Soluzione della prova scritta di Fisica 1 del 10/09/2013. Figura 1: Quesito 1

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1 Souzione dea prova scritta di Fisica de 0/09/0 Quesito ) O M, L m v 0 Figura : Quesito Durante urto tra proiettie e sbarra non si conserva a quantità di moto a causa dee presenza dee reazioni vincoari di natura impusiva appicate in O. Non si conserva neppure energia cinetica perchè si tratta di un urto competamente aneastico. Si conserva invece i momento angoare rispetto a poo O a cui componente L ungo a direzione de asse di rotazione vae: L = 4 Lmv 0 = Iω ) i termine di sinistra rappresenta i moduo de momento angoare compessivo rispetto ad O subito prima de urto ed i termine di destra queo de sistema proiettie+sbarra subito dopo urto. I è i momento di inerzia rispetto ad un asse orizzontae passente per O ed ω è i moduo dea veocità angoare de

2 sistema subito dopo urto. In particoare, per i teorema di Huygens-Steiner, si ha che: I = ) ML + m 4 L ) L espressione di ω richiesta ne quesito si ricava da equazione : ω = ml 4 ML + 9 mlv 0 ) 6 Subito dopo urto i moto de sistema è governato da principio di conservazione de energia meccanica a forza peso è conservativa e e reazioni vincoari in O non compiono avoro), daa cui appicazione si può anche desumere i vaore minimo di v 0 affinchè i sistema compia un giro competo. Per ragioni di simmetria, a posizione de centro di massa de sistema proiettie+sbarra, si troverà ungo a direzione dea sbarra ad una distanza d CM da O pari a: d CM = ML + ml 4 4) M + m Condizione necessaria affinchè i sistema compia un giro competo è che i centro di massa raggiunga a massima quota. Fissato i iveo zero de energia potenziae gravitazionae in corrispondenza dea quota di O, si ottiene: Iω M + m)gd CM = M + m)gd CM + Iω 5) I termine a sinistra rappresenta energia meccanica de sistema cinetica + potenziae) subito dopo urto, ossia ne istante in cui sbarra+proiettie cominciano a rotazione attorno a asse fisso orizzontae passante per O. I termine a destra rappresenta energia meccanica de sistema ne punto di massima quota per i centro di massa ed ω è i moduo dea veocità angoare de sistema a tae quota. Per ricavare i vaore minimo di v 0, assumiamo che, in questa configurazione, energia meccanica totae sia tutta e soo potenziae quindi energia cinetica nua, ω = 0). Osservando che ω = L/I si veda equazione ): Iω = L 6) I e sostituendo ne equazione 5 si ottiene: L I = M + m)gd CM = g M + ) 4 m L 7) questa sceta è iniziamente arbitraria contano e differenze di potenziae), ma una vota fissato o zero occorre essere coerenti con a sceta fatta

3 Ne utimo passaggio, si è utiizzata equazione 4. Sostituendo infine espressione di L e di I in quest utima equazione si ottiene: v0 = M + 9 gl M) M + 9 m) 6 8) m Numericamente, v 0 =5 m/s. Quesito ) M,R θ O m, Figura : Quesito I sistema descritto disco più sbarra) è in sostanza un pendoo fisico, vincoato a ruotare attorno ad un asse orizzontae passante per i centro fisso) O de disco. I centro di massa de sistema, per ragioni di simmetria, si trova ungo a direzione dea sbarra ad una distanza d CM da O: d CM = ) m 9) M + m L equazione di moto segue daa seconda equazione cardinae scritta rispetto ad un poo coincidente con O: dl/dt = τ ext. Ne caso specifico, trattandosi

4 di un corpo rigido e riferendosi aa componente ungo a direzione de asse di rotazione si ottiene: Iα = I d θ dt = M + m)gd CM = ) mgsenθ 0) in cui α rappresenta i moduo de acceerazione angoare, θ è angoo formato daa direzione dea sbarra con a verticae ed I è i momento di inerzia compessivo de sistema cacoato utiizzando i teorema di Huygens-Steiner): I = M m + m ) ) Ne caso dee piccoe osciazioni, equazione 0 diventa di tipo armonico I d θ dt = ) mgθ ) Si noti i segno - nee equazioni 0 e. La sua presenza ha un preciso significato fisico. Esso stabiisce infatti i carattere di forza di richiamo dea forza peso per i sistema descritto. Ne caso dee piccoe osciazioni tae forza è de tutto equivaente aa forza eastica esercitata da una moa su un osciatore armonico. La pusazione Ω corrispondente è: Ω = ) mg I = ) mg M m + m ) ) Le dimensioni sono quee attese, ovvero i reciproco di un tempo. Numericamente, Ω = 4.9 s. Quesito ) La pressione eserciata da gas su pistone neo stato di equiibrio sarà pari aa forza per unità di superficie esercitata daa moa nea configurazione che corrisponde ad uno spostamento che definiamo x. Lo stesso vae neo stato di equiibrio. Vagono dunque e seguenti reazioni kx S V = nrt kx S V = nrt 4) 4

5 vuoto S gas Figura : Quesito e sua base di considerazioni geometriche scegiamo un sistema di riferimento in cui x >0, x >0 e x > x ): x x = V V S 5) Daa prima reazione ne equazione 4 si ricava i vaore di x numericamente 0.99 m) e da equazione 5 i vaore di x numericamente.99 m). I avoro compiuto da gas ne espansione da V a V è uguae e opposto a avoro compiuto dea forza eastica ne passaggio da x a x : L gas = kx kx 6) Numericamente, L gas =500 J. Noto x, si determina T daa seconda equazione ne espressione 4 numericamente T = 66 K). La variazone di energia interna U = nc V T T ), da cui Q = U + L gas. Numericamente, Q =9550 J. 5