderare un segnale luminoso he allisane 0 (isane in ui le origini O ed O dei due riferimeni S ed S oinidono) enga emesso dallorigine O di S (sisema in quiee). Queso segnale si propagherà da O soo forma di unonda sferia il ui frone iaggerà rispeo ad S on la eloià della lue. La superfiie sferia di quesonda arà un raggio r he arierà on il empo (di S) seondo la relazione: r. Riordando he lequazione di una sfera on enro nellorigine degli assi (in S) è daa da: y z r si ede subio he nel nosro aso si ha: y z. (869) (0) Se appliando le rasformazioni (9) a quesa equazione oeniamo anhe per il sisema S lequazione di una superfiie sferia he si propaga dall origine O on eloià, allora aremo dimosrao la ompaibilià dei due prinipi di Einsein. Risolendo di seguio, si roa: ( y) ( z) da ui, suessiamene: ( y z ) ( y z )

13 ( y z ) ( ) ( ) y z y z. () "L onda in oggeo è dunque, anhe onsideraa nel sisema in moo, un onda sferia on la eloià di propagazione. Con iò è mosrao he i nosri due prinipi fondamenali sono... ompaibili." E iò uol anhe dire he se la lue ha eloià nel sisema S, essa ha la sessa eloià nel sisema S, indipendenemene dalla eloià di ques ulimo rispeo al primo; si ha infai: r. Possiamo a queso puno passare al quaro paragrafo della memoria di Einsein dal iolo Signifiao fisio delle equazioni oenue, riguardani orpi rigidi ed orologi in moimeno. Si inizia on il onsiderare, nel sisema S in moo relaiamene al sisema S in quiee, un orpo rigido he ha la forma di una sfera di raggio S e he ha il suo enro nellorigine delle oordinae. Nel sisema S la superfiie di quesa sfera è daa dall equazione: y z R. Al empo 0, nel sisema S, quesa equazione diena (appliando la prima delle rasformazioni (6), nella quale si ponga 0, olre alla seonda e erza): y z R. Quesa equazione non è più quella di una sfera ma quella di un ellissoide di roazione i ui re semiassi, rispeiamene agli assi z, y, z del sisema di oordinae S, algono: R ;. R; R E iò uol dire he: "un orpo solido, he misurao in sao di quiee ha la forma di una sfera, ha dunque in sao di moo - onsiderao dal sisema in quiee - la forma di un ellissoide di roazione... Menre dunque le dimensioni y e z della sfera (ma anhe di qualsiasi alro orpo di qualsiasi forma) non appaiono modifiae a agione del moo, la dimensione appare aoriaa del rapporo ( / ) -/, dunque ano più foremene quano più grande è. Per ui i orpi mossi - onsiderai dal sisema in quiee - si onraggono in figure superfiiali. Per eloià superiori a quella della lue le nosre onsiderazioni perdono il loro signifiao; dalronde edremo nelle onsiderazioni he seguiranno he la eloià della lue ha, nella nosra eoria, fisiamene il ruolo di una eloià infinia. E hiaro he uguali risulai sussisono per un orpo fisso nel sisema in quiee quando enga onsiderao da un sisema in moo uniforme.

14 I orpi di un sisema in moo, quindi, se osserai da un sisema in quiee, si onraggono nella direzione del moo. La onrazione è ano maggiore, quano maggiore è la eloià del moo relaio; al limie, per, la dimensione delloggeo nel erso del moo si annulla. Quesa perano è la prima onsiderazione he fa onludere ad Einsein he la eloià della lue è una eloià fisiamene infinia, ioè he essa è insuperabile o, he è lo sesso, he essa è una eloià limie. E imporane soolineare he unuguale onrazione nel erso del moo si ossererebbe dal sisema in moo sul sisema in quiee a seguio del prinipio di relaiià. Analogo ragionameno si può fare per i empi. Supponiamo di aere un orologio he nel sisema S in quiee dia il empo, menre (lo sesso orologio) nel sisema S in moo dia il empo. Poniamo ques orologio nellorigine delle oordinae di S e ediamo he empo fornise in S. La quara delle rasformazioni (8) i die he: inolre sappiamo he, in S:. Sosiuendo ques ulima relazione nella preedene, si roa: -> -> () In definiia, il empo segnao da un orologio in moo, quando esso è aluao da un riferimeno in quiee, è in riardo di ( / ) / rispeo al empo misurao nel sisema in quiee. E iò uol dire he il empo del sisema in moo, se osserao dal sisema in quiee, sorre più lenamene o, he è lo sesso, si dilaa. Dalla relazione () inolre si ede subio he per si ha he 0, e ioè he il empo e fermo in un sisema he si muoe on la eloià della lue, quando è osserao da un sisema in quiee. Anhe qui si possono fare le sesse onsiderazioni fae preedenemene a proposio di eloià superiori a (in queso aso il empo dienerebbe una grandezza algebriamene immaginaria alla quale non sapremmo quale signifiao fisio assegnare). Anhe qui, resa ineso he, daa la alidià del prinipio di relaiià, una medesima dilaazione del empo si ossera dal sisema in moo sul sisema in quiee. Einsein aggiunge, a queso puno, he queso risulao ale anhe quando l orologio si muoe da un puno ad un alro seguendo una linea poligonale ed anora se quesa poligonale è hiusa. Quesulimo fao fa dire ad Einsein un qualosa he, suessiamene ed anora oggi, ha dao il ia ad una serie di speulazioni he sono lungi dallaer roao una soluzione. Die Einsein:

15 se si roano in A due orologi sinroni e si muoe uno di essi on eloià osane su una ura hiusa finhé riorna in A, iò he porebbe durare se, quesulimo orologio al suo arrio in A si roa, rispeo allorologio rimaso immobile, in riardo di /.. / se. (870) E finalmene arriiamo all ulimo paragrafo della pare inemaia he è dediao alla omposizione delle eloià. (87) In aordo on la osanza di e on il suo non sommarsi on nessuna alra eloià, oorrerà roare delle equazioni di rasformazione he, nel passaggio da un sisema ad un alro, rendano, al limie,. Supponiamo he un puno maeriale si muoa sul sisema S he è, riordiamolo, in moo on eloià rispeo al sisema S supposo in quiee. Queso puno si muoa, per sempliià, lungo lasse (he ha la sessa direzione dellasse di S) e sia u la sua eloià rispeo ad S. Si uole onosere on quale eloià u si muoe queso puno rispeo al sisema S (o, he è lo sesso, quano ale u osseraa da S). Cominiamo on l osserare he il moo del puno maeriale sul sisema S è desrio dall equazione: u. Basa appliare le rasformazioni (6) a e di ques ulima relazione, per roare iò he erhiamo. Si ha: u -> u -> u u -> -> u u Diidendo ambo i membri per e riordando he nel sisema S è / u, si roa l equazione di rasformazione eraa: u u (3) u Si noi he per eloià u e molo piole rispeo a, il ermine u/, he si roa al denominaore, può essere rasurao, di modo he si oiene lequazione lassia di addizione delle eloià (quella di Galileo): u u. Nel aso limie, già annuniao, in ui sia u sia algano, la eloià risulane sarà:

16 u. Da quano deo "segue he dalla omposizione di due eloià, le quali siano minori di, risula sempre una eloià minore di... Segue inolre he la eloià della lue non può enir modifiaa per omposizioni on una eloià inferiore a quella della lue." E qui, dopo aer fao noare he arie rasformazioni ome la (3), quando sono appliae a ari sisemi di riferimeno, formano gruppo, Einsein onlude la pare inemaia per passare a mosrarne le appliazioni allelerodinamia. NOTE (849) Colui he per primo formulò in modo espliio loperazionismo fu il fisio sauniense P.W. Bridgman (l86-96). Per eliminare dalla fisia e dalla sienza in genere moli onei meafisii, Bridgman propose (97) di definire i ari onei he si uilizzano nella fisia in ermini di operazioni o proessi (di misura, di laboraorio,...). In un suo saggio, Le eorie di Einsein da un puno di isa operaio, inserio nel olume urao da Shlipp, Alber Einsein, sienziao e filosofo (bibl.68, pagg. 8-30), Bridgman afferma he olui he ha, nei fai, inenao loperazionismo è sao proprio Einsein on la sua Teoria della relaiià risrea. Die Bridgman in aperura del saggio: " Quesa esposizione enerà di dimosrare he Einsein non riporò nella sua relaiià generale la profondià e gli insegnameni he egli sesso i aea dao on la sua eoria pariolare." Einsein quindi, almeno on la sua relaiià generale, abbandonò il puno di isa operaio nella definizione delle grandezze. Sul largomeno si eda anhe Bergia in bibl. 48, pagg (850) Si noi he unalra possibilià di dare i empi per aenimeni he si solgono in luoghi differeni porebbe essere quella di porare gli orologi nello sesso luogo, sinronizzarli e quindi riporarli nei luoghi dorigine. Einsein non prende in onsiderazione quesa possibilià perhé, probabilmene, aea in mene due diffiolà: hi garanise he il moo non aleri il funzionameno degli orologi? e hi i assiura he per due fenomeni differeni i empi passino allo sesso modo? Si riordi he quella di Einsein è una definizione operaia. (85) In definiia, per sinronizzare un orologio he sa in A on uno he sa in B, si inia un segnale luminoso da A a B e si aende he riorni in A. Alla fine dellesperimeno il empo oale leo sa A, diiso per due, permee di sinronizzare i due orologi. (85) Si noi he, in aordo on il Prinipio di relaiià, ui i sisemi inerziali sono equialeni. Selo un sisema inerziale a aso, nessuno i iea di onsiderarlo ome se fosse in quiee (ed il fao è in aordo anhe on il prinipio lassio di relaiià). Oorre omunque riordare he, dao un sisema inerziale, ui quei sisemi he si muoono di moo reilineo uniforme rispeo a quello, sono anhessi inerziali. (853) Taylor, in un modo dierene, fa rileare: " in quese spiegazioni inerengono sempre gli osseraori, i quali non possono neppure dormire perhé, se lo faessero, porebbero perdersi qualhe aenimeno imporane e meere in risi linera eoria" (bibl. 77, pag.86). Sulla abbondanza degli

17 osseraori nella relaiià basa ener sempre presene he losseraore non è né un fisio né un filosofo; non é uno he fa eorie ma, al onrario, è un eseuore maeriale di misure, un operaore merio. (854) Se qualuno, he ha già una qualhe onosenza di relaiià, pensasse a per ora non meglio speifiae onrazioni dellasa, enga ono he le onrazioni riguardano anhe il regolo di misura. Ma su queso orneremo più olre. (855) Cioè: nel sisema in quiee risulerà, ome abbiamo iso, B - A A - B. Il he uol dire he: lorologio he si roa in A indiherà il empo di A nel luogo in ui si roa A; lorologio he si roa in B indiherà il empo di B nel luogo in ui si roa B; sia lorologio di A he quello di B indiheranno il empo del sisema in quiee; nel sisema in quiee i due orologi risuleranno sinroni. (856) Come lo sesso Einsein i fa osserare, queso empo del sisema in quiee è anhe la "posizione delle lanee dellorologio del sisema in moo" he si roa nel luogo di ui si parla. (857) Se si riorda lenuniao originale di Einsein del prinipio di osanza della eloià della lue (dao appena qualhe riga più su), si rionoserà he la eloià della lue, nel sisema in quiee, dee essere. Ciò uol dire he gli orologi del sisema in quiee misureranno un empo maggiore per la lue he a da A a B rispeo a quello neessario alla lue per andare da B ad A. In un aso infai bisognerà ener ono del fao he la lue emessa da A dee raggiungere B he si allonana on eloià ; nellalro aso, la lue riflessa da B dorà raggiungere A he si aiina on eloià. (858) Faendo seguio a quano deo nella noa preedene, se gli orologi he si roano in moo agli esremi dellasa in moimeno sono sinronizzai on il meodo di Einsein, rispeo al sisema in quiee daranno, ra loro e isane per isane, leure differeni. Ma poihé il prinipio della osanza di è affermao per ui i sisemi inerziali, noi dobbiamo ammeere he gli orologi nel sisema in moo, sinronizzai ra loro on il solio meodo, sono effeiamene sinroni ra loro. (859) II modo on ui Einsein riaa le equazioni di rasformazione nella memoria del 905 è, per noi, omplesso per due moii: ) si inroduono le equazioni alle deriae parziali he non onosiamo (non ui almeno); ) si solgono dei ragionameni un poo farragginosi (a poseriori!). (860) In un laoro diulgaio dal iolo Sulla relaiià speiale e generale, bibl. 78. In pariolare la raazione he i riguarda è in appendie, al paragrafo, pagg Anhe qui ho ambiao alune noazioni di Einsein in modo da renderle onsegueni on alre noazioni da me usae in alra pare di queso laoro. (86) In sosanza andremo a sudiare il problema ad una dimensione anzihé ompliarlo in re dimensioni; e iò uol dire he i ouperemo solo delle ariazioni della oordinaa (oppure ), resando ineso he per le alre oordinae algono le segueni equazioni di rasformazione: y y e z z. (86 bis) Bibl. 78, pag. 66. (86) Ibidem, pag. 68. (863) Poihé all isane in ui leeno ominia a prodursi le origini dei due riferimeni oinidono, anhe in S il segnale luminoso sarà emesso al empo 0. E, daa appuno la osanza di, anhe in S dopo un empo, il segnale luminoso si roerà ad oupare lasissa. (864) A parire da queso puno, P. Couder segue un meodo dierso per riaarsi le rasformazioni di Lorenz (si eda allo sopo bibl. 80, pagg. 0- ).

18 (865) Ibidem, pagg Si osseri he una isananea, saaa quando il enro del regolo è sullasse oio della mahina foografia, permee di raguardare simulaneamene gli esremi del regolo. (866) è la lunghezza di un regolo-ampione, in quiee su S, aluaa da S mediane una isananea. (867) Come già deo (noa 859), Einsein, nella sua memoria del 905 uilizzò un meodo differene per riaare le (8). In bree, egli prima di uo annunia he le equazioni da roare deono essere lineari a agione della proprieà di omogeneià he noi aribuiamo allo spazio e al empo", quindi, uilizzando il meodo di sinronizzazione preedenemene definio, a a alolarsi lequazione di rasformazione del empo nel passaggio dal sisema S al sisema S. Quesa equazione dipende da un faore f(), dipendene dalla eloià, da deerminarsi. Con lequazione di rasformazione del empo egli si a a alolare lequazione di rasformazione delle oordinae. Tue quese equazioni sono dae a meno del faore f(). A queso puno Einsein passa a dimosrare he anhe nel sisema in moo la lue si propaga on eloià (se, appuno, on quesa eloià essa si propaga nel sisema in quiee); e iò gli sere per dimosrare la ompaibilià del prinipio di relaiià on quello della osanza di. Per fare iò egli si sere delle equazioni di due onde sferihe luminose emesse allorigine dei due riferimeni al empo 0 (quando, passandosi iino i due sisemi, le.due origini oinidono) e poihé esse, appliandoi le rasformazioni già roae, risulano anora sferihe (nel passaggio dalluna allalra), Einsein può onludere he "i nosri due prinipi fondamenali sono ompaibili". Lulimo passo he Einsein fee fu quello di sbarazzarsi del faore f(). Allo sopo egli inrodue un erzo sisema di oordinae S" he si muoe rispeo ad S ome lo faea S, ma quesa ola on eloià -. Mediane una doppia appliazione delle equazioni di rasformazione egli roa he le oordinae, y, z, del sisema S, sono legae a quelle (, y, z, ) del sisema S dalle relazioni: f().f(-) y f().f(-)y z f().f(-)z f().f(-) doe f(-) è un alro faore indeerminao he gli iene fuori nel riaare le equazioni di rasformazione da S ad S. Einsein ossera allora: Poihé le relazioni ra s, y, z e, y, z non onengono il empo, i due sisemi S ed S sono relaiamene in quiee, ed è hiaro he la rasformazione da S ad S dee essere la rasformazione idenia. E dunque: f().f(-). Quindi, on linroduzione di onsiderazioni di eoria dei gruppi (la rasformazione inersa di una daa rasformazione dee essere la rasformazione idenia) egli riese a roare una prima relazione he gli permeerà di riaare f(). Da alre onsiderazioni roa he: f() f(-) e quindi, meendo insieme le ulime due relazioni, può onludere he f().

19 Si osseri la maggiore sempliià di queso meodo e quane ipoesi in meno sono neessarie rispeo a quano aea fao Lorenz he si era roao di frone allo sesso problema. (868) Si noi ome proprieà di gruppo e prinipio di relaiià siano esaamene la sessa osa: la prima esprimendo in modo analiio il seondo. Si può ora riordare he le rasformazioni he roò Lorenz non godeano della proprieà di gruppo poihé, daa limmobilià delleere, non ha senso la rasformazione inersa del sisema di riferimeno in moo on il sisema in riposo rispeo all eere. (869) Si può aniipare una osserazione sulla quale orneremo più olre. La eloià della lue è una osane he noi abbiamo sudiao solo inidenalmene per la lue; essa ha un signifiao più generale rappresenando una proprieà dello spazio-empo. Dalla (0) si ede infai he è quella osane he, molipliaa per, rende omogenee le grandezze in gioo nello spazio-empo. (870) Su queso paradosso degli orologi il fisio franese P. Langein (87-946) osruirà nel 9 il famoso paradosso dei gemelli del quale disueremo più olre. Basi per ora dire he per perorrere una poligonale sono neessarie delle aelerazioni e le aelerazioni sono ompeenza della relaiià generale e non della relaiià risrea. (87) Anhe qui seguirò un meodo differene da quello uilizzao da Einsein nella sua memoria del 905.