Specializza al caso di segnali aperiodici l analisi in frequenza introdotta al 2.2 per segnali

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1 Capiolo 3 rasormaa di Fourier e convoluzione Specializza al caso di segnali aperiodici l analisi in requenza inrodoa al. per segnali periodici, dando ora luogo ad uno spero coninuo. Dopo l esensione del eorema di Parseval e la deinizione di densià di energia ed energia muua, il capiolo procede invesigando le proprieà della rasormaa di Fourier, di cui inerrompe l esposizione per deinire l impulso maemaico δ() e le sue applicazioni come la risposa impulsiva e l inegrale di convoluzione. Si passa quindi ad illusrare l equivalenza ra convoluzione e prodoo nel dominio rasormao, con le relaive conseguenze sul ilraggio, la modulazione e la inesraura. Dopo aver discusso a riguardo delle proprieà della rasormaa di segnali derivai ed inegrali, viene deinio il reno di impulsi, subio applicao per esendere la rasormaa di Fourier anche al caso periodico. 3. Dalla serie alla rasormaa A pag. 33 abbiamo osservao come lo sviluppo in serie di Fourier possa essere applicao ad un segnale limiao nel empo, con il risulao che la ormula di ricosruzione = n= XnejπnF in al caso rende il segnale originario periodico. Se allo sesso empo il periodo iizio su cui sono calcolai i coeicieni X n = / / e jπnf d viene ao endere ad ininio, le armoniche della serie di Fourier endono ad iniirsi, ino ad arrivare ad una disanza ininiesima; allo sesso empo, il periodo del segnale ricosruio ende anch esso ad inino, e dunque la ricosruzione non è più periodica. La rasormaa di Fourier è idonea a rappresenare segnali privi di sruura periodica, e da un puno di visa ormale può essere visa come un operaore unzionale che, applicao ad un segnale unzione del empo, ne individua un secondo X () con valori complessi e unzione di variabile reale e coninua, dea requenza ed indicaa con ; ale passaggio da empo a requenza viene rappresenao araverso la simbologia X () = F {}, indicando il segnale rasormao con la sessa sessa leera di quello di parenza, ma resa maiuscola. Dal puno di visa analiico la rasormaa di Fourier è espressa come X () = e jπ d (3.) Occore però rimuovere il ermine / dell eq. (.6), alrimeni i coeicieni andrebbero a zero, essendo il segnale a duraa limiaa. eoriadeisegnali.i

2 54 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione elasuaesisenzaègaraniapersegnaliimpulsivi(pag.5)ovveroaliche d <, e per i quali le condizioni di Dirichle (.5.) sono veriicae nell inervallo ǫ(, ). Daocheunsegnaleimpulsivoèanchedienergia(vedi.5.),la(3.)èvalidaanchepersegnali di energia. Vedremo al 3.7 che, grazie ad operazioni di passaggio al limie, la rasormaa di Fourier può essere deinia anche per segnali periodici, e dunque di poenza. Ilpassaggioinversoda aèdeoanirasormaadifourier,vieneindicaocome = F {X ()},econsenediri-oenereilsegnaledicuila(3.)hacalcolaolarasormaa X (). Da un puno di visa analiico l anirasormaa di Fourier è deinia in modo del uo simile 3 alla(3.),ovvero = X ()e jπ d (3.) valida ovunque sia coninuo, menre nelle disconinuià di prima specie ornisce il valore inermedio ra quelli limie desro e sinisro. Il risulao X () della rasormazione viene indicao anche come spero di ampiezza complessa, e dao che X () assume valori complessi, può esprimersi inorma esponenziale (.4) X () = M ()e jϕ() incui M () ed ϕ() sono indicai come speridimodulo e diase delsegnale. Spero di ampiezza come densià L espressione dell anirasormaa(3.) può essere messa a conrono con quella della serie di Fourier = n= XnejπnF, evidenziando che la prima può essere pensaa come una somma inegrale di ininie componeni X ()d di ampiezzaininiesima,incui X () siesprime come segnale /Hz,ovverounadensià. Spazioadimensionaliàininia Al 3.8.4simosracomegliesponenzialicomplessie jπ corrispondano ad una base di rappresenazione oronormale per uno spazio di Hilber (.4.3) con un numero di dimensioni ininio non numerabile, e dunque X () cosiuisce la rappresenazione di sualebase. Relazione ra serie e rasormaa per segnali a duraa limiaa Consideriamo un segnale diduraalimiaa,dicuicalcoliamolosperodiampiezza(3.)incorrispondenzadelle requenze = n. Icampioni X () = n dellarasormaasonolegaiaicoeicienix n della serie di Fourier(.6)calcolai per losessosegnaledalla relazione 4 X () = n = X n (3.3) Prima di procedere ad illusrare alre proprieà e caraerisiche della rasormaa di Fourier, svolgiamo un semplice esercizio. rasormaa di un reangolo Disponendo del segnale = Arec (), se ne calcoli lo spero di ampiezza X (). Si oiene: X () = Arec ()e jπ d = A e jπ d = A e jπ jπ = = A e jπ e jπ π j = A sin(π) π = A sinc() (3.4) O almenoquasi sempre, daochenon èsempreverocheunsegnaledi energia sia necessariamene di impulsivo. 3 Daunpunodivisamnemonico,cerchiamodiricordarechel esponenzialesooilsegnodiinegraleprendeilsegno meno nel passaggio, ed il segnopiù passando da a. 4 ( n X ) = / e jπnf d = / = / e jπnf d = X n / e jπnf d = eoriadeisegnali.i

3 Sezione 3.. Energia muua, Parseval e densià di energia 55 A*rec () A**sinc(*) / Figura 3.: F-rasormaa di un reangolo di base = ed ampiezza A = Ilrisulao,graicaoinig3.,ricordaquellogiàinconraoal...4perlaseriediFourier dell ondareangolare. Ilnooandamenosinc() = sin(π) rappresena ora la disribuzione π in requenza coninua dello spero di ampiezza, con il primo zero della curva che si rova presso =, in modo del uo simile al reno di impulsi reangolari di base. Noiamo inolre che aumenando la duraa del rec lo spero si concenra, addensandosi nella regione delle requenze più basse; menre al conrario, qualora il rec sia più breve, X () si esende a regioni di requenza più elevaa. 3. Energia muua, Parseval e densià di energia Inanalogiaaquanoosservaoperlapoenzadeisegnaliperiodici(.3),l energiaoalee x di un segnale si disribuisce nel dominio della requenza come descrio dalla relaiva densià di energia E x(), che si oiene a parire da X (). Arriviamoci per gradi, illusrando prima due relazioni direa conseguenza delle considerazioni geomeriche svole al.4. Energiamuua 5 Daaunacoppiadisegnalidienergiaey(),èdeiniacomeilvalore E xy = x, y = y ()d (3.5) ecorrispondealprodooscalare(eq.(.6))raey()nellospazioadimensionaliàininia dei segnali di energia. L energia muua E xy rappresena una misura di similarià ra i due segnali, e qualora sia nulla i segnali e y() sono dei orogonali. Osserviamo che per la disuguaglianza di SchwarzrisulaE xy E x E y,vedi pag.46. eorema di Parseval 6 Se enrambi e y() possiedono rasormaa di Fourier la (3.5) può essere scria come E xy edil risulao = [ X () e jπ d ] y () d = X () [ y () e jπ d ] d = X () Y () d y ()d = X ()Y ()d (3.6) 5 Nei esi anglooni la (3.5) è indicaa come cross-energy, radoa leeralmene come energia incrociaa, o meglio, in comune. 6 In realà l esensione del eorema di Parseval alla rasormaa di Fourier è dovua a Plancherel, vedi hps://en.wikipedia.org/wiki/plancherel_heorem eoriadeisegnali.i

4 56 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione esprime il eorema di Parseval per segnali di energia, ed implica che le rasormae di segnali orogonali, sono anch esse orogonali, e viceversa. Densià di energia Ponendo = y(), la (3.5) rappresena ora l energia E x di, ovvero la sua norma quadraica in ermini veoriali. Combinando (3.5) con (3.6) si oiene E x = x, x = x = d = X () d (3.7) chemeeinlucecomelarasormaadifouriersiaunoperaoreuniario,ossiachenonalera la norma dei veori rasormai. Osservando l ulimo membro della(3.7) possiamo inerpreare E x() = X () come lo spero di densià di energia di. Inai, l inegrale X () d rappresena il conribuoall energiaoalee x di,limiaameneallabandadirequenzecompresera ed. 3.3 Prime proprieà della rasormaa di Fourier Descriviamo cosa accade al risulao quando le(3.) e(3.) sono applicae a paricolari classi di segnali, a loro combinazioni e/o rasormazioni, o più in generale, cosa lega le rasormazioni inunverso,con quelleinsenso opposo. Alre proprieà sonoillusrae aparire dal 3.5. Linearià Discende molo semplicemene dalla proprieà disribuiva dell inegrale che deinisce la rasormaa. Perano: se z() = a+by() allora Z() = ax ()+by () e ciòconsenedi caalogare larasormaadi Fouriercome unoperaorelineare 7 (.4.4.3). Simmeriaconiugaa Qualora siaunsegnalereale sioiene 8 X () = X ( ) ovverolaparerealedix()èpari equellaimmaginariadispari,cosìcomeilmodulo X () è pari e la ase arg{x ()} dispari. Si applica inolre il corollario di pag. 33, ovvero se olre ad essere reale è anche pari, X () è reale (pari), menre se è reale dispari, X () è puramene immaginaria(dispari). Dualià rasormaa ed anirasormaa dieriscono solo per il segno. Ciò compora che se sosiuiamo alla variabile del risulao X () di una F-rasormaa, la variabile, si oiene una unzione del empo X () che, se nuovamene rasormaa, ornisce... il segnale originario 7 Ovvero che mee in corrispondenza coppie di veori-segnale e X () appareneni allo spazio veoriale dei segnali { di energia deinio rispeivamene sul dominio del empo e della requenza. Dao che gli esponenziali complessi e jπ} cosiuisconounabaseoronormaleperisegnalidienergia( 3.8.4),osserviamocomela(3.)valuiilprodoo inerno ra il veore e un veore della base, menre la (3.) rappresena l equivalene coninuo della ormula di ricosruzione(.7). [ ] 8 InaiX () = e jπ d = x ()e jπ d = X ( ) dao che èreale. eoriadeisegnali.i

5 Sezione 3.3. Prime proprieà della rasormaa di Fourier 57, espresso come unzione della variabile, cambiaa di segno: x( ). Il conceo esposo, veriicabile analiicamenecon qualcherucco 9,siriassume come se F{} X () allora sosiuendo con X () F{} x( ) se X () F {} allora sosiuendo con x() F {} X ( ) e consene l uso di risulai oenui in un senso (ad es. da empo a requenza) per derivare senza calcoli i risulai nell alro(da requenza a empo), o viceversa. Esempio: rasormaa di un sinc() Supponiamo di voler rasormare il segnale = B sin(πb) πb = Bsinc(B): l applicazione cieca dell inegrale che deinisce la rasormaa di Fourier al segnale appare un impresa ardua... Allora, ricordando che F {rec ()} = sinc() scriviamo direamene F {B sinc(b)} = rec B () Perano la rasormaa di un sinc nel empo, è un reangolo in requenza. Valore nell origine(o iniziale) e area La corrispondenza risula subio veriicabile una volanoaochelarasormaacalcolaaper = siriduceall inegraledi,equindiallasua area. Perano: X ( = ) = B _ B F{ } d e, per dualia x( = ) = Esempio Come applicazione, roviamo subio l area di un sinc(.): B X() X () d (3.8) sinc(b)d = B recb ( = ) = B (3.9) raslazione nel empo Si raa di una proprieà molo semplice, e che ricorre requenemene nei calcoli sui segnali. Esprime la relazione ra la rasormaa di un segnale e quella dello sesso qualora raslao, in accordo al predicao se z() = x( ) allora Z() = X ()e jπ (3.) lacui dimosrazione è ornia soo. Esempio Dao un segnale reangolare = rec (), valuiamo la rasormaa di z() = x( ). L applicazione direa della(3.)poraalrisulaoz() = sinc()e jπ, e l esercizio porebbe dirsi concluso, se non per il desiderio aggiunivo di disegnare Z() nei ermini del suo modulo e ase, ovvero in noazione esponenziale Z() = Z() e j arg{z()}. Ci accorgiamo inai che il ermine sinc() non è pari a Z(), 9 Iniziamo dall espressione dell anirasormaa = X ()ejπ d in cui scambiamo ra loro le variabili e oenendo x() = X ()ejπ d; operando quindi un cambio di variabile si ha x( ) = X ()e jπ d checoincide conil risulaomosrao allaprima riga nel eso. La dimosrazione si basa sul semplice cambio di variabile θ = : Z () = x( ) e jπ d = x(θ) e jπ(+θ) dθ = e jπ x(θ) e jπθ dθ = X ()e jπ eoriadeisegnali.i

6 58 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione sin(ω) sin(ω) sin(ω-θ) sin(ω-θ) sin(ω-θ) sin(ω) somma somma somma Figura 3.: Conrono ra diversi speri di ase in quano assume anche valore negaivi, menre il modulo, per deinizione, è posiivo o nullo. Per non appesanire la leura, la soluzione a queso apparene problema viene svola al Il ermine π che risula aggiuno allo spero di ase originario prende il nome di ase lineare, in quano la sua enià aumena linearmene con, e quindi le requenze doppie, riple di una requenza daa, subiscono una variazione di ase doppia, ripla, ecc., ma ue subiscono il medesimo riardo emporale. ale circosanza mee in luce una ineressane conseguenza anche nel passaggio da requenza a empo, ossia: Ainché un segnale manenga inalerao l aspeo della propria orma d onda anche a seguio di una modiica della corrispondene rasormaa, l unica alerazione possibile delsuo spero èunavariazione cosaneper il modulo,elineare per la ase Esempio Consideriamo un segnale periodico cosiuio da due sole armoniche = asin(ω)+bsin(ω) in cui si è poso πf = ω; la sua versione riardaa è x( ) = asin(ω( ))+bsin(ω( )) = asin(ω ω)+bsin(ω ω) Ponendo ω = θ, oeniamo x( ) = asin(ω θ)+bsin(ω θ) e veriichiamo che la seconda armonica subisce un riardo di ase esaamene doppio. In ig 3. si è poso a =, b = 5, θ = π e F =., ed è mosrao sia il segnale 4 somma originario, sia quello oenuo considerando un conribuo di ase lineare per le due armoniche. Veriichiamo come nel secondo caso la orma d onda sia la sessa oenibile per =, in quano le armoniche sono raslae del medesimo inervallo emporale. A desra invece, la ase della seconda armonica viene annullaa, oenendo dalla somma un segnale asin(πf θ) + bsin(πf). Come è evidene, in queso caso il risulao assume una orma d onda compleamene diversa. raslazione in requenza(modulazione) E la proprieà duale della precedene, e sabilisce che se Z() = X ( ) allora z() = e jπ la cui dimosrazione è del uo analoga a quano già viso. Da un puno di visa mnemonico, disinguiamo la raslazione emporale da quella in requenza per il ao che, nel primo caso, i segni della raslazione e dell esponenziale complesso sono uguali, e nel secondo, opposi. alicondizionicorrispondonoaquelledescrie apag. 83comeun canale pereo. Nel seguio ( 8...) illusreremo che una conseguenza del risulao discusso, è la sensibilià delle rasmissioni numeriche alle disorsioni di ase. eoriadeisegnali.i

7 Sezione 3.4. Impulso maemaico 59 Da un puno di visa praico, può sorgere qualche perplessià per la comparsa di un segnale complesso nel empo. Mosriamo però che ani-rasormando uno spero oenuo dalla somma di due raslazioni(in requenza) oppose, si oiene un segnale reale: F {X ( )+X( + )} = e jπ +e jπ = cosπ Perano, lo sdoppiameno e la raslazione di X () in ± sono equivaleni ad un segnale cosinusoidale di requenza, la cui ampiezza è modulaa dal segnale = F {X ()}. E proprio per queso moivo,chelaproprieà è dea dimodulazione (vedi anche aig. 3.4). Coniugao Derivadireamene 3 dalla deinizione di rasormaa: F {x ()} = X ( ); F {X ()} = x ( ) (3.) Nel caso di segnalireali,riroviamo laproprieà di simmeria coniugaax() = X ( ). Cambiameno di scala Quaniica l eeo che una variazione nella velocià di scorrimeno del empo ha sullo spero. Possiamo ad esempio pensare come, riavvolgendo velocemene un nasro magneico, si ascola un segnale di duraa più breve, e dal imbro più acuo. Queso enomeno viene espresso analiicamene come: F {x(a)} = a X ( a in cui se a > si oiene una accelerazione emporale, ed un allargameno dello spero, oppure ilconrarioquando a <. Ladimosrazione(pera > )èriporaaallanoa 4. Uncorollario di quesa proprieà è chesea =,allora F {x( )} = X ( ) Sospendiamo per ora l elencazione delle proprieà della rasormaa di Fourier, per inrodurre un nuovo segnale del uo paricolare, grazie al quale poremo deinire un uleriore srumeno analiico come l inegrale di convoluzione, e con queso caraerizzare l araversameno di unsisema daparedeisegnali. 3.4 Impulso maemaico Il simbolo δ(), chiamao impulso maemaico o dela di Dirac, descrive un segnale ideale che vale zeroovunque,ranneper = dove vale ininio;per conro,l area diδ() è uniaria: { con = δ() = e δ()d = alrove Da un puno di visa analiico δ() non è una unzione bensì una disribuzione 5, deinia come il limie a cui ende una successione di unzioni, come discusso appresso. E prassi rappresenare graicamene A δ() come una reccia (vedi igura) con scrio accano il valore dell area A. ) = A δ() Procediamo con l analisi di alcune imporani applicazioni dell impulso ora deinio. 3 InaiF {x ()} = [ x ()e jπ d = d] ejπ = X ( ) 4 x(a) e jπ d = a x(a) e jπ a a d(a) = a x(β) e jπ ( a β dβ = a X a) 5 Dea anche unzione generalizzaa, vedi hps://i.wikipedia.org/wiki/dela_di_dirac e hp://i.wikipedia.org/wiki/disribuzione_(maemaica) A eoriadeisegnali.i

8 6 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione rasormaa di una cosane Anche se per un segnale cosane = A l inegrale (3.) non converge, grazie al δ() oeniamo che La rasormaa di Fourier di una cosane è un impulso maemaico di area pari al valore della cosane. ale proprieà è valida per enrambi idomini ( e) di parenza, ornendo F {A} = A δ() e F {A} = A δ() Osserviamo inai che la cosane A può essere visa come il limie,per,di unsegnalereangolare: A = lim Arec () lacui rasormaaper risula { } F lim Arec () = lim F {Arec ()} = = lim Asinc() = { con = alrove rec () rec () rec 4() sinc() sinc() 4sinc(4) Ci roviamo perano nelle esae circosanze che deiniscono un impulso maemaico, e resa da veriicare che sinc()d = : apag. 57(eq.(3.9))sièeeivamenemosraochealeinegralevale uno per qualunque,edunque possiamoscriveref{a} = A δ(). rasormaa di segnali periodici Consideriamo ora un segnale periodico, del quale conosciamo lo sviluppo in serie = X ne jπnf n= Applicando la proprieà di linearià, il risulao per la rasormaa di una cosane, e ricordando laproprieà dellaraslazione inrequenza, roviamo 6 chelaf-rasormaa di vale: X () = X nδ( nf) (3.) n= Lo spero di ampiezza di un segnale periodico è quindi cosiuio da impulsi maemaici, siuai in corrispondenza delle requenze armoniche, e di area pari ai rispeivi coeicieni della serie di Fourier, signiicando che la densià di ampiezza è concenraa solo su ali requenze. Un modo alernaivo di calcolare la rasormaa di segnali periodici è illusrao alla sezione 3.7. rasormaa di un coseno Applichiamo il risulao (3.) nel verso opposo, ossia per individuare le componeni armoniche, a parire dall espressione della rasormaa di Fourier. Nel caso di un coseno, che scriviamo = Acos(π +ϕ) = A ej(π +ϕ) +e j(π +ϕ), la relaiva rasormaa di Fourier risula { X () = F A ( e jπ e jϕ +e jπ e jϕ)} = A { e jϕ δ( )+e jϕ δ( + ) } in cui riconosciamo X = A ejϕ e X = A e jϕ come mosrao in igura. A_ jϕ e X() A_ e rasormaa di un coseno { 6 X () = F n= Xn ejπnf} = { n= Xn F e jπnf} = n= Xn δ( nf) jϕ eoriadeisegnali.i

9 Sezione 3.4. Impulso maemaico 6 Proprieà di campionameno Esprime il risulao del prodoo di un segnale per un impulso uniario, che dacomerisulao 7 losessoimpulso,conareaparialvalore del segnale nell isane in cui è cenrao l impulso, ovvero δ( ) = x()δ( ) (3.3) prodoo di per due impulsi x( θ) θ θ x( ) Proprieà di seacciameno Inegrando ambo i membri della (3.3) oeniamo x() = δ( )dche,dopoun(s)cambiodivariabile,consenediscrivereilsegnale nella orma = x()δ( )d (3.4) ovvero come una somma 8 di ininii ermini di valore x()δ( )d. La relazione (3.4) è dea proprieà di seacciameno (in inglese, siing) in quano consise nel passare (meaoricamene) al seaccio, che compare in enrambi i membri della (3.4), così come la arina compare suenrambi i lai delseacciosesso. Checiacciamo? Lausiamora poco,al Descriviamo ora come grazie all impulso δ() sia possibile deinire un paricolare segnale noo come risposa impulsiva h(), che descrive compleamene un sisema lineare e permanene, e che può essere usaa per calcolare la sua uscia in corrispondenza di un ingresso qualsiasi Risposa impulsiva Consideriamo un sisema isico(elerico, meccanico, pneumaico...) che venga solleciao, in un punoconsideraocomeingresso,daunsegnaleimpulsivoδ()cenraoin =,edosserviamo l andameno emporale di una grandezza(meccanica, pneumaica, elerica...) che possiamo considerare una uscia. Queso nuovo segnale prende il nome di risposa impulsiva(ossia all impulso)evieneindicaoconh(). L andamenodih()rappresenaquindilagrandezzadiuscia,osservaadopocheèpassaounempopariadaquandosièapplicaoiningressol impulso δ(),eseilsisemaècausale(vedi.5.4)risulah() = con <,come raigurao alao. Se inolre il sisema è anche lineare e permanene, applicando un ingresso cosiuio da più impulsi, ognuno condiereneareaa i ecenraoadundiversoisane i, ovvero = N a iδ( i) (3.5) i= sioiene unausciapari a y() = δ( ) = δ() Σ a i δ ( i ) Sisema Fisico y() h() y() = h() Σ a i h( i ) N a ih( i) (3.6) i= 7 La (3.3) si dimosra esprimendo δ() come lim rec () in modo da scrivere il primo membro come lim rec ( ). Al endere di a zero il reangolo di ampiezza converge ad un impulso, la cui area resamoliplicaa per il valoreche assumeper =, doveècenrao il reangolo. 8 Senza voler enrare nei deagli analiici, diciamo che la (3.4) rappresena l equivalene della ormula di ricosruzione (.5) per uno spazio a cardinalià ininia, in cui δ( ) al variare di cosiuisce una base di rappresenazione oronomale, ed icuicoeicieni x() sono calcolai comeprodoo scalare x() = δ( )d. eoriadeisegnali.i

10 6 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione Si rilea sul signiicao della sommaoria, con l aiuo della igura precedene: ad un dao isane, il valore dell uscia y() è il risulao dalla somma di N ermini, ognuno legao (a meno del aore a i) al valore della risposa impulsiva calcolaa con argomeno i pari al empo rascorso ra l isane di applicazione dell i-esimo impulso i,el isane di osservazione Inegrale di convoluzione Consideriamo ancora lo sesso sisema isico al cui ingresso sia ora poso un generico segnale che,grazieallaproprieàdiseacciameno(3.4)edalaocheδ()èpari,rappreseniamo scomposo in ininii ermini, ossia in una somma inegrale di impulsi cenrai in (variabile) edarea x()d (ininiesima) = x()d δ( ) (3.7) L andameno della grandezza di uscia sarà dunque pari alla sovrapposizione di ininie rispose impulsive, ognuna relaiva ad un diverso valore dell ingresso h() y()= * h() y() = x() h( ) d (3.8) Calcolo dell uscia per un ingresso qualunque dovex()d èl areaininiesimadegliimpulsidicui,inbasealla(3.7),ècosiuiol ingresso, eh( )èl usciaall isanecausaadall impulsoiningressocenraoall isane. Ilrisulao oenuo, ormalmene simile a (3.6), prende il nome di inegrale di convoluzione, e viene indicao in orma simbolica da un aserisco ( ), in modo che ci si possa rierire ad esso anche comeprodoo diconvoluzione,ossia g() = h(). Noiamo come h() caraerizzi compleamene il sisema isico, in quano permee di calcolarne l uscia per un qualsiasi ingresso. Proprieà commuaiva Se un segnale con andameno h() è poso in ingresso ad un sisema con risposa impulsiva, si oiene ancora la sessa uscia, in quano l inegrale di convoluzioneècommuaivo 9 : y() = h() = x() h( ) d = h () h () * h () = h () h () 3 h () h () h() x( ) d = h() y() y() y() h () h () h () = h () + h () 3 Risposa impulsiva equivalene per sisemi in serie e parallelo Quesa proprieà, assieme a quella di linearià, consene di sabilire le equivalenze mosrae in igura, dove si mosra come l araversameno in serie ed in parallelo di più sisemi lineari può essere ricondoo all araversameno di un sisema equivalene, con risposa impulsiva pari rispeivamene alla convoluzione ed alla somma delle singole rispose impulsive. 9 Adoandoilcambiodivariabile = θ,sioiene x()h( )d = x( θ)h(θ)dθ = = x( θ)h(θ)dθ. Inai, il cambio di variabile deermina quello degli esremi in inegrazione, che vengono poi scambiai riprisinando il segno, vedi ad es. hps://i.wikipedia.org/wiki/convoluzione y() y() eoriadeisegnali.i

11 Sezione 3.4. Impulso maemaico Risposa impulsiva come unzione memoria Diamo ora un inerpreazione graica della convoluzione: poniamocheh()siaunesponenzialedecresceneedunsegnale riangolare, come mosrao a lao, e proviamo a disegnare launzioneinegrandax() h( )checomparenelcalcolo dell uscia, per ungenerico isane = >. La seconda riga della igura mosra l andameno di h ( ) con variabileindipendene,esioieneprimaribalando h() rispeo all origine dei empi, e quindi raslandola a desra di. La erza e quara riga mosrano rispeivamene l ingresso x() ed il suo prodoo per h ( ), dunque il risulaodell inegrale di convoluzionecheper = è pari a y ( ) = x() h ( ) d h( ) h() x( ) x( ) h( ) corrisponde all area del prodoo x()h ( ), ombreggiaa in igura; per alri valori di, il ermineh ( ) saràraslao di unadiversa quanià. Ilcalcolodell areadix()h ( ) hailsigniicaodisommarelerisposecausaedaui i valori di ingresso, in cui per ogni ermine della somma, h ( ) pondera l ingresso in in basealemporascorso ral isane(passao) diapplicazionedelvalorediingresso, e l isane di osservazione. Perano, i valori di h() rappresenano il peso della memoria, da pare del sisema isico, degli ingressi precedeni. Esensione emporale della convoluzione In base alla cosruzione graica discussa, è acileveriicarecheseedh()presenanounaesensioneemporalelimiaa,ovvero con x e h() con h, allora il risulao y() = h() ha esensionecompresara = e = x + h,ossiapresenaunaduraapariallasommadelle durae Convoluzione con l impulso raslao Consideriamo ora un sisema isico che operi un semplice riardo θ sui segnali in ingresso: in al caso scriveremo h() = δ( θ), ossia la risposa impulsiva corrisponde all impulso riardao. Per calcolare l uscia, che sappiamo essere pari a y() = x( θ), possiamo ricorrere all inegrale di convoluzione, oenendo y() = h() = δ( θ) = = x() δ( θ ) d = x( θ) x( ) δ( θ ) y() h( ) h()= δ( θ ) = = Elemeno di riardo θ Area y()=x( θ) ermini della convoluzione con l impulso raslao Queso risulao ci permee di enunciare un principio generale, che verrà uilizzao di requene, e che recia: La convoluzione ra un segnale ed un impulso δ( θ) cenrao ad un isane θ provoca la raslazione di all isane in cui è cenrao l impulso. Per convincerci dell operazione, veriichiamo che per < l argomeno di h è posiivo, e inai il valore di h ( ) è. Osserviamo che un inegrale calcola un numero, e la convoluzione produce un segnale solo perché l inegrale è calcolao perue le possibiliraslazioni dih( ), vedi anche eoriadeisegnali.i

12 64 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione F/F empo prodoo z() F/F Z() X() convoluzione requenza y() F/F Y() Figura 3.3: Isomorismo ra gli spazi di segnale nel empo e nella requenzaa 3.5 Moliplicazione in requenza e nel empo Fori dei nuovi srumeni in nosro possesso, riprendiamo la discussione sulle proprieà della rasormaa di Fourier. Inai, la descrizione di un sisema isico per mezzo della sua risposa impulsiva è di ondamenale uilià soprauo per merio della seguene proprieà: La rasormaa di Fourier della convoluzione ra due segnali è pari al prodoo delle rasormae dei segnali F { y()} = X ()Y () (3.9) Ladimosrazioneèriporaaallanoa. Sussiseinolreanchelaproprieàduale,ovveroadun prodoo nel empo corrisponde una convoluzione in requenza, che si scrive F { y()} = X () Y () (3.) In ig. 3.3 si mosra come l ulima relazione individui un isomorismo ra spazi di segnale; chiaramene la (3.9) rappresena un isomorismo analogo. Nel seguio, raiamo delle conseguenze e dei risvoli legai alla coppia di proprieà ora inrodoe, iniziando dalla prima Moliplicazione in requenza (ilraggio) La proprieà(3.9) consene una diversa modalià di calcolo dell uscia da un sisema isico, che può inai essere ricavaa operando nel dominio della requenza, calcolando prima Y () = F { h()} = X ()H () (3.) e quindi valuando y() = F {Y ()}. La rasormaa della risposa impulsiva H () = F {h()} prende il nome di risposa in requenza, per il moivo esposo di seguio, assieme ad un paio di esempi di applicazione di quesa proprieà a casi già noi al leore. Approondimeni sulle operazioni di ilraggio possono essere rovai al cap. 6, da aronare dopo lo sudio di processi ergodici al 5.3. Risposa in requenza Ponendo in ingresso al sisema un segnale esponenziale complesso = e jπ, in cui è presene l unica requenza (inai X () = δ( )), la proprieàdelprodooperunimpulsopermeedivaluareunausciay () = H ()δ( ) = H ( )δ( ),ossia unimpulsocenrao in e di area complessah( ),dacui y() = H ( )e jπ Z () = F { y()} = [ ] x() y( ) d e jπ d = = [ ] x() y( ) e jπ d d = x() Y () e jπ d = = Y () x() e jπ d = Y () X () eoriadeisegnali.i

13 Sezione 3.5. Moliplicazione in requenza e nel empo 65 Quindi, il segnale in ingresso si ripropone in uscia, alerao in modulo e ase in base al valorecomplesso H ( ) e j arg{h( )} cheh()assumeallarequenza : perqueso moivo H () è dea risposa in requenza del sisema. Auoveori di H () Ricordando come in algebra lineare l applicazione di una rasormazione lineare ad un proprio auoveore produce l auoveore sesso, moliplicao per il rispeivo auovalore, osserviamo che per un sisema con risposa in requenza H () gli auoveori(oauounzioni)sonoisegnaliesponenzialicomplessie jπ,aiqualirisula associao l auovaloreh( ). Misura della risposa in requenza Se un ilro è idealmene realizzabile (pag. ) risula H () = H ( ), e considerando per H () la sua espressione in ermini di modulo e ase H () = M ()e jϕ(), risula M () < = M () > e ϕ() < = ϕ() >. Ciò consene di misurare modulo M () e ase ϕ() della risposa in requenza per ui i valori di, uilizzando come ingresso una unzione sinusoidale con ampiezza A e ase θ noe: = Acos(π +θ). Il segnale in uscia è ancora una cosinusoide 3 con ampiezzaa M ( ) e aseθ+ϕ( ); perano ricaviamo M ( ) = max{y()}, e ϕ() = arg{y()} arg{} max{} Ripeendoil procedimenoper diverse,possiamo campionare H(). Sisema passa uo PoniamodiavereH () =,echequindirisulih() = δ(). Inqueso caso le componeni di X () alle diverse requenze non subiscono nessuna alerazione, oenendo y() = F {Y ()} = F {X ()} = ed il sisema viene deo di ipo passa uo. Per veriica, scriviamo l inegrale di convoluzione, che risula y() = x() δ( ) d = : riroviamo quindi la proprieà di seacciameno (3.4). Fase lineare e riardo SeinveceH () = e jπ abbiamounsisemacaraerizzaodauna ase lineare (pag. 58) e che equivale ad un elemeno di riardo, riproducendo in uscia il valore presene in ingresso isani prima. Inai in base alla(3.) risula: y() = F {Y ()} = F { X ()e jπ} = x( ) D alrapare,scrivendol inegralediconvoluzione,ericordandocheh() = F { e jπ} = δ( ),avremmooenuoy() = x(θ) δ( θ) dθ = x( ),rirovando la proprieà della convoluzione per un impulso raslao. Un sisema siao è indicao a pag. 83 come canale pereo, in quano privo di disorsioni lineari (vedi 7.). 3 Svolgiamoicalcolinel dominio dellarequenza: X () = A ( ) e jθ δ( ) + e jθ δ( + ) ; Y () = X ()H () = A ) (e M () jθ e jϕ( ) δ( ) + e jθ e jϕ( ) δ( + ) e anirasormando si oiene y() = A M ( )cos(π + θ + ϕ( )) eoriadeisegnali.i

14 66 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione.5 rec ()cos(π ) I due sinc() cenrai su Figura 3.4: rasormaa di un coseno inesrao con =, = Sisemiincascaa Ponendol usciay() = h()diunprimosisemaconrisposaimpulsiva h() in ingresso ad un secondo ilro con risposa impulsiva g(), e ricordando che(pag.6)lacascaadeiduesisemièequivaleneadunerzosisemaconrisposaimpulsivah () = h() g(),sioienecomerisulaocomplessivoz() = y() g() = h() g(),lacuirasormaadifourierrisulaz() = X ()H ()G(). Perano, la risposa in requenza di sisemi posi in serie è il prodoo delle relaive rispose in requenza Moliplicazione nel empo (modulazione e inesraura) La relazione(3.) Z() = F {y()} = X () Y () (3.) ci permee di invesigare le conseguenze requenziali del prodoo emporale di due segnali. Esempio Prendiamo il caso in cui z() = Arec ()cosπ, ovvero pari alla orma d onda graicaa a sinisra nella ig Applicando i risulai noi e la proprieà di raslazione in requenza, risula: Z() = A {rec F () (e )} jπ +e jπ = A (sinc[( )]+sinc[( + )]) in cui F {rec ()} = sinc() si è raslao in ±. Il risulao dell esempio, mosrao a desra in ig. 3.4, coincide con quello previso: l espressione diz()inaièanchepariallaconvoluzioneraf {rec ()} = sinc()edidueimpulsi raslai F {cosπ } = (δ( ) δ( +)), deerminando quindi la replica dello spero del rec, raslaa alla requenza del coseno. Modulazione Il prodoo nel empo prende queso nome quando uno dei due aori è una (co)sinusoide, la cui ampiezza viene appuno variaa (o modulaa) dal secondo aore 4. La modulazione di ampiezza(cap. 9) dei radio riceviori si rierisce esaamene a queso processo, svolo allo scopo di condividere ra più emieni la banda previsa per le rasmissioni, assegnando a ciascuna di esse una diversa requenza porane su cui rasmeere: inai come mosrao dall esempio,losperodelreangolosièsposaoda = a =. 4 Nel caso dell esempio il reangolo è cosane e dunque l ampiezza del coseno non varia, ma il ermine modulazione si rierisce al prodoo di una sinusoide per un segnale dall andameno qualsiasi. eoriadeisegnali.i

15 Sezione 3.6. Derivazione ed inegrazione nel empo 67 Finesraura Queso ermine a rierimeno al caso in cui uno dei due aori della (3.) sia un segnale a duraa limiaa (deo inesra), come nel caso del rec () di ig Con rierimeno all esempio si può osservare come, per crescene, Z() enda sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risulao noo per un un coseno di duraa ininia. Qualora si consideri invece solo un breve inervallo di un segnale il suo spero si modiica a seguio della convoluzione in requenza con la rasormaa della inesra di analisi. L esrazione di un segmeno di duraa limiaa da un segnale comunque eseso prende dunque il nome di inesraura (windowing), ed in appendice sono svole considerazioni relaive alla scela di una inesra reangolare o con alro andameno. 3.6 Derivazione ed inegrazione nel empo Quese due proprieà sono di applicazione meno requene, ma alvola uile. Si oiene inai che le operazioni di derivaa ed inegrale di un segnale possono essere realizzae mediane il passaggio dello sesso araverso un ilro, dao che derivaa ed inegrale nel empo sono equivaleni a prodoi in requenza, e quindi realizzabili come convoluzione del segnale con una appropriaa risposa impulsiva. Derivazionenelempo LarasormaaY ()diunsegnaley() = d d èesprimibilein unzionedellarasormaadi come 5 { } d Y () = F d = jπ X() (3.3) e più in generale si ha F { d n } = (jπ) n X (). L andameno del modulo dello spero originario X () risula perano esalao alle requenze più elevae, con legge d n proporzionale ad, come risula dal prodoo per π. Osservando poi che il numero immaginario puro ±jπ = π H() π e j π sgn() ha ase ± π con segno uguale a quello di, roviamo che la ase di X () subisce un incremeno di π per re- arg{h()} quenze posiive, ed un eguale decremeno per quelle negaive. π/ Perano, la derivaa di un segnale corrisponde all uscia di un -π/ ilro descrio dalla risposa in requenza riporaa a lao. Esercizio Calcolare Y () = F {y()}, considerando y() = d d e = cosπ + cosπ. Valuare poi y() = F {Y ()} nel caso in cui = e = Hz. Anziché applicare le regole di derivazione e quindi eeuare la rasormaa, scegliamo di calcolare prima X (), e quindi applicare la (3.3): X () = /[δ( )+δ( + )+δ( )+δ( + )] Dao ora che δ( ±a) = a δ( ±a), il prodoo Y () = jπ X() ornisce Y () = jπ { [δ( ) δ( + )]+ [δ( ) δ( + )]} 5 La dimosrazione { viene } svola per segnali di energia, applicando in modo piuoso direo la regola di inegrazione per pari: F d = d d d e jπ d = e jπ + jπ e jπ d = jπ X (),daocheilermine e jπ siannulla,visocheseèunsegnaledienergia,endeazero per. eoriadeisegnali.i

16 68 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione Considerando inine che jπ = π j, si oiene y() = π sinπ π sinπ e quindi, per = e =, si ha y() = π[sinω +sinω ] Il doppieo Viene da chiedersi quale sia la risposa impulsiva h() di un ilro derivaore. Dao che per deinizione h() rappresena l uscia corrispondene ad un ingresso impulsivo δ(), evidenemene deve risulare h() = δ (), ovvero pari alla derivaa dell impulso. ok, ma come è ao δ (), e perché viene deo doppieo? Per rispondere occorre are un passo indiero, e ornare a pensare l impulso come una disribuzione, ad ) δ ( ), [ δ ( + es. δ() = lim rec (), e considerare che d d rec () = δ( + ossiadueimpulsidisegnoopposo,cenraiincorrispondenzadelledisconinuià 6. Peranorisulaδ () = lim e segno opposo,enrambi cenrai in =. ) δ ( )],ovverodueimpulsidiareaininia Inegrazione nel empo Indicando il segnale inegrale (o primiiva) come y() = x(θ)dθ, il legame ra inegrale e derivaa H() permeedi scrivere 7 { } Y () = F x(θ)dθ = X () (3.4) jπ Come per la derivaa, la(3.4) rappresena l uscia di un ilro inegraoreconrisposainrequenzah () = j,chequindi π esala le requenze più basse del segnale originario in accordo -π/ arg{h()} π/ all andameno iperbolico di H () = /π, menre la ase arg{h ()} = π sgn() subisce una alerazione opposa al caso della derivaa, dao che ora j ha cambiao segno. Noiamo però che il risulao (3.4) maniesa la comparsa di una singolarià in = se X () : come mosrao a pag. 57, ciò corrisponde ad un segnale che soende un area non nulla, e quindi y() = x(θ)dθ non si azzera per. In queso caso y() non è di energia, ed il calcolo della sua rasormaa richiede qualche espediene 8, che aggiunge ad H () = j π il ermine δ(),anch esso mosrao inigura. Esercizio rasormaa di un riangolo. Consideriamo un segnale ad area nulla ( = rec + ( ) rec ) 6 ed il suo inegrale y() = x(θ)dθ = ri () Se inai valuiamo [ δ ( θ + ) ( )] δ θ dθ con >, oeniamo duegradiniu ( + ) u ( ),checombinaiassieme,riproduconoilrec y() = ri () inegrale di parenza. 7 Essendo = d dy(), ed applicandola(3.3)oeniamo X () = jπy (), da cuila(3.4). 8 Si può giungere ad un risulao anche nel caso in cui X (), ricorrendo all impulso δ(). Occorre scrivere l inegrale di nella orma di una convoluzione con un gradino uniario u(), cioè y() = x(θ)dθ = edapplicandolaproprieàdellarasormaadellaconvoluzionesioieney () = X ()U () = X() jπ + δ() X (), in cui l ulimo ermine scompare per segnali ad area nulla, rioenendo la(3.4). x(θ)u( θ)dθ (sipensiallacosruzionegraicadel 3.4.3). Al 3.8.5siricavacheU () = jπ + δ(), eoriadeisegnali.i

17 Sezione 3.7. reno di impulsi 69 (*sinc(*)) scala logarimica Figura 3.5: Andameno di (sinc()) in scala lineare e logarimica; =. enrambi rappresenai in igura: y() è nullo ino a <, cresce linearmene ino a =, e quindi il conribuo all inegrale dao dall area del rec negaivo orna ad annullarne il valore. Per calcolare la rasormaa di y(), calcoliamo prima quella di, e poi applichiamo la proprieà dell inegrazione. Applicando la proprieà di raslazione nel empo, scriviamo X () = sinc() e +jπ sinc() e jπ = = sin(π) jsinπ = j sin (π) π π Essendo ad area nulla, la rasormaa del suo inegrale si oiene dividendo X () per jπ, ovvero Y () = X () jπ = j sin ( (π) jπ π = sin(π) ) = (sinc()) π il cui andameno è mosrao in igura 3.5. Da queso risulao ne consegue inine che F {ri ()} = sinc (), come riporao al Densià di energia del reangolo Lo sesso risulao mosrao nell esempio può essere oenuo per alra via, noando che il riangolo è il risulao della convoluzione di due reangoli: y() = ri () = rec () rec () (3.5) Come veriica, si ripercorra la cosruzione graica riporaa alla sezione E quindi ora suiciene applicare la proprieà del prodoo in requenza, per oenere: Y () = F { ri ()} = [F {rec ()}] = [sinc()] (3.6) Il risulao (3.6) è anche pari alla densià di energia E z () di un segnale reangolare z() = rec (): inaiperileoremadiparsevaleq.(3.7)sihae z () = Z()Z (),incuiz() = F {rec ()} = sinc(),eperano E z () = [sinc()] Prima di erminare il capiolo, deiniamo un nuovo imporane ipo di segnale uoare. 3.7 reno di impulsi La ripeizione periodica di un impulso maemaico δ() dà luogo ad un segnale del uo paricolare, il cui ruolo si rivelerà ondamenale in diversi aspei raai nel eso, come il campionameno (cap. 4) e la rasmissione numerica (cap. 8); nel seguio ne mosriamo una prima applicazione orienaa ad oenere la descrizione della rasormaa per un segnale periodico, senza necessià di calcolare i relaivi coeicieni di Fourier. eoriadeisegnali.i

18 7 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione Deinizione Un reno di impulsi (o segnale a peine) di periodo viene rappresenao dal simbolo π() π ()edèrealizzaocomeunaserieininiadiimpulsi maemaici π () = δ( m) (3.7) m= Serie di Fourier Il segnale π () è periodico, e dunque può essere rappresenao mediane la relaiva serie come π () = n= ΠnejπnF con F = ed i cui coeicieni Πn sono pari a Π n = [ m= δ( m) ] e jπnf d = δ() e jπnf d = δ() d = in quano, ra ui gli impulsi della sommaoria, ne resa solo uno, quello cenrao in zero, dao che ui gli alri cadono al diuori dei limii di inegrazione, menre la seconda eguaglianza iene cono della (3.3). ui i coeicieni risulano perano avere lo sesso valore, pari ad, oenendo lo sviluppo π () = e jπnf (3.8) n= Noiamoinolreche,essendoπ ()unsegnalerealepari,peressola(3.8)puòessereriscria 9 come unaserie di coseni (vedi il...3)π () = + n= cosπnf. rasormaa del reno di impulsi Si può oenere applicando la(3.) alla(3.8), ovvero F {π ()} = F { n= e jπnf } = n= ( δ n ) = Π () (3.9) oenendo quindi il risulao che la rasormaa di un reno di impulsi è a sua vola un reno di impulsi, di ampiezza /, e di periodo (in requenza) inverso a quello originario,ovvero F {π ()} = Π (). / Π() -4/ / / / / / / / rasormaa di un segnale periodico Uilizziamo ora il risulao (3.9) per oenere una ormula alernaiva alla(3.) per un generico segnale periodico di periodo, che innanziuo scriviamo come una serie ininia di ripeizioni di un suo periodo g() = m= g( m) (3.3) 9 Sembrasranocheπ ()sioengacomesommadiininiicoseniarequenzaarmonicaeuidellasessaampiezza? Perveriicareil risulao, visiare hps://dspillusraions.com/pages/poss/misc/he-dirac-comb-and-is-ourier-ransorm.hml eoriadeisegnali.i

19 Sezione 3.8. Appendici 7 Sruando la proprieà di convoluzione con l impulso raslao, la (3.3) può essere scria nei erimini della(3.7) come = g() δ( m) = g() δ( m) = g() π () m= m= dove nel secondo passaggio si è sruaa la linearià della convoluzione. Ricordando ora la proprieà della moliplicazione in requenza (3.) oeniamo che lo spero di si esprime come X () = G() F {π ()} (3.3) e quindi, sosiuendol espressione dif{π ()} oenua con la(3.9) nella (3.3) oeniamo X () = G() Π () = ( n ) ( G δ n ) (3.3) n= ovverolarasormaadiunsegnaleperiodicoèparialprodooralarasormaag() = F {g()} di unsuo periodo,edunreno di impulsi inrequenza di periodo edampiezza. Esempio Riprendendo in considerazione il caso dell onda quadra aronao al...4, non è diicile riconoscere come, ponendo g() = Arec (), a cui corrisponde G() = Asinc(), il prodoo di G() per il reno di impulsi n= δ( nf) (con F = ) ornisce il risulao già inconrao: X () = A sinc(nf)δ( nf) n= Somma di Poisson Il risulao oenuo è un aspeo dell uguaglianza noa come somma di Poisson 3 echepermeediesprimereunsommaininiabasaasudiunaunzionenelempo,nei erminidiunasommaininiabasaasudiunaunzionedellarequenza,cheèlarasormaadi quella nel empo. Nel caso in esame, anirasormando enrambi i membri della(3.3) si oiene = m= g( m) = n= G ( n ) e jπ n che riconosciamo corrispondere all espansione in serie di Fourier del segnale periodico, non appena consaao come i ermini G( ) n alro non siano che i suoi coeicieni Fourier, come d alra pare risula anche dalla (3.3). 3.8 Appendici 3.8. Graico della rasormaa di un reangolo riardao Aroniamoilproblemadeinioapag.57. ConvieneiniziareesprimendoX () = sinc() come X () = sinc() e jφ() incui, adoandolaunzionesgn(x) = x / x (pag..5.3), φ() = π { sgn[sinc()]} sgn() alerna valori ra e π in unzione del segno del sinc, in modo che quando sinc è negaivo la ase sia π e dunque il aore e jπ = risabilisce il suo correo valore. Inolre, il prodoo persgn() rendelaase unsegnaledispari. 3 Perunapproondimenosivedaades. hp://i.wikipedia.org/wiki/formula_di_sommazione_di_poisson. eoriadeisegnali.i

20 7 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione X() = sinc() L esercizio chiedeva di calcolare la rasormaa di z() = x( ) = rec ( ), e dunque possiamo dire che la raslazione emporale del rec deermina per Z() uno spero di modulo ancora pari a Z() = sinc(), menre alla ase / φ()siaggiungeilconribuolinearein pariaϕ() = π, oenendo quindi arg[x()] Z() = sinc() e j(φ() π) chevienerappresenaoinigura, avendo poso = e = Quani sono i possibili modi di calcolare una rasormaa? Sia dao il segnale = { con alrimeni mosrao in igura. Descrivere quani più modi possibili di calcolarne losperodi densià di energiae x().. Si calcolax() = F {} = e jπ d e quindie x() = X () ;. Noandoche = y() z()cony() = ri ()ez() = rec ( ),possiamo scrivere X () = Y () Z(),equindi siprocede come in); 3. Noiamocheladerivaa 3 divaleg() = d = δ() ( d rec ) ;queso ci permee di calcolare G() come G() = F {g()} = sinc() e jπ. Oeniamo quindix() = G(),equindi come in); jπ 4. Anicipandounrisulaodel 6..,èpossibilecalcolareR x() = x(+)d, e quindi E x() = F {R x()} Finesraura e sima sperale Applichiamo ora la eoria svola al 3.5. per ragionare su come inerpreare l analisi sperale ( 6.3) di svola a parire da un suo segmeno emporale y() = w() oenuo delimiandolo nel empo mediane moliplicazione per una unzione inesra di duraa limiaa w(): la rasormaa di y() = w() ornisce inai il valore Y () = X () W (), e quindi il vero spero X () di non può essere conosciuo, se non ramie l eeo della convoluzione con quello W () della unzione inesra w(). Già a pagina 66 si è ao noare come, se = Acosπ e w() = rec (), si oiene che W () = sinc(), e perano F { w()} = A (sinc[( )]+sinc[( +)]) cheèanopiù diverso dai dueimpulsi delcoseno (vedi Fig. 3.4), quanopiù è piccolo. 3 La derivaa di una disconinuià di prima specie è pari ad un impulso maemaico, di area uguale all alezza della disconinuià. Inai l inegrale dell impulso δ(θ)dθ è proprio un gradino. Quesa considerazione consene di risolvere in modo semplice le rasormae di segnali in cui è presene una disconinuià. eoriadeisegnali.i

21 Sezione 3.8. Appendici 73 Valuiamo ora gli eei derivani dall uso di una unzione inesra diversa da quella reangolare. Se ad esempio si sceglie di adoare una inesra riangolare di eguale duraa,aparire dalla (3.6) sioiene W () = F {w() = ri ()} = [ sinc ( )] rec () ri () *sinc(*) /*[sinc(*/)] Come può essere veriicao dalla igura a ianco, la i- nesra riangolare esibisce un andameno nel empo più dolce (è coninua!) rispeo al rec(), e ciò si rilee in una maggiore concenrazione della sua rasormaa alle requenze più basse. Inai, W () ha ora un lobo principale di esensione doppia (il primo zero si rova ad = anziché comeperilrec),elecode laeralidecresconopiùrapidamene,andandoazerocome, ad menre l ampiezza risula dimezzaa. L andameno del lobo principale e delle code di W () si rilee nell andameno della rasormaa del segnale inesrao qualora il segnale originario conenga, ad esempio, più di una requenza: per la linearià della rasormaa, il risulao sarà la replica di W () cenraa alle requenze preseni. La Fig. 3.6 conrona il risulao oenibile per un segnale conenene due cosinusoidi di requenza = e = 5 Hz, quando delimiao (a sinisra) mediane una inesrareangolarediduraa(dall aloinbasso) =,.5,e.5secondi 3,oppure(adesra) mediane una inesra riangolare della sessa duraa. E possibile disinguere due eei. 3 Quese durae corrispondonoquindiad uilizzarecicli di cosinusoide, oppure5,oppuredue emezzo. rec di sec ri di sec rec di.5 sec ri di.5 sec rec di.5 sec ri di.5 sec Figura 3.6: rasormaa di due oni a e 5 Hz, con inesra emporale rec e ri di duraa,.5 e.5 secondi eoriadeisegnali.i

22 74 Capiolo 3. rasormaa di Fourier e convoluzione Risoluzionesperale Osserviamochealdiminuiredelprodoo( ),leduerasormae W () ineragiscono, ino ad esibire un andameno complessivo in cui non è più possibile disinguere la presenza di due diversi oni. Il enomeno illusrao avviene ano prima, quano più il lobo principale di W () è eseso; perano, l uso di una inesra riangolare peggiora la siuazione: in eei, la inesra reangolare è quella che permee la migliore capacià di disinguere due oni. Inilrazione sperale Deo leakage in inglese, indica l inluenza che una deerminaa componene sperale ha nei conroni delle alre porzioni dello spero: ad esempio, la prima riga di ig. 3.6 mosra come adoando w() = ri () si oiene un Y () più simile a quello di due oni, piuoso che con un rec (). Ciò è dovuo alle lunghe code di W () = sinc() (rasormaadelrec ())cheappunoinilrano ilconenuoenergeicodiciascunonoarequenze anche disani, menre nel caso di w() = ri () ciò avviene in orma assai ridoa, eviando di mosrare areai. Considerazioni di queso ipo possono ar preerire una ra le diverse possibili propose 33 di unzione inesra, in dipendenza dal paricolare obieivo della sima sperale ( 6.3) Gli esponenziali complessi come base orogonale Al 3. sono espose similiudini ra la serie e la rasormaa di Fourier; chiediamoci ora se le unzioni e jπ possano anche in queso caso essere considerae come una base oronormale (pag. 44), e se la(3.)siaunaproiezione di lungo aliveori. Un primo osacolo è rappresenao dal ao che ora la cardinalià dello spazio di rappresenazione risula veramene ininia, e non più ininia numerabile come per la serie. Ma l osacolo maggioresembraesserecheleunzionie jπ nonsonosegnaliimpulsivi,eneanchedienergia: inaie jπ e jπ =,edunqueladeinizionediprodooscalare(3.5)edinormaornisce ejπ e jπ d =. Ma se proviamo ad eeuare il calcolo del prodoo scalare ra dueesponenzialie jπ ed e jπλ come risulaodi unpassaggio allimie,oeniamo / / lim e jπ e jπλ d = lim e jπ( λ) d = lim sinc(( λ)) = δ( λ) / / incuisièaousodelrisulao(3.4)edelaochel ulimolimieendeadunimpulsomaemaico,comemosraoal 3.4,oenendoche e jπ,e jπλ { se λ = δ( λ) = se = λ. Se poi applichiamo agli esponenziali la deinizione di prodoo inerno per segnali di poenza (.7), si oiene che e jπ,e jπλ { se λ = lim sinc(( λ)) = po se = λ permeendodunquedidichiararelabase { e jπ} comeoronormale perlospaziodeisegnali di poenza. Eeivamene, viso che l inroduzione dell impulso δ(.) permee di esendere l operaore di rasormaa di Fourier anche al caso dei segnali periodici (pag. 6), che sono di poenza, sembra sensao considerare ques ulimo come lo spazio correo in cui individuare le unzioni 33 Nel empo sono sae deinie un elevao numero di inesre emporali, ognuna migliore soo ceri aspei, e peggiore soo alri. Consulando Wikipedia hp://en.wikipedia.org/wiki/window_uncion, possiamo elencare le inesre di Hamming, Hann, Cosine, Lanczos, Barle, Gauss, Blackman, Kaiser, Nuall, Bessel, Dolph-Chebyshev, Exponenial, ukey... eoriadeisegnali.i

23 Sezione 3.8. Appendici 75 della base che permee la rappresenazione = X ()ejπ d dei segnali nei erminidellacorrispondenerasormaadi FourierX() = e jπ d rasormaa di un gradino Deiniamolaunzionegradino 34 comeu() = per > per = per < che,ornendo u() d =, non dovrebbe avere una rasormaa U (). Proviamo allora a gesire il gradino nelle vesi diunadisribuzione,edinmodosimileaquanoaoal 3.4perlacosane,lorappreseniamo come il limie a cui ende una successione u() = lim α u α(), dei cui elemeni valuare la rasormaa U α() = F {u α()}, e adoare U () = lim α U α() come rasormaa di u(). Scegliamo quindi u α() = e α per > che eeivamene converge a u() per α,eroviamo U α() = e α e jπ = e (α+jπ) (α+jπ) Menre per la pare immaginaria risula che = α+jπ = α jπ α +(π) (3.33) U Im π () = lim I{U α α()} = lim α α +(π) = π e va bene così, il limie della pare reale della (3.33) U Re () = lim α assume α +(π) invece la orma indeerminaa se anche. Per enare di capire cosa manca, proviamo adanirasormareju Im (),oenendo { F j } e jπ = π jπ d = cos π sin π d +j jπ jπ d = sin π = d = sinc()d = π = sgn() α dao che cosπ è una unzione dispari e dunque dà inegrale nullo 35, menre la penulima uguaglianza sua il jπ risulao (3.9). Ci siamo quasi! Inai, il gradino può essere riscrio come u() = + sgn() (vedi la igura a lao), e in queso modo ci accorgiamo che menre ju Im () = j è la rasormaa di sgn(), π URe () deve necessariamene convergere alla rasormaa di, ovvero ad un impulso di area, permeendo inalmene di scrivere U () = F {u()} = ( δ() j ) π u() sgn() /+(/)sgn() 34 NoaanchecomeunzionediHeaviside,vedi hps://i.wikipedia.org/wiki/funzione_gradino_di_heaviside 35 Ciò è vero purché si consideri il meodo di calcolo dell inegrale noo come valore principale di Cauchy, in quano cosπ jπ ende a per, con valori opposi per + e, vedi hps://i.wikipedia.org/wiki/valore_principale_di_cauchy. eoriadeisegnali.i