III.1 MODULAZIONE DI SEGNALI COMPLESSI IN BANDA BASE

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1 arte III G. Reali: Modulazione numerica Modulazione Numerica III. MODULAZIONE DI SEGNALI COMLESSI IN BANDA BASE Nella trattazione che segue si prenderanno in esame dei segnali che, in generale, si possono considerare delle realizzazioni di processi aleatori. Il motivo per cui non si considerano dei processi aleatori nella loro interezza è per la semplicità di esposizione. uttavia, i risultati che si otterranno avranno validità generale. In pratica, si ipotizza che il segnale da trasmettere sia noto, cosa che ovviamente non si verifica nelle applicazioni. Si consideri, quindi, una sequenza di simboli a k, k= M, ossia di durata finita. Questa ipotesi occorre per assicurare l esistenza delle trasformate di Fourier che saranno utilizzate nel corso della trattazione. Siccome non ci sono vincoli sul valore massimo di M, purché sia un valore finito, questa ipotesi non risulta essere particolarmente restrittiva. Il segnale da trasmettere si può scrivere come: k +Θ, k= () = ( ) st agt k dove g(t) è la funzione che modella l impulso elementare dell onda AM e Θ è una fase aleatoria. Si supponga di usare s(t) per modulare in ampiezza una portante a frequenza f c. ( ) = ( ) ( π + φ ) z t s t cos f t c

2 arte III G. Reali: Modulazione numerica er semplicità di notazione nel seguito la fase aleatoria della portante φ sarà posta uguale a zero. Di conseguenza, se S(f) è la trasformata di Fourier di s(t), si ha che la trasformata di Fourier di z(t) sarà data da Z f S f f S f f ( ) = ( c) + ( + c) Se s(t) è un segnale reale, la sua trasformata di Fourier risulta essere simmetrica intorno all origine dell asse delle frequenze. Ciò implica che lo spettro del segnale modulato sarà simmetrico intorno alla frequenza f c. ale situazione è mostrata nella figura sottostante. S(f) Z(f) f -f c f f c f f La simmetria intorno alla frequenza f c implica che il segnale modulato abbia lo stesso contenuto informativo sia nella banda laterale inferiore ( f f f c ) sia in quella superiore ( fc f f ). Nel caso delle modulazioni analogiche, le tecniche per evitare tale spreco di banda consistevano nell eliminare una delle due bande laterali (modulazione SSB), o parte di questa (modulazione vestigiale). Nel caso numerico, si può procedere raddoppiando il contenuto informativo del segnale. E evidente che per far ciò occorre eliminare la simmetria dello spettro del segnale in banda base, quindi s(t) deve essere un segnale a valori complessi. Chiaramente, modulando una portante sinusoidale utilizzando un segnale complesso si avrebbe la situazione mostrata sotto S(f) Z(f) f -f c f f c f f

3 arte III G. Reali: Modulazione numerica Si vede che lo spettro del segnale modulato non è simmetrico rispetto all origine, quindi tale segnale non è reale e, di conseguenza, non può essere trasmesso attraverso un canale un canale di comunicazione fisico. er ovviare a questa situazione occorre cambiare il tipo di modulazione. Si immagini di traslare in frequenza S(f) intorno alla frequenza f c moltiplicandolo per un esponenziale complesso come segue () () j fct z t = s t e π. Chiaramente Z ( f ) = S( f f c ), come mostrato sotto. S(f) Z(f) f -f c f f c f f E evidente che, anche in questo caso, z(t) è un segnale complesso, e quindi non può essere trasmesso. uttavia si osserva che il contenuto informativo è interamente presente sia nella parte reale sia nella parte immaginaria del segnale. Se si estrae dal segnale la parte reale, data da ( ) ( ) { } { ( )} ( π c ) { ( )} ( π c ) x t = Re z t = Re s t cos f t Im s t sin f t si ha che lo spettro X(f) è pari, e coincide con la componente pari di Z(f): ( ) = ( f ) X f Z dove e Ze f Z f Z f * ( ) = ( ) + ( ) e quindi * X ( f ) = S( f fc) + S ( f fc), come è illustrato nella figura sottostante. 3

4 arte III G. Reali: Modulazione numerica Z(f) X(f) -f c f f c f f -f c f f c f f In questo modo x(t) è un segnale reale e, in quanto tale, può essere trasmesso attraverso un canale fisico di comunicazione. Inoltre, il contenuto informativo di x(t) è lo stesso di s(t), il quale è un segnale complesso. In questo modo è stato ottenuto l obiettivo di trasmettere il contenuto informativo di un segnale complesso in banda base, che è maggiore di quello di un segnale reale, utilizzando un segnale modulato reale. III. RARESENAZIONE DEI SEGNALI AM ASSA-BANDA Il segnale AM passa-banda trasmesso può essere scritto come segue: { } jπ fct () () xt = Ree st = jπ fct = Re e ak g ( t k ) = (III..) k= = cos( πf ct ) Re{ ak} g ( t k ) sin( πf ct) Im{ ak} g ( t k ) k= k= Questa rappresentazione suggerisce un metodo per realizzare x(t). La prima considerazione da fare riguarda i simboli a k. E stato detto in precedenza che il segnale in banda base è complesso, quindi, essendo l impulso g(t) reale, l unica componente complessa è quella dei simboli a k. La relazione (III..) suggerisce di trattare separatamente la parte reale e la parte immaginaria di questi simboli. In pratica si tratta di realizzare due segnali AM, una usando la parte reale e l altra mediante la parte immaginaria dei simboli. Queste due onde AM modulano in ampiezza due portanti in quadratura. Data l ortogonalità delle portanti, questo implica che le componenti reale ed immaginaria del segnale sono trasmesse su due canali indipendenti. 4

5 arte III G. Reali: Modulazione numerica Re(a k ) Filtro X g(t) Re[s(t)] cos( πf c t) generatore di portante BI CODIFICAORE sfasatore 9 o - sin( πf c t) Im(a k ) Filtro X g(t) Im[s(t)] Figura III.. - schema di un modulatore numerico In Fig. III.. è mostrato lo schema di un modulatore numerico. I bit in ingresso, che in generale provengono dal codificatore di canale, sono rappresentati in forma complessa. Questa rappresentazione sarà illustrata nel seguito. I filtri in trasmissione generano le onde AM utilizzando rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei simboli. Queste onde AM successivamente modulano le due portanti in quadratura. Lo sfasamento di 9 è realizzato mediante un filtro di Hilbert. I due segnali sono quindi sommati ed inviati al canale di trasmissione. III.3 RICEVIORI ER SEGNALI AM ASSA-BANDA er demodulare un segnale AM passa-banda, essenzialmente occorre realizzare delle operazioni duali rispetto a quelle effettuate dal modulatore. Essenzialmente, occorre riportare in banda base la componente dello spettro che presenta la stessa forma dello spettro originario del segnale. Dal punto di vista matematico è sufficiente moltiplicare il segnale ricevuto per un esponenziale complesso e filtrare la componente in banda base, come mostrato nella figura sottostante. R(f) Q(f) -f c f c f -f c f c f 5

6 arte III G. Reali: Modulazione numerica Al fine di determinare l architettura del ricevitore si trascuri l effetto distorcente del canale e il rumore in ricezione. Questi saranno inclusi nel seguito per la valutazione delle prestazioni. In tal caso si può assumere che il segnale ricevuto y(t) sia identico a quello trasmesso x(t) a meno di una costante. Si ha quindi che ( ) = α x( t) y t Come detto in precedenza, per riportare la replica a frequenze positive dello spettro ricevuto, che ha la stessa forma dello spettro del segnale originario, in banda base, occorre moltiplicare y(t) per un esponenziale complesso: () = () r t y t e jπ fc t, e successivamente filtrarlo con un filtro passa-basso: ( ) ( ) ( ) qt = rt* f t, dove con f(t) è stata indicata la risposta all impulso del filtro passa basso e con il simbolo e con l asterisco l integrale di convoluzione. Un primo schema generale di decodifica è quello mostrato sotto. Nello schema le frecce singole indicano che il segnale che transita è reale, mentre le frecce doppie indicano un segnale a valori complessi. Si vede che la parte reale e la parte immaginaria di q(t) sono campionate. I campioni sono quindi confrontati con una soglia e successivamente decodificati. e jπ fct y(t) filtro di q(t) q k a k ricezione f(t) campionatore a k decodificatore bit Uno schema più realistico, il quale tuttavia rispecchia fedelmente il funzionamento di quello appena presentato è mostrato sotto. Nello schema sotto il prodotto complesso è stato sostituito con due prodotti reali, quindi fisicamente realizzabili, con due portanti in quadratura. Le operazioni successive sono identiche a quelle del primo schema. 6

7 arte III G. Reali: Modulazione numerica y(t) cos ( π f t) c filtro di ricezione f(t) componente in fase campionatore a k decodificatore bit sin ( π f t) c filtro di ricezione f(t) componente in quadratura campionatore Dal punto di vista matematico, si può ottenere lo stesso risultato spostando il filtraggio a monte, così da renderlo il primo stadio del ricevitore. Ovviamente, per fare ciò occorre traslare la funzione di trasferimento del filtro passa-basso a radio frequenza, come segue: () = () j fc t, f t f t e π e, nel dominio della frequenza: ( ) ( ) F f = F f f. c A questo punto la replica dello spettro può essere traslata in banda base analogamente a come è stato fatto in precedenza, ossia mediante la moltiplicazione per un esponenziale complesso, come mostrato sotto. e jπ fct y(t) filtro di q(t) q k a k ricezione f (t) campionatore a k decodificatore bit In questo modo il filtro di ricezione è di tipo complesso, quindi si può scrivere che ( ) = ( ) + ˆ ( ) f t f t j f t a a dove la componente immaginaria ˆf ( ) reale fa ( t ). a t è la trasformata di Hilbert della parte 7

8 arte III G. Reali: Modulazione numerica III.4 SAISICA DEL RUMORE ALL USCIA DEL FILRO DI RICEZIONE er la valutazione delle prestazioni del sistema occorre tenere in considerazione l effetto del rumore. Si consideri il classico modello additivo del rumore all ingresso del filtro di ricezione, come mostrato sotto. y(t) n(t) filtro di ricezione f (t) Il rumore è modellato come un processo bianco e gaussiano, a media nulla e con varianza N (Additive White Gaussian Noise AWGN(, N )). Lo spettro di densità di potenza del rumore all uscita del filtro di ricezione risulterà sagomato dalla funzione di trasferimento del filtro stesso, quindi non sarà bianco. La sua espressione è: n c ( ) = ( ) = ( ) S f N F f N F f f La potenza del rumore all uscita del filtro di ricezione è data da N = N F f dt = N f t dt = N f t d t. ( ) () () L ultima uguaglianza è dovuta al fatto che la trasformata di Hilbert ha la stessa energia della funzione che ha subito la trasformazione. III.5 RICEVIORE A CORRELAZIONE In precedenza è stato usato un filtro di ricezione, passa-basso o passa-banda a seconda dello schema di ricevitore utilizzato, che aveva come unico compito quello di consentire il transito del segnale eliminando il rumore fuori banda. Il progetto del filtro di ricezione può essere migliorato se oltre alla larghezza di banda del segnale si considera anche la forma di questo. Si consideri di dover ricevere un impulso isolato (questa ipotesi corrisponde alla condizione di azzeramento dell interferenza intersimbolo). Si supponga, inoltre, che in ricezione possano presentarsi impulsi aventi una delle M 8

9 arte III G. Reali: Modulazione numerica possibili forme d onda {s (t) s M (t)}, (che possono, eventualmente, essere rappresentate in uno spazio ortonormale generato dalla base {g (t) g N (t)}. Se si riceve l m-esima di queste forme d onda il segnale ricevuto sarà R( t) = sm ( t) + n( t) er determinare quale delle possibili forme d onda sia stata ricevuta, si può pensare di operare M integrali di correlazione secondo lo schema mostrato sotto. R( t) = sm ( t) + n( t) s ( t) s ( t ) M A X ˆm s M (t) A valle degli M correlatori vi è un decisore che seleziona il valore massimo fra quelli presenti in ingresso ad esso. er ridurre la complessità circuitale del ricevitore si può pensare di utlizzare la base ortonormale secondo lo schema che segue. 9

10 arte III G. Reali: Modulazione numerica R( t) = sm ( t) + n( t) g ( t ) g ( t ) Logica Decisionale ˆm g N (t) La logica decisionale all uscita dei correlatori può semplicemente consistere in un sistema si soglie e relativa decisione sulla base di criteri a massima verosimiglianza. L ottimalità di questo sistema di decisione si intuisce se si considera la disuguaglianza di Schwarz gm() t gk () t dt gm() t dt gk () t dt, in cui l uguaglianza vale solo per m=i, si vede che il massimo si ha in corrispondenza dell uscita dell m-esimo correlatore. Si dimostra che il ricevitore a correlazione è il ricevitore ottimo a massima verosimiglianza per impulsi isolati trasmessi attraverso un canale gaussiano. Il ricevitore a correlazione si può realizzare anche mediante un ricevitore adattato (matched), in cui la risposta all impulso dei filtri è i ( ) = ( ) = h t g t, i,...,m i come mostrato nella figura sotto.

11 arte III G. Reali: Modulazione numerica h (t) t= R( t) = sm ( t) + n( t) h (t) t= Logica decisionale ˆm h N (t) t= Infatti, l uscita dell i-esimo correlatore è data da: αi () t = R( τ) h( t τ) dτ, e campionando tale uscita nell istante t= si ha che α τ τ τ τ τ τ τ τ i ( ) = R( ) h( ) d = gi( ) h( ) d + n( ) h( ) dτ, che coincide con l uscita del ricevitore a correlazione. III.6 COSELLAZIONI E VALUAZIONE DELLE RESAZIONI In precedenza è stato detto che i simboli in trasmissione in generale sono a valori complessi. Inoltre, in Fig. III.. è mostrato l uso di un codificatore che riceve in ingresso dei bit ed emette, nelle due uscite, la parte reale e la parte immaginaria dei simboli. In realtà, il funzionamento di questo codificatore è alquanto semplice. Innanzi tutto i bit in ingresso sono raggruppati in sequenze di n bit, n=,, Le sequenze possono assumere n valori, che corrispondono ai n simboli complessi che il codificatore è in grado di produrre. A questo punto, ciò che resta da fare è di scegliere n punti nel piano complesso (costellazione) ed associare ogni combinazione di bit ad un punto. Quando una qualsiasi combinazione di bit si presenta in ingresso al codificatore, questo emetterà il simbolo al quale la sequenza è associata. Si veda, come esempio, le costellazioni in Fig. III.6.. Nella figura sono mostrati quattro tipi di modulazione: Binary hase Shift Keying (BSK), Quadrature hase Shift

12 arte III G. Reali: Modulazione numerica Keying (QSK), 8-hase Shift Keying (8-SK), e 6-Quadrature Amplitude Modulation (6-QAM). Se si osservano le parole binarie associate ai punti delle costellazioni, si nota che quando si passa da un punto a quello adiacente la composizione della parola associata varia di un solo bit (codifica Gray). In questo modo, se in fase di decodifica una simbolo è erroneamente scambiato per uno di quelli adiacenti, tale errore implica un solo errore di bit. Se la probabilità di errore è sufficientemente bassa, se un simbolo è stimato erroneamente, è alquanto probabile che questo si confuso proprio con uno dei simboli vicini, quindi la codifica Gray è quella preferibile ed è universalmente usata nelle applicazioni reali. Im Im Re Re a) BSK b) QSK Im Re Im Re c) 8-SK d) 6-QAM Figura III.6. Costellazioni per vari schemi di modulazione er valutare la probabilità di errore associata a ciascuna costellazione, si consideri di aver sagomato opportunamente gli impulsi e di averli campionati in modo tale da eliminare l interferenza inter-simbolo. In queste condizioni gli errori possono essere

13 arte III G. Reali: Modulazione numerica causati unicamente dal rumore termico. Una costellazione QSK affetta da rumore si presenta come mostrato in Fig. III.6. Im Re Figura III.6. Rappresentazione sul piano complesso dei campioni affetti da rumore, estratti dal segnale ricevuto quando in trasmissione è utilizzata una costellazione QSK. Osservando la figura si intuisce che la probabilità di errore dipende dall effetto del rumore sui punti della costellazione. Infatti, siccome il valore dei simboli è alterato dal rumore, questi si dispongono sul piano complesso in una regione intorno alla posizione che assumerebbe il simbolo in assenza di rumore. Se tale scostamento è maggiore della distanza da un qualsiasi altro punto della costellazione allora, siccome il simbolo ricevuto è erroneamente interpretato come quello dal quale la distanza è minima, si commette un errore di stima. Dato che la statistica del rumore è di tipo gaussiano, questo implica che i punti sparsi nel piano complesso di distribuiscono intorno ai punti della costellazione secondo una statistica gaussiana bidimensionale con varianza N. Siccome la componenti reale ed immaginaria della funzione di densità di probabilità gaussiana bidimensionale del rumore sono statisticamente indipendenti, la potenza della componente reale del rumore e della parte immaginaria del rumore sono uguali e pari a σ = N /. Si supponga che a j sia un simbolo della costellazione, e che Q k =a j +Z k sia il simbolo ricevuto. Il simbolo ricevuto è interpretato come a i a j se Qk ai < Qk a j, che equivale a dire j i k k a a + Z < Z, cioè 3

14 arte III G. Reali: Modulazione numerica { } { } { } { } i j i j k i j k a a + Re a a Re Z + Im a a Im Z < che diventa: { i j} { k} { i j} { k} d Re a a Re Z + Im a a Im Z < (III.6.) dove d= a j - a i. La relazione (III.6.) è la combinazione lineare di due variabili aleatorie gaussiane indipendenti, a media nulla, e con varianza σ. Ciò produce una variabile aleatoria ancora gaussiana con varianza { i j} { i j} Re a a + Im a a σ = d σ La probabilità che tale variabile aleatoria sia minore di -d / è data da: α τ d σ α d d σ d e = e d = e dτ Q dσ π π σ =, dove la funzione Q(x) è definita come + τ Q( x) = e d π x τ ossia è l integrale della coda della funzione gaussiana normalizzata a partire da x. Esempio: modulazione BSK Im -a a Re Nel caso della costellazione mostrata in figura, la probabilità di errore è a e = Q σ 4

15 arte III G. Reali: Modulazione numerica Esempio: modulazione QSK Im -a,a a,a Re -a,-a a,-a Un simbolo è stimato correttamente se è stimata correttamente sia la parte reale sia quella immaginaria. Le probabilità di stima corretta della parte reale e della parte immaginaria hanno lo stesso valore, pari a a = = e,r e,i Q σ quindi, la probabilità di stima corretta di un simbolo è data da a c = Q σ e la probabilità di errore è data da a a a e Q Q Q Q a = = σ σ σ σ L ultimo passaggio della relazione sopra vale se il rapporto a/σ è sufficientemente alto, ossia, come sarà dimostrato nel seguito, se il rapporto segnale-rumore in ingresso al decisore a soglia è elevato. Si assuma che la sequenza di simboli A k da trasmettere sia la realizzazione di un processo bianco con spettro ( j f A ) S e π β =. La potenza di tale processo { k } E A = β. Escludendo il rumore, il segnale ricevuto è quindi un onda AM, che è la realizzazione di un processo aleatorio avente spettro di densità di potenza { A } E k jπ f Sq( f ) = W( f ) SA( e ) = W( f ), 5

16 arte III G. Reali: Modulazione numerica dove W(f) è la trasformata di Fourier della forma d onda demodulata in corrispondenza di un simbolo trasmesso. Si suppone che la sagomatura dei simboli sia tale da evitare l interferenza inter-simbolo e che, senza perdere di generalità, abbia un ampiezza tale che ( ) W f df = ale ipotesi non è restrittiva dal momento che se il filtro di ricezione è scalato opportunamente per ottenere il valore desiderato dell integrale, tale effetto è prodotto anche sul rumore e, quindi, il rapporto segnale-rumore resta invariato. ale rapporto si può esprimere come ( ) { } Sq f df otenza del segnale E A k SNR = = = otenza del rumore σ σ Questo consente di esprimere la probabilità di errore delle varie costellazioni in funzione di SNR. Esempio: modulazione BSK Im -a a Re In questo caso { k } E A = a. Considerando che in questo caso la componente in quadratura del rumore può essere eliminata isolando la sola componente in fase del segnale ricevuto, ove è presente l informazione, la potenza del rumore vale σ, e la probabilità di errore si può esprimere come 6

17 arte III G. Reali: Modulazione numerica a e = Q = σ Q( SNR ) Esempio: modulazione QSK Im -a,a a,a Re -a,-a a,-a In questo caso { k } E A = a, quindi, considerando sia la componente in fase sia la componente in quadratura del rumore, la probabilità di errore si può esprimere come ( SNR ) [ Q( SNR )] Q( SNR ) e = Q dove l ultimo passaggio e della relazione è ammissibile solo se SNR>>. In Fig. III.6. sono mostrate le probabilità di errore di simbolo per le costellazioni BSK, QSK e 6-QAM al variare del rapporto segnale-rumore. E evidente come la maggiore quantità di informazione che si trasmette utilizzando costellazioni complesse si paga con delle richieste onerose dal punto di vista del rapporto segnale-rumore per stimare i simboli con probabilità di errore desiderata. 7

18 arte III G. Reali: Modulazione numerica - -4 BSK QSK 6-QAM Figura III.6. robabilità di errore di simbolo per le tecniche di modulazione BSK, QSK e 6-QAM Spesso le probabilità di errore sono indicate in funzione del rapporto fra l energia media di bit E b e il valore (costante al variare della frequenza) dello spettro di densità di rumore N /=K/ anziché in funzione di SNR. E b può anche essere vista come la potenza media del segnale suddivisa per il numero medio di bit trasmessi contemporaneamente, ossia il numero medio di bit associati ai punti della costellazione, in un hertz di banda. Analogamente, N può essere visto come la potenza media del rumore in un hertz di banda. Chiaramente SNR=KE b /N, dove K è il numero medio di bit associati ai punti della costellazione. 8

19 arte III G. Reali: Modulazione numerica Esempio E Q SNR Q b = = N modulazione BSK: e ( ) E Q SNR Q b = N modulazione QSK: e ( ) Quindi, a parte il fattore moltiplicativo, gli schemi di modulazione BSK e QSK hanno la stessa dipendenza dal rapporto E b /N 9

20 arte III G. Reali: Modulazione numerica III.7 MODULAZIONI ANGOLARI Quando i simboli emessi da una sorgente sono usati per alterare la fase di una portante, si ottiene una modulazione numerica della fase. Si consideri una sequenza di K bit. Questi possono generare il seguente segnale: dove ak = < K k ( ) jπ f t (III.7.) k= c x(t ) Re a g t k e t K j k =, e ϕ k appartiene all insieme e ϕ π (i ) + φ M con φ una fase aleatoria e costante nel tempo. Sia g(t) un impulso rettangolare di ampiezza A e durata. Il segnale nella (III.7.) diventa: K X(t) = A rect (t k )cos( π fct + ϕ k ) = I(t)cos( π fct) Q(t)sin( π fc t) (III.7.) k = dove K ϕk k= I( t ) = A cos rect ( t k ) (III.7.3) K ϕk k= Q( t ) = A sen rect ( t k ) (III.7.4) M i= Caso BSK Nel caso di modulazione SK-binaria (BSK), si può verificare immediatamente come il cambiamento di fase della portante corrisponda al cambiamento di segno della sua ampiezza. In Fig. III.7. è mostrato un modulatore BSK.

21 arte III G. Reali: Modulazione numerica bit Generatore di livello I(t) A cos(πf c t) segnale modulato Z(t) Generatore di portante I(t) (a) - (b) t Figura III.7. - Modulatore BSK. Se i simboli a k sono modellabili come variabili aleatorie binarie equiprobabili, indicando con è la durata del bit, il segnale in uscita dal modulatore BSK in corrispondenza del k- esimo intervallo di bit si può scrivere nella forma: [ ] [ ] s t ( k ) se bk = Z(t ) = s t ( k ) se b k= con s ( t ) = Acos( π fct ) t s ( t ) = Acos( π fct ) t Considerando un canale affetto da rumore gaussiano bianco additivo (AWGN), si dimostra che il ricevitore ottimo per segnali BSK è il ricevitore a correlazione, illustrato in Fig.III.7..

22 arte III G. Reali: Modulazione numerica x(t) n(t) + filtro per limitare la potenza del rumore CORRELAORE dt campiona ogni secondi Detector a soglia (A/D) s (t)-s (t) Figura III.7. Ricevitore a correlazione per segnali BSK All uscita dell integratore, negli istanti di campionamento t=k, si ha un valore di tensione positivo o negativo a seconda del valore del bit trasmesso nell intervallo (k-)<t<k. ertanto, per rivelare la sequenza trasmessa sarà sufficiente un decisore a soglia, in cascata al correlatore, a due livelli: [ ] k b = (k ) s (k ) s(t)s (t) s(t)dt= A [ ] k b = (k ) s (k ) s (t) s (t) s(t) dt= A Caso QSK Un segnale QSK consiste in due portanti in quadratura di fase che sono modulate in ampiezza dai segnali I(t) e Q(t). Come si può notare nella Fig. III.7.3, un modulatore QSK, raggruppa i bit a due a due, producendo quattro possibili combinazioni di I(t) e Q(t) negli intervalli k s <t<(k+) s, con s = la durata di simbolo. Ai quattro simboli corrispondono quattro diverse fasi della portante.

23 arte III G. Reali: Modulazione numerica Esempio Si consideri la costellazione mostrata sotto Im Re er la coppia di bit in ingresso (,) nell intervallo k s <t<(k+) s si avrà: 3 x( t ) = A cos ( π fct ) si n( π fct ) = A cos π fct π 4 Le fasi per le altre combinazioni di bit sono mostrate in abella III.7.. Osservando la figura, risulta evidente come si possano verificare salti di fase di π; infatti, se dopo la coppia (,) occorre trasmettere la coppia (,), la fase salta da -3π/4 a π/4. er questo motivo sono state realizzate modulazioni di tipo OQSK, che sarà trattata nel seguito, e π/4-qsk, per le quali non ci sono salti di fase di π. In Figura III.7.3 è mostrata l evoluzione temporale della forma d onda QSK. INFORMAZIONE Fase rasmessa +π/4 +3π/4-3π/4 -π/4 abella III.7. Fase della portante modulata QSK in funzione del valore della coppia di bit da trasmettere. 3

24 arte III G. Reali: Modulazione numerica GENERAORE DI LIVELLO I(t) Acos(π f c t) GENERAORE DI ORANE bit CONVERIORE SERIALE / ARALLELO SEGNALE MODULAO SFASAORE 9 -Asin( π f c t) GENERAORE DI LIVELLO Q(t) (a) Sequenza di dati I(t) - t Q(t) s - t (b) Figura III Modulatore QSK 4

25 arte III G. Reali: Modulazione numerica Il demodulatore coerente per la modulazione QSK è più complesso rispetto a quello per la modulazione BSK. Ricordando, infatti, che il segnale trasmesso x(t) è del tipo (III.7.), si nota che in questo caso siano quattro le possibili forme d onda trasmesse: π s(t) = A cos π ft c + 4 π s(t) = A sin π ft c + 4 π s(t) 3 = A cos π ft c + 4 π s(t) 4 = Asin π ft c + 4 per t s E evidente che sono necessari due correlatori, come mostrato in Fig. III.7.4, per estrarre l informazione dalle due portanti in quadratura. In abella III.7. sono elencati tutti i possibili livelli in uscita dai correlatori in corrispondenza delle diverse combinazioni di bit trasmessi. INU OUU s (t) s (t) s 3 (t) s 4 (t) (simbolo ) (simbolo ) (simbolo ) (simbolo ) s -L -L L L s -L L L -L abella c.7. - Livelli in uscita dai correlatori in corrispondenza del segnale trasmesso. 5

26 arte III G. Reali: Modulazione numerica n(t) A cos(πf c t) s dt Correlatore campionamento con periodo s s o ( s ) x(t) + A sin( πf c t) s dt Correlatore s o ( s ) Figura III Ricevitore a correlazione per segnali QSK Dalle quattro combinazioni di s e s si può, pertanto, ricostruire la sequenza di bit trasmessa. III.8 OQSK (OFFSE QSK). Nel caso di modulazione QSK la fase della portante cambia ogni periodo, essendo la durata del bit. In corrispondenza di due simboli trasmessi in successione, quando cambia il segno di una delle due componenti in quadratura si verifica un salto di fase di π/; se, invece, entrambe le componenti cambiano polarità, si verifica un salto di fase di π. La Offset-QSK (OQSK), altrimenti detta SQSK (Staggered-QSK), può essere descritta in maniera del tutto equivalente alla QSK. La differenza tra i due schemi di modulazione consiste nel fatto che nella OQSK le due componenti in quadratura I(t) e Q(t) non sono allineate, come mostrato in Fig. III.8., ma la Q(t) è ritardata rispetto a I(t) 6

27 arte III G. Reali: Modulazione numerica di un periodo di tempo pari alla durata di bit. Con questa tecnica si elimina la possibilità che si verifichino salti di fase di π. Infatti, come si può vedere in Fig. III.8., le due componenti in quadratura non possono cambiare simultaneamente. GENERAORE DI LIVELLO I(t) Acos(π f c t) GENERAORE DI ORANE bit CONVERIORE SERIALE / ARALLELO SEGNALE MODULAO SFASAORE 9 -Asin( π f c t) RIARDO GENERAORE DI LIVELLO Q(t) Figura III.8. - Modulatore OQSK Il segnale trasmesso può essere scritto utilizzando le componenti di bassa frequenza in fase e in quadratura: x(t) = I(t)cos( π fct) Q(t)sin( π fct) (III.8.) dove ξk k [ ] I( t ) = A rect t ( k ) (III.8.) ξk k [ ] Q( t ) = A rect t k (III.8.3) e le quantità ξ i sono le coordinate dei simboli della costellazione. 7

28 arte III G. Reali: Modulazione numerica Sequenza di dati - t I(t) (QSK e OQSK) s - t Q(t) (QSK) - t Q(t) (OQSK) Figura III.8. - Forme d onda dei canali in fase e quadratura per una generica sequenza di ingresso La relazione (III.8.) implica che la sequenza ξ k è divisa in una sequenza dispari ξ k- e una pari ξ k. Queste due sequenze sono usate per determinare il segno della forma d onda durante gli intervalli dispari, ( k ) t < ( k + ), e negli intervalli pari, k t < ( k +). Le forme d onda, per entrambi i canali, sono due onde quadre di ampiezza unitaria e durata. Il demodulatore coerente per la OQSK, mostrato in Fig.III.8.3, è essenzialmente quello visto per la QSK, con l eccezione che i simboli nel canale Q sono ritardati di, cioè della durata di bit. In tal modo si può dimostrare che le prestazioni riguardanti la probabilità di errore sono identiche a quelle della QSK. 8

29 arte III G. Reali: Modulazione numerica x(t) n(t) RECUERO ORANE SFASAORE 9 s dt SINCR. SIM BOLO DECISORE A SOGLIA CONVERIORE ARALLELO / SERIALE s dt DECISORE A SOGLIA Figura III.8.3 Demodulatore per OQSK III.9 RASMISSIONE MULI ORANE FREQUENCY SHIF KEYING (FSK) In questa modalità di trasmissione si fa uso di M forme d onda ortogonali. L ortogonalità è ottenuta dalla frequenza delle portanti. Il segnale trasmesso può essere scritto nella forma seguente: x( t ) = E jπ fct cos( π fct + πm ft ) = Re[ Sm() t e ], m=,,...,m t (III.9.) dove E Sm t e j π m ft () = Il coefficiente di correlazione della (III.9.) è dato da E ρ m = E jπm ft jπk ft jπ ( m k) f π( ) e sin π m k f = e dt = = e jπ m k f π m k f e e dt = ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) j m k ft jπ m k f m,k=,,...,m t la cui parte reale è data da 9

30 arte III G. Reali: Modulazione numerica ρ r ( π ( ) ) π ( ) = Re( ρm) = π( m k) f ( π ( ) ), m,k=,,...,m t π ( m k) f sin m k f ( ) sin m k f cos m k f La prima osservazione che si può fare è che se f è un multiplo intero di/ e m k allora ρ r =. Siccome la condizione m-k = indica che le due portanti corrispondenti agli indici m e k sono adiacenti, allora f=/ è la minima separazione spettrale fra le portanti che assicura l ortogonalità. = III. MODULAZIONI A FASE CONINUA - CONINUOUS HASE MODULAION (CM) In questo tipo di modulazione la fase della portante è una funzione continua nel tempo, e si può rappresentare come segue: φ( t,i ) = π I h q( t k ), n t ( n+) (III..) dove k k k= I = { I k } è una sequenza di simboli M-ari, ±, ±, ±M-, { h k } è una sequenza di coefficienti, detti indici di modulazione, q(t) è una forma d onda normalizzata e è il periodo di simbolo. In generale q(t) si può esprimere come t () ( τ ) qt = g dτ. Se g(t) = t>, allora la tecnica CM è detta a risposta totale (full response CM), altrimenti si parla di CM a risposta parziale (partial response CM). 3

31 arte III G. Reali: Modulazione numerica g(t) q(t) g(t) q(t) t t t t full response CM partial response CM Esempio: Continuous hase FSK (CFSK): la funzione g(t) è di tipo rettangolare con indici di modulazione costanti. g(t) / q(t) / t t Diagramma dell evoluzione temporale della fase 4hπ 3hπ π hπ -hπ -π -3hπ -4hπ

32 arte III G. Reali: Modulazione numerica III. MINIMUM SHIF KEYING (MSK) Il Minimum Shift Keying è un caso particolare di CFSK, quindi di CM, in cui gli indici di modulazione h valgono /. Utilizzando la (III..), la fase della portante si può esprimere come: π n π In t-n φ( t,i ) = I k+ πinq( t n ) = ϑn+, n t ( n+) (III..) k= Usando la (III..), la portante modulata MSK assume la seguente forma: π In t-n xt () = A cos π ft c + ϑn+ = (III..) In nπ In =A cos π fc + t- + ϑn, n t ( n+) 4 Osservando la (III..) si vede che l MSK è un caso di CFSK costruita utilizzando le portanti f f = fc 4 = fc + 4 quindi con una deviazione di frequenza f=/, ossia la minima deviazione di frequenza (da cui il nome Minimum Shift Keying). La (III..) si può esprimere anche come segue: nπ i xi() t = A cos π fit + ϑn+ ( ), i=, n t ( n+) Si può dimostrare che l MSK corrisponde a una particolare forma di OQSK in cui gli impulsi in cui gli impulsi rettangolari sono sostituiti da impulsi sinusoidali, ossia le forme d onda generate dal generatore di livello mostrato in Fig. III.8. sono di tipo sinusoidale: g(t ) = πt sin <t< (III..3) altrove Usando la (III..3), si può dimostrare che le componenti in fase e in quadratura dell inviluppo complesso, I(t) e Q(t), assumono la forma: 3

33 arte III G. Reali: Modulazione numerica k k k k+ [ ] I(t ) = A I g t k ( ) Q( t ) = A I g t k Gli impulsi sagomati assumono, dunque, la forma di mezzo ciclo di un onda sinusoidale di durata e segno alternato, come mostrato in Fig. III.., da confrontare con la Fig. III.8.. Figura III.. - Forme d onda dei canali in fase e quadratura per una generica sequenza di ingresso Questa sagomatura fa si che le transizioni di fase non siano istantanee come nel caso della QSK e della OQSK, ma che la fase si evolva gradualmente da un valore all altro. 33

34 arte III G. Reali: Modulazione numerica MSK Fase raccordata 3 4 t OQSK sfasamento di -9 sfasamento di t sfasamento di 9 QSK nessuna transizione 3 4 t sfasamento di -9 sfasamento di 8 Figura III.. - Forme d onda tipiche per MSK, OQSK e QSK C. MODULAZIONI ANGOLARI DIFFERENZIALI DIFFERENIAL SK (DSK) Questa tecnica è utilizzata per evitare l operazione di recupero della fase della portante al ricevitore. A tal fine, ad ogni intervallo di simbolo la fase del segnale ricevuto è confrontata con quella del simbolo precedente. Si consideri il segnale ricevuto y(t) nel k- esimo intervallo di simbolo: ( ) ( π c ) { k} ( ) ( π c ) { k} ( ) ( ) y t cos f t Re a g t k sin f t Im a g t k + n t = k k ( π ϑ ) ( ) ( ) = a cos f t+ g t k + n t k c k k 34

35 arte III G. Reali: Modulazione numerica Si moltiplichi y(t) separatamente per cos(πf c t+φ) e per sin(πf c t+φ). L inviluppo complesso del prodotto è dato da k ( ) ( ) α ϑk φ k α ϑk φ k, y = cos + n, sin + n che possiamo anche scrivere j( k ) y e ϑ = α φ + n. (III..) k k In corrispondenza del simbolo precedente avremo avuto che j( k ) y = ϑ φ αe + n k. (III..) k Moltiplicando scalarmene la (III..) e la (III..) si ha: y y * = e j( ϑk ϑk ) e j( ϑk φ) n * j( k ) * k e ϑ φ α + α + α n k + n k n k. k k Si vede che in assenza di rumore l operazione fornisce la differenza di fase fra due simboli consecutivi, indipendentemente dalla fase φ della portante di demodulazione usata al ricevitore. uttavia, in presenza di rumore al ricevitore, si vede che l operazione genera ulteriori componenti rumorose che possono compromettere le prestazioni del sistema. Lo schema del demodulatore è mostrato nella figura sottostante. s dt y(t) n(t) GENERA. ORANE RIARDO s COMARAORE DI FASE SFASAORE 9 s dt 35

36 arte III G. Reali: Modulazione numerica AENDICE A A. Cenni sul segnale analitico e sull inviluppo complesso. Si consideri il seguente segnale modulato sia in ampiezza sia in fase: dove [ π ϕ ] x(t) = A(t)cos f t + (t) (A.) c A( t ), il modulo o inviluppo di x(t), è il segnale che modula in ampiezza la portante; ϕ (t) è la deviazione di fase di x(t) rispetto alla portante a frequenza f c, è il segnale di modulazione di fase. Si può associare al segnale x() t reale il segnale analitico: j π f ct + ϕ (t ) = (A.) z x(t) A(t)e tale che e l inviluppo complesso [ ] x(t) = Re z (t) x jπ fct j ϕ(t ) x = x = = I + Q z % (t) z (t)e A(t)e x (t) jx (t) (A.3) con I Q [ ϕ ] [ ϕ ] x (t) = A(t)cos (t) x (t) = A(t)sen (t) La (A.3) rappresenta, nel piano complesso, un vettore (figura A.) di ampiezza A(t) variabile nel tempo e che ruota con pulsazione d ω(t) = π ft = ϕ(t) dt a

37 arte III G. Reali: Modulazione numerica t A(t ) φ(t ) φ(t ) A(t ) t Essendo inoltre : si può scrivere Figura A. [ ] x(t) = Re z x(t) = Re z % x(t)e π j fot ( π ) ( π ) [ π ] x(t) = x (t)cos f t x (t)sin f t = A(t)cos f t + ϕ(t) (A.4) dove I c Q c c I Q A(t) = x (t) + x (t) x Q(t) ϕ(t) = arctan x(t) La (A.3) (inviluppo complesso) è, dunque, una rappresentazione in bassa frequenza del segnale z(t) x I che è centrato alla frequenza fc. Quindi, note f c, x I (t) e x Q (t) si può determinare in maniera univoca x(t) espresso dalla (A.). In conclusione, si può dire che: x (t) + jx (t) I è la rappresentazione in bassa frequenza del segnale considerato e che x I (t) e x Q (t) sono le componenti analogiche di bassa frequenza. ertanto, considerato lo schema in Fig.A., Q b

38 arte III G. Reali: Modulazione numerica Figura A. il suo equivalente passa-basso si può esprimere con lo schema in Fig. A.3. I Q X I (t) X Q (t) x I (t)+jx Q (t) j Figura A c